2018版高考数学（浙江·文理通用）大一轮教师文档讲义：第五章5-4课时2平面向量的综合应用 19页

第2课时　平面向量的综合应用 题型一　平面向量与三角函数 命题点1　向量与三角恒等变换的结合 例1　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.且a＋b＝(0,1)，则α＝________，β＝________.‎ 答案　　 解析　因为a＋b＝(0,1)，‎ 所以 由此得cos α＝cos(π－β)．‎ 由0<β<π，得0<π－β<π，‎ 又0<α<π，故α＝π－β.‎ 代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝.‎ 又α>β，所以α＝，β＝.‎ 命题点2　向量与三角函数的结合 例2　已知向量a＝(sin x，)，b＝(cos x，－1)．‎ ‎(1)当a∥b时，求tan 2x的值；‎ ‎(2)求函数f(x)＝(a＋b)·b在[－，0]上的值域．‎ 解　(1)∵a∥b，∴sin x·(－1)－·cos x＝0，‎ 即sin x＋cos x＝0，tan x＝－，‎ ‎∴tan 2x＝＝.‎ ‎(2)f(x)＝(a＋b)·b＝a·b＋b2‎ ‎＝sin xcos x－＋cos2x＋1‎ ‎＝sin 2x－＋cos 2x＋＋1‎ ‎＝sin(2x＋)．‎ ‎∵－≤x≤0，∴－π≤2x≤0，－≤2x＋≤，‎ ‎∴－≤sin(2x＋)≤，‎ ‎∴f(x)在[－，0]上的值域为[－，]．‎ 命题点3　向量与解三角形的结合 例3　已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；‎ ‎(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b与c的值．‎ 解　(1)f(x)＝2cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos(2x＋)，‎ 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴函数y＝f(x)的单调递减区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．‎ ‎(2)∵f(A)＝1＋2cos(2A＋)＝－1，‎ ‎∴cos(2A＋)＝－1，‎ 又<2A＋<，‎ ‎∴2A＋＝π，即A＝.‎ ‎∵a＝，‎ ‎∴由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7. ①‎ ‎∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，‎ ‎∴2sin B＝3sin C，‎ 由正弦定理得2b＝3c， ②‎ 由①②得b＝3，c＝2.‎ 思维升华　利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．‎ ‎　(1)函数y＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且·＝0，则函数f(x)的最小正周期是______．‎ ‎(2)(2016·浙江五校一联)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c＝6，sin A－sin C＝sin(A－B)，若1≤a≤6，则sin C的取值范围是________．‎ 答案　(1)3　(2)[，1]‎ 解析　(1)由图象可知，M(，1)，N(xN，－1)，‎ 所以·＝(，1)·(xN，－1)＝xN－1＝0，‎ 解得xN＝2，‎ 所以函数f(x)的最小正周期是2×＝3.‎ ‎(2)由sin A－sin C＝sin(A－B)，得 sin A＝sin C＋sin(A－B)＝sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin Acos B，‎ 又sin A≠0，所以cos B＝.‎ 当a＝6cos B＝3∈[1,6]时，sin C＝1；‎ 当a＝1时，b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋36－2×1×6×＝31，‎ 所以b＝，于是＝，‎ 得sin C＝；‎ 当a＝6时，△ABC为等边三角形，‎ 则sin C＝，>，‎ 从而得到sin C的取值范围是[，1]．‎ 题型二　向量与学科知识的交汇 命题点1　向量与不等式相结合 例4　(1)设e1，e2是平面内两个不共线的向量，＝(a－1)e1＋e2，＝be1－2e2(a>0，b>0)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是(　　)‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎(2)已知x，y满足若＝(x,1)，＝(2，y)，且·的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是________．‎ 答案　(1)B　(2) 解析　(1)因为A，B，C三点共线，‎ 所以(a－1)×(－2)＝1×b，所以2a＋b＝2.‎ 因为a>0，b>0，所以＋＝·(＋)＝2＋＋≥2＋2 ＝4(当且仅当＝，即a＝，b＝1时取等号)．‎ ‎(2) 因为＝(x,1)，＝(2，y)，所以·＝2x＋y，令z＝2x＋y，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图象可知，当直线z＝2x＋y过点C(1,1)时，zmax＝2×1＋1＝3，目标函数z＝2x＋y过点F(a，a)时，zmin＝2a＋a＝3a，所以3＝8×3a，解得a＝.‎ 命题点2　向量与数列结合 例5　(2016·浙江五校联考) 设数列{xn}的各项都为正数且x1＝1.如图，△ABC所在平面上的点Pn (n∈N*)均满足△PnAB与△PnAC的面积比为3∶1，若(2xn＋1)＋＝xn＋1，则x5的值为(　　)‎ A．31 B．33‎ C．61 D．63‎ 答案　A 解析　在(2xn＋1)＋＝xn＋1中，令＝(2xn＋1)，作出图形如图所示，则(2xn＋1)＋＝ ‎＝xn＋1，所以＝xn＋1，‎ ‎＝xn＋1.又＝＝，‎ 所以＝＝，则＝＝，所以xn＋1＝2xn＋1，xn＋1＋1＝2(xn＋1)，故{xn＋1}构成以2为首项、2为公比的等比数列，所以x5＋1＝2×24＝32，则x5＝31，故选A.‎ 思维升华　向量与其他知识的结合，多体现向量的工具作用，利用向量共线或向量数量积的知识进行转化，“脱去”向量外衣，利用其他知识解决即可．‎ 跟踪训练2　(1)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为(　　)‎ A．3 B．4‎ C．3 D．