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  • 2021-05-13 发布

浙江省高考数学试卷文科解析

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‎2015年浙江省高考数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.(5分)(2015•浙江)已知集合P={x|x2﹣2x≥3},Q={x|2<x<4},则P∩Q=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎[3,4)‎ B.‎ ‎(2,3]‎ C.‎ ‎(﹣1,2)‎ D.‎ ‎(﹣1,3]‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2015•浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎8cm3‎ B.‎ ‎12cm3‎ C.‎ D.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2015•浙江)设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 充分不必要条件 B.‎ 必要不充分条件 ‎ ‎ C.‎ 充分必要条件 D.‎ 既不充分也不必要条件 ‎ ‎ ‎4.(5分)(2015•浙江)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β,(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 若l⊥β,则α⊥β B.‎ 若α⊥β,则l⊥m C.‎ 若l∥β,则α∥β D.‎ 若α∥β,则l∥m ‎ ‎ ‎5.(5分)(2015•浙江)函数f(x)=(x﹣)cosx(﹣π≤x≤π且x≠0)的图象可能为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2015•浙江)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ax+by+cz B.‎ az+by+cx C.‎ ay+bz+cx D.‎ ay+bx+cz ‎ ‎ ‎7.(5分)(2015•浙江)如图,斜线段AB与平面α所成的角为60°,B为斜足,平面α上的动点P满足∠PAB=30°,则点P的轨迹是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 直线 B.‎ 抛物线 C.‎ 椭圆 D.‎ 双曲线的一支 ‎ ‎ ‎8.(5分)(2015•浙江)设实数a,b,t满足|a+1|=|sinb|=t.(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 若t确定,则b2唯一确定 B.‎ 若t确定,则a2+2a唯一确定 ‎ ‎ C.‎ 若t确定,则sin唯一确定 D.‎ 若t确定,则a2+a唯一确定 ‎ ‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)‎ ‎9.(6分)(2015•浙江)计算:log2=      ,2=      .‎ ‎ ‎ ‎10.(6分)(2015•浙江)已知{an}是等差数列,公差d不为零,若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1=      ,d=      .‎ ‎ ‎ ‎11.(6分)(2015•浙江)函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是      ,最小值是      .‎ ‎ ‎ ‎12.(6分)(2015•浙江)已知函数f(x)=,则f(f(﹣2))=      ,f(x)的最小值是      .‎ ‎ ‎ ‎13.(4分)(2015•浙江)已知1,2是平面向量,且1•2=,若平衡向量满足•1=•=1,则||=      .‎ ‎ ‎ ‎14.(4分)(2015•浙江)已知实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是      .‎ ‎ ‎ ‎15.(4分)(2015•浙江)椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是      .‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共5小题,共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16.(14分)(2015•浙江)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知tan(+A)=2.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)若B=,a=3,求△ABC的面积.‎ ‎ ‎ ‎17.(15分)(2015•浙江)已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*),b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1(n∈N*)‎ ‎(Ⅰ)求an与bn;‎ ‎(Ⅱ)记数列{anbn}的前n项和为Tn,求Tn.