2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章6-2等差数列及其前n项和 17页

第2讲　等差数列及其前n项和 最新考纲　1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系．‎ 知 识 梳 理 ‎1．等差数列的概念 ‎(1)如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列就为等差数列，这个常数为等差数列的公差，公差通常用字母d表示．‎ 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N＋，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数)．‎ ‎(2)如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，即A＝.‎ ‎2．等差数列的通项公式与前n项和公式 ‎(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.‎ 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)．‎ ‎(2)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d(其中n∈N＋，a1为首项，d为公差，an为第n项).‎ ‎3.等差数列的有关性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和．‎ ‎(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则有am＋an＝ap＋aq.‎ ‎(2)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．‎ ‎(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．‎ ‎(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．‎ ‎4．等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝n2＋n.‎ 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．‎ ‎5．等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．‎ 诊 断 自 测 ‎1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)　精彩PPT展示 ‎(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)‎ ‎(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　)‎ ‎(3)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(　　)‎ ‎(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　)‎ ‎(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　)‎ 解析　(4)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数．‎ ‎(5)若公差d＝0，则前n项和不是二次函数．‎ 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎2．(2015·重庆卷)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．1 D．6‎ 解析　由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，选B.‎ 答案　B ‎3．(2017·长沙模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2a3，S5＝15，则a2 016＝________.‎ 解析　在等差数列{an}中，由S3＝2a3知，3a2＝2a3，而S5＝15，则a3＝3，于是a2＝2，从而其公差为1，首项为1，因此an＝n，故a2 016＝2 016.‎ 答案　2 016‎ ‎4．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为______．‎ 解析　由题意知d＜0且即 解得－1＜d＜－.‎ 答案　 ‎5．(必修5P19A5改编)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.‎ 解析　由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.‎ 答案　180‎ 考点一　等差数列基本量的运算　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)‎ A．100 B．99 C．98 D．97‎ ‎(2)(2017·西安模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________.‎ 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知，得所以所以a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98.‎ ‎(2)法一　设数列{an}的首项为a1，公差为d，由S3＝6，‎ S4＝12，可得解得 即S6＝6a1＋15d＝30.‎ 法二　由{an}为等差数列，故可设前n项和Sn＝An2＋Bn，‎ 由S3＝6，S4＝12可得 解得即Sn＝n2－n，则S6＝36－6＝30.‎ 答案　(1)C　(2)30‎ 规律方法　(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．‎ ‎(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．‎ ‎【训练1】 (2015·全国Ⅰ卷)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和．若S8＝4S4，则a10等于(　　)‎ A. B. C．10 D．12‎ 解析　由S8＝4S4，得8a1＋×1＝4×，解得a1＝，∴a10＝a1＋9d＝，故选B.‎ 答案　B 考点二　等差数列的判定与证明(典例迁移)‎ ‎【例2】 (经典母题)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.‎ ‎(1)求证：成等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎(1)证明　当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，‎ 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，‎ 又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．‎ ‎(2)解　由(1)可得＝2n，∴Sn＝.‎ 当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.‎ 当n＝1时，a1＝不适合上式．‎ 故an＝ ‎【迁移探究1】 将本例条件“an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝”改为“Sn(Sn－an)＋2an＝0(n≥2)，a1＝2”，问题不变，试求解．‎ ‎(1)证明　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1且Sn(Sn－an)＋2an＝0.‎ ‎∴Sn[Sn－(Sn－Sn－1)]＋2(Sn－Sn－1)＝0，‎ 即SnSn－1＋2(Sn－Sn－1)＝0.