- 374.00 KB
- 2021-05-13 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2015年浙江省高考数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(5分)(2015•浙江)已知集合P={x|x2﹣2x≥3},Q={x|2<x<4},则P∩Q=( )
A.
[3,4)
B.
(2,3]
C.
(﹣1,2)
D.
(﹣1,3]
2.(5分)(2015•浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( )
A.
8cm3
B.
12cm3
C.
D.
3.(5分)(2015•浙江)设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的( )
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
4.(5分)(2015•浙江)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β,( )
A.
若l⊥β,则α⊥β
B.
若α⊥β,则l⊥m
C.
若l∥β,则α∥β
D.
若α∥β,则l∥m
5.(5分)(2015•浙江)函数f(x)=(x﹣)cosx(﹣π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( )
A.
B.
C.
D.
6.(5分)(2015•浙江)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是( )
A.
ax+by+cz
B.
az+by+cx
C.
ay+bz+cx
D.
ay+bx+cz
7.(5分)(2015•浙江)如图,斜线段AB与平面α所成的角为60°,B为斜足,平面α上的动点P满足∠PAB=30°,则点P的轨迹是( )
A.
直线
B.
抛物线
C.
椭圆
D.
双曲线的一支
8.(5分)(2015•浙江)设实数a,b,t满足|a+1|=|sinb|=t.( )
A.
若t确定,则b2唯一确定
B.
若t确定,则a2+2a唯一确定
C.
若t确定,则sin唯一确定
D.
若t确定,则a2+a唯一确定
二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)
9.(6分)(2015•浙江)计算:log2= ,2= .
10.(6分)(2015•浙江)已知{an}是等差数列,公差d不为零,若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1= ,d= .
11.(6分)(2015•浙江)函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 ,最小值是 .
12.(6分)(2015•浙江)已知函数f(x)=,则f(f(﹣2))= ,f(x)的最小值是 .
13.(4分)(2015•浙江)已知1,2是平面向量,且1•2=,若平衡向量满足•1=•=1,则||= .
14.(4分)(2015•浙江)已知实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是 .
15.(4分)(2015•浙江)椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是 .
三、解答题:本大题共5小题,共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.(14分)(2015•浙江)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知tan(+A)=2.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若B=,a=3,求△ABC的面积.
17.(15分)(2015•浙江)已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*),b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1(n∈N*)
(Ⅰ)求an与bn;
(Ⅱ)记数列{anbn}的前n项和为Tn,求Tn.
18.(15分)(2015•浙江)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.
(Ⅰ)证明:A1D⊥平面A1BC;
(Ⅱ)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.
19.(15分)(2015•浙江)如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y﹣1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.
(Ⅰ)求点A,B的坐标;
(Ⅱ)求△PAB的面积.
注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.
20.(15分)(2015•浙江)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).
(Ⅰ)当b=+1时,求函数f(x)在[﹣1,1]上的最小值g(a)的表达式.
(Ⅱ)已知函数f(x)在[﹣1,1]上存在零点,0≤b﹣2a≤1,求b的取值范围.
2015年浙江省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(5分)(2015•浙江)已知集合P={x|x2﹣2x≥3},Q={x|2<x<4},则P∩Q=( )
A.
[3,4)
B.
(2,3]
C.
(﹣1,2)
D.
(﹣1,3]
考点:
交集及其运算.菁优网版权所有
专题:
集合.
分析:
求出集合P,然后求解交集即可.
解答:
解:集合P={x|x2﹣2x≥3}={x|x≤﹣1或x≥3},
Q={x|2<x<4},
则P∩Q={x|3≤x<4}=[3,4).
故选:A.
点评:
本题考查二次不等式的解法,集合的交集的求法,考查计算能力.
2.(5分)(2015•浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( )
A.
8cm3
B.
12cm3
C.
D.
考点:
由三视图求面积、体积.菁优网版权所有
专题:
空间位置关系与距离.
分析:
判断几何体的形状,利用三视图的数据,求几何体的体积即可.
解答:
解:由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体,上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥,
所求几何体的体积为:23+×2×2×2=.
故选:C.
点评:
本题考查三视图与直观图的关系的判断,几何体的体积的求法,考查计算能力.
3.(5分)(2015•浙江)设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的( )
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
考点:
必要条件、充分条件与充要条件的判断.菁优网版权所有
专题:
简易逻辑.
分析:
利用特例集合充要条件的判断方法,判断正确选项即可.
解答:
解:a,b是实数,如果a=﹣1,b=2则“a+b>0”,则“ab>0”不成立.
如果a=﹣1,b=﹣2,ab>0,但是a+b>0不成立,
所以设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件.