‎ ‎ ‎ ‎18.(15分)(2015•浙江)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:A1D⊥平面A1BC;‎ ‎(Ⅱ)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.‎ ‎ ‎ ‎19.(15分)(2015•浙江)如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y﹣1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.‎ ‎(Ⅰ)求点A,B的坐标;‎ ‎(Ⅱ)求△PAB的面积.‎ 注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.‎ ‎ ‎ ‎20.(15分)(2015•浙江)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).‎ ‎(Ⅰ)当b=+1时,求函数f(x)在[﹣1,1]上的最小值g(a)的表达式.‎ ‎(Ⅱ)已知函数f(x)在[﹣1,1]上存在零点,0≤b﹣2a≤1,求b的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2015年浙江省高考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.(5分)(2015•浙江)已知集合P={x|x2﹣2x≥3},Q={x|2<x<4},则P∩Q=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎[3,4)‎ B.‎ ‎(2,3]‎ C.‎ ‎(﹣1,2)‎ D.‎ ‎(﹣1,3]‎ 考点:‎ 交集及其运算.菁优网版权所有 专题:‎ 集合.‎ 分析:‎ 求出集合P,然后求解交集即可.‎ 解答:‎ 解:集合P={x|x2﹣2x≥3}={x|x≤﹣1或x≥3},‎ Q={x|2<x<4},‎ 则P∩Q={x|3≤x<4}=[3,4).‎ 故选:A.‎ 点评:‎ 本题考查二次不等式的解法,集合的交集的求法,考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2015•浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎8cm3‎ B.‎ ‎12cm3‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 由三视图求面积、体积.菁优网版权所有 专题:‎ 空间位置关系与距离.‎ 分析:‎ 判断几何体的形状,利用三视图的数据,求几何体的体积即可.‎ 解答:‎ 解:由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体,上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥,‎ 所求几何体的体积为:23+×2×2×2=.‎ 故选:C.‎ 点评:‎ 本题考查三视图与直观图的关系的判断,几何体的体积的求法,考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2015•浙江)设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 充分不必要条件 B.‎ 必要不充分条件 ‎ ‎ C.‎ 充分必要条件 D.‎ 既不充分也不必要条件 考点:‎ 必要条件、充分条件与充要条件的判断.菁优网版权所有 专题:‎ 简易逻辑.‎ 分析:‎ 利用特例集合充要条件的判断方法,判断正确选项即可.‎ 解答:‎ 解:a,b是实数,如果a=﹣1,b=2则“a+b>0”,则“ab>0”不成立.‎ 如果a=﹣1,b=﹣2,ab>0,但是a+b>0不成立,‎ 所以设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件.‎ 故选:D.‎ 点评:‎ 本题考查充要条件的判断与应用,基本知识的考查.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2015•浙江)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β,(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 若l⊥β,则α⊥β B.‎ 若α⊥β,则l⊥m C.‎ 若l∥β,则α∥β D.‎ 若α∥β,则l∥m 考点:‎ 空间中直线与平面之间的位置关系.菁优网版权所有 专题:‎ 综合题;空间位置关系与距离.‎ 分析:‎ A根据线面垂直的判定定理得出A正确;‎ B根据面面垂直的性质判断B错误;‎ C根据面面平行的判断定理得出C错误;‎ D根据面面平行的性质判断D错误.‎ 解答:‎ 解:对于A,∵l⊥β,且l⊂α,根据线面垂直的判定定理,得α⊥β,∴A正确;‎ 对于B,当α⊥β,l⊂α,m⊂β时,l与m可能平行,也可能垂直,∴B错误;‎ 对于C,当l∥β,且l⊂‎ α时,α与β可能平行,也可能相交,∴C错误;‎ 对于D,当α∥β,且l⊂α,m⊂β时,l与m可能平行,也可能异面,∴D错误.