2018版高考数学（理）（苏教版，江苏专用）大一轮教师文档讲义：第二章2-4二次函数与幂函数 17页

1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0). ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 [4ac－b2 4a ，＋∞) (－∞，4ac－b2 4a ] 单调性 在 x∈(－∞，－ b 2a]上单调递减； 在 x∈[－ b 2a，＋∞)上单调递增 在 x∈(－∞，－ b 2a]上单调递增； 在 x∈[－ b 2a，＋∞)上单调递减 对称性 函数的图象关于 x＝－ b 2a对称 2.幂函数 (1)定义：一般地，形如 y＝xα 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数. (2)幂函数的图象比较 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②幂函数的图象过定点(1，1)； ③当 α>0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ④当 α<0 时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 【知识拓展】 1.若 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当Error!时恒有 f(x)>0，当Error!时，恒有 f(x)<0. 2.幂函数的图象和性质 (1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、 三象限内，要看函数的奇偶性. (2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b2 4a .(　×　) (2)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈R 不可能是偶函数.(　×　) (3)在 y＝ax 2 ＋bx＋c(a≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大 小.(　√　) (4)函数 是幂函数.(　×　) (5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.(　√　) (6)当 n<0 时，幂函数 y＝xn 是定义域上的减函数.(　×　) 1.(教材改编)若幂函数 f(x)的图象经过点(2，2 2)，则 f(9)＝________. 答案　27 解析　设 f(x)＝xα，则 2α＝2 2， ∴α＝3 2，∴f(x)＝ . ∴f(9)＝ ＝27. 2.(教材改编)设 α∈{－1，1，1 2，3}，则使函数 y＝xα 的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 值和 为__________. 答案　4 解析　当 α＝1，3 时，函数 y＝xα 的定义域为 R，且为奇函数；当 α＝－1 时，y＝1 x的定义域 是{x|x≠0，x∈R}；当 α＝1 2时，y＝ ＝ x的定义域是{x|x≥0}. ∴满足题意的 a 值为 1 和 3，其和为 4. 3.(教材改编)函数 f(x)＝2x2－mx＋3，当 x∈[2，＋∞)时是增函数，当 x∈(－∞，2]时是减函 数，则 f(1)＝______. 答案　－3 解析　f(x)＝2(x－m 4)2＋3－m2 8 ，由题意m 4＝2， 1 22y x= 3 2x 3 29 1 2x ∴m＝8，∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3. 4.已知函数 y＝x 2－2x＋3 在闭区间[0，m]上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围为 ________. 答案　[1，2] 解析　如图，由图象可知 m 的取值范围是[1，2]. 5.(教材改编)已知幂函数 y＝f(x)的图象过点(2， 2 2 )，则此函数的解析式为________；在区间 ________上单调递减. 答案　y＝ 　(0，＋∞) 解析　设 f(x)＝xa，则 2a＝ 2 2 ， ∴a＝－1 2，即幂函数的解析式为 y＝ ，单调减区间为(0，＋∞). 题型一　求二次函数的解析式 例 1　(1)(2016·南京模拟)已知二次函数 f(x)与 x 轴的两个交点坐标为(0，0)和(－2，0)且有最 小值－1，则 f(x)＝________. 答案　x2＋2x 解析　设函数的解析式为 f(x)＝ax(x＋2)， 所以 f(x)＝ax2＋2ax，由4a × 0－4a2 4a ＝－1， 得 a＝1，所以 f(x)＝x2＋2x. 1 2x − 1 2x − (2)已知二次函数 f(x)的图象经过点(4，3)，它在 x 轴上截得的线段长为 2，并且对任意 x∈R， 都有 f(2－x)＝f(2＋x)，求 f(x)的解析式. 