2020年全国Ⅲ卷高考理数真题试卷（含答案） 9页

2020 年全国Ⅲ卷高考理数真题试卷（含答案） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合 {(,) |,,}Axyxyyx *N ， {(,)|8}Bxyxy ，则 AB中元素的个数为 A．2 B．3 C．4 D．6 2．复数 1 1 3i 的虚部是 A． 3 10 B． 1 10 C． 1 10 D． 3 10 3．在一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为 1234, , ,p p p p ，且 4 1 1i i p   ，则下面四种情形中，对应 样本的标准差最大的一组是 A． 1423 0.1,0.4pppp B． 1423 0.4,0.1pppp C． 1423 0.2,0.3pppp D． 1423 0.3,0.2pppp 4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺 炎累计确诊病例数 ()It（t 的单位：天）的 Logistic 模型： 0.23(53)()= 1e t KIt  ，其中 K 为最大确诊病例数．当 *( ) 0.95I t K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t*约为 (ln193) A．60 B．63 C．66 D．69 5．设 O 为坐标原点，直线 x=2 与抛物线 C： 2 2(0)ypxp交于 D，E 两点，若ODOE⊥ ，则 C 的焦点坐 标为 A． 1( ,0)4 B． 1( ,0)2 C． ( 1 ,0) D． (2,0) 6．已知向量 a，b 满足||5 a ，||6 b ， 6  ab ，则cos,= a ab A． 31 35 B． 19 35 C． 17 35 D． 19 35 7．在△ABC 中，cosC= 2 3 ，AC=4，BC=3，则 cosB= A． 1 9 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 8．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A． 6 + 4 2 B． 4 + 4 2 C． 6+2 3 D． 4+2 3 9．已知 2tanθ–tan(θ+ π 4 )=7，则 tanθ= A．–2 B．–1 C．1 D．2 10．若直线 l 与曲线 y= x 和 x2+y2= 1 5 都相切，则 l 的方程为 A．y=2x+1 B．y=2x+ 1 2 C．y= 1 2 x+1 D．y= 1 2 x+ 1 2 11．设双曲线 C： 22 221xy ab（a>0，b>0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 5 ．P 是 C 上一点，且 F1P⊥F2P．若△PF1F2 的面积为 4，则 a= A．1 B．2 C．4 D．8 12．已知 55<84，134<85．设 a=log53，b=log85，c=log138，则 A．a400 空气质量好 空气质量不好 附：K2=        2 ) n ad bc a b c d a c b d      ， P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 ． 19．（12 分） 如图，在长方体 1111ABCDABCD 中，点 ,EF分别在棱 11,D D B B 上，且 12 D E E D ， 12B F F B ． （1）证明：点 1C 在平面 AEF 内； （2）若 2AB  ， 1AD  ， 1 3AA  ，求二面角 1A E F A的正弦值． 20．（12 分） 已知椭圆 22 2:1(05)25 xyCmm 的离心率为 15 4 ， A ， B 分别为 C 的左、右顶点． （1）求 C 的方程； （2）若点 P 在 C 上，点 Q 在直线 6x  上，且||||BPBQ ， BPBQ ，求 APQ△ 的面积． 21．（12 分） 设函数 3()fxxbxc ，曲线 ()yfx 在点( 1 2 ，f( 1 2 ))处的切线与 y 轴垂直． （1）求 b． （2）若 ()fx有一个绝对值不大于 1 的零点，证明： 所有零点的绝对值都不大于 1． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 2 2 23 xtt ytt    （t 为参数且 t≠1）， C 与坐标轴交于 A、B 两点． （1）求||AB ； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程． 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 设 a，b，c∈R， 0abc   ， 1abc  ． （1）证明： 0ab bc ca   ； （2）用 m a x { , , }abc 表示 a，b，c 的最大值，证明： ≥ 3 4 ． 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 选择题答案 一、选择题 1．C 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．A 8．C 9．D 10．D 11．A 12．A 非选择题答案 二、填空题 13．7 14．240 15． 2 3  16．②③ 三、解答题 17．解：（1） 235,7,aa 猜想 21,nan 由已知可得 1 (23)3[(21)]nnanan  ， 1(21)3[(21)]nnanan  ， …… 215 3( 3)aa   . 