2020高考数学三轮冲刺 专题 正态分布练习（含解析）理 13页

正态分布 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1. 已知随机变量，且，，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）B 解：随机变量，正态曲线的对称轴是，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：B．‎ 根据随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得．‎ 本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题．‎ ‎2. 某班有50名学生，一次考试的成绩服从正态分布已知，估计该班数学成绩在110分以上的人数为 ‎ A. 10 B. ‎20 C. 30 D. 40‎ ‎（正确答案）A 解：考试的成绩服从正态分布 ‎ 考试的成绩关于对称，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 该班数学成绩在110分以上的人数为 ‎ 13‎ 故选A．‎ 根据考试的成绩服从正态分布得到考试的成绩关于对称，根据，得到，从而得到，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．‎ 本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩关于对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．‎ ‎3. 已知随机变量X服从正态分布，且，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）A ‎【分析】‎ 本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题根据对称性，由的概率可求出，即可求出．‎ ‎【解答】‎ 解：，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选A．‎ ‎4. 设随机变量服从正态分布，若，则与的值分别为 ‎ A. B. C. ， D. ‎ ‎（正确答案）C 解：随机变量服从正态分布，，‎ ‎，．‎ 故选：C．‎ 根据随机变量服从正态分布，，由正态曲线的对称性得结论．‎ 13‎ 本题考查正态分布，正态曲线有两个特点：正态曲线关于直线对称；在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1，本题是一个基础题．‎ ‎5. 已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为 ‎ 附：若，则；；．‎ A. 6038 B. ‎6587 C. 7028 D. 7539‎ ‎（正确答案）B 解：由题意，‎ 则落入阴影部分点的个数的估计值为．‎ 故选：B．‎ 求出，即可得出结论．‎ 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．‎ ‎6. 已知随机变量X服从正态分布，其正态分布密度曲线为函数的图象，若，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）A 解：正态总体的概率密度函数为，‎ 总体X的期望为2，标准差为1，‎ 故的图象关于直线对称，‎ 13‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：A．‎ 根据正态总体的概率密度函数的意义即可得出X的期望和标准差，再由概率分布的对称特点，即可得到答案．‎ 本题考查正态分布的有关知识，同时考查概率分布的对称性及运算能力，正确理解正态总体的概率密度函数中参数、的意义是关键．‎ ‎7. 已知随机变量，若，，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）D 解：由题意，，‎ 随机变量，‎ ‎，‎ 故选：D．‎ 根据随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得．‎ 本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．‎ ‎8. 设，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是 ‎ 注：若，则，‎ A. B. ‎6038 C. 7028 D. 6587‎ 13‎ ‎（正确答案）D ‎【分析】‎ 根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，利用几何概型即可计算本题考查了正态分布、几何概型，属于中档题．‎ ‎【解答】‎ 解：，，‎ ‎，则，‎ 则，‎ 阴影部分的面积为：．‎ 正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587．‎ 故选D．‎ ‎9. 已知某批零件的长度误差单位：毫米服从正态分布，从中随机抽取一件，其长度误差落在区间内的概率为 ‎ 附：若随机变量服从正态分布，则，‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）B 解：由题意，，‎ 所以．‎ 故选：B．‎ 由题意，，可得，即可得出结论．‎ 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．‎ 13‎ ‎10. 随机变量X服从正态分布，且，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）C 解：，‎ ‎．‎ 故选：C．‎ 根据对称性先求出，再得出．‎ 本题考查了正态分布的特点，属于基础题．‎ ‎11. 某校高考数学成绩近似地服从正态分布，且，则的值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）D 解：近似地服从正态分布，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选D．‎ 根据正态分布曲线的对称性计算．‎ 本题考查了正态分布的特点与概率计算，属于中档题．‎ ‎12. 某地市高三理科学生有30000名，在一次调研测试中，数学成绩，已知，若按分层抽样的方式取200份试卷进行成绩分析，则应从120分以上的试卷中抽取 ‎ A. 5份 B. 10份 C. 15份 D. 20份 ‎（正确答案）B 解：，‎ 13‎ ‎，‎ ‎，‎ 应从120分以上的试卷中抽取份数为．‎ 故选：B．‎ 利用正态分布的对称性求出，再根据分层抽样原理按比例抽取即可．‎ 本题考查了正态分布的特点，分层抽样原理，属于中档题．‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13. 设随机变量，若，则实数a的值为______ ．‎ ‎（正确答案）‎ 解：由题意可知随机变量，满足正态分布，对称轴为，‎ ‎，‎ 则：，解得．‎ 故答案为．‎ 直接利用正态分布的对称性，列出方程求解即可．