解　∵f(2＋x)＝f(2－x)对任意 x∈R 恒成立， ∴f(x)的对称轴为 x＝2. 又∵f(x)的图象被 x 轴截得的线段长为 2. ∴f(x)＝0 的两根为 1 和 3. 设 f(x)的解析式为 f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)， 又 f(x)的图象过点(4，3)， ∴3a＝3，a＝1， ∴所求 f(x)的解析式为 f(x)＝(x－1)(x－3)， 即 f(x)＝x2－4x＋3. 思维升华　求二次函数解析式的方法 　(1)已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数 f(x)的最小值为 f(－ 1)＝0，则 f(x)＝________. (2)若函数 f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数 a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数 的解析式 f(x)＝________. 答案　(1)x2＋2x＋1　(2)－2x2＋4 解析　(1)设函数 f(x)的解析式为 f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a， 由已知 f(x)＝ax2＋bx＋1，∴a＝1， 故 f(x)＝x2＋2x＋1. (2)由 f(x)是偶函数知 f(x)图象关于 y 轴对称， ∴－a＝－(－2a b )，即 b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2， 又 f(x)的值域为(－∞，4]， ∴2a2＝4，故 f(x)＝－2x2＋4. 题型二　二次函数的图象和性质 命题点 1　二次函数的单调性 例 2　函数 f(x)＝ax 2＋(a－3)x＋1 在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数 a 的取值范围是 __________. 答案　[－3，0] 解析　当 a＝0 时，f(x)＝－3x＋1 在[－1，＋∞)上递减，满足条件. 当 a≠0 时，f(x)的对称轴为 x＝3－a 2a ， 由 f(x)在[－1，＋∞)上递减知Error! 解得－3≤a＜0.综上，a 的取值范围为[－3，0]. 引申探究 若函数 f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1 的单调减区间是[－1，＋∞)，则 a＝________. 答案　－3 解析　由题意知 a<0， 又3－a 2a ＝－1，∴a＝－3. 命题点 2　二次函数的最值 例 3　已知函数 f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求函数 f(x)的最小值. 解　(1)当 a＝0 时，f(x)＝－2x 在[0，1]上单调递减， ∴f(x)min＝f(1)＝－2. (2)当 a>0 时，f(x)＝ax2－2x 的图象开口向上 且对称轴为 x＝1 a. ①当 0<1 a≤1，即 a≥1 时， f(x)＝ax2－2x 的对称轴在[0，1]内， ∴f(x)在[0，1 a]上单调递减，在[1 a，1]上单调递增. ∴f(x)min＝f(1 a)＝1 a－2 a＝－1 a. ②当1 a>1，即 01，即 k>1 2时，函数 f(t)在[－1，1]上单调递减，故 M＝f(－1)＝1 4＋k－1，由 M≤0， 得 k≤3 4， 又 k>1 2，故1 20，则实数 a 的取值范围为________. 答案　(1 2，＋∞) 解析　由题意得 a>2 x－2 x2对 11 2. (2)已知函数 f(x)＝x2－2x，若 x∈[－2，a]，求 f(x)的最小值. 解　∵函数 y＝x2－2x＝(x－1)2－1， ∴对称轴为直线 x＝1， ∵x＝1 不一定在区间[－2，a]内，∴应进行讨论，当－21 时，函数在[－2，1]上单调递减， 在[1，a]上单调递增，则当 x＝1 时，y 取得最小值，即 ymin＝－1. 综上，当－21 时，ymin＝－1. 题型三　幂函数的图象和性质 例 5　(1)若 > ，则实数 m 的取值范围是__________. 答案　[ 5－1 2 ，2) 解析　因为函数 y＝ 的定义域为[0，＋∞) 且在定义域内为增函数， 所以不等式等价于Error! 1 2(2 1)m + 1 2 2( 1)m m+ − 1 2x 解 2m＋1≥0，得 m≥－1 2； 解 m2＋m－1≥0，得 m≤ － 5－1 2 或 m≥ 5－1 2 ； 解 2m＋1>m2＋m－1，得－10.解得 m<3. 又因为 m∈N*，所以 m＝1 或 2； 当 m＝2 时，f(x)＝x－m＋3＝x 为奇函数， 所以 m＝2 舍去. 