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  • 2021-05-13 发布

2018版高考数学(浙江·文理通用)大一轮教师文档讲义:第八章8-5直线、平面垂直的判定与性质

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‎1.直线与平面垂直 ‎(1)定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,则直线l与平面α垂直.‎ ‎(2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b ‎2.直线和平面所成的角 ‎(1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角 ‎,若一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是0°的角.‎ ‎(2)范围:[0,].‎ ‎3.平面与平面垂直 ‎(1)二面角的有关概念 ‎①二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;‎ ‎②二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.‎ ‎(2)平面和平面垂直的定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.‎ ‎(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α ‎【知识拓展】‎ 重要结论:‎ ‎(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.‎ ‎(2)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).‎ ‎(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.‎ ‎(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.( × )‎ ‎(2)垂直于同一个平面的两平面平行.( × )‎ ‎(3)直线a⊥α,直线b⊥α,则a∥b.( √ )‎ ‎(4)若α⊥β,a⊥β⇒a∥α.( × )‎ ‎(5)若直线a⊥平面α,直线b∥α,则直线a与b垂直.( √ )‎ ‎1.(教材改编)下列命题中不正确的是(  )‎ A.如果平面α⊥平面β,且直线l∥平面α,则直线l⊥平面β B.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β C.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥γ 答案 A 解析 根据面面垂直的性质,知A不正确,直线l可能平行平面β,也可能在平面β内.‎ ‎2.设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若α⊥β,因为α∩β=m,b⊂β,b⊥m,所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α,又a⊂α,所以a⊥b;反过来,当a∥m时,因为b⊥m,且a,m共面,一定有b⊥a,但不能保证b⊥α,所以不能推出α⊥β.‎ ‎3.(2016·宝鸡质检)对于四面体ABCD,给出下列四个命题:‎ ‎①若AB=AC,BD=CD,则BC⊥AD;‎ ‎②若AB=CD,AC=BD,则BC⊥AD;‎ ‎③若AB⊥AC,BD⊥CD,则BC⊥AD;‎ ‎④若AB⊥CD,AC⊥BD,则BC⊥AD.‎ 其中为真命题的是(  )‎ A.①② B.②③ C.②④ D.①④‎ 答案 D 解析 ①如图,取BC的中点M,连接AM,DM,由AB=AC⇒AM⊥BC,同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD,而AD⊂平面AMD,故BC⊥AD.④设A在平面BCD内的射影为O,连接BO,CO,DO,由AB⊥CD⇒BO⊥CD,由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC.‎ ‎4.(教材改编)在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC中的射影为点O.‎ ‎(1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的________心.‎ ‎(2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的________心.‎ 答案 (1)外 (2)垂 解析 (1)如图1,连接OA,OB,OC,OP,‎ 在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中,PA=PC=PB,‎ 所以OA=OB=OC,即O为△ABC的外心.‎ ‎(2)如图2,延长AO,BO,CO分别交BC,AC,AB于H,D,G.‎ ‎∵PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,‎ ‎∴PC⊥平面PAB,AB⊂平面PAB,∴PC⊥AB,‎ 又AB⊥PO,PO∩PC=P,‎ ‎∴AB⊥平面PGC,‎ 又CG⊂平面PGC,‎ ‎∴AB⊥CG,即CG为△ABC边AB的高.‎ 同理可证BD,AH为△ABC底边上的高,‎ 即O为△ABC的垂心.‎ 题型一 直线与平面垂直的判定与性质 例1 (2016·全国甲卷改编)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.‎ OD′=.‎ 证明:D′H⊥平面ABCD.‎ 证明 由已知得AC⊥BD,AD=CD.‎ 又由AE=CF得=,故AC∥EF.