2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章4-4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用 24页

第4讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用 最新考纲　1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图像，了解参数A，ω，φ对函数图像变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．‎ 知 识 梳 理 ‎1．“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图 ‎“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：‎ ‎(1)定点：如下表所示.‎ x ‎－ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ ‎(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图像．‎ ‎(3)扩展：将所得图像，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图像．‎ ‎2．函数y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义 当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表：‎ 简谐振动 振幅 周期 频率 相位 初相 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)‎ A T＝ f＝ ωx＋φ φ ‎3.函数y＝sin x的图像经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像的两种途径 诊 断 自 测 ‎1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)　精彩PPT展示 ‎(1)将函数y＝3sin 2x的图像左移个单位长度后所得图像的解析式是y＝3sin.(　　)‎ ‎(2)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　　)‎ ‎(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)‎ ‎(4)由图像求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图像中最高点的值与最低点的值确定的．(　　)‎ 解析　(1)将函数y＝3sin 2x的图像向左平移个单位长度后所得图像的解析式是y＝3cos 2x.‎ ‎(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等．‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎2．y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)‎ A．2，，－ B．2，，－ C．2，，－ D．2，，－ 答案　A ‎3．(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y＝2sin的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为(　　)‎ A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 解析　函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图像向右平移个周期即个单位，所得函数为y＝2sin＝2sin，故选D.‎ 答案　D ‎4．(2017·衡水中学金卷)将函数y＝sin的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位，所得函数图像的一个对称中心是(　　)‎ A. B. C. D. 解析　将函数y＝sin的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，可得函数y＝sin的图像，再向右平移个单位长度，所得函数的解析式为y＝sin 2x，‎ 令2x＝kπ，x＝(k∈Z)，故所得函数的对称中心为，(k∈Z)，故所得函数的一个对称中心是，故选D.‎ 答案　D ‎5.(教材改编)如图，某地一天，从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)，则这段曲线的函数解析式为________．‎ 解析　从图中可以看出，从6～14时是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，又×＝14－6，‎ 所以ω＝.由图可得A＝(30－10)＝10，‎ b＝(30＋10)＝20.又×10＋φ＝2π，解得φ＝，‎ ‎∴y＝10sin＋20，x∈[6,14]．‎ 答案　y＝10sin＋20，x∈[6,14]‎ 考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及变换 ‎【例1】 设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的周期为π.‎ ‎(1)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图像；‎ ‎(2)说明函数f(x)的图像可由y＝sin x的图像经过怎样的变换而得到．‎ 解　f(x)＝sin ωx＋cos ωx ‎＝2＝2sin，‎ 又∵T＝π，∴＝π，即ω＝2，∴f(x)＝2sin.‎ ‎(1)令z＝2x＋，则y＝2sin＝2sin z.‎ 列表，并描点画出图像：‎ x ‎－ z ‎0‎ π ‎2π y＝sin z ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎0‎ y＝2sin ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎－2‎ ‎0‎ ‎(2)法一　把y＝sin x的图像上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin的图像；再把y＝sin的图像上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图像；最后把y＝sin 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图像．