‎ 故选:A.‎ 点评:‎ 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题,也考查了数学符号语言的应用问题,是基础题目.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2015•浙江)函数f(x)=(x﹣)cosx(﹣π≤x≤π且x≠0)的图象可能为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 函数的图象.菁优网版权所有 专题:‎ 函数的性质及应用.‎ 分析:‎ 由条件可得函数f(x)为奇函数,故它的图象关于原点对称;再根据在(0,1)上,f(x)<0,结合所给的选项,得出结论.‎ 解答:‎ 解:对于函数f(x)=(x﹣‎ ‎)cosx(﹣π≤x≤π且x≠0),由于它的定义域关于原点对称,‎ 且满足f(﹣x)=(﹣x)cosx=﹣f(x),故函数f(x)为奇函数,故它的图象关于原点对称.‎ 故排除A、B.‎ 再根据在(0,1)上,>x,cosx>0,f(x)=(x﹣)cosx<0,故排除C,‎ 故选:D.‎ 点评:‎ 本题主要考查函数的奇偶性的判断,奇函数的图象特征,函数的定义域和值域,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2015•浙江)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ax+by+cz B.‎ az+by+cx C.‎ ay+bz+cx D.‎ ay+bx+cz 考点:‎ 函数的最值及其几何意义.菁优网版权所有 专题:‎ 函数的性质及应用.‎ 分析:‎ 作差法逐个选项比较大小可得.‎ 解答:‎ 解:∵x<y<z且a<b<c,‎ ‎∴ax+by+cz﹣(az+by+cx)‎ ‎=a(x﹣z)+c(z﹣x)‎ ‎=(x﹣z)(a﹣c)>0,‎ ‎∴ax+by+cz>az+by+cx;‎ 同理ay+bz+cx﹣(ay+bx+cz)‎ ‎=b(z﹣x)+c(x﹣z)‎ ‎=(z﹣x)(b﹣c)>0,‎ ‎∴ay+bz+cx>ay+bx+cz;‎ 同理az+by+cx﹣(ay+bz+cx)‎ ‎=a(z﹣y)+b(y﹣z)‎ ‎=(z﹣y)(a﹣b)<0,‎ ‎∴az+by+cx<ay+bz+cx,‎ ‎∴最低费用为az+by+cx 故选:B 点评:‎ 本题考查函数的最值,涉及作差法比较不等式的大小,属中档题.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2015•浙江)如图,斜线段AB与平面α所成的角为60°,B为斜足,平面α上的动点P满足∠PAB=30°,则点P的轨迹是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 直线 B.‎ 抛物线 C.‎ 椭圆 D.‎ 双曲线的一支 考点:‎ 圆锥曲线的轨迹问题.菁优网版权所有 专题:‎ 圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ 分析:‎ 根据题意,∠PAB=30°为定值,可得点P的轨迹为一以AB为轴线的圆锥侧面与平面α的交线,则答案可求.‎ 解答:‎ 解:用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥,得到的是圆;把平面渐渐倾斜,得到椭圆;当平面和圆锥的一条母线平行时,得到抛物线.‎ 此题中平面α上的动点P满足∠PAB=30°,可理解为P在以AB为轴的圆锥的侧面上,‎ 再由斜线段AB与平面α所成的角为60°,可知P的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义.‎ 故可知动点P的轨迹是椭圆.‎ 故选:C.‎ 点评:‎ 本题考查椭圆的定义,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2015•浙江)设实数a,b,t满足|a+1|=|sinb|=t.(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 若t确定,则b2唯一确定 B.‎ 若t确定,则a2+2a唯一确定 ‎ ‎ C.‎ 若t确定,则sin唯一确定 D.‎ 若t确定,则a2+a唯一确定 考点:‎ 四种命题.菁优网版权所有 专题:‎ 简易逻辑.‎ 分析:‎ 根据代数式得出a2+2a=t2﹣1,sin2b=t2,运用条件,结合三角函数可判断答案.‎ 解答:‎ 解:∵实数a,b,t满足|a+1|=t,‎ ‎∴(a+1)2=t2,‎ a2+2a=t2﹣1,‎ t确定,则t2﹣1为定值.‎ sin2b=t2,‎ A,C不正确,‎ ‎∴若t确定,则a2+2a唯一确定,‎ 故选:B 点评:‎ 本题考查了命题的判断真假,属于容易题,关键是得出a2+2a=t2﹣1,即可判断.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)‎ ‎9.(6分)(2015•浙江)计算:log2=  ,2=  .‎ 考点:‎ 对数的运算性质.菁优网版权所有 专题:‎ 函数的性质及应用.‎ 分析:‎ 直接利用对数运算法则化简求值即可.‎ 解答:‎ 解:log2=log2=﹣;‎ ‎2===3.‎ 故答案为:‎ ‎;.‎ 点评:‎ 本题考查导数的运算法则的应用,基本知识的考查.