‎ 因此EF⊥HD,从而EF⊥D′H.‎ 由AB=5,AC=6得DO=BO==4.‎ 由EF∥AC得==.‎ 所以OH=1,D′H=DH=3.‎ 于是D′H2+OH2=32+12=10=D′O2,故D′H⊥OH.‎ 又D′H⊥EF,而OH∩EF=H,且OH,EF⊂平面ABCD,‎ 所以D′H⊥平面ABCD.‎ 思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键 ‎(1)证明直线和平面垂直的常用方法有:①判定定理;②垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α);③面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);④面面垂直的性质.‎ ‎(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.‎ ‎ (2016·嵊州市高三质检) 在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,DB=DC=4,∠BDC=90°,P在线段BC上,CP=3PB,M,N分别为AD,BD的中点.‎ 求证:BC⊥平面MNP.‎ 证明 因为MN是△ABD的中位线,‎ 所以MN∥AB.‎ 又AB⊥平面BCD,‎ 所以MN⊥平面BCD,‎ 又因为BC⊂平面BCD,‎ 所以MN⊥BC.①‎ 取BC的中点Q,连接DQ,则DQ⊥BC.‎ 由PN是△BDQ的中位线知PN∥DQ,‎ 所以PN⊥BC.②‎ 由①②可得BC⊥平面MNP.‎ 题型二 平面与平面垂直的判定与性质 例2 如图,四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.‎ ‎(1)求证:CE∥平面PAD;‎ ‎(2)求证:平面EFG⊥平面EMN.‎ 证明 (1)方法一 ‎ 取PA的中点H,连接EH,DH.‎ 又E为PB的中点,‎ 所以EH綊AB.‎ 又CD綊AB,‎ 所以EH綊CD.‎ 所以四边形DCEH是平行四边形,所以CE∥DH.‎ 又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD.‎ 所以CE∥平面PAD.‎ 方法二 连接CF.‎ 因为F为AB的中点,‎ 所以AF=AB.‎ 又CD=AB,所以AF=CD.‎ 又AF∥CD,所以四边形AFCD为平行四边形.‎ 因此CF∥AD,又CF⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,‎ 所以CF∥平面PAD.‎ 因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.‎ 又EF⊄平面PAD,PA⊂平面PAD,‎ 所以EF∥平面PAD.‎ 因为CF∩EF=F,故平面CEF∥平面PAD.‎ 又CE⊂平面CEF,所以CE∥平面PAD.‎ ‎(2)因为E、F分别为PB、AB的中点,所以EF∥PA.‎ 又因为AB⊥PA,‎ 所以EF⊥AB,同理可证AB⊥FG.‎ 又因为EF∩FG=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG.‎ 所以AB⊥平面EFG.‎ 又因为M,N分别为PD,PC的中点,‎ 所以MN∥CD,又AB∥CD,所以MN∥AB,‎ 所以MN⊥平面EFG.‎ 又因为MN⊂平面EMN,所以平面EFG⊥平面EMN.‎ 引申探究 ‎1.在本例条件下,证明:平面EMN⊥平面PAC.‎ 证明 因为AB⊥PA,AB⊥AC,‎ 且PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,‎ 所以AB⊥平面PAC.‎ 又MN∥CD,CD∥AB,所以MN∥AB,‎ 所以MN⊥平面PAC.‎ 又MN⊂平面EMN,‎ 所以平面EMN⊥平面PAC.‎ ‎2.在本例条件下,证明:平面EFG∥平面PAC.‎ 证明 因为E,F,G分别为PB,AB,BC的中点,‎ 所以EF∥PA,FG∥AC,‎ 又EF⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,‎ 所以EF∥平面PAC.‎ 同理,FG∥平面PAC.‎ 又EF∩FG=F,‎ 所以平面EFG∥平面PAC.‎ 思维升华 (1)判定面面垂直的方法 ‎①面面垂直的定义;‎ ‎②面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β).‎ ‎(2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.‎ 在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.‎ ‎ (2016·江苏) 如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.‎ 求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;‎ ‎(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ 证明 (1)由已知,DE为△ABC的中位线,‎ ‎∴DE∥AC,又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1,‎ ‎∴DE∥A1C1,‎ 又∵DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,‎ ‎∴DE∥平面A1C1F.