2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章3-1导数的概念及运算 15页

第1讲　导数的概念及运算 最新考纲　1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图像直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．‎ 知 识 梳 理 ‎1．导数与导函数的概念 ‎(1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作 f′(x0)＝‎ ‎(2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．‎ ‎2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)，切线方程为：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．‎ ‎3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝C(C为常数)‎ f′(x)＝0‎ f(x)＝xα(α是实数)‎ f′(x)＝αxα－1‎ f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，a≠1)‎ f′(x)＝axln_a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax ‎(a>0，且a≠1)‎ f′(x)＝ ‎4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有：‎ ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；‎ ‎(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；‎ ‎(3)′＝(g(x)≠0)．‎ 诊 断 自 测 ‎1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)　精彩PPT展示 ‎(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(　　)‎ ‎(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．(　　)‎ ‎(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．(　　)‎ ‎(4)若f(x)＝a3＋2ax＋x2，则f′(x)＝3a2＋2x.(　　)　‎ 解析　(1)f′(x0)表示函数f(x)的导数在x0处的值，而f((x0))′表示函数值f(x0)的导数，其意义不同，(1)错．‎ ‎(2)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(2)错．‎ ‎(4)f(x)＝a3＋2ax＋x2＝x2＋2ax＋a3，∴f′(x)＝2x＋2a，(4)错．‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s(t)＝t2＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B. C. D. 解析　由题意知，机器人的速度方程为v(t)＝s′(t)＝2t－，故当t＝2时，机器人的瞬时速度为v(2)＝2×2－＝.‎ 答案　D ‎3．(2016·天津卷)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．‎ 解析　因为f(x)＝(2x＋1)ex，‎ 所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，‎ 所以f′(0)＝3e0＝3.‎ 答案　3‎ ‎4．(2017·豫北名校期末联考)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．‎ 解析　∵y′＝－5ex，∴所求曲线的切线斜率k＝y′|x＝0＝－5e0＝－5，∴切线方程为y ‎－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.‎ 答案　5x＋y＋2＝0‎ ‎5．(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图像在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.‎ 解析　由题意可得f′(x)＝3ax2＋1，则f′(1)＝3a＋1，‎ 又f(1)＝a＋2，‎ ‎∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．‎ ‎∵切线过点(2,7)，‎ ‎∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.‎ 答案　1‎ 考点一　导数的计算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【例1】 求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝exln x；‎ ‎(2)y＝x；‎ ‎(3)y＝x－sincos；‎ ‎(4)y＝.‎ 解　(1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex＝ex.‎ ‎(2)因为y＝x3＋1＋，‎ 所以y′＝(x3)′＋(1)′＋′＝3x2－.‎ ‎(3)因为y＝x－sin x，‎ 所以y′＝′＝x′－′＝1－cos x.‎ ‎(4)y′＝′＝ ‎＝－.‎ 规律方法　(1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．‎ ‎(2)如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．‎ ‎【训练1】 (1)f(x)＝x(2 017＋ln x)，若f′(x0)＝2 018，则x0等于(　　)‎ A．e2 B．1‎ C．ln 2 D．e ‎(2)(2015·天津卷)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．‎ 解析　(1)f′(x)＝2 017＋ln x＋·x＝2 018＋ln x．由f′(x0)＝2 018，得ln x0＝0，则x0＝1.‎ ‎(2)f′(x)＝a＝a(1＋ln x)．‎ 由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.‎ 答案　(1)B　(2)3‎ 考点二　导数的几何意义(多维探究)‎ 命题角度一　求切线方程 ‎【例2－1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．‎ ‎(2)(2017·南昌质检)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为(　　)‎ A．x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0‎ C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0‎ 解析　(1)设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.‎ 又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，‎ 所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x.‎ 因此，当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.‎ 则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.‎ ‎(2)∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，‎ ‎∴设切点为(x0，y0)．‎ 又∵f′(x)＝1＋ln x，∴ 解得x0＝1，y0＝0.‎ ‎∴切点为(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.‎ ‎∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.‎ 答案　(1)2x－y＝0　(2)B命题角度二　求切点坐标 ‎【例2－2】 (2017·西安调研)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．‎ 解析　由y′＝ex，知曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率k1＝e0＝1.‎ 设P(m，n)，又y＝(x>0)的导数y′＝－，‎ 曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－.‎ 依题意k1k2＝－1，所以m＝1，从而n＝1.‎ 则点P的坐标为(1,1)．‎ 答案　(1,1)‎ 命题角度三　求与切线有关的参数值(或范围)‎ ‎【例2－3】 已知直线y＝x＋b与曲线y＝－x＋ln x相切，则b的值为(　　)‎ A．2 B．－1 C．－ D．1‎ 解析　设切点坐标为P(x0，y0)，‎ 由y＝－x＋ln x，得y′＝－＋.‎ ‎∴y′|x＝x0＝－＋，‎ 依题意，－＋＝，∴x0＝1，则P，‎ 又切点P在直线y＝x＋b上，‎ 故－＝＋b，得b＝－1.‎ 答案　B 规律方法　(1)导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其他的公共点．‎ ‎(2)“曲线在点P处的切线”是以点P为切点，“曲线过点P的切线”则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标．‎ ‎(3)当曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0.‎ ‎【训练2】 (1)若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．‎ ‎(2)函数f(x)＝ln x＋ax的图像存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．‎ 解析　(1)由题意得y′＝ln x＋x·＝1＋ln x，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.‎ 设P(m，n)，则1＋ln m＝2，解得m＝e，‎ 所以n＝eln e＝e，即点P的坐标为(e，e)．