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- 2021-05-13 发布
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1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,(C(α-β))
cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β,(C(α+β))
sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β,(S(α-β))
sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β,(S(α+β))
tan(α-β)=,(T(α-β))
tan(α+β)=.(T(α+β))
2.二倍角公式
sin 2α=2sin_αcos_α;
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
tan 2α=.
【知识拓展】
1.降幂公式:cos2α=,sin2α=.
2.升幂公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α.
3.辅助角公式:asin x+bcos x=sin(x+φ),其中sin φ=,cos φ=.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.( √ )
(2)在锐角△ABC中,sin Asin B和cos Acos B大小不确定.( × )
(3)若α+β=45°,则tan α+tan β=1-tan αtan β.( √ )
(4)对任意角α都有1+sin α=(sin +cos )2.( √ )
(5)y=3sin x+4cos x的最大值是7.( × )
(6)在非直角三角形中,tan A+tan B+tan C
=tan Atan Btan C.( √ )
1.(教材改编)sin 18°cos 27°+cos 18°sin 27°的值是( )
A. B.
C. D.-
答案 A
解析 sin 18°cos 27°+cos 18°sin 27°=sin(18°+27°)=sin 45°=.
2.化简等于( )
A.1 B. C. D.2
答案 C
解析 原式=
===.
3.tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°=________.
答案
解析 ∵tan 60°=tan(20°+40°)=,
∴tan 20°+tan 40°=tan 60°(1-tan 20°tan 40°)
=-tan 20°tan 40°,
∴原式=-tan 20°tan 40°+tan 20°tan 40°=.
4.(2016·浙江)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=________,b=________.
答案 1
解析 ∵2cos2x+sin 2x=cos 2x+1+sin 2x
=+1=sin+1
=Asin(ωx+φ)+b(A>0),∴A=,b=1.
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
题型一 和差公式的直接应用
例1 (1)(2016·杭州模拟)已知sin α=,α∈(,π),则
=________.
(2)在△ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,则cos C的值为( )
A.- B.
C. D.-
答案 (1)- (2)B
解析 (1)=
=cos α-sin α,
∵sin α=,α∈(,π),
∴cos α=-,∴原式=-.
(2)由tan Atan B=tan A+tan B+1,
可得=-1,即tan(A+B)=-1,
又A+B∈(0,π),所以A+B=,
则C=,cos C=.
思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值.
(1)(2016·全国丙卷)若tan α=,则cos2α+2sin 2α等于( )
A. B. C.1 D.
(2)(2016·宁波期末考试)已知θ∈(0,),且sin θ-cos θ=-,则等于( )
A. B. C. D.
答案 (1)A (2)D
解析 (1)tan α=,则cos2α+2sin 2α=
==.
(2)由sin θ-cos θ=-,得sin(-θ)=,
∵θ∈(0,),
∴cos(-θ)=.
==
==2cos(-θ)=,故选D.
题型二 和差公式的综合应用
命题点1 角的变换
例2 (1)设α、β都是锐角,且cos α=,sin(α+β)=,则cos β等于( )
A. B.
C.或 D.或
(2)已知cos(α-)+sin α=,则sin(α+)的值是________.
答案 (1)A (2)-
解析 (1)依题意得sin α==,
cos(α+β)=±=±.
又α,β均为锐角,所以0<α<α+β<π,cos α>cos(α+β).
因为>>-,所以cos(α+β)=-.
于是cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=-×+×=.
(2)∵cos(α-)+sin α=,
∴cos α+sin α=,
(cos α+sin α)=,sin(+α)=,
∴sin(+α)=,
∴sin(α+)=-sin(+α)=-.
命题点2 三角函数式的变形
例3 (1)化简: (0<θ<π);
(2)求值:-sin 10°(-tan 5°).
解 (1)由θ∈(0,π),得0<<,
∴cos >0,
∴= =2cos .
又(1+sin θ+cos θ)(sin -cos )
=(2sin cos +2cos2)(sin -cos )
=2cos (sin2-cos2)
=-2cos cos θ.
故原式==-cos θ.
(2)原式=-sin 10°(-)
=-sin 10°·
=-sin 10°·
=-2cos 10°=
=
=
==.
引申探究
化简: (0<θ<π).
解 ∵0<<,∴=2sin ,
又1+sin θ-cos θ=2sin cos +2sin2
=2sin (sin +cos )
∴原式=
=-cos θ.
思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(2)常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=-,α=+,=(α+)-(+β)等.
(1)(2016·宿州模拟)若sin(+α)=,则cos(-2α)等于( )
A. B.-
C. D.-
(2)(2016·青岛模拟)化简(tan α+)·sin 2α-2cos2α等于( )
A.cos2α B.sin2α
C.cos 2α D.-cos 2α
(3)计算:sin 50°(1+tan 10°)=________.
答案 (1)D (2)D (3)1
解析 (1)∵sin(+α)=,∴cos(-α)=,
∴cos(-2α)=cos 2(-α)=2×-1=-.
(2)原式=·sin 2α-2cos2α
=1-2cos2α=-cos 2α.
(3)sin 50°(1+tan 10°)=sin 50°(1+)
=sin 50°×
=sin 50°×
====1.
8.利用联系的观点进行角的变换
典例1 (1)设α为锐角,若cos(α+)=,则sin(2α+)的值为________.