‎ 法二　将y＝sin x的图像上每一点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图像；再将y＝sin 2x的图像向左平移个单位，得到y＝sin 2＝sin的图像；再将y＝sin的图像上每一点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2sin的图像．‎ 规律方法　作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像常用如下两种方法：‎ ‎(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图像；‎ ‎(2)图像的变换法，由函数y＝sin x的图像通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．‎ ‎【训练1】 设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.‎ ‎(1)求ω和φ的值；‎ ‎(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图像．‎ 解　(1)∵T＝＝π，ω＝2，‎ 又f＝cos＝，∴sin φ＝－，‎ 又－＜φ＜0，∴φ＝－.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝cos，列表：‎ ‎2x－ ‎－ ‎0‎ π π π x ‎0‎ π π π π f(x)‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎0‎ 描点画出图像(如图)．‎ 考点二　由图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 ‎【例2】 (1)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图像向右平移φ(0＜φ＜π)个单位长度后，得到函数g(x)的图像，若f(x)，g(x)的图像都经过点P，则φ的值为________．‎ ‎(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图像如图所示，则函数f(x)的解析式为________．‎ 解析　(1)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图像向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数g(x)＝sin[2(x－φ)＋θ]＝sin(2x－2φ＋θ)的图像，若f(x)，g(x)的图像都经过点P，‎ 所以sin θ＝，sin(－2φ＋θ)＝，‎ 所以θ＝，sin＝.又0＜φ＜π，所以－＜－2φ＜，所以－2φ＝－.‎ 即φ＝.‎ ‎(2)由题图可知A＝，‎ 法一　＝－＝，‎ 所以T＝π，故ω＝2，‎ 因此f(x)＝sin(2x＋φ)，‎ 又对应五点法作图中的第三个点，‎ 因此2×＋φ＝π，所以φ＝，故f(x)＝sin.‎ 法二　以为第二个“零点”，为最小值点，‎ 列方程组解得 故f(x)＝sin.‎ 答案　(1)　(2)f(x)＝sin 规律方法　已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图像求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：‎ ‎(1)五点法，由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图像上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ；‎ ‎(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．‎ ‎【训练2】 (2016·全国Ⅱ卷)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则(　　)‎ A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 解析　由题图可知，T＝2＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×＋φ＝，所以φ＝－，所以函数的解析式为y＝2sin，故选A.‎ 答案　A 考点三　三角函数模型及其应用 ‎【例3】 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．‎ ‎(1)求实验室这一天的最大温差；‎ ‎(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？‎ 解　(1)因为f(t)＝10－2 ‎＝10－2sin，‎ 又0≤t<24，所以≤t＋<，‎ 当t＝2时，sin＝1；‎ 当t＝14时，sin＝－1.‎ 于是f(t)在[0,24)上取得最大值12℃，取得最小值8℃.‎ 故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.‎ ‎(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温，‎ 由(1)得f(t)＝10－2sin，‎ 故有10－2sin>11，即sin<－.‎ 又0≤t<24，因此0)图像上最高点的纵坐标为2，且图像上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求a和ω的值；‎ ‎(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间．‎ 解　(1)f(x)＝4cos ωx· sin＋a ‎＝4cos ωx·＋a ‎＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx－1＋1＋a ‎＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋1＋a ‎＝2sin＋1＋a.‎ 当sin＝1时，f(x)取得最大值2＋1＋a＝3＋a.‎ 又f(x)最高点的纵坐标为2，∴3＋a＝2，即a＝－1.‎ 又f(x)图像上相邻两个最高点的距离为π，‎ ‎∴f(x)的最小正周期为T＝π，‎ ‎∴2ω＝＝2，ω＝1.