‎ ‎(2)函数f(x)＝ln x＋ax的图像存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解，而f′(x)＝＋a，即＋a在(0，＋∞)上有解，a＝2－，因为a＞0，所以2－＜2，所以a的取值范围是(－∞，2)．‎ 答案　(1)(e，e)　(2)(－∞，2)‎ ‎[思想方法]‎ ‎1．f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.‎ ‎2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，必须注意交换的等价性．‎ ‎3．曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．‎ ‎[易错防范]‎ ‎1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．‎ ‎2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．‎ ‎3．对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数，参数是常量，其导数为零.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题 ‎1．设y＝x2ex，则y′＝(　　)‎ A．x2ex＋2x B．2xex C．(2x＋x2)ex D．(x＋x2)ex 解析　y′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex.‎ 答案　C ‎2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于(　　)‎ A．－e B．－1‎ C．1 D．e 解析　由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋，‎ ‎∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.‎ 答案　B ‎3．曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是(　　)‎ A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0‎ C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0‎ 解析　y′＝cos x＋ex，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.‎ 答案　C ‎4．(2017·成都诊断)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为(　　)‎ A．e B．－e C. D．－ 解析　y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝，切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为.‎ 答案　C ‎5．(2017·昆明诊断)设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于(　　)‎ A．－1 B. C．－2 D．2‎ 解析　∵y′＝，∴＝－1.‎ 由条件知＝－1，∴a＝－1.‎ 答案　A 二、填空题 ‎6．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.‎ 解析　因为y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝.‎ 答案　 ‎7.(2017·长沙一中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.‎ 解析　由图形可知：f(3)＝1，f′(3)＝－，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，‎ ‎∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0.‎ 答案　0‎ ‎8．(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.‎ 解析　由y＝x＋ln x，得y′＝1＋，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝1‎ ‎＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.‎ 又该切线与y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，‎ 消去y，得ax2＋ax＋2＝0，‎ ‎∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.‎ 答案　8‎ 三、解答题 ‎9．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：‎ ‎(1)斜率最小的切线方程；‎ ‎(2)切线l的倾斜角α的取值范围．‎ 解　(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，‎ 所以当x＝2时，y′＝－1，y＝，‎ 所以斜率最小的切线过点，‎ 斜率k＝－1，所以切线方程为x＋y－＝0.‎ ‎(2)由(1)得k≥－1，‎ 所以tan α≥－1，所以α∈∪.‎ ‎10．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．‎ ‎(1)求P0的坐标；‎ ‎(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．‎ 解　(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，‎ 由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1.‎ 当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.‎ 又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4)．‎ ‎(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为－.∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，∴直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎11．(2016·山东卷)若函数y＝f(x)的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是(　　)‎ A．y＝sin x B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x3‎ 解析　若y＝f(x)的图像上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，‎ 使得函数图像在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1.‎ 对于A：y′＝cos x，若有cos x1·cos x2＝－1，则当x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)时，结论成立；‎ 对于B：y′＝，若有·＝－1，即x1x2＝－1，∵x1＞0，x2>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；‎ 对于C：y′＝ex，若有ex1·ex2＝－1，即ex1＋x2＝－1.显然不存在这样的x1，x2；‎ 对于D：y′＝3x2，若有3x·3x＝－1，即9xx＝－1，显然不存在这样的x1，x2.‎ 答案　A ‎12．(2017·合肥模拟)点P是曲线x2－y－ln x＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为(　　)‎ A．1 B. C. D. 解析　点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x－2平行时，‎ 点P到直线y＝x－2的距离最小，‎ 直线y＝x－2的斜率为1，令y＝x2－ln x，‎ 得y′＝2x－＝1，解得x＝1或x＝－(舍去)，‎ 故曲线y＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，‎ 点(1,1)到直线y＝x－2的距离等于，‎ ‎∴点P到直线y＝x－2的最小距离为.‎ 答案　D ‎13．若函数f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．‎ 解析　∵f(x)＝x2－ax＋ln x，‎ ‎∴f′(x)＝x－a＋(x>0)．‎ ‎∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，‎ 即x＋－a＝0有解，∴a＝x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)．‎ 答案　[2，＋∞)‎ ‎14．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x ‎＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．‎ 解　根据题意有f′(x)＝1＋，g′(x)＝－.‎ 曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，‎ 曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，‎ 所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.‎ 曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)．‎ 所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.‎ 曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，‎ 所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，‎ 所以，两条切线不是同一条直线.‎ 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