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  • 2021-05-13 发布

2020-2021学年高考数学(理)考点:双曲线

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‎2020-2021学年高考数学(理)考点:双曲线 ‎1.双曲线的概念 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.‎ 集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c>2a,其中a,c为常数且a>0,c>0.‎ ‎2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 -=1‎ ‎(a>0,b>0)‎ -=1‎ ‎(a>0,b>0)‎ 图形 性 质 范围 x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0)‎ A1(0,-a),A2(0,a)‎ 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e=,e∈(1,+∞),其中c= 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a,线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长 a,b,c 的关系 c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0)‎ 概念方法微思考 ‎1.平面内与两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗?为什么?‎ 提示 不一定.当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是两条射线;‎ 当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在;‎ 当2a=0时,动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.‎ ‎2.与椭圆标准方程相比较,双曲线标准方程中,a,b只限制a>0,b>0,二者没有大小要求,若a>b>0,a=b>0,0b>0时,10时,e=(亦称等轴双曲线);当0.‎ ‎1.(2020•天津)设双曲线的方程为,过抛物线的焦点和点的直线为.若的一条渐近线与平行,另一条渐近线与垂直,则双曲线的方程为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】抛物线的焦点坐标为,‎ 则直线的方程为,‎ 双曲线的方程为的渐近线方程为,‎ 的一条渐近线与平行,另一条渐近线与垂直,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ 双曲线的方程为,‎ 故选.‎ ‎2.(2020•新课标Ⅰ)设,是双曲线的两个焦点,为坐标原点,点在上且,则△的面积为  ‎ A. B.3 C. D.2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得,,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎△为直角三角形,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎△的面积为,‎ 故选.‎ ‎3.(2020•新课标Ⅲ)设双曲线的左、右焦点分别为,,离心率为.是上一点,且.若△的面积为4,则  ‎ A.1 B.2 C.4 D.8‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意,设,,可得,,,,‎ 可得,可得,‎ 解得.‎ 故选.‎ ‎4.(2019•全国)已知双曲线,过的左焦点且垂直于轴的直线交于,两点,若以为直径的圆经过的右焦点,则的离心率为  ‎ A. B.2 C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】设双曲线的左焦点为,右焦点为,‎ 以为直径的圆恰好过双曲线的右焦点,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故选.