故选:D.
点评:
本题考查充要条件的判断与应用,基本知识的考查.
4.(5分)(2015•浙江)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β,( )
A.
若l⊥β,则α⊥β
B.
若α⊥β,则l⊥m
C.
若l∥β,则α∥β
D.
若α∥β,则l∥m
考点:
空间中直线与平面之间的位置关系.菁优网版权所有
专题:
综合题;空间位置关系与距离.
分析:
A根据线面垂直的判定定理得出A正确;
B根据面面垂直的性质判断B错误;
C根据面面平行的判断定理得出C错误;
D根据面面平行的性质判断D错误.
解答:
解:对于A,∵l⊥β,且l⊂α,根据线面垂直的判定定理,得α⊥β,∴A正确;
对于B,当α⊥β,l⊂α,m⊂β时,l与m可能平行,也可能垂直,∴B错误;
对于C,当l∥β,且l⊂
α时,α与β可能平行,也可能相交,∴C错误;
对于D,当α∥β,且l⊂α,m⊂β时,l与m可能平行,也可能异面,∴D错误.
故选:A.
点评:
本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题,也考查了数学符号语言的应用问题,是基础题目.
5.(5分)(2015•浙江)函数f(x)=(x﹣)cosx(﹣π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( )
A.
B.
C.
D.
考点:
函数的图象.菁优网版权所有
专题:
函数的性质及应用.
分析:
由条件可得函数f(x)为奇函数,故它的图象关于原点对称;再根据在(0,1)上,f(x)<0,结合所给的选项,得出结论.
解答:
解:对于函数f(x)=(x﹣
)cosx(﹣π≤x≤π且x≠0),由于它的定义域关于原点对称,
且满足f(﹣x)=(﹣x)cosx=﹣f(x),故函数f(x)为奇函数,故它的图象关于原点对称.
故排除A、B.
再根据在(0,1)上,>x,cosx>0,f(x)=(x﹣)cosx<0,故排除C,
故选:D.
点评:
本题主要考查函数的奇偶性的判断,奇函数的图象特征,函数的定义域和值域,属于中档题.
6.(5分)(2015•浙江)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是( )
A.
ax+by+cz
B.
az+by+cx
C.
ay+bz+cx
D.
ay+bx+cz
考点:
函数的最值及其几何意义.菁优网版权所有
专题:
函数的性质及应用.
分析:
作差法逐个选项比较大小可得.
解答:
解:∵x<y<z且a<b<c,
∴ax+by+cz﹣(az+by+cx)
=a(x﹣z)+c(z﹣x)
=(x﹣z)(a﹣c)>0,
∴ax+by+cz>az+by+cx;
同理ay+bz+cx﹣(ay+bx+cz)
=b(z﹣x)+c(x﹣z)
=(z﹣x)(b﹣c)>0,
∴ay+bz+cx>ay+bx+cz;
同理az+by+cx﹣(ay+bz+cx)
=a(z﹣y)+b(y﹣z)
=(z﹣y)(a﹣b)<0,
∴az+by+cx<ay+bz+cx,
∴最低费用为az+by+cx
故选:B
点评:
本题考查函数的最值,涉及作差法比较不等式的大小,属中档题.
7.(5分)(2015•浙江)如图,斜线段AB与平面α所成的角为60°,B为斜足,平面α上的动点P满足∠PAB=30°,则点P的轨迹是( )
A.
直线
B.
抛物线
C.
椭圆
D.
双曲线的一支
考点:
圆锥曲线的轨迹问题.菁优网版权所有
专题:
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
根据题意,∠PAB=30°为定值,可得点P的轨迹为一以AB为轴线的圆锥侧面与平面α的交线,则答案可求.
解答:
解:用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥,得到的是圆;把平面渐渐倾斜,得到椭圆;当平面和圆锥的一条母线平行时,得到抛物线.
此题中平面α上的动点P满足∠PAB=30°,可理解为P在以AB为轴的圆锥的侧面上,
再由斜线段AB与平面α所成的角为60°,可知P的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义.
故可知动点P的轨迹是椭圆.
故选:C.
点评:
本题考查椭圆的定义,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.
8.(5分)(2015•浙江)设实数a,b,t满足|a+1|=|sinb|=t.( )
A.
若t确定,则b2唯一确定
B.
若t确定,则a2+2a唯一确定
C.
若t确定,则sin唯一确定
D.
若t确定,则a2+a唯一确定
考点:
四种命题.菁优网版权所有
专题:
简易逻辑.