‎ 即－＝.又＝＝.‎ 故数列是以首项为，公差为的等差数列．‎ ‎(2)解　由(1)知＝，∴Sn＝，当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝－ 当n＝1时，a1＝2不适合上式，‎ 故an＝ ‎【迁移探究2】 已知数列{an}满足2an－1－anan－1＝1(n≥2)，a1＝2，证明数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式．‎ 解　当n≥2时，an＝2－，‎ ‎∴－＝－＝－＝－＝＝1(常数)．‎ 又＝1.‎ ‎∴数列是以首项为1，公差为1的等差数列．‎ ‎∴＝1＋(n－1)×1，‎ ‎∴an＝.‎ 规律方法　等差数列的四种判断方法：‎ ‎(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数．‎ ‎(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)都成立．‎ ‎(3)通项公式法：验证an＝pn＋q.‎ ‎(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列，主要适合在选择题中简单判断．‎ 考点三　等差数列的性质及应用 ‎【例3】 (1)(2015·全国Ⅱ卷)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)‎ A．5 B．7 C．9 D．11‎ ‎(2)(2016·南昌统考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　)‎ A．63 B．45 C．36 D．27‎ ‎(3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 014，－＝6，则S2 017＝________.‎ 解析　(1)∵{an}为等差数列，∴a1＋a5＝2a3，得3a3＝3，则a3＝1，∴S5＝＝5a3＝5，故选A.‎ ‎(2)由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列．‎ 即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，‎ 得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选B.‎ ‎(3)由等差数列的性质可得也为等差数列．‎ 设其公差为d.则－＝6d＝6，∴d＝1.‎ 故＝＋2 016d＝－2 014＋2 016＝2，‎ ‎∴S2 017＝2×2 017＝4 034.‎ 答案　(1)A　(2)B　(3)4 034‎ 规律方法　等差数列的性质是解题的重要工具．‎ ‎(1)在等差数列{an}中，数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列．‎ ‎(2)在等差数列{an}中，数列也成等差数列．‎ ‎【训练3】 (1)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为(　　)‎ A．13 B．12 C．11 D．10‎ ‎(2)(2015·广东卷)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.‎ 解析　(1)因为a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，‎ a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，‎ 又因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，‎ 所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60，‎ 所以Sn＝＝＝390，即n＝13.‎ ‎(2)因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.‎ 答案　(1)A　(2)10‎ 考点四　等差数列前n项和及其最值　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【例4】 (1)(2017·衡水月考)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是(　　)‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎(2)设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N＋)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.‎ 解析　(1)法一　由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7>0，a8<0，故n＝7时Sn最大．‎ 法二　由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n.根据二次函数的性质，知当n＝7时Sn最大．‎ 法三　根据a1＝13，S3＝S11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减．根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图像的对称性，可得只有当n＝＝7时，Sn取得最大值．‎ ‎(2)由an＝2n－10(n∈N＋)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，∴n≤5时，an≤0，当n>5时，an>0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋100＝130.‎ 答案　(1)C　(2)130‎ 规律方法　求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；‎ ‎(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；‎ ‎(3)将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值．‎ ‎【训练4】 (2017·长春质量检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1>0且＝，则当Sn取最大值时，n的值为(　　)‎ A．9 B．10‎ C．11 D．12‎ 解析　由＝，得S11＝S9，即a10＋a11＝0，根据首项a1＞0可推知这个数列递减，从而a10＞0，a11＜0，故n＝10时，Sn最大．‎ 答案　B ‎[思想方法]‎ ‎1．在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a1，d的方程组进行求解．‎ ‎2．证明等差数列要用定义；另外还可以用等差中项法，通项公式法，前n项和公式法判定一个数列是否为等差数列．‎ ‎3．等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量．‎ ‎[易错防范]‎ ‎1．用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an＋1－an＝d(n≥2)时，应注意验证a2－a1是否等于d，若a2－a1≠d，则数列{an}不为等差数列．‎ ‎2．利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数．‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题 ‎1．(2017·汉中调研)已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d等于(　　)‎ A．－1 B．－2 C．－3 D．－4‎ 解析　法一　由题意可得 解得a1＝5，d＝－3.‎ 法二　a1＋a7＝2a4＝－8，∴a4＝－4，‎ ‎∴a4－a2＝－4－2＝2d，∴d＝－3.‎ 答案　C ‎2．