‎ ‎5.(2019•新课标Ⅲ)已知是双曲线的一个焦点,点在上,为坐标原点.若,则的面积为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图,不妨设为双曲线的右焦点,为第一象限点.‎ 由双曲线方程可得,,,则,‎ 则以为圆心,以3为半径的圆的方程为.‎ 联立,解得,.‎ ‎.‎ 故选.‎ ‎6.(2019•新课标Ⅲ)双曲线的右焦点为,点在的一条渐近线上,为坐标原点.若,则的面积为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】双曲线的右焦点为,,渐近线方程为:,不妨在第一象限,‎ 可得,,,‎ 所以的面积为:.‎ 故选.‎ ‎7.(2019•浙江)渐近线方程为的双曲线的离心率是  ‎ A. B.1 C. D.2‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据渐近线方程为的双曲线,可得,所以 则该双曲线的离心率为,‎ 故选.‎ ‎8.(2019•北京)已知双曲线的离心率是,则  ‎ A. B.4 C.2 D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由双曲线,得,‎ 又,得,即,‎ 解得,.‎ 故选.‎ ‎9.(2019•新课标Ⅱ)设为双曲线的右焦点,为坐标原点,以为直径的圆与圆交于,两点.若,则的离心率为  ‎ A. B. C.2 D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图,‎ 由,可知过点,,‎ 由图可得,得.‎ 故选.‎ ‎10.(2019•新课标Ⅰ)双曲线的一条渐近线的倾斜角为,则的离心率为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线的渐近线方程为,‎ 由双曲线的一条渐近线的倾斜角为,得,‎ 则,‎ ‎,‎ 得,‎ ‎.‎ 故选.‎ ‎11.(2018•天津)已知双曲线的离心率为2,过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于,两点.设,到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和,且,则双曲线的方程为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得图象如图,是双曲线的一条渐近线 ‎,即,,‎ ‎,,,是梯形,‎ 是的中点,,‎ ‎,‎ 所以,双曲线的离心率为2,可得,‎ 可得:,解得.‎ 则双曲线的方程为:.‎ 故选.‎ ‎12.(2018•天津)已知双曲线的离心率为2,过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于,两点.设,到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和,且,则双曲线的方程为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得图象如图,是双曲线的一条渐近线 ‎,即,,‎ ‎,,,是梯形,‎ 是的中点,,‎ ‎,‎ 所以,双曲线的离心率为2,可得,‎ 可得:,解得.‎ 则双曲线的方程为:.‎ 故选.‎ ‎13.(2018•浙江)双曲线的焦点坐标是  ‎ A.,,, B., ‎ C., D.,‎ ‎【答案】B ‎【解析】双曲线方程可得双曲线的焦点在轴上,且,,‎ 由此可得,‎ 该双曲线的焦点坐标为 故选.‎ ‎14.(2018•新课标Ⅲ)已知双曲线的离心率为,则点到的渐近线的距离为  ‎ A. B.2 C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线的离心率为,‎ 可得,即:,解得,‎ 双曲线的渐近线方程为:,‎ 点到的渐近线的距离为:.‎ 故选.‎ ‎15.(2018•新课标Ⅲ)设,是双曲线.的左,右焦点,是坐标原点.过作的一条渐近线的垂线,垂足为,若,则的离心率为  ‎ A. B.2 C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】双曲线.