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  • 2021-05-13 发布

2018版高考数学(浙江·文理通用)大一轮教师文档讲义:第五章5-4课时2平面向量的综合应用

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第2课时 平面向量的综合应用 题型一 平面向量与三角函数 命题点1 向量与三角恒等变换的结合 例1 已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π.且a+b=(0,1),则α=________,β=________.‎ 答案   解析 因为a+b=(0,1),‎ 所以 由此得cos α=cos(π-β).‎ 由0<β<π,得0<π-β<π,‎ 又0<α<π,故α=π-β.‎ 代入sin α+sin β=1,得sin α=sin β=.‎ 又α>β,所以α=,β=.‎ 命题点2 向量与三角函数的结合 例2 已知向量a=(sin x,),b=(cos x,-1).‎ ‎(1)当a∥b时,求tan 2x的值;‎ ‎(2)求函数f(x)=(a+b)·b在[-,0]上的值域.‎ 解 (1)∵a∥b,∴sin x·(-1)-·cos x=0,‎ 即sin x+cos x=0,tan x=-,‎ ‎∴tan 2x==.‎ ‎(2)f(x)=(a+b)·b=a·b+b2‎ ‎=sin xcos x-+cos2x+1‎ ‎=sin 2x-+cos 2x++1‎ ‎=sin(2x+).‎ ‎∵-≤x≤0,∴-π≤2x≤0,-≤2x+≤,‎ ‎∴-≤sin(2x+)≤,‎ ‎∴f(x)在[-,0]上的值域为[-,].‎ 命题点3 向量与解三角形的结合 例3 已知函数f(x)=a·b,其中a=(2cos x,-sin 2x),b=(cos x,1),x∈R.‎ ‎(1)求函数y=f(x)的单调递减区间;‎ ‎(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,f(A)=-1,a=,且向量m=(3,sin B)与n=(2,sin C)共线,求边长b与c的值.‎ 解 (1)f(x)=2cos2x-sin 2x=1+cos 2x-sin 2x=1+2cos(2x+),‎ 令2kπ≤2x+≤2kπ+π(k∈Z),‎ 解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),‎ ‎∴函数y=f(x)的单调递减区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).‎ ‎(2)∵f(A)=1+2cos(2A+)=-1,‎ ‎∴cos(2A+)=-1,‎ 又<2A+<,‎ ‎∴2A+=π,即A=.‎ ‎∵a=,‎ ‎∴由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc=7. ①‎ ‎∵向量m=(3,sin B)与n=(2,sin C)共线,‎ ‎∴2sin B=3sin C,‎ 由正弦定理得2b=3c, ②‎ 由①②得b=3,c=2.‎ 思维升华 利用向量的载体作用,可以将向量与三角函数、不等式结合起来,解题时通过定义或坐标运算进行转化,使问题的条件结论明晰化.‎ ‎ (1)函数y=sin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图所示,M,N分别是最高点、最低点,O为坐标原点,且·=0,则函数f(x)的最小正周期是______.‎ ‎(2)(2016·浙江五校一联)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知c=6,sin A-sin C=sin(A-B),若1≤a≤6,则sin C的取值范围是________.‎ 答案 (1)3 (2)[,1]‎ 解析 (1)由图象可知,M(,1),N(xN,-1),‎ 所以·=(,1)·(xN,-1)=xN-1=0,‎ 解得xN=2,‎ 所以函数f(x)的最小正周期是2×=3.‎ ‎(2)由sin A-sin C=sin(A-B),得 sin A=sin C+sin(A-B)=sin(A+B)+sin(A-B)=2sin Acos B,‎ 又sin A≠0,所以cos B=.‎ 当a=6cos B=3∈[1,6]时,sin C=1;‎ 当a=1时,b2=a2+c2-2accos B=1+36-2×1×6×=31,‎ 所以b=,于是=,‎ 得sin C=;‎ 当a=6时,△ABC为等边三角形,‎ 则sin C=,>,‎ 从而得到sin C的取值范围是[,1].