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝2sin，‎ 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 令k＝0，得≤x≤.‎ ‎∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为.‎ 规律方法　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间和对称性的确定，基本思想是把ωx＋φ看做一个整体．在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性．对称性是三角函数图像的一个重要性质，因此要抓住其轴对称、中心对称的本质，同时还要会综合利用这些性质解决问题，解题时可利用数形结合思想．‎ ‎【训练4】 已知函数f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)．‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若将f(x)的图像向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．‎ 解　(1)f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)‎ ‎＝cos x＋sin x＝2sin，于是T＝＝2π.‎ ‎(2)由已知得g(x)＝f＝2sin，‎ ‎∵x∈[0，π]，∴x＋∈，‎ ‎∴sin∈，‎ ‎∴g(x)＝2sin∈[－1,2]，‎ 故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.‎ ‎[思想方法]‎ ‎1．五点法作图及图像变换问题 ‎(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；‎ ‎(2)图像变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化．‎ ‎2．由图像确定函数解析式 解决由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像确定A，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图像的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．‎ ‎[易错防范]‎ ‎1．由函数y＝sin x的图像经过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像，如先伸缩再平移时，要把x前面的系数提取出来．‎ ‎2．复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看做一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化．‎ ‎3．求函数y＝Asin(ωx＋φ)在x∈[m，n]上的最值，可先求t＝ωx＋φ的范围，再结合图像得出y＝Asin t的值域．‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题 ‎1．(2016·全国Ⅱ卷)若将函数y＝2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为(　　)‎ A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)‎ C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)‎ 解析　由题意将函数y＝2sin 2x的图像向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin，由2x＋＝kπ＋得函数的对称轴为x＝＋(k∈Z)，故选B.‎ 答案　B ‎2．(2017·衡水中学金卷)若函数y＝sin(ωx－φ)(ω>0，|φ|<)在区间上的图像如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)‎ A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝－ C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝－ 解析　由图可知，T＝2＝π，所以ω＝＝2，又sin＝0，所以－φ＝k π(k∈Z)，即φ＝－kπ(k∈Z)，而|φ|<，所以φ＝，故 选A.‎ 答案　A ‎3．(2017·西安模拟)将函数f(x)＝sin x－cos x的图像沿着x轴向右平移a(a>0)个单位后的图像关于y轴对称，则a的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. 解析　依题意得f(x)＝2sin，因为函数f(x－a)＝2sin的图像关于y轴对称，所以sin＝±1，a＋＝kπ＋，k∈Z，即a＝kπ＋，k∈Z，因此正数a的最小值是，选B.‎ 答案　B ‎4．(2016·长沙模拟)函数f(x)＝3sinx－logx的零点的个数是(　　)‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 解析　函数y＝3sinx的周期T＝＝4，由logx＝3，可得x＝.由logx＝－3，可得x＝8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝3sinx和y＝logx的图像(如图所示)，易知有5个交点，故函数f(x)有5个零点．‎ 答案　D ‎5．(2017·宜春调研)如图是函数f(x)＝sin 2x和函数g(x)的部分图像，则g(x)的图像可能是由f(x)的图像(　　)‎ A．向右平移个单位得到的 B．向右平移个单位得到的 C．向右平移个单位得到的 D．向右平移个单位得到的 解析　由函数f(x)＝sin 2x和函数g(x)的部分图像，可得g(x)的图像位于y轴右侧的第一个最高点的横坐标为m，则有－m＝－，解得m＝，故把函数f(x)＝sin 2x的图像向右平移－＝个单位，即可得到函数g(x)的图像，故选B.‎ 答案　B 二、填空题 ‎6．(2016·龙岩模拟)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.‎ 解析　因为当x＝6时，y＝a＋A＝28；‎ 当x＝12时，y＝a－A＝18，所以a＝23，A＝5，‎ 所以y＝f(x)＝23＋5cos，‎ 所以当x＝10时，f(10)＝23＋5cos ‎＝23－5×＝20.5.