2020-2021学年高考数学（理）考点：任意角、弧度制及任意角的三角函数 24页

‎2020-2021学年高考数学（理）考点：任意角、弧度制及任意角的三角函数 ‎1．角的概念 ‎(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．‎ ‎(2)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．‎ ‎(3)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．‎ ‎2．弧度制 ‎(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.‎ ‎(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad，1 rad＝°.‎ ‎(3)扇形的弧长公式：l＝α·r，扇形的面积公式：S＝lr＝α·r2.其中r是半径，α(0<α<2π)为弧所对圆心角．‎ ‎3．任意角的三角函数 任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，‎ 则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．‎ 三个三角函数的性质如下表：‎ 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sin α R ‎＋‎ ‎＋‎ ‎－‎ ‎－‎ cos α R ‎＋‎ ‎－‎ ‎－‎ ‎＋‎ tan α ‎{α|α≠kπ＋，k∈Z}‎ ‎＋‎ ‎－‎ ‎＋‎ ‎－‎ 概念方法微思考 ‎1．总结一下三角函数值在各象限符号为正的规律．‎ 提示　一全正、二正弦、三正切、四余弦．‎ ‎2．三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，怎样定义角α的三角函数？‎ 提示　设点P到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．‎ ‎1．（2020•新课标Ⅰ）已知，且，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，得，‎ 即，解得（舍去），或．‎ ‎，，，‎ 则．‎ 故选．‎ ‎2．（2019•全国）已知，则　　‎ A． B． C．3 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ 则．‎ 故选．‎ ‎3．（2019•新课标Ⅱ）已知，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ 可得：，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得：．‎ 故选．‎ ‎4．（2018•新课标Ⅲ）若，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎5．（2017•山东）已知，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据余弦函数的倍角公式，且，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎6．（2017•新课标Ⅲ）已知，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选．‎ ‎7．（2020•新课标Ⅱ）若为第四象限角，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】为第四象限角，‎ 则，，‎ 则，‎ 是第三或第四象限角或为轴负半轴上的角，‎ ‎，‎ 故选．‎ ‎8．（2020•新课标Ⅲ）已知，则　　‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，得，‎ 即，‎ 得，‎ 即，‎ 即，‎ 则，‎ 故选．‎ ‎9．（2020•新课标Ⅲ）已知，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ ‎，‎ 即，‎ 得，‎ 即，‎ 得 故选．‎ ‎10．（2018•新课标Ⅱ）若在，是减函数，则的最大值是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ 由，，‎ 得，，‎ 取，得的一个减区间为，，‎ 由在，是减函数，‎ 得．‎ 则的最大值是．‎ 故选．‎ ‎11．（2018•新课标Ⅱ）若在，是减函数，则的最大值是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ 由，，‎ 得，，‎ 取，得的一个减区间为，，‎ 由在，是减函数，‎ 得，．‎ 则的最大值是．‎ 故选．‎ ‎12．（2017•全国）　　‎ A． B． C．0 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为 ‎．‎ 故选．‎ ‎13．（2020•新课标Ⅱ）若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎14．（2020•江苏）已知，则的值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，则，‎ 解得，‎ 故答案为：．‎ ‎15．（2020•浙江）已知，则　　，__________．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】，‎ 则．‎ ‎．‎ 故答案为：；．‎ ‎16．（2020•上海）已知，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故．‎ 故答案为：．‎ ‎17．（2016•四川）__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎18．（2018•新课标Ⅱ）已知，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ 两边平方可得：，①，‎ ‎，‎ 两边平方可得：，②，‎ 由①②得：，即，‎ ‎．‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎19．（2018•新课标Ⅱ）已知，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎，‎ 则，‎ 故答案为：．‎ ‎20．（2017•江苏）若．则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，‎ 解得，‎ 故答案为：．‎ ‎21．（2017•北京）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】方法一：角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，‎ ‎，，‎ 方法二：，‎ 当在第一象限时，，‎ ‎，角的终边关于轴对称，‎ 在第二象限时，，，‎ ‎，‎ 当在第二象限时，，‎ ‎，角的终边关于轴对称，‎ 在第一象限时，，，‎ 综上所述，‎ 故答案为：．‎ ‎22．（2017•新课标Ⅰ）已知，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得，，‎ ‎，‎ 故答案为：．‎ ‎23．（2018•浙江）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若角满足，求的值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点，．‎ ‎，，，‎ ‎；‎ ‎（Ⅱ）由，，，‎ 得，，‎ 又由，‎ 得，‎ 则，‎ 或．‎ 的值为或．‎ ‎24．（2018•北京）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）若在区间，上的最大值为，求的最小值．‎ ‎【解析】函数 ‎，‎ 的最小正周期为；‎ ‎（Ⅱ）若在区间，上的最大值为，‎ 可得，，‎ 即有，解得，‎ 则的最小值为．‎ ‎25．（2018•上海）设常数，函数．‎ ‎（1）若为偶函数，求的值；‎ ‎（2）若，求方程在区间，上的解．‎ ‎【解析】（1），‎ ‎，‎ 为偶函数，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，或，，‎ ‎，或，，‎ ‎，，‎ 或或或 ‎26．（2018•上海）已知 ‎（1）若，且，，求的值 ‎（2）求函数的最小值 ‎【解析】（1）若，且，，‎ 则，则，‎ 则．