分析:
根据代数式得出a2+2a=t2﹣1,sin2b=t2,运用条件,结合三角函数可判断答案.
解答:
解:∵实数a,b,t满足|a+1|=t,
∴(a+1)2=t2,
a2+2a=t2﹣1,
t确定,则t2﹣1为定值.
sin2b=t2,
A,C不正确,
∴若t确定,则a2+2a唯一确定,
故选:B
点评:
本题考查了命题的判断真假,属于容易题,关键是得出a2+2a=t2﹣1,即可判断.
二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)
9.(6分)(2015•浙江)计算:log2= ,2= .
考点:
对数的运算性质.菁优网版权所有
专题:
函数的性质及应用.
分析:
直接利用对数运算法则化简求值即可.
解答:
解:log2=log2=﹣;
2===3.
故答案为:
;.
点评:
本题考查导数的运算法则的应用,基本知识的考查.
10.(6分)(2015•浙江)已知{an}是等差数列,公差d不为零,若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1= ,d= ﹣1 .
考点:
等比数列的性质.菁优网版权所有
专题:
等差数列与等比数列.
分析:
运用等比数列的性质,结合等差数列的通项公式,计算可得d=﹣a1,再由条件2a1+a2=1,运用等差数列的通项公式计算即可得到首项和公差.
解答:
解:由a2,a3,a7成等比数列,
则a32=a2a7,
即有(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),
即2d2+3a1d=0,
由公差d不为零,
则d=﹣a1,
又2a1+a2=1,
即有2a1+a1+d=1,
即3a1﹣a1=1,
解得a1=,d=﹣1.
故答案为:,﹣1.
点评:
本题考查等差数列首项和公差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列和等比数列的性质的合理运用.
11.(6分)(2015•浙江)函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 π ,最小值是 .
考点:
二倍角的余弦;三角函数的最值.菁优网版权所有
专题:
三角函数的图像与性质.
分析:
由三角函数恒等变换化简解析式可得f(x)=sin(2x﹣)+
,由正弦函数的图象和性质即可求得最小正周期,最小值.
解答:
解:∵f(x)=sin2x+sinxcosx+1
=+sin2x+1
=sin(2x﹣)+.
∴最小正周期T=,最小值为:.
故答案为:π,.
点评:
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,考查了正弦函数的图象和性质,属于基本知识的考查.
12.(6分)(2015•浙江)已知函数f(x)=,则f(f(﹣2))= ,f(x)的最小值是 2﹣6 .
考点:
函数的最值及其几何意义.菁优网版权所有
专题:
函数的性质及应用.
分析:
由分段函数的特点易得f(f(﹣2))=的值;分别由二次函数和基本不等式可得各段的最小值,比较可得.
解答:
解:由题意可得f(﹣2)=(﹣2)2=4,
∴f(f(﹣2))=f(4)=4+﹣6=﹣;
∵当x≤1时,f(x)=x2,
由二次函数可知当x=0时,函数取最小值0;
当x>1时,f(x)=x+﹣6,
由基本不等式可得f(x)=x+﹣6≥2﹣6=2﹣6,
当且仅当x=即x=时取到等号,即此时函数取最小值2﹣6;
∵2
﹣6<0,∴f(x)的最小值为2﹣6
故答案为:﹣;2﹣6
点评:
本题考查函数的最值,涉及二次函数的性质和基本不等式,属中档题.
13.(4分)(2015•浙江)已知1,2是平面向量,且1•2=,若平衡向量满足•1=•=1,则||= .
考点:
平面向量数量积的性质及其运算律.菁优网版权所有
专题:
平面向量及应用.
分析:
根据数量积得出1,2夹角为60°,<,1>=<,2>=30°,运用数量积的定义判断求解即可.
解答:
解:∵1,2是平面单位向量,且1•2=,
∴1,2夹角为60°,
∵平衡向量满足•1=•=1
∴与1,2夹角相等,且为锐角,
∴应该在1,2夹角的平分线上,
即<,1>=<,2>=30°,
||×1×cos30°=1,
∴||=
故答案为:
点评:
本题简单的考查了平面向量的运算,数量积的定义,几何图形的运用,属于容易题,关键是判断夹角即可.
14.(4分)(2015•浙江)已知实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是 15 .
考点:
简单线性规划.菁优网版权所有
专题:
不等式的解法及应用.
分析:
由题意可得2x+y﹣4<0,6﹣x﹣3y>0,去绝对值后得到目标函数z=﹣3x﹣4y+10,然后结合圆心到直线的距离求得|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值.