‎ ‎ ‎ ‎10.(6分)(2015•浙江)已知{an}是等差数列,公差d不为零,若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1=  ,d= ﹣1 .‎ 考点:‎ 等比数列的性质.菁优网版权所有 专题:‎ 等差数列与等比数列.‎ 分析:‎ 运用等比数列的性质,结合等差数列的通项公式,计算可得d=﹣a1,再由条件2a1+a2=1,运用等差数列的通项公式计算即可得到首项和公差.‎ 解答:‎ 解:由a2,a3,a7成等比数列,‎ 则a32=a2a7,‎ 即有(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),‎ 即2d2+3a1d=0,‎ 由公差d不为零,‎ 则d=﹣a1,‎ 又2a1+a2=1,‎ 即有2a1+a1+d=1,‎ 即3a1﹣a1=1,‎ 解得a1=,d=﹣1.‎ 故答案为:,﹣1.‎ 点评:‎ 本题考查等差数列首项和公差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列和等比数列的性质的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎11.(6分)(2015•浙江)函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 π ,最小值是  .‎ 考点:‎ 二倍角的余弦;三角函数的最值.菁优网版权所有 专题:‎ 三角函数的图像与性质.‎ 分析:‎ 由三角函数恒等变换化简解析式可得f(x)=sin(2x﹣)+‎ ‎,由正弦函数的图象和性质即可求得最小正周期,最小值.‎ 解答:‎ 解:∵f(x)=sin2x+sinxcosx+1‎ ‎=+sin2x+1‎ ‎=sin(2x﹣)+.‎ ‎∴最小正周期T=,最小值为:.‎ 故答案为:π,.‎ 点评:‎ 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,考查了正弦函数的图象和性质,属于基本知识的考查.‎ ‎ ‎ ‎12.(6分)(2015•浙江)已知函数f(x)=,则f(f(﹣2))=  ,f(x)的最小值是 2﹣6 .‎ 考点:‎ 函数的最值及其几何意义.菁优网版权所有 专题:‎ 函数的性质及应用.‎ 分析:‎ 由分段函数的特点易得f(f(﹣2))=的值;分别由二次函数和基本不等式可得各段的最小值,比较可得.‎ 解答:‎ 解:由题意可得f(﹣2)=(﹣2)2=4,‎ ‎∴f(f(﹣2))=f(4)=4+﹣6=﹣;‎ ‎∵当x≤1时,f(x)=x2,‎ 由二次函数可知当x=0时,函数取最小值0;‎ 当x>1时,f(x)=x+﹣6,‎ 由基本不等式可得f(x)=x+﹣6≥2﹣6=2﹣6,‎ 当且仅当x=即x=时取到等号,即此时函数取最小值2﹣6;‎ ‎∵2‎ ‎﹣6<0,∴f(x)的最小值为2﹣6‎ 故答案为:﹣;2﹣6‎ 点评:‎ 本题考查函数的最值,涉及二次函数的性质和基本不等式,属中档题.‎ ‎ ‎ ‎13.(4分)(2015•浙江)已知1,2是平面向量,且1•2=,若平衡向量满足•1=•=1,则||=  .‎ 考点:‎ 平面向量数量积的性质及其运算律.菁优网版权所有 专题:‎ 平面向量及应用.‎ 分析:‎ 根据数量积得出1,2夹角为60°,<,1>=<,2>=30°,运用数量积的定义判断求解即可.‎ 解答:‎ 解:∵1,2是平面单位向量,且1•2=,‎ ‎∴1,2夹角为60°,‎ ‎∵平衡向量满足•1=•=1‎ ‎∴与1,2夹角相等,且为锐角,‎ ‎∴应该在1,2夹角的平分线上,‎ 即<,1>=<,2>=30°,‎ ‎||×1×cos30°=1,‎ ‎∴||=‎ 故答案为:‎ 点评:‎ 本题简单的考查了平面向量的运算,数量积的定义,几何图形的运用,属于容易题,关键是判断夹角即可.‎ ‎ ‎ ‎14.(4分)(2015•浙江)已知实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是 15 .‎ 考点:‎ 简单线性规划.菁优网版权所有 专题:‎ 不等式的解法及应用.‎ 分析:‎ 由题意可得2x+y﹣4<0,6﹣x﹣3y>0,去绝对值后得到目标函数z=﹣3x﹣4y+10,然后结合圆心到直线的距离求得|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值.‎ 解答:‎ 解:如图,‎ 由x2+y2≤1,‎ 可得2x+y﹣4<0,6﹣x﹣3y>0,‎ 则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|=﹣2x﹣y+4+6﹣x﹣3y=﹣3x﹣4y+10,‎ 令z=﹣3x﹣4y+10,得 ‎,‎ 如图,‎ 要使z=﹣3x﹣4y+10最大,则直线在y轴上的截距最小,‎ 由z=﹣3x﹣4y+10,得3x+4y+z﹣10=0.‎ 则,即z=15或z=5.‎ 由题意可得z的最大值为15.‎ 故答案为:15.‎ 点评:‎ 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,考查了数学转化思想方法,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎15.(4分)(2015•浙江)椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是  .