‎ ‎（2）函数，‎ ‎，‎ 当时，函数取得最小值，最小值为．‎ ‎1．（2020•西安模拟）已知、是方程的两个实根，且，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】、是方程的两个实根，且，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎2．（2020•香坊区校级一模）若，则的值为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以，‎ 又，所以，‎ 因为，所以，‎ 又，所以，‎ 所以 ‎．‎ 故选．‎ ‎3．（2020•龙凤区校级模拟）若，，则　　‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，，‎ 所以．‎ 故选．‎ ‎4．（2020•碑林区校级模拟）　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎5．（2020•青羊区校级模拟）已知为锐角，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，‎ 所以，‎ 所以①，两边平方可得，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为为锐角，‎ 所以②，‎ 由①②可得．‎ 故选．‎ ‎6．（2020•广东四模）已知，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ 即 由．‎ 故选．‎ ‎7．（2020•桃城区校级模拟）已知，，则　　‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，‎ ‎，．‎ 故选．‎ ‎8．（2020•九龙坡区模拟）函数的最小正周期为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，其中，‎ 的最小正周期为．‎ 故选．‎ ‎9．（2020•梅河口市校级模拟）已知，，则的值为　　‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，‎ ‎，可得：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎10．（2020•全国四模）已知为锐角，若，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】为锐角，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎11．（2020•丹东二模）在中，，则　　‎ A．7 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】中，，为钝角，，，‎ 则，‎ 故选．‎ ‎12．（2020•衡阳三模）　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ 故选．‎ ‎13．（2020•包河区校级模拟）设，满足，，则　　‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】D ‎【解析】，满足，，‎ 则，‎ 故选．‎ ‎14．（2020•河南模拟）已知，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎15．（2020•桃城区校级模拟）若，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，‎ 得，‎ 所以，‎ 则．‎ 故选．‎ ‎16．（2020•庐阳区校级模拟）已知为第三象限角，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】为第三象限角，，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎17．（2020•淮北二模）若，则 的值为　　‎ A． B．0 C． D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎18．（2020•广东四模）已知，则的值是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】已知，．‎ 故，‎ 故选．‎ ‎19．（2020•碑林区校级模拟）已知，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，；‎ ‎；‎ 故选．‎ ‎20．（2020•唐山二模）已知，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎21．（2020•梅河口市校级模拟）已知，且，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，且，‎ 可得，可得，‎ 解得，或1（舍去），‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎22．（2020•让胡路区校级三模）已知，则实数的值为　　‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，‎ 所以，‎ 移项得，‎ 所以，即．‎ 故选．‎ ‎23．（2020•黑龙江二模）若，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎24．（2020•运城模拟）已知，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎25．（2020•嵊州市二模）已知函数．‎ ‎（1）若求的值；‎ ‎（Ⅱ）设，若在区间上是单调函数，求的最大值．‎ ‎【解析】（1）函数，‎ 若，则，且，，‎ ‎，．‎ ‎（Ⅱ），若 在区间上是单调函数，‎ 在区间上，，，‎ ‎，求得，故的最大值为．‎ ‎26．（2020•嘉定区二模）设常数，函数．‎ ‎（1）若为奇函数，求的值；‎ ‎（2）若，求方程在区间，上的解．‎ ‎【解析】（1）当为奇函数时，必有，可得．‎ 当时，，利用正弦函数的性质可知其为奇函数，符合题意，可得的值为0．‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 由，或，‎ 可得：，或，‎ 所以在区间，上的解为．‎ ‎27．（2019•西湖区校级模拟）已知，，，．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）已知，，‎ 所以．‎ 由于，．整理得，．‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）由于，‎ 所以．‎ 所以．‎ ‎28．（2019•西湖区校级模拟）已知，且为第二象限角．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知，得，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ），得，‎ ‎．‎ ‎29．（2020•鼓楼区校级模拟）已知，均为锐角，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎【解析】（1）由，得．‎ 解得，或．因为为锐角，‎ 所以，．‎ ‎（2）因为，均为锐角，所以，‎ 所以，，．‎ ‎30．（2020•永康市模拟）已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）设方程在，上恰有5个实数解，求的取值范围．‎ ‎【解析】（1）函数．‎ 令，‎ 整理得，‎ 所以函数的单调递增区间为．‎ ‎（2）设方程在，上恰有5个实数解，‎ 令，‎ 即，‎ 整理得，‎ 解得．‎ 所以当时，或时，‎ 由于恰好有5个实数解．‎ 故．‎ ‎31．（2020•浙江模拟）已知函数．‎ ‎（1）求函数的最小正周期和对称轴；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎【解析】（1）因为 所以的最小正周期．‎ 由得，‎ 故的对称轴为．‎ ‎（2）因为，所以，即，‎ 所以，‎ 即，‎ 故的取值范围为，．‎ ‎32．（2020•鼓楼区校级模拟）已知，，，，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎【解析】（1）因为，所以，所以，解得，‎ 因为，所以，所以．‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 因为，所以，；‎ 因为，，所以，‎ 所以．‎