的一条渐近线方程为,‎ 点到渐近线的距离,即,‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 在三角形中,由余弦定理可得,‎ ‎,‎ 即,‎ 即,‎ ‎,‎ 故选.‎ ‎16.(2018•新课标Ⅱ)双曲线的离心率为,则其渐近线方程为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】双曲线的离心率为,‎ 则,‎ 即双曲线的渐近线方程为,‎ 故选.‎ ‎17.(2018•新课标Ⅰ)已知双曲线,为坐标原点,为的右焦点,过的直线与的两条渐近线的交点分别为,.若为直角三角形,则  ‎ A. B.3 C. D.4‎ ‎【答案】B ‎【解析】双曲线的渐近线方程为:,渐近线的夹角为:,不妨设过的直线为:,‎ 则:解得,,‎ 解得:,‎ 则.‎ 故选.‎ ‎18.(2017•全国)已知双曲线的右焦点为,直线与的右支有两个交点,则  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】双曲线的渐近线方程为 ‎,‎ 由直线与的右支有两个交点,‎ 且直线经过右焦点,‎ 可得,‎ 故选.‎ ‎19.(2017•天津)已知双曲线的右焦点为,点在双曲线的渐近线上,是边长为2的等边三角形为原点),则双曲线的方程为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线的右焦点为,点在双曲线的渐近线上,是边长为2的等边三角形为原点),‎ 可得,,即,,‎ 解得,,双曲线的焦点坐标在轴,所得双曲线方程为:.‎ 故选.‎ ‎20.(2017•新课标Ⅰ)已知是双曲线的右焦点,是上一点,且与轴垂直,点的坐标是,则的面积为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由双曲线的右焦点,‎ 与轴垂直,设,,则,‎ 则,‎ ‎,则,,‎ 的面积,‎ 同理当时,则的面积,‎ 故选.‎ ‎21.(2017•新课标Ⅲ)已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点,则的方程为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】椭圆的焦点坐标,‎ 则双曲线的焦点坐标为,可得,‎ 双曲线的一条渐近线方程为,‎ 可得,即,可得,解得,,‎ 所求的双曲线方程为:.‎ 故选.‎ ‎22.(2017•新课标Ⅱ)若,则双曲线的离心率的取值范围是  ‎ A., B., C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】,则双曲线的离心率为:.‎ 故选.‎ ‎23.(2020•北京)已知双曲线,则的右焦点的坐标为  ;的焦点到其渐近线的距离是__________.‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】双曲线,则,则,则的右焦点的坐标为,‎ 其渐近线方程为,即,‎ 则点到渐近线的距离,‎ 故答案为:,.‎ ‎24.(2020•新课标Ⅲ)设双曲线的一条渐近线为,则的离心率为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由双曲线的方程可得渐近线的方程为:,‎ 由题意可得,所以离心率,‎ 故答案为:.‎ ‎25.(2020•江苏)在平面直角坐标系中,若双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】双曲线的一条渐近线方程为,可得,所以,‎ 所以双曲线的离心率为:,‎ 故答案为:.‎ ‎26.(2020•新课标Ⅰ)已知为双曲线的右焦点,为的右顶点,为上的点,且垂直于轴.若的斜率为3,则的离心率为__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】为双曲线的右焦点,为的右顶点,‎ 为上的点,且垂直于轴.所以,‎ 若的斜率为3,可得:,‎ ‎,代入上式化简可得,,‎ 可得,,‎ 解得.‎ 故答案为:2.‎ ‎27.