解答:
解:如图,
由x2+y2≤1,
可得2x+y﹣4<0,6﹣x﹣3y>0,
则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|=﹣2x﹣y+4+6﹣x﹣3y=﹣3x﹣4y+10,
令z=﹣3x﹣4y+10,得
,
如图,
要使z=﹣3x﹣4y+10最大,则直线在y轴上的截距最小,
由z=﹣3x﹣4y+10,得3x+4y+z﹣10=0.
则,即z=15或z=5.
由题意可得z的最大值为15.
故答案为:15.
点评:
本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,考查了数学转化思想方法,是中档题.
15.(4分)(2015•浙江)椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是 .
考点:
椭圆的简单性质.菁优网版权所有
专题:
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
设出Q的坐标,利用对称知识,集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系,然后求解离心率即可.
解答:
解:不妨令c=1,设Q(m,n),由题意可得,即:,
由①②可得:m=
,n=,代入③可得:,
解得e2(4e4﹣4e2+1)+4e2=1,
可得,4e6+e2﹣1=0.
即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0,
可得(2e2﹣1)(2e4+e2+1)=0
解得e=.
故答案为:.
点评:
本题考查椭圆的方程简单性质的应用,考查对称知识以及计算能力.
三、解答题:本大题共5小题,共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.(14分)(2015•浙江)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知tan(+A)=2.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若B=,a=3,求△ABC的面积.
考点:
二倍角的余弦;两角和与差的正切函数.菁优网版权所有
专题:
解三角形.
分析:
(Ⅰ)由两角和与差的正切函数公式及已知可得tanA,由倍角公式及同角三角函数关系式即可得解.
(Ⅱ)由tanA=,A∈(0,π),可得sinA,cosA.又由正弦定理可得b,由sinC=sin(A+B)=sin(A+),可得sinC,利用三角形面积公式即可得解.
解答:
解:(Ⅰ)由tan(+A)=2.可得tanA=,
所以==.
(Ⅱ)由tanA=,A∈
(0,π),可得sinA=,cosA=.
又由a=3,B=及正弦定理,可得b=3,
由sinC=sin(A+B)=sin(A+),可得sinC=.
设△ABC的面积为S,则S=absinC=9.
点评:
本题主要考查了三角函数及其变换、正弦定理和余弦定理等基本知识的应用,同时考查了运算求解能力,属于中档题.
17.(15分)(2015•浙江)已知数列{an}和{bn}满足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*),b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1(n∈N*)
(Ⅰ)求an与bn;
(Ⅱ)记数列{anbn}的前n项和为Tn,求Tn.
考点:
数列的求和.菁优网版权所有
专题:
等差数列与等比数列.
分析:
(Ⅰ)直接由a1=2,an+1=2an,可得数列{an}为等比数列,由等比数列的通项公式求得数列{an}的通项公式;
再由b1=1,b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1,取n=1求得b2=2,当n≥2时,得另一递推式,作差得到,整理得数列{}为常数列,由此可得{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求出,然后利用错位相减法求数列{anbn}的前n项和为Tn.
解答:
解:(Ⅰ)由a1=2,an+1=2an,得
.
由题意知,当n=1时,b1=b2﹣1,故b2=2,
当n≥2时,b1+b2+b3+…+=bn﹣1,和原递推式作差得,
,整理得:,
∴;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
因此
,
两式作差得:,
(n∈N*).
点评:
本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识,同时考查数列求和等基本思想方法,以及推理论证能力,是中档题.
18.(15分)(2015•浙江)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.
(Ⅰ)证明:A1D⊥平面A1BC;
(Ⅱ)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.
考点:
直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定.菁优网版权所有
专题:
空间位置关系与距离;空间角.
分析:
(I)连接AO,A1D,根据几何体的性质得出A1O⊥A1D,A1D⊥BC,利用直线平面的垂直定理判断.
(II)利用空间向量的垂直得出平面BB1C1
C的法向量=(,0,1),|根据与数量积求解余弦值,即可得出直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.
解答:
证明:(I)∵AB=AC=2,D是B1C1的中点.
∴A1D⊥B1C1,
∵BC∥B1C1,
∴A1D⊥BC,
∵A1O⊥面ABC,A1D∥AO,
∴A1O⊥AO,A1O⊥BC
∵BC∩AO=O,A1O⊥A1D,A1D⊥BC
∴A1D⊥平面A1BC
解:(II)
建立坐标系如图
∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1
中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4
∴O(0,0,0),B(0,,0),B1(﹣,,),A1(0,0)
即=(0,,),=(0,,0),=(,0,),
设平面BB1C1C的法向量为=(x,y,z),
即得出
得出=(,0,1),||=4,||=
∵=,
∴cos<,>==
,
可得出直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值为
点评:
本题考查了空间几何体的性质,直线平面的垂直问题,空间向量的运用,空间想象能力,计算能力,属于中档题.