‎ 题型二 向量与学科知识的交汇 命题点1 向量与不等式相结合 例4 (1)设e1,e2是平面内两个不共线的向量,=(a-1)e1+e2,=be1-2e2(a>0,b>0),若A,B,C三点共线,则+的最小值是(  )‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎(2)已知x,y满足若=(x,1),=(2,y),且·的最大值是最小值的8倍,则实数a的值是________.‎ 答案 (1)B (2) 解析 (1)因为A,B,C三点共线,‎ 所以(a-1)×(-2)=1×b,所以2a+b=2.‎ 因为a>0,b>0,所以+=·(+)=2++≥2+2 =4(当且仅当=,即a=,b=1时取等号).‎ ‎(2) 因为=(x,1),=(2,y),所以·=2x+y,令z=2x+y,依题意,不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界),观察图象可知,当直线z=2x+y过点C(1,1)时,zmax=2×1+1=3,目标函数z=2x+y过点F(a,a)时,zmin=2a+a=3a,所以3=8×3a,解得a=.‎ 命题点2 向量与数列结合 例5 (2016·浙江五校联考) 设数列{xn}的各项都为正数且x1=1.如图,△ABC所在平面上的点Pn (n∈N*)均满足△PnAB与△PnAC的面积比为3∶1,若(2xn+1)+=xn+1,则x5的值为(  )‎ A.31 B.33‎ C.61 D.63‎ 答案 A 解析 在(2xn+1)+=xn+1中,令=(2xn+1),作出图形如图所示,则(2xn+1)+= ‎=xn+1,所以=xn+1,‎ ‎=xn+1.又==,‎ 所以==,则==,所以xn+1=2xn+1,xn+1+1=2(xn+1),故{xn+1}构成以2为首项、2为公比的等比数列,所以x5+1=2×24=32,则x5=31,故选A.‎ 思维升华 向量与其他知识的结合,多体现向量的工具作用,利用向量共线或向量数量积的知识进行转化,“脱去”向量外衣,利用其他知识解决即可.‎ 跟踪训练2 (1)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定.若M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为(,1),则z=·的最大值为(  )‎ A.3 B.4‎ C.3 D.4 ‎(2)(2017·浙江新高考预测)角A,B,C为△ABC的三个内角,向量m满足|m|=,且m=(sin,cos ),当角A最大时,动点P使得||,||,||成等差数列,则的最大值是(  )‎ A. B. C. D. 答案 (1)B (2)A 解析 (1)由线性约束条件 画出可行域如图阴影部分所示(含边界),目标函数z=·=x+y,将其化为y=-x+z,结合图象可知,当直线z=x+y过点(,2)时,z最大,将点(,2)代入z=x+y,得z的最大值为4.‎ ‎(2)设BC=2a,BC的中点为D.‎ 由题意得|m|2=(sin )2+(cos )2‎ ‎=1-cos(B+C)+[1+cos(B-C)]‎ ‎=-cos Bcos C+sin Bsin C=,‎ 则cos Bcos C=sin Bsin C,化简得tan Btan C=,则tan A=-tan(B+C)=-=- ‎(tan B+tan C)≤-×2=-,当且仅当tan B=tan C=时,等号成立,所以当角A最大时,A=,B=C=,则易得AD=.因为||,||,||成等差数列,所以2||=||+||,则点P在以B,C为焦点,以2||=4a为长轴的椭圆上,由图(图略)易得当点P为椭圆的与点A在直线BC的异侧的顶点时,||取得最大值,此时||==a,则||=||+||=,所以==,故选A.‎ 题型三 和向量有关的创新题 例6 称d(a,b)=|a-b|为两个向量a,b间的“距离”.若向量a,b满足:①|b|=1;②a≠b;③对任意的t∈R,恒有d(a,tb)≥d(a,b),则(  )‎ A.a⊥b B.b⊥(a-b)‎ C.a⊥(a-b) D.(a+b)⊥(a-b)‎ 答案 B 解析 由于d(a,b)=|a-b|,‎ 因此对任意的t∈R,恒有d(a,tb)≥d(a,b),‎ 即|a-tb|≥|a-b|,‎ 即(a-tb)2≥(a-b)2,t2-2ta·b+(2a·b-1)≥0对任意的t∈R都成立,因此有(-2a·b)2-4(2a·b-1)≤0,‎ 即(a·b-1)2≤0,‎ 得a·b-1=0,‎ 故a·b-b2=b·(a-b)=0,‎ 故b⊥(a-b).