(2019•上海)已知数列满足,,均在双曲线上,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】法一:由,可得,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ 求解极限可得.‎ 方法二:当时,与渐近线平行,在轴的投影为1,渐近线倾斜角为,则,‎ 故 故答案为:.‎ ‎28.(2019•江苏)在平面直角坐标系中,若双曲线经过点,则该双曲线的渐近线方程是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】双曲线经过点,‎ ‎,解得,即.‎ 又,该双曲线的渐近线方程是.‎ 故答案为:.‎ ‎29.(2019•新课标Ⅰ)已知双曲线的左、右焦点分别为,,过的直线与的两条渐近线分别交于,两点.若,,则的离心率为__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】如图,‎ ‎,为的中点,且为的中点,‎ 为△的中位线,‎ 又,,则.‎ 设,,,,‎ 点在渐近线上,‎ ‎,得.‎ 又为的中点,,‎ 在渐近线上,‎ ‎,得,则双曲线的离心率.‎ 故答案为:2.‎ ‎30.(2018•江苏)在平面直角坐标系中,若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为,则其离心率的值为__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为,‎ 可得:,‎ 可得,即,‎ 所以双曲线的离心率为:.‎ 故答案为:2.‎ ‎31.(2018•北京)若双曲线的离心率为,则__________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】双曲线的离心率为,‎ 可得:,解得.‎ 故答案为:4.‎ ‎32.(2018•上海)双曲线的渐近线方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】双曲线的,,焦点在轴上 ‎ 而双曲线的渐近线方程为 双曲线的渐近线方程为 故答案为:.‎ ‎33.(2017•上海)设双曲线的焦点为、,为该双曲线上的一点,若,则__________.‎ ‎【答案】11‎ ‎【解析】根据题意,双曲线的方程为:,‎ 其中,‎ 则有,‎ 又由,‎ 解可得或(舍 故,‎ 故答案为:11.‎ ‎34.(2017•北京)若双曲线的离心率为,则实数__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】双曲线的离心率为,‎ 可得:,‎ 解得.‎ 故答案为:2.‎ ‎35.(2017•新课标Ⅰ)已知双曲线的右顶点为,以为圆心,为半径作圆,圆与双曲线的一条渐近线交于、两点.若,则的离心率为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】双曲线的右顶点为,‎ 以为圆心,为半径做圆,圆与双曲线的一条渐近线交于、两点.‎ 若,可得到渐近线的距离为:,‎ 可得:,即,可得离心率为:.‎ 故答案为:.‎ ‎36.(2017•江苏)在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点,,其焦点是,,则四边形的面积是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】双曲线的右准线:,双曲线渐近线方程为:,‎ 所以,,,,..‎ 则四边形的面积是:.‎ 故答案为:.‎ ‎37.(2018•全国)双曲线,、为其左右焦点,是以为圆心且过原点的圆.‎ ‎(1)求的轨迹方程;‎ ‎(2)动点在上运动,满足,求的轨迹方程.‎ ‎【解析】(1)由已知得,,故,所以、,‎ 因为是以为圆心且过原点的圆,故圆心为,半径为4,‎ 所以的轨迹方程为;‎ ‎(2)设动点,,,‎ 则,,‎ 由,得,,,‎ 即,解得,‎ 因为点在上,所以,‎ 代入得,‎ 化简得.‎ ‎38.(2017•上海)已知双曲线,直线,与交于、两点,为关于轴的对称点,直线与轴交于点;‎ ‎(1)若点是的一个焦点,求的渐近线方程;‎ ‎(2)若,点的坐标为,且,求的值;‎ ‎(3)若,求关于的表达式.‎ ‎【解析】(1)双曲线,点是的一个焦点,‎ ‎,,,‎ 的标准方程为:,‎ 的渐近线方程为.