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- 2021-05-13 发布
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2020 年山东省高考数学卷真题试卷(含答案)
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的。
1.设集合 A={x|1≤x≤3},B={x|2n>0,则 C 是椭圆,其焦点在 y 轴上
B.若 m=n>0,则 C 是圆,其半径为 n
C.若 mn<0,则 C 是双曲线,其渐近线方程为 myxn
D.若 m=0,n>0,则 C 是两条直线
10.下图是函数 y= sin(ωx+φ)的部分图像,则 sin(ωx+φ)=
A. πsin ( 3x ) B. πsin( 2 )3 x C. πcos( 2 6x ) D. 5 πc os( 2 )6 x
11.已知 a>0,b>0,且 a+b=1,则
A. 221
2ab B. 12 2
ab
C. 22loglog2ab D. 2ab
12 . 信 息 熵 是 信 息 论 中 的 一 个 重 要 概 念 . 设 随 机 变 量 X 所 有 可 能 的 取 值 为 1,2 , , n ,且
1
()0(1,2,,),1
n
ii
i
PXipinp
,定义 X 的信息熵 2
1
()log
n
ii
i
HXpp
.
A.若 n=1,则 H(X)=0
B.若 n=2,则 H(X)随着 1p 的增大而增大
C.若 1 (1,2,,)ipin n ,则 H(X)随着 n 的增大而增大
D.若 n=2m,随机变量 Y 所有可能的取值为 1,2,, m ,且 21()(1,2,,) jmjP Yjppjm ,则
H(X)≤H(Y)
三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.斜率为 3 的直线过抛物线 C:y2=4x 的焦点,且与 C 交于 A,B 两点,则 AB =________.
14.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前 n 项和为________.
15.某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆
心,A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点,B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点,四边形 DEFG 为矩形,BC⊥DG,
垂足为 C,tan∠ODC= 3
5
, BH DG∥ ,EF=12 cm,DE=2 cm,A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm,
圆孔半径为 1 cm,则图中阴影部分的面积为________cm2.
16.已知直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的棱长均为 2,∠BAD=60°.以 1D 为球心, 5 为半径的球面与侧面 BCC1B1
的交线长为________.
四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10 分)
在① 3ac ,② sin 3cA ,③ 3cb 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角
形存在,求 c 的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在 ABC△ ,它的内角 ,,A B C 的对边分别为 ,,abc,且 s i n 3s i nAB , 6C ,________?
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(12 分)
已知公比大于 1 的等比数列{}na 满足 2 4 320, 8a a a .
(1)求 的通项公式;
(2)记 mb 为 在区间 *(0,]()mmN 中的项的个数,求数列 {}mb 的前 100 项和 100S .
19.(12 分)
为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的
PM 2.5 和 2SO 浓度(单位: 3μg /m ),得下表:
[0,50] (50,150] (150,475]
[0,35] 32 18 4
(35,75] 6 8 12
(75,115] 3 7 10
(1)估计事件“该市一天空气中 PM 2.5 浓度不超过 75 ,且 2SO 浓度不超过 150 ”的概率;
(2)根据所给数据,完成下面的 22 列联表:
[0 ,150] (150 ,475 ]
[0 ,75 ]
(75,115]
(3)根据(2)中的列联表,判断是否有 99% 的把握认为该市一天空气中 浓度与 浓度有关?
附:
2
2 ()
()()()()
nadbcK abcdacbd
,
2()P K k 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
20.(12分)
如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.
(1)证明:l⊥平面PDC;
(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.
21.(12分)
已知函数 1()elnln xfxaxa .
(1)当 ea 时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
22.(12分)
已知椭圆C:
22
221( 0)xy abab 的离心率为 2
2
,且过点A(2,1).
(1)求C的方程:
(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.
参考答案
一、选择题
1.C 2.D 3.C 4.B
5.C 6.B 7.A 8.D
二、选择题
9.ACD 10.BC 11.ABD 12.AC
三、填空题
13. 16
3 14. 232nn 15. 5 42
16. 2
2
四、解答题
17.解:
方案一:选条件①.
