2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章4-7解三角形应用举例 18页

第7讲　解三角形应用举例 最新考纲　能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题．‎ 知 识 梳 理 ‎1．仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1)．‎ ‎2．方位角 从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫作方位角．如B点的方位角为α(如图2)．‎ ‎3．方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．‎ ‎4．坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．‎ 诊 断 自 测 ‎1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)　精彩PPT展示 ‎(1)东北方向就是北偏东45°的方向．(　　)‎ ‎　(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)‎ ‎(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　)‎ ‎(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　　)‎ 解析　(2)α＝β.(3)俯角是视线与水平线所构成的角．‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)‎ A．北偏东15° B．北偏西15°‎ C．北偏东10° D．北偏西10°‎ 解析　‎ 如图所示，∠ACB＝90°，‎ 又AC＝BC，‎ ‎∴∠CBA＝45°，而β＝30°，‎ ‎∴α＝90°－45°－30°＝15°.‎ ‎∴点A在点B的北偏西15°.‎ 答案　B ‎3.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km，参考数据：≈1.732)(　　)‎ A．11.4 km B．6.6 km C．6.5 km D．5.6 km 解析　∵AB＝1 000×＝(km)，‎ ‎∴BC＝·sin 30°＝(km)．‎ ‎∴航线离山顶h＝×sin 75°＝×sin(45°＋30°)≈11.4(km)．∴山高为18－11.4＝6.6(km)．‎ 答案　B ‎4．(教材改编)如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是m米，∠BAC＝α，∠ACB＝β，则A，B两点间的距离为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　在△ABC中，∠ABC＝π－(α＋β)，AC＝m，‎ 由正弦定理，得＝，‎ 所以AB＝＝.‎ 答案　C ‎5．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是______n mile.‎ 解析　设两船之间的距离为d，‎ 则d2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900，‎ ‎∴d＝70，即两船相距70 n mile.‎ 答案　70‎ 考点一　测量高度问题 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【例1】 (2015·湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.‎ 解析　‎ 在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得＝，即＝，所以BC＝300(m)．在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，‎ CD＝BCtan∠CBD＝300·tan 30°＝100(m)．‎ 答案　100 规律方法　(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．‎ ‎(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．‎ ‎(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．‎ ‎【训练1】 (2017·郑州一中月考)如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.‎ 解　由已知得，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.‎ 在△ABC中，由正弦定理得＝，‎ 即＝，‎ ‎∴AC＝＝.‎ 在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝.‎ 故山高CD为.‎ 考点二　测量距离问题 ‎【例2】 如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.‎ 若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．‎ 解　∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，‎ ‎∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝(km)．‎ 在△BCD中，∠DBC＝45°，‎ 由正弦定理，得BC＝·sin∠BDC＝·sin 30°＝(km)．‎ 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°‎ ‎＝＋－2×××＝.‎ ‎∴AB＝(km)．∴A，B两点间的距离为 km.‎ 规律方法 ‎　(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．‎ ‎(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.‎ ‎【训练2】 如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，即AB＝.‎ 若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．‎ 解　在△ABC中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，‎ ‎∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000，‎ ‎∴AB＝200(m)，即A，B两点间的距离为200 m.‎ 考点三　测量角度问题 ‎【例3】 如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的________方向．‎ 解析　由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，‎ 又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°，‎ ‎∴灯塔A处于灯塔B的北偏西10°.‎ 答案　北偏西10°‎ 规律方法　解决测量角度问题的注意事项 ‎(1)首先应明确方位角或方向角的含义．‎ ‎(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．‎ ‎(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的结合使用．‎ ‎【训练3】 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于(　　)‎ A．30° B．45° C．60° D．75°‎ 解析　依题意可得AD＝20m，AC＝30m，‎ 又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝ ‎＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，‎ 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.‎ 答案　B ‎[思想方法]‎ ‎1．利用解三角形解决实际问题时：(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义．‎ ‎2．在三角形和三角函数的综合问题中，要注意边角关系相互制约，推理题中的隐含条件．‎ ‎[易错防范]‎ ‎1．不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混．‎ ‎2．在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题 ‎1．在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为(　　)‎ A. km B. km C. km D．2 km 解析　如图，‎ 在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，∴＝，‎ ‎∴AC＝2×＝(km)．‎ 答案　A ‎2．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)‎ A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 解析　‎ 如图所示，易知，‎ 在 △ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，‎ 根据正弦定理得＝，‎ 解得BC＝10(海里)．‎ 答案　A ‎3．(2017·合肥调研)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为(　　)‎ A．a km B. a km C.a km D．2a km 解析　由题图可知，∠ACB＝120°，由余弦定理，‎ 得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2·a·a·＝3a2，解得AB＝a(km)．‎ 答案　B ‎4．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为(　　)‎ A．8 km/h B．6 km/h C．2 km/h D．10 km/h 解析　设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得2＝2＋12－2××2×1×，解得v＝6.选B.‎ 答案　B ‎5．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)‎ A．5 B．15 C．5 D．15 解析　在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.‎ 由正弦定理得＝，‎ 所以BC＝15.‎ 在Rt△ABC中，‎ AB＝BCtan ∠ACB＝15×＝15.‎ 答案　D 二、填空题 ‎6．如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．‎ 解析　由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，‎ 由正弦定理得＝，‎ 所以AC＝＝＝10，‎ 所以海轮航行的速度为＝(海里/分)．‎ 答案　 ‎7．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.‎ 解析　如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，‎ ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，‎ 在△MON中，由余弦定理得，‎ MN＝ ‎＝＝10(m)．‎ 答案　10 ‎8．在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.‎ 解析　如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°.又AB＝200 m，∴AC＝(m)．‎ 在△ACD中，由余弦定理得，‎ AC2＝2CD2－2CD2·cos 120°＝3CD2，‎ ‎∴CD＝AC＝(m)．‎ 答案　 三、解答题 ‎9．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．‎ ‎(1)求渔船甲的速度；‎ ‎(2)求sin α的值．‎ 解　(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ‎＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.‎ 解得BC＝28.‎ 所以渔船甲的速度为＝14海里/时．‎ ‎(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝，‎ 即sin α＝＝＝.‎ ‎10．(2015·安徽卷)在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．‎ 解　设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，‎ 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3)2＋62－2×3×6×cos＝18＋36－(－36)＝90，‎ 所以a＝3.‎ 又由正弦定理，得sin B＝＝＝，‎ 由题设知0