‎ ‎(2),双曲线为:,,,‎ ‎,设,,‎ 则有定比分点坐标公式,得:‎ ‎,解得,,,‎ ‎.‎ ‎(3)设,,,,,‎ 则,,,‎ 由,得,‎ ‎,,‎ 由,得,‎ ‎,,‎ ‎,即,即,‎ ‎,‎ 化简,得,‎ 或,‎ 当,由,得,‎ 由,得,‎ 即,,代入,化简,得:‎ ‎,解得或,‎ 当时,满足,‎ 当时,由,得(舍去),‎ 综上,得.‎ 强化训练 ‎1.(2020•江西模拟)圆与双曲线的两条渐近线相切于、两点,若,则的离心率为  ‎ A. B. C.2 D.3‎ ‎【答案】A ‎【解析】圆的圆心为,‎ 双曲线的两条渐近线方程为,‎ 由圆和两条渐近线都关于轴对称,可设,,,,‎ 由题意可得,则,‎ 由为切点,直线与渐近线垂直,‎ 可得,则,‎ 可得双曲线的离心率为,‎ 故选.‎ ‎2.(2020•红岗区校级模拟)已知双曲线的左、右焦点分别为、,过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于、两点,若的周长为24,则当取得最大值时,该双曲线的焦点到渐近线的距离为  ‎ A.1 B. C.2 D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】可设,由代入双曲线的方程可得,‎ 则,,‎ 由题意可得,‎ 结合,上式化简可得,可得,‎ 则,‎ 设,,导数为,‎ 当时,,递减;当时,,递增.‎ 可得在处取得最大值.‎ 即有,,即,‎ 而焦点到渐近线的距离为,‎ 故选.‎ ‎3.(2020•湖北模拟)已知双曲线的右顶点为,为坐标原点,以为圆心的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点,,若且,则双曲线的离心率为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】,,‎ 又, 是等腰直角三角形,‎ ‎,渐近线方程不妨为,即 则 到该渐近线的距离为 ‎,‎ 又,,‎ 又,‎ 由余弦定理,‎ 得,‎ 整理得,,‎ 故选.‎ ‎4.(2020•运城模拟)当变化时,对于双曲线,值不变的是  ‎ A.实轴长 B.虚轴长 C.焦距 D.离心率 ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得,,,显然双曲线实轴长,虚轴长,焦距都是变量;‎ 而是常数.‎ 故选.‎ ‎5.(2020•镜湖区校级模拟)双曲线左、右焦点分别为,,一条渐近线与直线垂直,点在上,且,则  ‎ A.6或30 B.6 C.30 D.6或20‎ ‎【答案】C ‎【解析】双曲线左、右焦点分别为,,一条渐近线与直线垂直,‎ 可得,解得,‎ 点在上,,所以在双曲线的右支上,‎ 则.‎ 故选.‎ ‎6.(2020•香坊区校级一模)已知双曲线的右焦点为,过作双曲线一条渐近线的垂线,垂足为点,且与另一条渐近线交于点,若,则双曲线方程为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得,即,‎ 双曲线的渐近线方程为,‎ 设在渐近线上,可得,‎ 若,则为的中点如图,‎ 且,可得为等腰三角形,‎ 则,‎ 在直角三角形中,可得,‎ 即,,‎ 则双曲线的方程为.‎ 故选.‎ ‎7.(2020•二模拟)双曲线的左、右焦点分别为,,过其中一个焦点作轴的垂线,与交于,两点,若,则双曲线的离心率为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知,双曲线的通径为:,双曲线的左、右焦点分别为,,过其中一个焦点作轴的垂线,与交于,两点,若,‎ 可得,即:,即,.‎ 解得.‎ 故选.‎ ‎8.(2020•南岗区校级模拟)已知双曲线的右焦点为,和为双曲线上关于原点对称的两点,且在第一象限.连结并延长交于,连结,,若△是以为直角的等腰直角三角形,则双曲线的离心率为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】设双曲线的半焦距为,,‎ 由,,可得四边形为平行四边形,‎ 则,且,‎ 连接,由双曲线的定义可得,‎ 又,‎ 在直角三角形中,可得,①‎ 在直角三角形中,可得,‎ 化为,代入①可得,‎ 即有,即.‎ 故选.‎ ‎9.(2020•安徽模拟)已知双曲线的离心率为2.