当 m＝1 时，f(x)＝x－m＋3＝x2 为偶函数， 所以 m＝1，此时 f(x)＝x2. 思维升华　(1)幂函数的形式是 y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数 α，因此只需一个条件即可确 定其解析式. (2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴(简记为“指大图低”)，在区间 (1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴. 　(2016·盐城模拟)幂函数的图象经过点(4，2)，若 01 b>1， 即 a0 时，函数 f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为 f(2)＝8a＋1＝4，解得 a＝3 8； [9 分] 1 2x (3)当 a<0 时，函数 f(x)在区间[－1，2]上是减函数，最大值为 f(－1)＝1－a＝4，解得 a＝－3. [12 分] 综上可知，a 的值为3 8或－3. [14 分] 1.(教材改编)幂函数 f(x)＝xα 的图象过点(2，4)，那么函数 f(x)的单调递增区间是__________. 答案　[0，＋∞) 解析　把点(2，4)代入函数解析式得 4＝2α，所以 α＝2，故 f(x)＝x2，所以函数的单调递增区 间为[0，＋∞). 2.(教材改编)如果函数 f(x)＝x2＋bx＋c 对任意的实数 x，都有 f(1＋x)＝f(－x)，那么 f(－2)， f(0)，f(2)大小关系为____________. 答案　f(0)＜f(2)＜f(－2) 解析　函数 f(x)＝x2＋bx＋c 对任意的实数 x 都有 f(1＋x)＝f(－x).可知函数 f(x)图象的对称轴 为 x＝1 2，又函数图象开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大. 3.已知二次函数 f(x)满足 f(2＋x)＝f(2－x)，且 f(x)在[0，2]上是增函数，若 f(a)≥f(0)，则实数 a 的取值范围是____________. 答案　[0，4] 解析　由题意可知函数 f(x)的图象开口向下，对称轴为 x＝2(如图)， 若 f(a)≥f(0)，从图象观察可知 0≤a≤4. 4.若函数 y＝x 2 －3x－4 的定义域为[0，m]，值域为[－ 25 4 ，－4]，则 m 的取值范围是 ____________. 答案　[3 2，3] 解析　二次函数图象的对称轴为 x＝3 2 且 f(3 2)＝－25 4 ，f(3)＝f(0)＝－4， 由图得 m∈[3 2，3]. 5.若 a<0，(1 2)a、(0.2)a、2a 大小关系为__________. 答案　(0.2)a>(1 2)a>2a 解析　若 a<0，则幂函数 y＝xa 在(0，＋∞)上是单调减函数，又∵0.2<1 2<2，∴(0.2)a>(1 2)a>2a. 6.已知函数 y＝ x2－2x＋a的定义域为 R，值域为[0，＋∞)，则实数 a 的取值集合为 ________. 答案　{1} 解析　由定义域为 R，则 x2－2x＋a≥0 恒成立.又值域为[0，＋∞)，则函数 y＝x2－2x＋a 的 图象只能与 x 轴有 1 个交点，所以 Δ＝4－4a＝0，则 a＝1，所以实数 a 的取值集合为{1}. 7.(2016·连云港模拟)已知幂函数 f(x)＝ ，若 f(a＋1)1，即 a>2 时，f(x)在[1，a 2)上单调递减， 在(a 2，＋∞)上单调递增，不合题意； ②当 0≤a 2≤1，即 0≤a≤2 时，符合题意； ③当a 2<0，即 a<0 时，不符合题意. 综上，a 的取值范围是[0，2]. 10.若函数 f(x)＝1 2x2－x＋a 的定义域和值域均为[1，b] (b>1)，则 a＋b＝________. 答案　9 2 解析　∵f(x)＝1 2(x－1)2＋a－1 2， ∴其对称轴为 x＝1，即函数 f(x)在[1，b]上单调递增. ∴f(x)min＝f(1)＝a－1 2＝1， ① f(x)max＝f(b)＝1 2b2－b＋a＝b， ② 又 b>1，由①②解得Error! ∴a，b 的值分别为3 2，3. ∴a＋b＝9 2. 11.(2016·江苏赣榆高级中学质检)设函数 f(x)＝x 2－3x＋a.若函数 f(x)在区间(1，3)内有零点， 则实数 a 的取值范围为________. 答案　(0，9 4] 解析　方法一　由 f(x)＝0， 得 a＝－x2＋3x＝－(x－3 2)2＋9 4. 因为 x∈(1，3)，所以－(x－3 2)2＋9 4∈(0，9 4]， 所以 a∈(0，9 4]. 方法二　因为 f(x)＝x2－3x＋a＝(x－3 2)2－9 4＋a， 所以要使函数 f(x)在区间(1，3)内有零点，则需 f(3 2)≤0 且 f(3)>0，解得 0