高考数学压轴大题突破练直线与圆 4页

中档大题规范练——直线与圆 ‎1．已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a)．‎ ‎(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程．‎ ‎(2)若a＝，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求AC＋BD的最大值．‎ 解　(1)由条件知点M在圆O上，‎ 所以1＋a2＝4，则a＝±.‎ 当a＝时，点M为(1，)，kOM＝，k切＝－，‎ 此时切线方程为y－＝－(x－1)．‎ 即x＋y－4＝0，‎ 当a＝－时，点M为(1，－)，kOM＝－，k切＝.‎ 此时切线方程为y＋＝(x－1)．即x－y－4＝0.‎ 所以所求的切线方程为x＋y－4＝0或x－y－4＝0.‎ ‎(2)设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d2≥0)，‎ 则d＋d＝OM2＝3.‎ 又有AC＝2，BD＝2，‎ 所以AC＋BD＝2＋2.‎ 则(AC＋BD)2＝4×(4－d＋4－d＋2·)‎ ‎＝4×[5＋2]‎ ‎＝4×(5＋2)．‎ 因为2d1d2≤d＋d＝3，所以dd≤，‎ 当且仅当d1＝d2＝时取等号，所以≤，‎ 所以(AC＋BD)2≤4×(5＋2×)＝40.‎ 所以AC＋BD≤2，‎ 即AC＋BD的最大值为2.‎ ‎2．已知圆C：(x＋1)2＋y2＝8.‎ ‎(1)设点Q(x，y)是圆C上一点，求x＋y的取值范围；‎ ‎(2)在直线x＋y－7＝0上找一点P(m，n)，使得过该点所作圆C的切线段最短．‎ 解　(1)设x＋y＝t，因为Q(x，y)是圆上的任意一点，所以该直线与圆相交或相切，‎ 即≤2，解得－5≤t≤3，‎ 即x＋y的取值范围是[－5,3]．‎ ‎(2)因为圆心C到直线x＋y－7＝0的距离 d＝＝4>2＝r，‎ - 4 -‎ 所以直线与圆相离，因为切线、圆心与切点的连线、切线上的点与圆心的连线，组成一直角三角形且半径为定值；所以只有当过圆心向直线x＋y－7＝0作垂线，过其垂足作的切线段最短，其垂足即为所求．‎ 设过圆心作直线x＋y－7＝0的垂线为x－y＋c＝0.‎ 又因为该线过圆心(－1,0)，‎ 所以－1－0＋c＝0，即c＝1，‎ 而x＋y－7＝0与x－y＋1＝0的交点为(3,4)，‎ 即点P坐标为(3,4)．‎ ‎3．已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.‎ ‎(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；‎ ‎(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．‎ 解　(1)如图所示，AB＝4，将圆C方程化为标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，‎ ‎∴圆C的圆心坐标为(－2,6)，半径r＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，‎ 又AD＝2，AC＝4.‎ 在Rt△ACD中，可得CD＝2.‎ 设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.‎ 由点C到直线l的距离公式：＝2，‎ 得k＝.‎ 故直线l的方程为3x－4y＋20＝0.‎ 又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.‎ ‎∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.‎ ‎(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，‎ 则CD⊥PD，即·＝0，‎ ‎∴(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，‎ 化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.‎ ‎4．a为何值时，(1)直线l1：x＋2ay－1＝0与直线l2：(‎3a－1)x－ay－1＝0平行？‎ ‎(2)直线l3：2x＋ay＝2与直线l4：ax＋2y＝1垂直？‎ 解　(1)①当a＝0时，两直线的斜率不存在，‎ 直线l1：x－1＝0，直线l2：x＋1＝0，此时，l1∥l2.‎ ‎②当a≠0时，l1：y＝－x＋，‎ l2：y＝x－，‎ 直线l1的斜率为k1＝－，‎ 直线l2的斜率为k2＝，‎ - 4 -‎ 要使两直线平行，必须 解得a＝.‎ 综合①②可得当a＝0或a＝时，两直线平行．‎ ‎(2)方法一　①当a＝0时，直线l3的斜率不存在，‎ 直线l3：x－1＝0，直线l4：y－＝0，此时，l3⊥l4.‎ ‎②当a≠0时，直线l3：y＝－x＋与直线l4：y＝－x＋，直线l3的斜率为k3＝－，直线l4的斜率为k4＝－，要使两直线垂直，必须k3·k4＝－1，‎ 即－·＝－1，不存在实数a使得方程成立．‎ 综合①②可得当a＝0时，两直线垂直．‎ 方法二　要使直线l3：2x＋ay＝2和直线l4：ax＋2y＝1垂直，根据两直线垂直的充要条件，必须A‎1A2＋B1B2＝0，即‎2a＋‎2a＝0，解得a＝0，所以，当a＝0时，两直线垂直．‎ ‎5．已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点为A(1,2)，且过定点A(1,2)作圆的切线有两条，求a的取值范围．‎ 解　将圆C的方程配方有(x＋)2＋(y＋1)2＝，‎ ‎∴>0，①‎ ‎∴圆心C的坐标为(－，－1)，半径r＝.‎ 当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，‎ ‎∴AC>r，‎ 即 >，‎ 化简得a2＋a＋9>0.②‎ 由①②得－r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，‎ ‎∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.‎ ‎(3)解　点B(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点B′(－4，－2)，‎ 则PB＋PQ＝PB′＋PQ≥B′Q，‎ 又B′到圆上点Q的最短距离为 B′C－r＝－ ‎＝3－＝2.‎ 所以PB＋PQ的最小值为2，直线B′C的方程为y＝x，则直线B′C与直线x＋y＋2＝0的交点P的坐标为(－，－)．‎ - 4 -‎