已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为(　　)‎ A．10 B．20 C．30 D．40‎ 解析　设项数为2n ，则由S偶－S奇＝nd得，25－15＝2n解得n＝5，故这个数列的项数为10.‎ 答案　A ‎3．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(　　)‎ A．a1＋a101＞0 B．a2＋a100＜0‎ C．a3＋a99＝0 D．a51＝51‎ 解析　由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a101＝×101＝0.所以a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝0.‎ 答案　C ‎4．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于(　　)‎ A．0 B．37 C．100 D．－37‎ 解析　设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，‎ ‎∴{an＋bn}为等差数列，又a1＋b1＝a2＋b2＝100，‎ ‎∴{an＋bn}为常数列，∴a37＋b37＝100.‎ 答案　C ‎5．(2017·泰安模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－11，a5＋a9＝－2，则当Sn取最小值时，n＝(　　)‎ A．9 B．8 C．7 D．6‎ 解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由得 解得 ‎∴an＝－15＋2n.‎ 由an＝－15＋2n≤0，解得n≤.又n为正整数，‎ ‎∴当Sn取最小值时，n＝7.故选C.‎ 答案　C 二、填空题 ‎6．(2017·南昌模拟)已知每项均大于零的数列{an}中，首项a1＝1且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝2(n∈N＋且n≥2)，则a61＝________.‎ 解析　由已知Sn－Sn－1＝2可得，－＝2，所以{}是以1为首项，2为公差的等差数列，故＝2n－1，Sn＝(2n－1)2，所以a61＝S61－S60＝1212－1192＝480.‎ 答案　480‎ ‎7．正项数列{an}满足a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n∈N＋，n≥2)，则a7＝________.‎ 解析　由2a＝a＋a(n∈N＋，n≥2)，可得数列{a}是等差数列，公差d＝a－a＝3，首项a＝1，所以a＝1＋3(n－1)＝3n－2，∴an＝，∴a7＝.‎ 答案　 ‎8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝________.‎ 解析　法一　由已知得，am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，因为数列{an}为等差数列，所以d＝am＋1－am＝1，又因为Sm＝＝0，所以m(a1＋2)＝0，因为m≠0，所以a1＝－2，又am＝a1＋(m－1)d＝2，解得m＝5.‎ 法二　因为Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，所以am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以公差d＝am＋1－am＝1，由Sn＝na1＋d＝na1＋，‎ 得 由①得a1＝，代入②可得m＝5.‎ 法三　因为数列{an}为等差数列，且前n项和为Sn，‎ 所以数列也为等差数列．‎ 所以＋＝，即＋＝0，‎ 解得m＝5，经检验为原方程的解．‎ 答案　5‎ 三、解答题 ‎9．(2016·全国Ⅱ卷)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.‎ 解　(1)设数列{an}首项为a1，公差为d，‎ 由题意有解得 所以{an}的通项公式为an＝.‎ ‎(2)由(1)知，bn＝.‎ 当n＝1,2,3时，1≤<2，bn＝1；‎ 当n＝4,5时，2≤<3，bn＝2；‎ 当n＝6,7,8时，3≤<4，bn＝3；‎ 当n＝9,10时，4≤<5，bn＝4.‎ 所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.‎ ‎10．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．‎ ‎(1)证明：an＋2－an＝λ；‎ ‎(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．‎ ‎(1)证明　由题设知，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1.‎ 两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.‎ 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.‎ ‎(2)解　由题设知，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.‎ 由(1)知，a3＝λ＋1.‎ 令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，‎ 由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；‎ ‎{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.‎ 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.‎ 因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎11．(2016·东北三省四市联考)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　依题意，设这100份面包所分成的五份由小到大依次为a－2m，a－m，a，a＋m，a＋2m，则有 解得a＝20，m＝，a－2m＝＝，即其中最小一份为，故选A.‎ 答案　A ‎12．(2017·郑州模拟)已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝24，则a6·a7的最大值为(　　)‎ A．36 B．6 C．4 D．2‎ 解析　在等差数列{an}中，∵S12＝6(a6＋a7)＝24，∴a6＋a7＝4，令x>0，y>0，由基本不等式可得x·y≤2，当且仅当x＝y时“＝”成立．又a6>0，a7>0，∴a6·a7≤2＝4，当且仅当a6＝a7＝2时，“＝”成立．即a6·a7的最大值为4，故选C.‎ 答案　C ‎13．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为________．‎ 解析　∵{an}，{bn}为等差数列，‎ ‎∴＋＝＋＝＝.‎ ‎∵＝＝＝＝，‎ ‎∴＝.‎ 答案　 ‎14．在数列{an}中，a1＝－5，a2＝－2，记A(n)＝a1＋a2＋…＋an，B(n)＝a2＋a3＋…＋an＋1，C(n)＝a3＋a4＋…＋an＋2(n∈N＋)，若对于任意n∈N＋，A(n)，B(n)，C(n)成等差数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{|an|}的前n项和．‎ 解　(1)根据题意A(n)，B(n)，C(n)成等差数列．‎ ‎∴A(n)＋C(n)＝2B(n)，‎ 整理得an＋2－an＋1＝a2－a1＝－2＋5＝3，‎ ‎∴数列{an}是首项为－5，公差为3的等差数列，‎ ‎∴an＝－5＋3(n－1)＝3n－8.‎ ‎(2)|an|＝ 记数列{|an|}的前n项和为Sn.‎ 当n≤2时，Sn＝＝－＋n；‎ 当n≥3时，Sn＝7＋＝－n＋14，‎ 综上，Sn＝ 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