4 ‎(2)(2017·浙江新高考预测)角A，B，C为△ABC的三个内角，向量m满足|m|＝，且m＝(sin，cos )，当角A最大时，动点P使得||，||，||成等差数列，则的最大值是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　(1)B　(2)A 解析　(1)由线性约束条件 画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，目标函数z＝·＝x＋y，将其化为y＝－x＋z，结合图象可知，当直线z＝x＋y过点(，2)时，z最大，将点(，2)代入z＝x＋y，得z的最大值为4.‎ ‎(2)设BC＝2a，BC的中点为D.‎ 由题意得|m|2＝(sin )2＋(cos )2‎ ‎＝1－cos(B＋C)＋[1＋cos(B－C)]‎ ‎＝－cos Bcos C＋sin Bsin C＝，‎ 则cos Bcos C＝sin Bsin C，化简得tan Btan C＝，则tan A＝－tan(B＋C)＝－＝－ ‎(tan B＋tan C)≤－×2＝－，当且仅当tan B＝tan C＝时，等号成立，所以当角A最大时，A＝，B＝C＝，则易得AD＝.因为||，||，||成等差数列，所以2||＝||＋||，则点P在以B，C为焦点，以2||＝4a为长轴的椭圆上，由图(图略)易得当点P为椭圆的与点A在直线BC的异侧的顶点时，||取得最大值，此时||＝＝a，则||＝||＋||＝，所以＝＝，故选A.‎ 题型三　和向量有关的创新题 例6　称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则(　　)‎ A．a⊥b B．b⊥(a－b)‎ C．a⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b)‎ 答案　B 解析　由于d(a，b)＝|a－b|，‎ 因此对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，‎ 即|a－tb|≥|a－b|，‎ 即(a－tb)2≥(a－b)2，t2－2ta·b＋(2a·b－1)≥0对任意的t∈R都成立，因此有(－2a·b)2－4(2a·b－1)≤0，‎ 即(a·b－1)2≤0，‎ 得a·b－1＝0，‎ 故a·b－b2＝b·(a－b)＝0，‎ 故b⊥(a－b)．‎ 思维升华　‎ 解答创新型问题，首先需要分析新定义(新运算)的特点，把新定义(新运算)所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义(新运算)信息题难点的关键所在．‎ ‎　定义一种向量运算“⊗”：a⊗b＝(a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内向量a，b，c，e，给出下列结论：‎ ‎①a⊗b＝b⊗a；‎ ‎②λ(a⊗b)＝(λa) ⊗b(λ∈R)；‎ ‎③(a＋b) ⊗c＝a⊗c＋b⊗c；‎ ‎④若e是单位向量，则|a⊗e|≤|a|＋1.‎ 以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号)‎ 答案　①④‎ 解析　当a，b共线时，a⊗b＝|a－b|＝|b－a|＝b⊗a，当a，b不共线时，a⊗b＝a·b＝b·a＝b⊗a，故①是正确的；‎ 当λ＝0，b≠0时，λ(a⊗b)＝0，(λa)⊗b＝|0－b|≠0，故②是错误的；‎ 当a＋b与c共线时，存在a，b与c不共线，(a＋b)⊗c＝|a＋b－c|，a⊗c＋b⊗c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故③是错误的；‎ 当e与a不共线时，|a⊗e|＝|a·e|<|a|·|e|<|a|＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，|a⊗e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1，故④是正确的．‎ 综上，结论一定正确的是①④.‎ 三审图形抓特点 典例　(2016·镇海一模)已知A，B，C，D是函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜)一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为(　　)‎ A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝ C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝ ―→―→ ―→ 解析　由E为该函数图象的一个对称中心，作点C的对称点M，作MF⊥x轴，垂足为F，如图．B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，知OF＝.‎ 又A，所以AF＝＝＝，所以ω＝2.同时函数y＝sin(ωx＋φ)图象可以看作是由y＝sin ωx的图象向左平移得到，故可知＝＝，即φ＝.‎ 答案　A ‎1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2·＝a2－(b＋c)2，acos B＋bcos A＝2csin C，b＝2，则△ABC的面积为(　　)‎ A. B. C．3 D．6 答案　C 解析　由已知得2bc·cos A＝a2－(b＋c)2，‎ 又a2＝b2＋c2－2bc·cos A，∴cos A＝－，‎ ‎∵0|a－b|，此时，|a＋b|2>|a|2＋|b|2；当a，b夹角为钝角时，|a＋b|<|a－b ‎|，此时，|a－b|2>|a|2＋|b|2；当a⊥b时，|a＋b|2＝|a－b|2＝|a|2＋|b|2，故选D.‎ ‎6．(2017·浙江新高考预测一) 如图，在扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上与A，B不重合的一个动点，且＝x＋y，若u＝x＋λy(λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为(　　)‎ A．(1,3) B．(，3)‎ C．(，1) D．(，2)‎ 答案　D 解析　设∠BOC＝α，则∠AOC＝－α，‎ 因为＝x＋y，‎ 所以 即 解得x＝－cos α＋cos(－α)＝sin α，‎ y＝cos α－sin α，‎ 所以u＝sin α＋λ(cos α－sin α)＝(－λ)sin α＋λcos α＝ sin(α＋β)，‎ 其中tan β＝，‎ 因为0<α<，要使u存在最大值，只需满足β>，‎ 所以>，‎ 整理得>0，解得<λ<2，故选D.‎ ‎7. 若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且·＝0(O为坐标原点)，则A等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意知M(，A)，N(，－A)，‎ 又∵·＝×－A2＝0，‎ ‎∴A＝.‎ ‎8．已知在△ABC中，＝a，＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC＝________.‎ 答案　150°‎ 解析　∵·<0，∴∠BAC为钝角，‎ 又∵S△ABC＝|a||b|sin∠BAC＝，‎ ‎∴sin∠BAC＝，‎ 又0°≤∠BAC<180°，‎ 又0°≤