则其渐近线的方程为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】双曲线的离心率为2.‎ 可得:,即,‎ 可得,‎ 则双曲线的渐近线方程为:.‎ 故选.‎ ‎10.(2020•汉阳区校级模拟)已知为双曲线的右支上一点,、为其左、右焦点,且焦距的长度为6,为的角平分线,是与轴的交点,是坐标原点,满足,,则双曲线的离心率为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图,焦距的长度为6,满足,,‎ 故,;‎ 为的角平分线,‎ ‎;‎ 设,则;‎ ‎△中,;①‎ ‎△中,;②‎ 联立①②可得:;‎ ‎;‎ ‎.‎ 故选.‎ ‎11.(2020•东湖区校级三模)已知、为双曲线的左、右焦点,点为右支上一点.若恰好被轴平分,且,则的渐近线方程为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】、为双曲线的左、右焦点,点为右支上一点,‎ 若恰好被轴平分,‎ 则垂直轴,因为,‎ 所以,可得,,可得,‎ 可得,则.‎ 则的渐近线方程为.‎ 故选.‎ ‎12.(2020•辽宁模拟)已知,分别为双曲线的两个焦点,双曲线上的点到原点的距离为,且,则该双曲线的渐近线方程为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】,分别为双曲线的两个焦点,‎ 不妨设双曲线的焦点坐标为、,‎ ‎,所以,,‎ ‎,,双曲线上的点到原点的距离为,所以,‎ ‎,,,,,设,,,把点的坐标代入双曲线方程可得:,‎ 该双曲线的渐近线方程.‎ 故选.‎ ‎13.(2020•碑林区校级模拟)双曲线的左、右焦点为,,以为圆心,为半径作圆,过作直线与圆切于点,若在双曲线的渐近线上,则双曲线的离心率为  ‎ A. B. C.2 D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】 为圆的切线,故,‎ 又,,‎ ‎,,‎ ‎.‎ 故选.‎ ‎14.(2020•思明区校级一模)已知、为双曲线的左、右焦点,点在双曲线的右支上,线段与双曲线的左支交于点,,‎ ‎,则双曲线的离心率为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图所示:,‎ 不妨设,‎ ‎,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ 在中,由余弦定理可得,‎ 即,‎ 解得,‎ ‎,,‎ 在△中,由余弦定理可得,‎ 即,‎ 整理可得,‎ 即.‎ 故选.‎ ‎15.(2020•黄州区校级三模)已知双曲线,过左焦点作斜率为的直线与双曲线的一条渐近线相交于点,且在第一象限,若,则双曲线的离心率为  ‎ A. B. C.2 D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得直线的方程为:,与渐近线联立,‎ 可得,,‎ 因为,即,‎ 整理可得,,即,‎ 因为,‎ 解得.‎ 故选.‎ ‎16.(2020•吉林模拟)已知是双曲线的左焦点,为双曲线右支上一点,圆与轴的正半轴交点为,的最小值4,则双曲线的实轴长为  ‎ A. B.2 C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意,,设为双曲线的右焦点,则,,,,.‎ ‎,‎ 三点,,共线时取等号.‎ 所以,解得,故实轴长为2.‎ 故选.‎ ‎17.(2020•松原模拟)已知点是双曲线上一点,,分别为双曲线的左、右焦点,若△的外接圆半径为4,且为锐角,则  ‎ A.15 B.16 C.18 D.20‎ ‎【答案】B ‎【解析】点是双曲线上一点,,,,,‎ ‎△的外接圆半径为4,可得圆的圆心,圆的方程为:,不妨设在第一象限,‎ 圆的方程与双曲线联立可得,‎ ‎.‎ 故选.‎ ‎18.(2020•红岗区校级模拟)双曲线的渐近线方程是,则双曲线的焦距为  ‎ A.3 B.6 C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】双曲线的渐近线方程是,‎ 可得,所以,‎ 所以双曲线的焦距为6.‎ 故选.‎ ‎19.