‎ 思维升华 ‎ 解答创新型问题,首先需要分析新定义(新运算)的特点,把新定义(新运算)所叙述的问题的本质弄清楚,然后应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义(新运算)信息题难点的关键所在.‎ ‎ 定义一种向量运算“⊗”:a⊗b=(a,b是任意的两个向量).对于同一平面内向量a,b,c,e,给出下列结论:‎ ‎①a⊗b=b⊗a;‎ ‎②λ(a⊗b)=(λa) ⊗b(λ∈R);‎ ‎③(a+b) ⊗c=a⊗c+b⊗c;‎ ‎④若e是单位向量,则|a⊗e|≤|a|+1.‎ 以上结论一定正确的是________.(填上所有正确结论的序号)‎ 答案 ①④‎ 解析 当a,b共线时,a⊗b=|a-b|=|b-a|=b⊗a,当a,b不共线时,a⊗b=a·b=b·a=b⊗a,故①是正确的;‎ 当λ=0,b≠0时,λ(a⊗b)=0,(λa)⊗b=|0-b|≠0,故②是错误的;‎ 当a+b与c共线时,存在a,b与c不共线,(a+b)⊗c=|a+b-c|,a⊗c+b⊗c=a·c+b·c,显然|a+b-c|≠a·c+b·c,故③是错误的;‎ 当e与a不共线时,|a⊗e|=|a·e|<|a|·|e|<|a|+1,当e与a共线时,设a=ue,u∈R,|a⊗e|=|a-e|=|ue-e|=|u-1|≤|u|+1,故④是正确的.‎ 综上,结论一定正确的是①④.‎ 三审图形抓特点 典例 (2016·镇海一模)已知A,B,C,D是函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)一个周期内的图象上的四个点,如图所示,A,B为y轴上的点,C为图象上的最低点,E为该函数图象的一个对称中心,B与D关于点E对称,在x轴上的投影为,则ω,φ的值为(  )‎ A.ω=2,φ= B.ω=2,φ= C.ω=,φ= D.ω=,φ= ―→―→ ―→ 解析 由E为该函数图象的一个对称中心,作点C的对称点M,作MF⊥x轴,垂足为F,如图.B与D关于点E对称,在x轴上的投影为,知OF=.‎ 又A,所以AF===,所以ω=2.同时函数y=sin(ωx+φ)图象可以看作是由y=sin ωx的图象向左平移得到,故可知==,即φ=.‎ 答案 A ‎1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足2·=a2-(b+c)2,acos B+bcos A=2csin C,b=2,则△ABC的面积为(  )‎ A. B. C.3 D.6 答案 C 解析 由已知得2bc·cos A=a2-(b+c)2,‎ 又a2=b2+c2-2bc·cos A,∴cos A=-,‎ ‎∵0|a-b|,此时,|a+b|2>|a|2+|b|2;当a,b夹角为钝角时,|a+b|<|a-b ‎|,此时,|a-b|2>|a|2+|b|2;当a⊥b时,|a+b|2=|a-b|2=|a|2+|b|2,故选D.‎ ‎6.(2017·浙江新高考预测一) 如图,在扇形OAB中,∠AOB=60°,C为弧AB上与A,B不重合的一个动点,且=x+y,若u=x+λy(λ>0)存在最大值,则λ的取值范围为(  )‎ A.(1,3) B.(,3)‎ C.(,1) D.(,2)‎ 答案 D 解析 设∠BOC=α,则∠AOC=-α,‎ 因为=x+y,‎ 所以 即 解得x=-cos α+cos(-α)=sin α,‎ y=cos α-sin α,‎ 所以u=sin α+λ(cos α-sin α)=(-λ)sin α+λcos α= sin(α+β),‎ 其中tan β=,‎ 因为0<α<,要使u存在最大值,只需满足β>,‎ 所以>,‎ 整理得>0,解得<λ<2,故选D.‎ ‎7. 若函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)在一个周期内的图象如图所示,M,N分别是这段图象的最高点和最低点,且·=0(O为坐标原点),则A等于(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 由题意知M(,A),N(,-A),‎ 又∵·=×-A2=0,‎ ‎∴A=.‎ ‎8.已知在△ABC中,=a,=b,a·b<0,S△ABC=,|a|=3,|b|=5,则∠BAC=________.‎ 答案 150°‎ 解析 ∵·<0,∴∠BAC为钝角,‎ 又∵S△ABC=|a||b|sin∠BAC=,‎ ‎∴sin∠BAC=,‎ 又0°≤∠BAC<180°,‎ 又0°≤