‎ ‎(2)在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,‎ ‎∴AA1⊥A1C1,‎ 又∵A1B1⊥A1C1,且A1B1∩AA1=A1,‎ A1B1⊂平面ABB1A1,AA1⊂平面ABB1A1,‎ ‎∴A1C1⊥平面ABB1A1,‎ ‎∵B1D⊂平面ABB1A1,‎ ‎∴A1C1⊥B1D,‎ 又∵A1F⊥B1D,且A1F∩A1C1=A1,‎ A1F⊂平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,‎ ‎∴B1D⊥平面A1C1F,‎ 又∵B1D⊂平面B1DE,‎ ‎∴平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ 题型三 求空间角 命题点1 求两条异面直线所成的角和二面角 例3 如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别是AD,AA1的中点.‎ ‎(1)求直线EF和直线AB1所成的角的大小;‎ ‎(2)求二面角D—A1C1—D1的正切值.‎ 解 (1)在正方体ABCD—A1B1C1D1中,‎ 因为E,F分别是AD,AA1的中点,‎ 所以EF∥A1D.‎ 因为AD∥B1C1,AD=B1C1,‎ 所以四边形ADC1B1为平行四边形.‎ 所以AB1∥DC1.‎ 所以∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角.‎ 因为△A1DC1是等边三角形,‎ 所以∠A1DC1=60°,‎ 即直线AB1和EF所成的角是60°.‎ ‎(2)在正方体ABCD—A1B1C1D1中,连接B1D1交A1C1于点M,连接DM,则D1M⊥A1C1.‎ 又DD1⊥平面A1C1,‎ 所以DD1⊥A1C1,‎ 且D1M∩DD1=D1,‎ 所以A1C1⊥平面DD1M,又DM⊂平面DD1M,‎ 所以DM⊥A1C1.‎ 故∠DMD1为二面角D—A1C1—D1的平面角,‎ 故tan∠DMD1==.‎ 命题点2 求直线和平面所成的角 例4 (2016·温州一模)如图,在三棱锥D—ABC中,DA=DB=DC,点D在底面ABC上的射影为点E,AB⊥BC,DF⊥AB于点F.‎ ‎(1)求证:平面ABD⊥平面DEF;‎ ‎(2)若AD⊥DC,AC=4,∠BAC=60°,求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值.‎ ‎(1)证明 如图,由题意知DE⊥平面ABC,‎ 所以AB⊥DE,又AB⊥DF,‎ DE∩DF=D,‎ 所以AB⊥平面DEF,‎ 又AB⊂平面ABD,所以平面ABD⊥平面DEF.‎ ‎(2)解 由DA=DB=DC,知EA=EB=EC,E为AC的中点,‎ 所以E是△ABC的外心.‎ 过点E作EH⊥DF于点H,则由(1)知EH⊥平面DAB,‎ 所以∠EBH即为BE与平面DAB所成的角.‎ 由AC=4,∠BAC=60°,得DE=2,EF=,‎ 所以DF=,EH=,‎ 所以sin∠EBH==.‎ 所以直线BE与平面DAB所成角的正弦值为.‎ 思维升华 求空间角的策略 ‎(1)利用定义将空间角转化为两条相交直线所成的角,然后在三角形中计算.‎ ‎(2)要遵循求角的四个步骤:作、指、算、答;注意不要忽略角的范围.‎ ‎ 在如图所示的多面体ABCDE中,已知AB∥DE,AB⊥AD,△ACD是正三角形,‎ AD=DE=2AB=2,BC=,F是CD的中点.‎ ‎(1)求证:AF∥平面BCE;‎ ‎(2)求直线CE与平面ABED所成角的余弦值.‎ ‎(1)证明 如图所示,取CE的中点为M,连接BM,MF,因为F为CD的中点,所以MF綊ED.‎ 又AB∥DE,DE=2AB,所以MF綊AB,‎ 所以四边形ABMF为平行四边形.‎ 所以BM∥AF.‎ 因为BM⊂平面BCE,AF⊄平面BCE,‎ 所以AF∥平面BCE.‎ ‎(2)解 因为△ACD是正三角形,‎ 所以AC=AD=CD=2.‎ 在△ABC中,AB=1,AC=2,BC=,‎ 所以AB2+AC2=BC2,故AB⊥AC.‎ 又AB⊥AD,AC∩AD=A,‎ 所以AB⊥平面ACD.‎ 如图所示,取AD的中点H,连接CH,EH,则AB⊥CH.‎ 又AC=CD,所以CH⊥AD.‎ 又AB∩AD=A,所以CH⊥平面ABED,‎ 所以∠CEH是直线CE与平面ABED所成的角.‎ 在Rt△CHE中,CH=,EH=,CE=2,‎ 所以cos∠CEH==.‎ 所以直线CE与平面ABED所成角的余弦值为.‎ ‎19.立体几何证明问题中的转化思想 典例 (14分) 如图所示,M,N,K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB,CD,C1D1的中点.‎ 求证:(1)AN∥平面A1MK;‎ ‎(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.‎ 思想方法指导 (1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理;‎ ‎(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论,如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例;证明垂直时常用的等腰三角形的中线等;‎ ‎(3)证明过程一定要严谨,使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.‎ 规范解答 证明 (1) 如图所示,连接NK.‎ 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,‎ ‎∵四边形AA1D1D,DD1C1C都为正方形,‎ ‎∴AA1∥DD1,AA1=DD1,‎ C1D1∥CD,C1D1=CD. [2分]‎ ‎∵N,K分别为CD,C1D1的中点,‎ ‎∴DN∥D1K,DN=D1K,‎ ‎∴四边形DD1KN为平行四边形, [4分]‎ ‎∴KN∥DD1,KN=DD1,∴AA1∥KN,AA1=KN,‎ ‎∴四边形AA1KN为平行四边形,∴AN∥A1K. [6分]‎ ‎∵A1K⊂平面A1MK,AN⊄平面A1MK,‎ ‎∴AN∥平面A1MK. [8分]‎ ‎(2)如图所示,连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,AB∥C1D1,AB=C1D1.