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  • 2021-05-13 发布

2018版高考数学(理)(苏教版,江苏专用)大一轮教师文档讲义:第四章4-6正弦定理、余弦定理

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‎1.正弦定理、余弦定理 在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ===2R a2=b2+c2-2bccos A;‎ b2=c2+a2-2cacos B;‎ c2=a2+b2-2abcos C 变形 ‎(1)a=2Rsin A,‎ b=2Rsin B,‎ c=2Rsin C;‎ ‎(2)sin A=,sin B=,sin C=;‎ ‎(3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;‎ ‎(4)asin B=bsin A,‎ bsin C=csin B,‎ asin C=csin A cos A=;‎ cos B=;‎ cos C= ‎2.在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin Ab 解的个数 一解 两解 一解 一解 ‎3.三角形常用面积公式 ‎(1)S=a·ha(ha表示边a上的高);‎ ‎(2)S=absin C=acsin B=bcsin A;‎ ‎(3)S=r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1.三角形内角和定理 在△ABC中,A+B+C=π;‎ 变形:=-.‎ ‎2.三角形中的三角函数关系 ‎(1)sin(A+B)=sin C; (2)cos(A+B)=-cos C;‎ ‎(3)sin =cos ; (4)cos =sin .‎ ‎3.三角形中的射影定理 在△ABC中,a=bcos C+ccos B;‎ b=acos C+ccos A;‎ c=bcos A+acos B.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( × )‎ ‎(2)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B.( √ )‎ ‎(3)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.( × )‎ ‎(4)当b2+c2-a2>0时,三角形ABC为锐角三角形.( × )‎ ‎(5)在△ABC中,=.( √ )‎ ‎(6)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积.( √ )‎ ‎1.(教材改编)在△ABC中,a=2,A=30°,C=45°,则△ABC的面积S△ABC= .‎ 答案 +1‎ 解析 ∵b===+,‎ ‎∴S△ABC=absin C=(+)×=+1.‎ ‎2.(教材改编)在△ABC中,A=60°,B=75°,a=10,则c= .‎ 答案  解析 由A+B+C=180°,知C=45°,‎ 由正弦定理得=,即=,‎ ‎∴c=.‎ ‎3.(教材改编)在△ABC中,A=60°,AC=2,BC=,则AB= .‎ 答案 1‎ 解析 方法一 在△ABC中,根据余弦定理,即BC2=AB2+AC2-2·AB·AC·cos 60°,得()2=AB2+22-2AB×2×cos 60°,整理得AB2-2AB+1=0,解得AB=1.‎ 方法二 在△ABC中,根据正弦定理,‎ 得=,即=,解得sin B=1,‎ 因为B∈(0°,180°),所以B=90°,‎ 所以AB==1.‎ ‎4.在△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,若A=120°,a=2,b=,则B= .‎ 答案  解析 ∵A=120°,a=2,b=,‎ ‎∴由正弦定理=可得,‎ sin B=sin A=×=.‎ ‎∵A=120°,∴B=30°,即B=.‎ ‎5.(教材改编)在△ABC中,已知CB=7,AC=8,AB=9,则AC边上的中线长为 .‎ 答案 7‎ 解析 由条件知cos A= ‎==,‎ 设AC边上的中线长为x,由余弦定理知 x2=()2+AB2-2××ABcos A ‎=42+92-2×4×9×=49,‎ ‎∴x=7,故所求中线长为7.‎ 题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形 例1 (1)(2016·南京、盐城调研)在△ABC中,设a,b,c分别为角A,B,C的对边,若a=5,A=,cos B=,则c= .‎ 答案 7‎ 解析 因为cos B=,所以B∈(0,),‎ 从而sin B=,所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=,‎ 又由正弦定理得=,即=,解得c=7.‎ ‎(2)(2016·四川)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.‎ ‎①证明:sin Asin B=sin C;‎ ‎②若b2+c2-a2=bc,求tan B.‎ ‎①证明 根据正弦定理,可设 ===k(k>0),‎ 则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C,‎ 代入+=中,有 +=,变形可得 sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).‎ 在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.所以sin Asin B=sin C.‎ ‎②解 由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有 cos A==.‎ 所以sin A==.‎ 由①知,sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,‎ 所以sin B=cos B+sin B.‎ 故tan B==4.‎ 思维升华 应用正弦、余弦定理的解题技巧 ‎(1)求边:利用公式a=,b=,c=或其他相应变形公式求解.‎ ‎(2)求角:先求出正弦值,再求角,即利用公式sin A=,sin B=,sin C=或其他相应变形公式求解.‎ ‎(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.‎ ‎(4)灵活利用式子的特点转化:如出现a2+b2-c2=λab形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.‎ ‎ (1)△ABC的三个内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,asin Asin B+bcos2A=a,则= .‎ ‎(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知a2-c2=b,且sin(A-C)=2cos ‎ Asin C,则b= .‎ 答案 (1) (2)2‎ 解析 (1)(边化角)‎ 由asin Asin B+bcos2A=a及正弦定理,得 sin Asin Asin B+sin Bcos2A=sin A,‎ 即sin B=sin A,所以==.‎ ‎(2)(角化边)‎ 由题意,得sin Acos C-cos Asin C=2cos Asin C,‎ 即sin Acos C=3cos Asin C,‎ 由正弦、余弦定理,得 a·=3c·,‎ 整理得2(a2-c2)=b2, ①‎ 又a2-c2=b, ②‎ 联立①②得b=2.