19.(15分)(2015•浙江)如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y﹣1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.
(Ⅰ)求点A,B的坐标;
(Ⅱ)求△PAB的面积.
注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.
考点:
直线与圆锥曲线的综合问题.菁优网版权所有
专题:
圆锥曲线中的最值与范围问题.
分析:
(I)由直线PA的斜率存在,设切线PA的方程为:y=k(x﹣t)(k≠0),与抛物线方程联立化为x2﹣4kx+4kt=0,利用△=0,解得k=t,可得A坐标.圆C2的圆心D(0,1),设B(x0,y0),由题意可知:点B与O关于直线PD得出,可得,解得B坐标.
(II)由(I)可得:(t2﹣1)x﹣2ty+2t=0,可得点P到直线AB的距离d,又|AB|=.即可得出S△PAB=.
解答:
解:(I)由直线PA的斜率存在,设切线PA的方程为:y=k(x﹣t)(k≠0),联立,
化为x2﹣4kx+4kt=0,
∵△=16k2﹣16kt=0,解得k=t,
∴x=2t,∴A(2t,t2).
圆C2的圆心D(0,1),设B(x0,y0),由题意可知:点B与O关于直线PD得出,
∴,解得.
∴B.
(II)由(I)可得:kAB==,直线AB的方程为:y﹣t2=,化为(t2﹣1)x﹣2ty+2t=0,
∴点P到直线AB的距离d===t,
又|AB|==t2.
∴S△PAB==.
点评:
本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、垂直平分线的性质、点到直线的距离公式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想,属于难题.
20.(15分)(2015•浙江)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).
(Ⅰ)当b=+1时,求函数f(x)在[﹣1,1]上的最小值g(a)的表达式.
(Ⅱ)已知函数f(x)在[﹣1,1]上存在零点,0≤b﹣2a≤1,求b的取值范围.
考点:
二次函数的性质;函数零点的判定定理.菁优网版权所有
专题:
分类讨论;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
分析:
(Ⅰ)求出二次函数的对称轴方程,讨论对称轴和区间[﹣1,1]的关系,运用函数的单调性即可得到最小值;
(Ⅱ)设s,t是方程f(x)=0的解,且﹣1≤t≤1,运用韦达定理和已知条件,得到s的不等式,讨论t的范围,得到st的范围,由分式函数的值域,即可得到所求b的范围.
解答:
解:(Ⅰ)当b=+1时,f(x)=(x+)2+1,对称轴为x=﹣,
当a≤﹣2时,函数f(x)在[﹣1,1]上递减,则g(a)=f(1)=+a+2;
当﹣2<a≤2时,即有﹣1≤﹣<1,则g(a)=f(﹣)=1;
当a>2时,函数f(x)在[﹣1,1]上递增,则g(a)=f(﹣1)=﹣a+2.
综上可得,g(a)=;
(Ⅱ)设s,t是方程f(x)=0的解,且﹣1≤t≤1,
则,
由于0≤b﹣2a≤1,
由此≤s≤(﹣1≤t≤1),
当0≤t≤1时,≤st≤,
由﹣≤≤0,得﹣≤≤9﹣4,
所以﹣≤b≤9﹣4;
当﹣1≤t<0时,≤st≤,
由于﹣2≤<0和﹣3≤
<0,所以﹣3≤b<0,
故b的取值范围是[﹣3,9﹣4].
点评:
本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法,同时考查二次方程和函数的零点的关系,以及韦达定理的运用,考查不等式的性质和分式函数的最值的求法,属于中档题.
参与本试卷答题和审题的老师有:qiss;742048;whgcn;lincy;sxs123;sdpyqzh;双曲线;w3239003;孙佑中(排名不分先后)
菁优网
2015年6月12日
相关文档
- 高考化学一轮复习 专题 Fe2+、Fe3+2021-05-136页
- 2020版高考政治一轮复习(A版)专题八2021-05-135页
- 2020高考化学第一轮复习 专题 离子2021-05-134页
- 高考全国卷高考真题201520162017分2021-05-1357页
- 高考化学二轮复习资料专题金属及其2021-05-1319页
- 高考物理专题综合复习222021-05-1326页
- 高考地理一轮复习第一章宇宙中的地2021-05-138页
- 2020版高考语文二轮提分复习 专题52021-05-136页
- 高考英语人教版要点梳理重点突破必2021-05-1346页
- 2020版高考地理二轮专题复习 第四2021-05-132页