‎ 答案　20.5‎ ‎7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)的解析式为________．‎ 解析　据已知两个相邻最高和最低点距离为2，可得＝2，解得T＝4，故ω＝＝，‎ 即f(x)＝sin.又函数图像过点，‎ 故f(2)＝sin＝－sin φ＝－，‎ 又－≤φ≤，‎ 解得φ＝，故f(x)＝sin.‎ 答案　f(x)＝sin ‎8．已知f(x)＝sin (ω>0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________.‎ 解析　依题意，x＝＝时，y有最小值，‎ ‎∴sin＝－1，∴ω＋＝2kπ＋ (k∈Z)．‎ ‎∴ω＝8k＋ (k∈Z)，因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，所以－≤，即ω≤12，令k＝0，‎ 得ω＝.‎ 答案　 三、解答题 ‎9．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos，其中x∈R，ω＞0.‎ ‎(1)当ω＝1时，求f的值；‎ ‎(2)当f(x)的最小正周期为π时，求f(x)在上取得最大值时x的值．‎ 解　(1)当ω＝1时，f＝sin ＋cos ‎＝＋0＝.‎ ‎(2)f(x)＝sin ωx＋cos ‎＝sin ωx＋cos ωx－sin ωx ‎＝sin ωx＋cos ωx＝sin.‎ ‎∵＝π，且ω＞0，得ω＝2，∴f(x)＝sin.‎ 由x∈，得2x＋∈，‎ ‎∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝1.‎ ‎10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻最高点的距离为π.‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图像向右平移个单位后，得到y＝g(x)的图像，求g(x)的单调递减区间．‎ 解　(1)因为f(x)的图像上相邻最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.‎ 又f(x)的图像关于直线x＝对称，所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，因为－≤φ＜，所以k＝0，‎ 所以φ＝－＝－，所以f(x)＝sin，‎ 则f＝sin＝sin ＝.‎ ‎(2)将f(x)的图像向右平移个单位后，得到 f的图像，‎ 所以g(x)＝f＝sin ‎＝sin.‎ 当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减．‎ 因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎11．(2017·西安调研)设函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是(　　)‎ A．f(x)的图像关于直线x＝对称 B．f(x)的图像关于点对称 C．f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数 D．把f(x)的图像向右平移个单位，得到一个偶函数的图像 解析　对于函数f(x)＝sin，当x＝时，‎ f＝sin ＝，故A错；当x＝时，‎ f＝sin ＝1，故不是函数的对称点，故B错；函数的最小正周期为T＝＝π，当x ‎∈时，‎ ‎2x＋∈，此时函数为增函数，故C正确；‎ 把f(x)的图像向右平移个单位，得到g(x)＝sin＝sin 2x，函数是奇函数，故D错．‎ 答案　C ‎12．(2016·南昌一模)已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是(　　)‎ A.∪[6，＋∞)‎ B.∪ C．(－∞，－2]∪[6，＋∞)‎ D．(－∞，－2]∪ 解析　当ω>0时，－ω≤ωx≤ω，由题意知－ω≤－，即ω≥；当ω<0时，ω≤ωx≤－ω，‎ 由题意知ω≤－，∴ω≤－2.‎ 综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪.‎ 答案　D ‎13．(2015·湖南卷)已知ω>0，在函数y＝2sin ωx与y＝2cos ωx ‎ 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________.‎ 解析　由得sin ωx＝cos ωx，‎ ‎∴tan ωx＝1，ωx＝kπ＋ (k∈Z)．‎ ‎∵ω>0，∴x＝＋ (k∈Z)．‎ 设距离最短的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，不妨取x1＝，x2＝，则|x2－x1|＝＝.‎ 又结合图形知|y2－y1|＝＝2，‎ 且(x1，y1)与(x2，y2)间的距离为2，‎ ‎∴(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝(2)2，‎ ‎∴2＋(2)2＝12，∴ω＝.‎ 答案　 ‎14．(2017·郑州模拟)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎－5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整，并求出函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)将y＝f(x)的图像向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图像．若关于x的方程g(x)－(2m＋1)＝0在区间上有两个不同的解，求实数m的取值范围．‎ 解　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.‎ 数据补全如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎－5‎ ‎0‎ 且函数表达式为f(x)＝5sin.‎ ‎(2)通过平移，g(x)＝5sin，‎ 方程g(x)－(2m＋1)＝0可看成函数y＝g(x)和函数y＝2m＋1的图像在上有两个交点，‎ 当x∈时，2x＋∈，为使直线y＝2m＋1与函数y＝g(x)的图像在上有两个交点，结合函数y＝g(x)在[0，]上的图像，‎ 只需≤2m＋1<5，解得≤m<2.‎ 即实数m的取值范围为.‎ 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