2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章7-2基本不等式及其应用 16页

第2讲　基本不等式及其应用 最新考纲　1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．‎ 知 识 梳 理 ‎1．基本不等式：≤ ‎(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.‎ ‎(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．‎ ‎(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．‎ ‎2．几个重要的不等式 ‎(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．‎ ‎(2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．‎ ‎(3)≥2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．‎ ‎(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．‎ ‎3．利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 ‎(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．‎ ‎(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．‎ 诊 断 自 测 ‎1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)　精彩PPT展示 ‎(1)当a≥0，b≥0时，≥.(　　)‎ ‎(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　)‎ ‎(3)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)‎ ‎(4)函数f(x)＝sin x＋的最小值为2.(　　)‎ ‎(5)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．(　　)‎ 解析　(2)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；‎ 不等式≥成立的条件是a≥0，b≥0.‎ ‎(3)函数y＝x＋值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值．‎ ‎(4)函数f(x)＝sin x＋的最小值为－5.‎ ‎(5)x>0且y>0是＋≥2的充分条件．‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×‎ ‎2．设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．80 B．77 C．81 D．82‎ 解析　xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故选C.‎ 答案　C ‎3．(2015·福建卷)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于(　　)‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 解析　因为直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，所以＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故选C.‎ 答案　C ‎4．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)‎ A．1＋ B．1＋ ‎ C．3 D．4‎ 解析　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3，选C.‎ 答案　C ‎5．(教材改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为______m，宽为________m时菜园面积最大．‎ 解析　设矩形的长为x m，宽为y m．则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤2＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号．‎ 答案　15　 考点一　配凑法求最值　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【例1】 (1)已知x＜，求f(x)＝4x－2＋的最大值；‎ ‎(2)求函数y＝的最大值．‎ 解　(1)因为x＜，所以5－4x＞0，‎ 则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤‎ ‎－2＋3＝－2＋3＝1.‎ 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．‎ 故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.‎ ‎(2)令t＝≥0，则x＝t2＋1，‎ 所以y＝＝.‎ 当t＝0，即x＝1时，y＝0；‎ 当t＞0，即x＞1时，y＝，‎ 因为t＋≥2＝4(当且仅当t＝2时取等号)，‎ 所以y＝≤，‎ 即y的最大值为(当t＝2，即x＝5时y取得最大值).‎ 规律方法　(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“‎ 三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．‎ ‎(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．‎ ‎【训练1】 (1)(2017·湖北重点中学一联)若对任意x≥1，不等式x＋－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ ‎(2)函数y＝(x>1)的最小值为________．‎ 解析　(1)因为函数f(x)＝x＋－1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)＝x＋1＋－2在[0，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)在[1，＋∞)的最小值为g(1)＝，因此对任意x≥1不等式x＋－1≥a恒成立，所以a≤g(x)最小值＝，故实数a的取值范围是.‎ ‎(2)y＝＝ ‎＝ ‎＝(x－1)＋＋2≥2＋2.‎ 当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立．‎ 答案　(1)　(2)2＋2‎ 考点二　常数代换或消元法求最值(易错警示)‎ ‎【例2】 (1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________；‎ ‎(2)(2017·南昌模拟)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．‎ 解析　(1)法一　由x＋3y＝5xy可得＋＝1，‎ ‎∴3x＋4y＝(3x＋4y) ‎＝＋＋＋≥＋＝5(当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立)，‎ ‎∴3x＋4y的最小值是5.‎ 法二　由x＋3y＝5xy，得x＝，‎ ‎∵x>0，y>0，∴y>，‎ ‎∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y＝＋·＋4 ‎≥＋2＝5，‎ 当且仅当y＝时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5.‎ ‎(2)由已知得x＝.‎ 法一　(消元法)‎ 因为x＞0，y＞0，所以0＜y＜3，‎ 所以x＋3y＝＋3y ‎＝＋3(y＋1)－6≥2－6＝6，‎ 当且仅当＝3(y＋1)，‎ 即y＝1，x＝3时，(x＋3y)min＝6.‎ 法二　∵x＞0，y＞0，‎ ‎9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·2，‎ 当且仅当x＝3y时等号成立．‎ 设x＋3y＝t＞0，则t2＋12t－108≥0，‎ ‎∴(t－6)(t＋18)≥0，又∵t＞0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6.‎ 答案　(1)5　(2)6‎ 规律方法　条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．‎ 易错警示　(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．‎ ‎【训练2】 (1)已知x>0，y>0且x＋y＝1，则＋的最小值为________．‎ ‎(2)(2017·西安模拟)已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为(　　)‎ A．8 B．4 C．2 D．0‎ 解析　(1)(常数代换法)‎ 因为x>0，y>0，且x＋y＝1，‎ 所以＋＝(x＋y)‎ ‎＝10＋＋≥10＋2＝18，‎ 当且仅当＝，即x＝2y时等号成立，‎ 所以当x＝，y＝时，＋有最小值18.‎ ‎(2)由x＋2y－xy＝0，得＋＝1，且x>0，y>0.‎ ‎∴x＋2y＝(x＋2y)×＝＋＋4≥4＋4＝8.