(2)若tan α=2tan,则等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
思想方法指导 三角变换的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系,通过适当地拆角、凑角来利用所给条件.
解析 (1)∵α为锐角且cos(α+)=>0,
∴α+∈(,),∴sin(α+)=.
∴sin(2α+)=sin[2(α+)-]
=sin 2(α+)cos -cos 2(α+)sin
=sin(α+)cos(α+)-[2cos2(α+)-1]
=××-[2×()2-1]
=-=.
(2)=
==
=
=
==3,故选C.
答案 (1) (2)C
典例2 (1)(2016·浙江五校联考)已知3tan+tan2=1,sin β=3sin(2α+β),则tan(α+β)等于( )
A. B.- C.- D.-3
(2)已知tan α=4,则的值为________.
思想方法指导 在三角变换中,要熟练掌握三角公式的结构特征,体会公式间的联系,熟悉公式的常见变形.解题时尽快寻找题目中的三角式子和公式的联系,寻求突破途径.
解析 (1)由3tan+tan2=1,得=,
即tan α=.
又由sin β=3sin(2α+β),得
sin[(α+β)-α]=3sin[(α+β)+α],
则sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=3[sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α],
所以2sin(α+β)cos α=-4cos(α+β)sin α,
所以tan(α+β)=-2tan α=-.
(2)====.
答案 (1)B (2)
1.(2015·课标全国Ⅰ)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于( )
A.- B. C.- D.
答案 D
解析 sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=.
2.(2016·全国甲卷)若cos=,则sin 2α等于( )
A. B. C.- D.-
答案 D
解析 因为sin 2α=cos=2cos2-1,又因为cos=,所以sin 2α=2×-1=-,故选D.
3.已知sin 2α=,则cos2等于( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 因为cos2=
==,
所以cos2===,故选A.
4.(2016·东北三省三校联考)已知sin α+cos α=,则sin2(-α)等于( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由sin α+cos α=,两边平方得1+sin 2α=,
解得sin 2α=-,
所以sin2(-α)=
===.
5.(2016·绍兴高三教学质检)已知sin(-α)=,则cos(2α+)等于( )
A.- B.- C. D.
答案 A
解析 因为sin(-α)=cos[-(-α)]
=cos(α+)=,
所以cos(2α+)=cos[2(α+)]
=2cos2(α+)-1=2×()2-1=-,故选A.
6.(2017·浙江九校联考)已知锐角α,β满足sin α-cos α=,tan α+tan β+tan αtan β=,则α,β的大小关系是( )
A.α<<β B.β<<α
C.<α<β D.<β<α
答案 B
解析 ∵α为锐角,sin α-cos α=>0,∴α>.
又tan α+tan β+tan αtan β=,
∴tan(α+β)==,
∴α+β=,又α>,∴β<<α.
7.化简·=________.
答案
解析 原式=tan(90°-2α)·
=··
=··=.
8.已知0<α<,sin α=,tan(α-β)=-,则tan β=________;=________.
答案 3
解析 因为α∈(0,),sin α=,
所以cos α=,tan α=,
又tan(α-β)=-,
所以tan β=tan[α-(α-β)]==3,
由题意知,原式=
==
==.
9.已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,β是第三象限角,则sin(β+)=________.
答案
解析 依题意可将已知条件变形为
sin[(α-β)-α]=-sin β=,sin β=-.
又β是第三象限角,因此有cos β=-.
sin(β+)=-sin(β+)
=-sin βcos -cos βsin =.
*10.(2016·江山模拟)已知cos(+θ)cos(-θ)=,则sin4θ+cos4θ的值为________.
答案
解析 因为cos(+θ)cos(-θ)
=(cos θ-sin θ)(cos θ+sin θ)
=(cos2θ-sin2θ)=cos 2θ=.
所以cos 2θ=.
故sin4θ+cos4θ=()2+()2
=+=.
11.已知α∈(0,),tan α=,求tan 2α和sin(2α+)的值.
解 ∵tan α=,
∴tan 2α===,
且=,即cos α=2sin α,
又sin2α+cos2α=1,∴5sin2α=1,
而α∈(0,),∴sin α=,cos α=.
∴sin 2α=2sin αcos α=2××=,
cos 2α=cos2α-sin2α=-=,
∴sin(2α+)=sin 2αcos +cos 2αsin
=×+×=.
12.已知α∈,且sin +cos =.
(1)求cos α的值;
(2)若sin(α-β)=-,β∈,求cos β的值.
解 (1)因为sin +cos =,
两边同时平方,得sin α=.
又<α<π,所以cos α=-.
(2)因为<α<π,<β<π,
所以-π<-β<-,故-<α-β<.
又sin(α-β)=-,得cos(α-β)=.
cos β=cos[α-(α-β)]
=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)
=-×+×
=-.
*13.(2016·合肥质检)已知cos(+α)cos(-α)=-,α∈(,).
(1)求sin 2α的值;
(2)求tan α-的值.
解 (1)cos(+α)·cos(-α)
=cos(+α)·sin(+α)
=sin(2α+)=-,
即sin(2α+)=-.
∵α∈(,),∴2α+∈(π,),
∴cos(2α+)=-,
∴sin 2α=sin[(2α+)-]
=sin(2α+)cos -cos(2α+)sin =.
(2)∵α∈(,),∴2α∈(,π),
又由(1)知sin 2α=,∴cos 2α=-.
∴tan α-=-=
==-2×=2.