‎ 本题考查正态分布的基本性质的应用，考查计算能力．‎ ‎14. 已知随机变量，若，则______．‎ ‎（正确答案）‎ 解：随机变量服从正态分布，‎ 曲线关于对称，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 故答案为：‎ 13‎ 根据随机变量服从正态分布，知正态曲线的对称轴是，且，依据正态分布对称性，即可求得答案．‎ 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．‎ ‎15. 某班有50名学生，一次数学考试的成绩服从正态分布，已知，估计该班学生数学成绩在120分以上的有______ 人 ‎（正确答案）7‎ 解：考试的成绩服从正态分布 ‎ 考试的成绩关于对称，‎ ‎，‎ 所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为人．‎ 故答案为：7．‎ 根据考试的成绩服从正态分布得到考试的成绩关于对称，根据，得到，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．‎ 本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩关于对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．‎ ‎16. 若随机变量服从正态分布，且，则的值为______ ．‎ ‎（正确答案）‎ 解：，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ 根据正态分布的对称性先求出，再求出．‎ 本题考查了正态分布的性质，属于基础题．‎ 三、解答题（本大题共3小题，共40分）‎ 13‎ ‎17. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸单位：根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；‎ 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．‎ 试说明上述监控生产过程方法的合理性；‎ 下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：‎ 经计算得，，其中为抽取的第i个零件的尺寸，，2，，16．‎ 用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和精确到．‎ 附：若随机变量Z服从正态分布，则，，．‎ ‎（正确答案）解：由题可知尺寸落在之内的概率为，‎ 则落在之外的概率为，‎ 因为，‎ 所以，‎ 13‎ 又因为，‎ 所以；‎ 由知尺寸落在之外的概率为，‎ 由正态分布知尺寸落在之外为小概率事件，‎ 因此上述监控生产过程方法合理；‎ 因为用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，‎ 且，，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 因此需要对当天的生产过程进行检查，剔除之外的数据，‎ 则剩下的数据估计，‎ 将剔除掉后剩下的15个数据，利用方差的计算公式代入计算可知，‎ 所以．‎ 通过可求出，利用二项分布的期望公式计算可得结论；‎ 由及知落在之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；‎ 通过样本平均数、样本标准差s估计、可知，进而需剔除之外的数据，利用公式计算即得结论．‎ 本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ 13‎ ‎18. 在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了100名考生的成绩单位：分，并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：‎ 组别 频数 ‎5‎ ‎18‎ ‎28‎ ‎26‎ ‎17‎ ‎6‎ 求抽取的样本平均数和样本方差同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；‎ 已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩z服从正态分布其中近似为样本平均数，近似为样本方差，且规定分是复试线，那么在这2000名考生中，能进入复试的有多少人？附：，若，则，．‎ 已知样本中成绩在中的6名考生中，有4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为，求的分布列与期望．‎ ‎（正确答案）解：由所得数据列成的频数分布表，得：‎ 样本平均数，‎ 样本方差，‎ 由知，‎ ‎，‎ 在这2000名考生中，能进入复试的有：人．‎ 由已知得的可能取值为1，2，3，‎ ‎，‎ ‎，‎ 13‎ ‎，‎ 的分布列为：‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 人．‎ 由所得数据列成的频数分布表，利用平均数公式和方差公式能求出抽取的样本平均数和样本方差由知，由此能求出，从而能求出在这2000名考生中，能进入复试人数．‎ 由已知得的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列与期望．‎ 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意可能事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式的合理运用．‎ ‎19. “过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，‎ 求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；‎ 由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布，利用该正态分布，求Z落在内的概率；‎ 将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为X，求X的分布列和数学期望．‎ 附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；‎ 若，则，．‎ 13‎ ‎（正确答案）解：所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为．‎ 服从正态分布，且，，‎ ‎，‎ 落在内的概率是．‎ 根据题意得，；；；‎ ‎；．‎ 的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎．‎ 本题考查了统计的基础知识，正态分布，属于中档题．‎ 所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为．‎ ‎，‎ 根据题意得，；； ；；．‎ 即可求得X的分布列、期望值．‎ 13‎