‎ 答案　(1)18　(2)A 考点三　基本不等式在实际问题中的应用 ‎【例3】 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．‎ ‎(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；‎ ‎(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．‎ 解　(1)设所用时间为t＝(h)，‎ y＝×2×＋14×，x∈[50,100]．‎ 所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50,100]‎ ‎(或y＝＋x，x∈[50,100])．‎ ‎(2)y＝＋x≥26，‎ 当且仅当＝x，‎ 即x＝18时等号成立．‎ 故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.‎ 规律方法　(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．‎ ‎(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．‎ ‎(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解．‎ ‎【训练3】 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.‎ ‎(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为______辆/时；‎ ‎(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．‎ 解析　(1)当l＝6.05时，F＝，‎ ‎∴F＝＝≤＝1 900，‎ 当且仅当v＝，即v＝11时取“＝”．‎ ‎∴最大车流量F为1 900辆/时．‎ ‎(2)当l＝5时，F＝＝，‎ ‎∴F≤＝2 000，‎ 当且仅当v＝，即v＝10时取“＝”．‎ ‎∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100辆/时．‎ 答案　(1)1 900　(2)100‎ ‎[思想方法]‎ ‎1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．‎ ‎2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤2≤，≤≤(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．‎ ‎3．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋(m>0)的单调性．‎ ‎[易错防范]‎ ‎1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．‎ ‎2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：30分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题 ‎1．下列不等式一定成立的是(　　)‎ A．lg>lg x(x>0)‎ B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)‎ C．x2＋1≥2|x|(x∈R)‎ D.＜1(x∈R)‎ 解析　当x＞0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg≥lg x(x＞0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．‎ 答案　C ‎2．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)‎ A．[0,2] B．[－2,0]‎ C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]‎ 解析　2≤2x＋2y＝1，所以2x＋y≤，即2x＋y≤2－2，所以x＋y≤－2.‎ 答案　D ‎3．(2016·合肥二模)若a，b都是正数，则·的最小值为(　　)‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ 解析　∵a，b都是正数，∴＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号．故选C.‎ 答案　C ‎4．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)‎ A.≤ B.＋≤1‎ C.≥2 D．a2＋b2≥8‎ 解析　4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，选项A，C不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立．‎ 答案　D ‎5．(2015·湖南卷)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)‎ A. B．2 C．2 D．4‎ 解析　依题意知a＞0，b＞0，则＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立．因为＋＝，所以≥，即ab≥2，所以ab的最小值为2，故选C.‎ 答案　C ‎6．(2017·咸阳模拟)若实数x，y满足xy>0，则＋的最大值为(　　)‎ A．2－ B．2＋ C．4＋2 D．4－2 解析　＋＝＝＝1＋＝1＋≤1＋＝4－2，当且仅当＝，即x2＝2y2时取等号．故选D.‎ 答案　D ‎7．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是(　　)‎ A. B. C．2 D. 解析　由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.‎ 答案　C ‎8．(2017·安庆二模)已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为(　　)‎ A．4 B．2 C．8 D．16‎ 解析　由a>0，b>0，a＋b＝＋＝，得ab＝1，‎ 则＋≥2＝2.当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立．故选B.‎ 答案　B 二、填空题 ‎9．正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．‎ 解析　∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，‎ 解得≥3，即ab≥9.‎ 答案　[9，＋∞)‎ ‎10．(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则＋的最大值为________．‎ 解析　∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，‎ ‎∴＋＝－(m＋n)＝－≤－2－2＝－4，当且仅当m＝n＝－时，＋取得最大值－4.‎ 答案　－4‎ ‎11．若对于任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．‎ 解析　＝，‎ 因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，‎ 则≤＝，‎ 即的最大值为，故a≥.‎ 答案　 ‎12．(2017·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．‎ 解析　设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝‎ k1x(k1≠0)，y2＝(k2≠0)，‎ ‎∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，‎ ‎∴k1＝5，k2＝20，∴运费与仓储费之和为万元，‎ ‎∵5x＋≥2＝20，当且仅当5x＝，即x＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．‎ 答案　2　20‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎13．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　)‎ A．0 B．1 C. D．3‎ 解析　由已知得z＝x2－3xy＋4y2，(*)‎ 则＝＝≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以＋－＝＋－＝－2＋1≤1.‎ 答案　B ‎14．(2017·衡水中学调研)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋2by(a>0，b>0)的最大值为1，则＋的最小值为________．‎ 解析　不等式组所表示的平面区域是以(0,0)， ‎，(1,1)为顶点的三角形区域(包括边界)，观察可知，当直线z＝ax＋2by过点(1,1)时，z有最大值，故a＋2b＝1，故1≥2，故ab≤，故＋≥≥8，当且仅当a＝2b＝时等号成立，故＋的最小值为8.‎ 答案　8‎ ‎15．(2017·辽宁五校协作体联考)点(a，b)为第一象限内的点，且在圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝8上，则ab的最大值为________．‎ 解析　由题意知a>0，b>0，且(a＋1)2＋(b＋1)2＝8，化简得a2＋b2＋2(a＋b)＝6，则6≥2ab＋4(当且仅当a＝b时取等号)，令t＝(t>0)，则t2＋2t－3≤0，解得0