‎ 考点:‎ 椭圆的简单性质.菁优网版权所有 专题:‎ 圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ 分析:‎ 设出Q的坐标,利用对称知识,集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系,然后求解离心率即可.‎ 解答:‎ 解:不妨令c=1,设Q(m,n),由题意可得,即:,‎ 由①②可得:m=‎ ‎,n=,代入③可得:,‎ 解得e2(4e4﹣4e2+1)+4e2=1,‎ 可得,4e6+e2﹣1=0.‎ 即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0,‎ 可得(2e2﹣1)(2e4+e2+1)=0‎ 解得e=.‎ 故答案为:.‎ 点评:‎ 本题考查椭圆的方程简单性质的应用,考查对称知识以及计算能力.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共5小题,共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16.(14分)(2015•浙江)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知tan(+A)=2.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)若B=,a=3,求△ABC的面积.‎ 考点:‎ 二倍角的余弦;两角和与差的正切函数.菁优网版权所有 专题:‎ 解三角形.‎ 分析:‎ ‎(Ⅰ)由两角和与差的正切函数公式及已知可得tanA,由倍角公式及同角三角函数关系式即可得解.‎ ‎(Ⅱ)由tanA=,A∈(0,π),可得sinA,cosA.又由正弦定理可得b,由sinC=sin(A+B)=sin(A+),可得sinC,利用三角形面积公式即可得解.‎ 解答:‎ 解:(Ⅰ)由tan(+A)=2.可得tanA=,‎ 所以==.‎ ‎(Ⅱ)由tanA=,A∈‎ ‎(0,π),可得sinA=,cosA=.‎ 又由a=3,B=及正弦定理,可得b=3,‎ 由sinC=sin(A+B)=sin(A+),可得sinC=.‎ 设△ABC的面积为S,则S=absinC=9.‎ 点评:‎ 本题主要考查了三角函数及其变换、正弦定理和余弦定理等基本知识的应用,同时考查了运算求解能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎17.(15分)(2015•浙江)已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*),b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1(n∈N*)‎ ‎(Ⅰ)求an与bn;‎ ‎(Ⅱ)记数列{anbn}的前n项和为Tn,求Tn.‎ 考点:‎ 数列的求和.菁优网版权所有 专题:‎ 等差数列与等比数列.‎ 分析:‎ ‎(Ⅰ)直接由a1=2,an+1=2an,可得数列{an}为等比数列,由等比数列的通项公式求得数列{an}的通项公式;‎ 再由b1=1,b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1,取n=1求得b2=2,当n≥2时,得另一递推式,作差得到,整理得数列{}为常数列,由此可得{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求出,然后利用错位相减法求数列{anbn}的前n项和为Tn.‎ 解答:‎ 解:(Ⅰ)由a1=2,an+1=2an,得 ‎.‎ 由题意知,当n=1时,b1=b2﹣1,故b2=2,‎ 当n≥2时,b1+b2+b3+…+=bn﹣1,和原递推式作差得,‎ ‎,整理得:,‎ ‎∴;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,‎ 因此 ‎,‎ 两式作差得:,‎ ‎(n∈N*).‎ 点评:‎ 本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识,同时考查数列求和等基本思想方法,以及推理论证能力,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎18.(15分)(2015•浙江)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:A1D⊥平面A1BC;‎ ‎(Ⅱ)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.‎ 考点:‎ 直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定.菁优网版权所有 专题:‎ 空间位置关系与距离;空间角.‎ 分析:‎ ‎(I)连接AO,A1D,根据几何体的性质得出A1O⊥A1D,A1D⊥BC,利用直线平面的垂直定理判断.‎ ‎(II)利用空间向量的垂直得出平面BB1C1‎ C的法向量=(,0,1),|根据与数量积求解余弦值,即可得出直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.‎ 解答:‎ 证明:(I)∵AB=AC=2,D是B1C1的中点.