‎ ‎∵M,K分别为AB,C1D1的中点,‎ ‎∴BM∥C1K,BM=C1K,‎ ‎∴四边形BC1KM为平行四边形,∴MK∥BC1. [10分]‎ 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,A1B1⊥平面BB1C1C,‎ BC1⊂平面BB1C1C,∴A1B1⊥BC1.‎ ‎∵MK∥BC1,∴A1B1⊥MK.‎ ‎∵四边形BB1C1C为正方形,∴BC1⊥B1C. [12分]‎ ‎∴MK⊥B1C.‎ ‎∵A1B1⊂平面A1B1C,B1C⊂平面A1B1C,A1B1∩B1C=B1,∴MK⊥平面A1B1C.‎ 又∵MK⊂平面A1MK,‎ ‎∴平面A1B1C⊥平面A1MK. [14分]‎ ‎1.(2016·嘉兴期末)设α,β是两个不同的平面,m是直线,且m⊂α,则“m⊥β”是“α⊥β”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若m⊂α,m⊥β,则α⊥β;反之,若α⊥β,m⊂α,则m与β的位置关系不确定,所以“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件,故选A.‎ ‎2.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是(  )‎ A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,,则m∥n C.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β D.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β 答案 D 解析 A中,m与n可垂直、可异面、可平行;B中,m与n可平行、可异面;C中,若α∥β,仍然满足m⊥n,m⊂α,n⊂β,故C错误.故选D.‎ ‎3. (2016·芜湖模拟)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在(  )‎ A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部 答案 A 解析 由AC⊥AB,AC⊥BC1,∴AC⊥平面ABC1.‎ 又∵AC⊂平面ABC,∴平面ABC1⊥平面ABC.‎ ‎∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上.‎ ‎4.(2016·包头模拟) 如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1垂直底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC中点,则下列叙述正确的是(  )‎ A.CC1与B1E是异面直线 B.AC⊥平面ABB1A1‎ C.AE与B1C1是异面直线,且AE⊥B1C1‎ D.A1C1∥平面AB1E 答案 C 解析 A不正确,因为CC1与B1E在同一个侧面中,故不是异面直线;B不正确,由题意知,上底面ABC是一个正三角形,故AC不可能垂直平面ABB1A1;C正确,因为AE,B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线,故它们是异面直线,易得AE⊥BC,而B1C1 ∥BC,所以AE⊥B1C1 ;D不正确,因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交,且A1C1与交线有公共点,故A1C1∥平面AB1E不正确,故选C.‎ ‎5.如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:‎ ‎①BD⊥AC;‎ ‎②△BAC是等边三角形;‎ ‎③三棱锥D-ABC是正三棱锥;‎ ‎④平面ADC⊥平面ABC.‎ 其中正确的是(  )‎ A.①②④ B.①②③‎ C.②③④ D.①③④‎ 答案 B 解析 由题意知,BD⊥平面ADC,故BD⊥AC,①正确;AD为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD⊥平面ACD,所以AB=AC=BC,△BAC是等边三角形,②正确;易知DA=DB=DC,由②知③正确;由①知④错.故选B.‎ ‎6.已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心,则AC1与底面ABC所成角的余弦值等于(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 设三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长为a,A1在底面ABC内的射影为O.则依题意,得AO==,由题意得四面体A1—ABC为四面体,所以∠A1AC=60°,∠AA1C1=120°.‎ 在菱形ACC1A1中,AC1==a.‎ 又点C1到底面ABC的距离等于A1到底面ABC的距离,且A1O= =a,因此AC1与底面ABC所成角的正弦值为=,‎ AC1与底面ABC所成角的余弦值为.‎ ‎7. 如图,∠BAC=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC和△PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线有________;与AP垂直的直线有________.‎ 答案 AB、BC、AC AB 解析 ∵PC⊥平面ABC,∴PC垂直于直线AB,BC,AC;∵AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C,∴AB⊥平面PAC,∴与AP垂直的直线是AB.‎ ‎8. 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为________.