(2020•龙潭区校级模拟)设双曲线的渐近线方程为,则双曲线的离心率为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线的渐近线方程为,‎ 可得,所以,即,‎ 所以双曲线的离心率为:.‎ 故选.‎ ‎20.(2020•运城模拟)过双曲线的左焦点且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于,两点,与轴交于点,若,则双曲线的离心率等于  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意可知点在第二象限,点在第一象限,直线方程为,‎ 由得,由得,,‎ 由,可得,即整理得,‎ 又因为,所以,得,‎ 所以.‎ 故选.‎ ‎21.(2020•大同模拟)已知双曲线的右焦点,半焦距,点到直线的距离为,过点作双曲线的两条互相垂直的弦,,设,的中点分别为,.‎ ‎(1)求双曲线的标准方程;‎ ‎(2)证明:直线必过定点,并求出此定点的坐标.‎ ‎【解析】(1)由题意可得,,,解得:,,‎ 所以双曲线的方程为:;‎ ‎(2)证明:设设过的弦所在的直线方程为:,,,,,‎ 则有中点,,‎ 联立直线与双曲线的方程:整理可得:,‎ 因为弦与双曲线有两个交点,所以,‎ ‎,所以,‎ 所以,;‎ 当时,点即是,此时直线为轴;‎ 当时,将的坐标中的换成,‎ 同理可得的坐标,,‎ ‎①当直线不垂直于轴时,‎ 直线的斜率,‎ 将代入方程可得直线,‎ 化简可得,‎ 所以直线恒过定点;‎ ‎②当直线垂直于轴时,可得,直线也过定点;‎ 综上所述直线恒过定点.‎ ‎22.(2019•陕西三模)设离心率为3,实轴长为1的双曲线的左焦点为,顶点在原点的抛物线的准线经过点,且抛物线的焦点在轴上.‎ 求抛物线的方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线与抛物线交于不同的两点,,且满足,求的最小值.‎ ‎【解析】离心率为3,实轴长为1,即,,‎ 可得,,,‎ 可设抛物线的方程为,,‎ 可得,即,‎ 可得抛物线的方程为;‎ ‎(Ⅱ)设直线的方程为,设点,、,,‎ 则,,‎ 将直线的方程与抛物线的方程联立,得,‎ 由韦达定理得,,‎ ‎,,即,‎ ‎ 由△恒成立,‎ 则 ‎,‎ 当且仅当时,取得最小值12.‎ ‎23.(2019•天河区校级三模)已知双曲线的焦点在轴上,焦距为4,且的渐近线方程为.‎ ‎(1)求双曲线的方程;‎ ‎(2)若直线与椭圆及双曲线都有两个不同的交点,且与的两个交点和满足(其中为原点),求的取值范围.‎ ‎【解析】(1)根据题意,的渐近线方程为,则设双曲线的方程为,则,,‎ 又双曲线的焦距为4,则,即,‎ 于是由,‎ 故的方程为;‎ ‎(2)根据题意,将代入得,‎ 由直线与椭圆有两个不同的交点得,即,①‎ 将代入得,‎ 由直线与双曲线有两个不同的交点,,‎ 则有,即且,②‎ 设,,,,则,,‎ 则得,‎ 而,‎ 于是,解此不等式得,或,③‎ 由①,②,③得,或,‎ 故的取值范围为.‎ ‎24.(2019•龙岩模拟)双曲线的左右顶点分别为,,动直线垂直的实轴,且交于不同的两点,,直线与直线的交点为.‎ ‎(1)求点的轨迹的方程;‎ ‎(2)过点作的两条互相垂直的弦,,证明:过两弦,中点的直线恒过定点.‎ ‎【解析】(1)因为,,‎ 设,,,则,,且,①,‎ 因为动直线交双曲线于不同的两点,,所以且,‎ 因为直线的方程为,②,‎ 直线的方程为,③,‎ 由②③得,‎ 把①代入上式得,化简得,‎ 所以点的轨迹的方程为.‎ ‎(2)依题意得直线与直线斜率均存在且不为0,‎ 设直线的方程为,则直线的方程为,‎ 联立,得,‎ 则△,‎ 设,,,,则,,‎ 所以的中点,,‎ 同理的中点,,‎ 所以直线的斜率为,‎ 所以直线的方程为,‎ 整理得,‎ 所以直线恒过定点,,即过两弦,中点的直线恒过定点,.‎ ‎25.(2019•丹东一模)已知离心率为2的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为.‎ ‎(1)求双曲线的方程;‎ ‎(2)设,分别为的左右顶点,为异于,一点,直线与分别交轴于,两点,求证:以线段为直径的圆经过两个定点.‎ ‎【解析】(1)设,因为离心率为2,所以,.‎ 所以的渐近线为,由,得.‎ 于是,,故的方程为.‎ ‎(2)方法一、设,,因为,,‎ 可得直线与方程为,.‎ 由题设,所以,,,‎ 中点坐标,于是圆的方程为.