‎ ‎∴A1D⊥B1C1,‎ ‎∵BC∥B1C1,‎ ‎∴A1D⊥BC,‎ ‎∵A1O⊥面ABC,A1D∥AO,‎ ‎∴A1O⊥AO,A1O⊥BC ‎∵BC∩AO=O,A1O⊥A1D,A1D⊥BC ‎∴A1D⊥平面A1BC 解:(II)‎ 建立坐标系如图 ‎∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1‎ 中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4‎ ‎∴O(0,0,0),B(0,,0),B1(﹣,,),A1(0,0)‎ 即=(0,,),=(0,,0),=(,0,),‎ 设平面BB1C1C的法向量为=(x,y,z),‎ 即得出 得出=(,0,1),||=4,||=‎ ‎∵=,‎ ‎∴cos<,>==‎ ‎,‎ 可得出直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值为 点评:‎ 本题考查了空间几何体的性质,直线平面的垂直问题,空间向量的运用,空间想象能力,计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎19.(15分)(2015•浙江)如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y﹣1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.‎ ‎(Ⅰ)求点A,B的坐标;‎ ‎(Ⅱ)求△PAB的面积.‎ 注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.‎ 考点:‎ 直线与圆锥曲线的综合问题.菁优网版权所有 专题:‎ 圆锥曲线中的最值与范围问题.‎ 分析:‎ ‎(I)由直线PA的斜率存在,设切线PA的方程为:y=k(x﹣t)(k≠0),与抛物线方程联立化为x2﹣4kx+4kt=0,利用△=0,解得k=t,可得A坐标.圆C2的圆心D(0,1),设B(x0,y0),由题意可知:点B与O关于直线PD得出,可得,解得B坐标.‎ ‎(II)由(I)可得:(t2﹣1)x﹣2ty+2t=0,可得点P到直线AB的距离d,又|AB|=.即可得出S△PAB=.‎ 解答:‎ 解:(I)由直线PA的斜率存在,设切线PA的方程为:y=k(x﹣t)(k≠0),联立,‎ 化为x2﹣4kx+4kt=0,‎ ‎∵△=16k2﹣16kt=0,解得k=t,‎ ‎∴x=2t,∴A(2t,t2).‎ 圆C2的圆心D(0,1),设B(x0,y0),由题意可知:点B与O关于直线PD得出,‎ ‎∴,解得.‎ ‎∴B.‎ ‎(II)由(I)可得:kAB==,直线AB的方程为:y﹣t2=,化为(t2﹣1)x﹣2ty+2t=0,‎ ‎∴点P到直线AB的距离d===t,‎ 又|AB|==t2.‎ ‎∴S△PAB==.‎ 点评:‎ 本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、垂直平分线的性质、点到直线的距离公式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想,属于难题.‎ ‎ ‎ ‎20.(15分)(2015•浙江)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).‎ ‎(Ⅰ)当b=+1时,求函数f(x)在[﹣1,1]上的最小值g(a)的表达式.‎ ‎(Ⅱ)已知函数f(x)在[﹣1,1]上存在零点,0≤b﹣2a≤1,求b的取值范围.‎ 考点:‎ 二次函数的性质;函数零点的判定定理.菁优网版权所有 专题:‎ 分类讨论;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.‎ 分析:‎ ‎(Ⅰ)求出二次函数的对称轴方程,讨论对称轴和区间[﹣1,1]的关系,运用函数的单调性即可得到最小值;‎ ‎(Ⅱ)设s,t是方程f(x)=0的解,且﹣1≤t≤1,运用韦达定理和已知条件,得到s的不等式,讨论t的范围,得到st的范围,由分式函数的值域,即可得到所求b的范围.‎ 解答:‎ 解:(Ⅰ)当b=+1时,f(x)=(x+)2+1,对称轴为x=﹣,‎ 当a≤﹣2时,函数f(x)在[﹣1,1]上递减,则g(a)=f(1)=+a+2;‎ 当﹣2<a≤2时,即有﹣1≤﹣<1,则g(a)=f(﹣)=1;‎ 当a>2时,函数f(x)在[﹣1,1]上递增,则g(a)=f(﹣1)=﹣a+2.‎ 综上可得,g(a)=;‎ ‎(Ⅱ)设s,t是方程f(x)=0的解,且﹣1≤t≤1,‎ 则,‎ 由于0≤b﹣2a≤1,‎ 由此≤s≤(﹣1≤t≤1),‎ 当0≤t≤1时,≤st≤,‎ 由﹣≤≤0,得﹣≤≤9﹣4,‎ 所以﹣≤b≤9﹣4;‎ 当﹣1≤t<0时,≤st≤,‎ 由于﹣2≤<0和﹣3≤‎ ‎<0,所以﹣3≤b<0,‎ 故b的取值范围是[﹣3,9﹣4].‎ 点评:‎ 本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法,同时考查二次方程和函数的零点的关系,以及韦达定理的运用,考查不等式的性质和分式函数的最值的求法,属于中档题.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:qiss;742048;whgcn;lincy;sxs123;sdpyqzh;双曲线;w3239003;孙佑中(排名不分先后)‎ 菁优网 ‎2015年6月12日