‎ 答案  解析 设B1F=x,‎ 因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,‎ 所以AB1⊥DF.‎ 由已知可得A1B1=,‎ 设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,‎ 则DE=h.‎ 又2×=h,‎ 所以h=,DE=.‎ 在Rt△DB1E中,‎ B1E= =.‎ 由面积相等得× =x,‎ 得x=.‎ ‎9. 如图,PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的射影,给出下列结论:‎ ‎①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.‎ 其中正确结论的序号是________.‎ 答案 ①②③‎ 解析 由题意知PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.‎ 又AC⊥BC,且PA∩AC=A,‎ ‎∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥AF.‎ ‎∵AF⊥PC,且BC∩PC=C,‎ ‎∴AF⊥平面PBC,‎ ‎∴AF⊥PB,又AE⊥PB,AE∩AF=A,‎ ‎∴PB⊥平面AEF,∴PB⊥EF.‎ 故①②③正确.‎ ‎10.(2016·保定模拟) 在直二面角α-MN-β中,等腰直角三角形ABC的斜边BC⊂α,一直角边AC⊂β,BC与β所成角的正弦值为,则AB与β所成的角是________.‎ 答案  解析 如图所示,作BH⊥MN于点H,连接AH,‎ 则BH⊥β,∠BCH为BC与β所成的角.‎ ‎∵sin∠BCH==,‎ 设BC=1,则BH=.‎ ‎∵△ABC为等腰直角三角形,∴AC=AB=,‎ ‎∴AB与β所成的角为∠BAH.‎ ‎∴sin∠BAH===,‎ ‎∴∠BAH=.‎ ‎11.(2016·四川) 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD.‎ ‎(1)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由;‎ ‎(2)证明:平面PAB⊥平面PBD.‎ ‎(1)解 取棱AD的中点M(M∈平面PAD),点M即为所求的一个点,理由如下:‎ 连接BM,CM.‎ 因为AD∥BC,BC=AD,‎ 所以BC∥AM,且BC=AM,‎ 所以四边形AMCB是平行四边形,从而CM∥AB.‎ 又AB⊂平面PAB,CM⊄平面PAB.‎ 所以CM∥平面PAB.‎ ‎(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)‎ ‎(2)证明 由已知,PA⊥AB,PA⊥CD.‎ 因为AD∥BC,BC=CD=AD,‎ 所以直线AB与CD相交,‎ 因为AB⊂平面ABCD,CD⊂平面ABCD,‎ 所以PA⊥平面ABCD,‎ 又因为BD⊂平面ABCD,从而PA⊥BD.‎ 又BC∥MD,且BC=MD.‎ 所以四边形BCDM是平行四边形,‎ 所以BM=CD=AD,所以BD⊥AB.‎ 又AB∩AP=A,AB⊂平面PAB,AP⊂平面PAB,‎ 所以BD⊥平面PAB.‎ 又BD⊂平面PBD,‎ 所以平面PAB⊥平面PBD.‎ ‎12.(2016·湖州市高三下学期5月调测)‎ 在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC1⊥平面ABC,BC=CA=AC1.‎ ‎(1)求证:AC⊥平面AB1C1;‎ ‎(2)求直线A1B与平面AB1C1所成角的余弦值.‎ ‎(1)证明 由三棱柱的性质知,‎ BC∥B1C1.‎ 因为∠ACB=90°,‎ 所以AC⊥B1C1.‎ 因为AC1⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,‎ 所以AC1⊥AC.‎ 因为AC1∩B1C1=C1,AC1⊂平面AB1C1,B1C1⊂平面ABC1,‎ 所以AC⊥平面AB1C1.‎ ‎(2)解 因为三棱柱ABC-A1B1C1中AC∥A1C1,‎ 又由(1)知,AC⊥平面AB1C1,‎ 所以A1C1⊥平面AB1C1.‎ 设A1B交AB1于点O,所以∠AOC1为直线A1B与平面AB1C1所成角.‎ 设BC=CA=AC1=a,‎ Rt△AC1O中,OC1=a,A1O=a.‎ 因此,cos∠A1OC1=,‎ 故直线A1B与平面AB1C1所成角的余弦值为.‎ ‎13.(2016·北京) 如图,在四棱锥P—ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.‎ ‎(1)求证:DC⊥平面PAC;‎ ‎(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;‎ ‎(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.‎ ‎(1)证明 ∵PC⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,‎ ‎∴PC⊥DC.又AC⊥DC,PC∩AC=C,PC⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,∴DC⊥平面PAC.‎ ‎(2)证明 ∵AB∥CD,CD⊥平面PAC,‎ ‎∴AB⊥平面PAC,又AB⊂平面PAB,‎ ‎∴平面PAB⊥平面PAC.‎ ‎(3)解 棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.‎ 证明如下:‎ 取PB的中点F,连接EF,CE,CF,又∵E为AB的中点,∴EF为△PAB的中位线,∴EF∥PA.又PA⊄平面CEF,EF⊂平面CEF,∴PA∥平面CEF.‎

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