‎ 因为,所以圆的方程可化为.‎ 当时,,因此经过两个定点和.‎ 方法二、设,,因为,,‎ 可得直线与方程为,,‎ 由题设,所以,.‎ 设是圆上点,则,即,‎ 于是圆的方程为.‎ 因为,所以圆的方程可化为.‎ 当时,,因此经过两个定点和.‎ ‎26.(2019•浦东新区一模)已知双曲线的左、右焦点分别是、,左、右两顶点分别是、,弦和所在直线分别平行于轴与轴,线段的延长线与线段相交于点(如图).‎ ‎(1)若是的一条渐近线的一个方向向量,试求的两渐近线的夹角;‎ ‎(2)若,,,,试求双曲线的方程;‎ ‎(3)在(1)的条件下,且,点与双曲线的顶点不重合,直线和直线与直线分别相交于点和,试问:以线段为直径的圆是否恒经过定点?若是,请求出定点的坐标;若不是,试说明理由.‎ ‎【解析】(1)双曲线的渐近线方程为:‎ 即,所以, ‎ 从而,,‎ 所以. ‎ ‎(2)设,,则由条件知:,,即.‎ 所以,,‎ 代入双曲线方程知:‎ 双曲线的方程:,‎ ‎(3)因为,所以,由(1)知,,所以的方程为:,‎ 令,,所以,,令,所以,,令,所以, ‎ 故以为直径的圆的方程为:,‎ 即,‎ 即, ‎ 若以为直径的圆恒经过定点 于是 所以圆过轴上两个定点和.‎ ‎27.(2018•临川区校级模拟)已知曲线是中心在原点,焦点在轴上的双曲线的右支,它的离心率刚好是其对应双曲线的实轴长,且一条渐近线方程是,线段是过曲线右焦点的一条弦,是弦的中点.‎ ‎(1)求曲线的方程;‎ ‎(2)当点在曲线上运动时,求点到轴距离的最小值;‎ ‎(3)若作出直线,使点在直线上的射影满足.当点在曲线上运动时,求的取值范围.【参考公式:若,为双曲线右支上的点,为右焦点,则.为离心率)】‎ ‎【解析】(1)设双曲线的方程为,‎ 由题意可得,,‎ 由,解得,,,‎ 即有曲线的方程是;‎ ‎(2)由(1)知,曲线的右焦点的坐标为,若弦的斜率存在,‎ 则弦的方程为:,代入双曲线方程得:‎ ‎,‎ 设点,, ,,‎ 由△,可得,显然成立;‎ ‎,,‎ 解得,‎ 点到轴距离:,‎ 而当弦的斜率不存在时,点到轴距离为.‎ 所以点到轴距离的最小值为2.‎ ‎(3)点在直线上的射影满足,,‎ 到直线的距离为①‎ 由焦半径公式,‎ 可得②‎ 将②代入①,得:,‎ ‎,且,‎ ‎.‎ ‎28.(2018•青岛二模)在平面直角坐标系中,点、分别为双曲线的左、右焦点,双曲线的离心率为2,点在双曲线上.不在轴上的动点与动点关于原点对称,且四边形的周长为.‎ ‎(1)求动点的轨迹方程;‎ ‎(2)已知动直线与轨迹交于不同的两点、,且与圆交于不同的两点、,当变化时,恒为定值,求常数的值.‎ ‎【解析】(1)点、分别为,,,‎ 由已知,‎ ‎,‎ ‎,,‎ 点在双曲线上,‎ ‎,‎ 则,‎ 即,‎ 解得,,‎ ‎,‎ 连接,‎ ‎,,‎ 四边形为平行四边形,‎ 四边形的周长为,‎ ‎,‎ 动点的轨迹是以,分别为左、右焦点,长轴长为的椭圆,(除去左右定点),‎ ‎(2)设,,,,由题意:得,‎ ‎,,‎ 又△,‎ ‎,‎ 又直线到定圆圆心的距离为,‎ ‎,‎ 为定值,‎ 为定值),‎ 化简得,‎ 且,‎ ‎,‎ 解得.‎ ‎29.(2018•浦东新区二模)已知双曲线.‎ ‎(1)求以右焦点为圆心,与双曲线的渐近线相切的圆的方程;‎ ‎(2)若经过点的直线与双曲线的右支交于不同两点、,求线段的中垂线在轴上截距的取值范围.‎ ‎【解析】(1)双曲线的右焦点为,,渐近线方程为:.‎ 到渐近线的距离为,‎ 圆的方程为.‎ ‎(2)设经过点的直线方程为,,,,,‎ 联立方程组,消去得:,‎ ‎,解得.‎ 的中点为,,‎ 线段的中垂线方程为:,‎ 令得截距.‎ 即线段的中垂线在轴上截距的取值范围是.‎ ‎30.(2018•青岛二模)在平面直角坐标系中,点、分别为双曲线的左、右焦点,双曲线的离心率为2,点在双曲线上.不在轴上的动点与动点关于原点对称,且四边形的周长为.‎ ‎(1)求动点的轨迹方程;‎ ‎(2)在动点的轨迹上有两个不同的点,、,,线段的中点为,已知点,在圆上,求的最大值,并判断此时的形状.‎ ‎【解析】(1)设,分别为,‎ 可得,,‎ 又点在双曲线上,,‎ 解得,.‎ 连接,,,四边形的周长为平行四边形.‎ 四边形,动点的轨迹是以点、分别为左右焦点的椭圆(除左右顶点),‎ 动点的轨迹方程;‎ ‎(2),,.‎ ‎.‎ 当时取最值,‎ 此时,为直角三角形.‎