因为 1 3a  ，所以 21.nan （2）由（1）得 2 (2 1)2nn nan，所以 233 2 5 2 7 2 (2 1) 2n nSn          . ① 从而 2 3 4 12 3 2 5 2 7 2 (2 1) 2n nSn          .② ① ② 得 23132222222(21)2 nn nSn ， 所以 1(21)22. n nSn  18．解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率的估计值如下表： 空气质量等级 1 2 3 4 概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09 （2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为 1 (100203003550045)350100  ． （3）根据所给数据，可得 22 列联表： 人次≤400 人次>400 空气质量好 33 37 空气质量不好 22 8 根据列联表得 2 2 100(3382237) 5.82055457030K  ． 由于5.8203.841 ，故有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关． 19．解：设 AB a ， AD b ， 1A A c ，如图，以 1C 为坐标原点， 11CD 的方向为 x 轴正方向，建立空间直 角坐标系 1C x y z ． （1）连结 1CF，则 1(0,0,0)C ， ( , , )A a b c ， 2( ,0, )3E a c ， 1(0, , )3F b c ， 1(0, , )3EA b c ， 1 1(0,,) 3C Fbc ， 得 1EA C F ． 因此 1EA C F∥ ，即 1, , ,A E F C 四点共面，所以点 1C 在平面 AEF 内． （2）由已知得 (2 ,1,3 )A ， (2 ,0 ,2)E ， (0 ,1,1)F ， 1 (2 , 1,0 )A ， ( 0 , 1, 1 )AE    ， ( 2 ,0 , 2 )AF    ， 1 ( 0 , 1,2 )AE  ， 1 ( 2 ,0 , 1 )AF  ． 设 1 ( , , )x y zn 为平面 AEF 的法向量，则 1 1 0, 0, AE AF    n n 即 0, 2 2 0 , yz xz        可取 1 ( 1, 1, 1 )  n ． 设 2n 为平面 1A E F 的法向量，则 2 2 1 1 0, 0, AE AF    n n 同理可取 2 1( ,2 ,1 )2n ． 因为 12 12 12 7cos, ||||7   nnnn nn ，所以二面角 1A E F A的正弦值为 42 7 ． 20．解：（1）由题设可得 22 5 1 5 54 m  ，得 2 25 16m  ， 所以C 的方程为 22 12525 16 xy. （2）设 (,),(6,)PPQPxyQy ，根据对称性可设 0Qy  ，由题意知 0Py  ， 由已知可得 (5,0)B ，直线 BP 的方程为 1 (5) Q yxy  ，所以 2||1 PQBPyy， 2||1 QBQy， 因为| | | |BP BQ ，所以 1Py  ，将 代入 的方程，解得 3Px  或 3 . 由直线 BP 的方程得 2Qy  或 8. 所以点 ,PQ的坐标分别为 1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)PQPQ  . 11| | 10PQ  ，直线 11PQ 的方程为 1 3yx ，点 (5,0)A  到直线 的距离为 10 2 ，故 11APQ△ 的面 积为 1105 10222 . 22| | 130PQ  ，直线 22PQ 的方程为 7 10 93yx，点 A 到直线 22PQ 的距离为 130 26 ，故 22APQ△ 的 面积为 11305 1302262 . 综上， APQ△ 的面积为 5 2 . 21．解：（1） 2( ) 3f x x b   ． 依题意得 1( ) 02f ，即 3 04 b. 故 3 4b  ． （2）由（1）知 3( 3) 4f x x x c， 2( ) 3 3 4f x x  . 令 ) 0(fx，解得 1 2x  或 1 2x  . ()fx 与 ()fx的情况为： x 1()2  ， 1 2 11()22 ， 1 2 1()2 ，+ + 0 – 0 + 1 4c  1 4c  因为 11(1)() 24ffc  ，所以当 1 4c  时， 只有大于1的零点. 因为 11(1)() 24ffc ，所以当 1 4c  时，f（x）只有小于–1的零点． 由题设可知 11 44c   ， 当 1= 4c  时， 只有两个零点 1 2 和1. 当 1= 4c 时， 只有两个零点–1和 1 2 . 当 11 44c 时， 有三个等点x1，x2，x3，且 1 1(1,) 2x  ， 2 11(,) 22x  ， 3 1(,1)2x  ． 综上，若 有一个绝对值不大于1的零点，则 所有零点的绝对值都不大于1. 22．解： （1）因为 t≠1，由 220tt 得 2t  ，所以 C 与 y 轴的交点为（0，12）； 由 2230 tt 得 t=2，所以 C 与 x 轴的交点为(4,0) ． 故||410AB  ． （2）由（1）可知，直线 AB 的直角坐标方程为 14 12 xy ，将 cos sinxy   ， 代入， 得直线 AB 的极坐标方程 3cossin120  ． 23．解： （1）由题设可知，a，b 均不为零，所以 2 2 2 21[( ) ( )]2ab bc ca a b c a b c        2221 ()2 abc 0 . （2）不妨设 max{a，b，c}=a，因为 1,()abcabc ，所以 a>0，b<0，c<0.由 2() 4 bcbc  ，可得 3 4 aabc  ， 故 3 4a  ，所以 3m a x { , , } 4abc  .