‎ 题型二 和三角形面积有关的问题 例2 (2016·南通模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(a+b-c)(a+b+c)=ab.‎ ‎(1)求角C的大小;‎ ‎(2)若c=2acos B,b=2,求△ABC的面积.‎ 解 (1)在△ABC中,由(a+b-c)(a+b+c)=ab,‎ 得=-,即cos C=-.‎ 因为00,所以cos B<0,‎ 即B为钝角,所以△ABC为钝角三角形.‎ ‎(2)由3sin A=5sin B及正弦定理得3a=5b,‎ 故a=b,c=b.‎ 所以cos C==-,即C=π.‎ 从而△ABC为钝角三角形.‎ 引申探究 ‎1.例3(2)中,若将条件变为2sin Acos B=sin C,判断△ABC的形状.‎ 解 ∵2sin Acos B=sin C=sin(A+B),‎ ‎∴2sin Acos B=sin Acos B+cos Bsin A,‎ ‎∴sin(A-B)=0,‎ 又A,B为△ABC的内角.‎ ‎∴A=B,∴△ABC为等腰三角形.‎ ‎2.例3(2)中,若将条件变为a2+b2-c2=ab,且2cos Asin B=sin C,判断△ABC的形状.‎ 解 ∵a2+b2-c2=ab,∴cos C==,‎ 又01.‎ ‎∴角B不存在,即满足条件的三角形不存在.‎ ‎5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos2=,则△ABC的形状是 三角形.‎ 答案 直角 解析 在△ABC中,∵cos2=,‎ ‎∴=+,∴cos A=,‎ ‎∴由余弦定理知cos A=,‎ ‎∴=,∴b2+c2-a2=2b2.‎ 即a2+b2=c2.故△ABC是直角三角形.‎ ‎6.(2016·连云港模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为 .‎ 答案 +1‎ 解析 ∵b=2,B=,C=.‎ 由正弦定理=,‎ 得c===2,‎ A=π-(+)=π,‎ ‎∴sin A=sin(+)=sin cos +cos sin ‎=.‎ 则S△ABC=bc·sin A=×2×2×=+1.‎ ‎7.(2016·全国甲卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= .‎ 答案  解析 在△ABC中,由cos A=,cos C=,可得sin A=,sin C=,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos A·sin C=,由正弦定理得b==.‎ ‎8.如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连结EC,ED,则sin∠CED= .‎ 答案  解析 由题意得EB=EA+AB=2,则在Rt△EBC中,EC===.‎ 在△EDC中,∠EDC=∠EDA+∠ADC=+=,‎ 由正弦定理得===,‎ 所以sin∠CED=·sin∠EDC=·sin=.‎ ‎9.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-,则a的值为 .‎ 答案 8‎ 解析 ∵cos A=-,0<A<π,∴sin A=,‎ S△ABC=bcsin A=bc×=3,∴bc=24,‎ 又b-c=2,∴b2-2bc+c2=4,b2+c2=52,‎ 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A ‎=52-2×24×=64,‎ ‎∴a=8.‎ ‎*10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足asin B=bcos A.若a=4,则△ABC周长的最大值为 .‎ 答案 12‎ 解析 由正弦定理=,‎ 可将asin B=bcos A转化为sin Asin B=sin Bcos A.‎ 又在△ABC中,sin B>0,∴sin A=cos A,‎ 即tan A=.‎ ‎∵0×+=2.‎ ‎12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若∠B=∠C且7a2+b2+c2=4,则△ABC的面积的最大值为 .‎ 答案  解析 由∠B=∠C,得b=c,代入7a2+b2+c2=4,‎ 得7a2+2b2=4,即2b2=4-7a2,‎ 由余弦定理,得cos C==,‎ 所以sin C== ‎=,‎ 则△ABC的面积 S=absin C=ab× ‎=a= ‎=× ‎≤×× ‎=××4=,‎ 当且仅当15a2=8-15a2时取等号,此时a2=.‎ 所以△ABC的面积的最大值为.‎ ‎13.四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.‎ ‎(1)求C和BD;‎ ‎(2)求四边形ABCD的面积.‎ 解 (1)由题设A与C互补及余弦定理得 BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C=13-12cos C, ①‎ BD2=AB2+DA2-2AB·DAcos A=5+4cos C. ②‎ 由①②得cos C=,BD=,‎ 因为C是三角形内角,故C=60°.‎ ‎(2)四边形ABCD的面积 S=AB·DAsin A+BC·CDsin C ‎=sin 60°‎ ‎=2.‎ ‎14.(2015·湖南)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A.‎ ‎(1)证明:sin B=cos A;‎ ‎(2)若sin C-sin Acos B=,且B为钝角,求A,B,C.‎ ‎(1)证明 由正弦定理知===2R,‎ ‎∴a=2Rsin A,b=2Rsin B,代入a=btan A得 sin A=sin B·,又∵A∈(0,π),∴sin A>0,‎ ‎∴1=,即sin B=cos A.‎ ‎(2)解 由sin C-sin Acos B=知,‎ sin(A+B)-sin Acos B=,∴cos Asin B=.‎ 由(1)知,sin B=cos A,∴cos2A=,由于B是钝角,‎ 故A∈,∴cos A=,A=.‎ sin B=,B=,∴C=π-(A+B)=.‎ ‎15.(2015·陕西)△ABC的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.‎ ‎(1)求A;‎ ‎(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.‎ 解 (1)因为m∥n,所以asin B-bcos A=0,‎ 由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,‎ 又sin B≠0,从而tan A=,‎ 由于0<A<π,所以A=.‎ ‎(2)方法一 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,‎ 而由a=,b=2,A=,‎ 得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,‎ 因为c>0,所以c=3,‎ 故△ABC的面积为S=bcsin A=.‎ 方法二 由正弦定理,得=,‎ 从而sin B=,‎ 又由a>b,知A>B,所以cos B=,‎ 故sin C=sin(A+B)=sin ‎=sin Bcos +cos Bsin =.‎ 所以△ABC的面积为S=absin C=.‎

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