由 6C 和余弦定理得
222 3
22
abc
ab
.
由sin3sinAB 及正弦定理得 3ab .
于是
222
2
33
223
bbc
b
,由此可得 bc .
由① 3ac ,解得 3,1abc .
因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时 1c .
方案二:选条件②.
由 和余弦定理得 .
由 及正弦定理得 .
于是 ,由此可得 , 6BC, 2
3A .
由② sin3cA ,所以 2 3, 6c b a .
因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时 23c .
方案三:选条件③.
由 6C 和余弦定理得
222 3
22
abc
ab
.
由 s i n 3s i nAB 及正弦定理得 3ab .
于是
222
2
33
223
bbc
b
,由此可得 bc .
由③ 3cb ,与 bc 矛盾.
因此,选条件③时问题中的三角形不存在.
18.解:
(1)设 {}na 的公比为 q .由题设得 3
11 20a q a q, 2
1 8aq .
解得 1
2q (舍去), 2q .由题设得 1 2a .
所以 {}na 的通项公式为 2 n
na .
(2)由题设及(1)知 1 0b ,且当 122nnm 时, mbn .
所以 10012345673233636465100() ()() ()Sbb bb b b bbbbbbb
23450 1 22 23 24 25 26 (10063)
480 .
19.解:
(1)根据抽查数据,该市 100 天的空气中 PM2.5 浓度不超过 75,且 2SO 浓度不超过 150 的天数为
32186864 ,因此,该市一天空气中 PM2.5 浓度不超过 75,且 浓度不超过 150 的概率的估计值
为 64 0.64100 .
(2)根据抽查数据,可得 22 列联表:
2SO
PM 2.5
[0,150] (150,475]
[0,75] 64 16
(75,115] 10 10
(3)根据(2)的列联表得
2
2 100 (64 10 16 10) 7.48480 20 74 26K
.
由于 7.484 6.635 ,故有99% 的把握认为该市一天空气中 浓度与 浓度有关.
20.解:
(1)因为 PD 底面 A B CD ,所以 P D A D .
又底面 为正方形,所以 AD D C ,因此 AD 底面 PDC .
因为 AD BC∥ , AD 平面 PBC ,所以 AD ∥ 平面 .
由已知得 l AD∥ .因此 l 平面 PDC .
(2)以 D 为坐标原点, DA 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 D x y z .
则 (0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(0,0,1)DCBP , ( 0 , 1,0 )DC , (1, 1, 1)PB .
由(1)可设 ( ,0 ,1)Qa ,则 ( ,0 , 1)D Q a .
设 (,,)xyzn 是平面 QCD 的法向量,则 0,
0,
DQ
DC
n
n
即 0,
0.
axz
y
可取 ( 1,0, )an .
所以 2
1cos,
|| || 31
PBaPB
PB a
nn
n
.
设 PB 与平面 所成角为 ,则 22
3 | 1| 3 2sin 13 3 11
aa
aa
.
因为 2
3 2 613 1 3
a
a
,当且仅当 1a 时等号成立,所以 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值
为 6
3
.
21.解:
()fx的定义域为 (0, ) , 1 1( ) exf x a x
.
(1)当 ea 时, ( )eln1xfxx , (1) e 1f ,
曲线 ()yfx 在点 (1,(1))f 处的切线方程为 (e1)(e1)(1)yx ,即 (e1)2yx .
直线 在 x 轴, y 轴上的截距分别为 2
e1
, 2 .
因此所求三角形的面积为 2
e1 .
(2)当 01a时, (1)ln1faa .
当 1a 时, 1( ) e l n xf x x , 1 1( ) exfx x
.
当 (0,1)x 时, ( ) 0fx ;当 (1, )x 时, ( ) 0fx .
所以当 1x 时, ()fx取得最小值,最小值为 (1) 1f ,从而 ( ) 1fx .
当 1a 时, 11()elnlneln1xxfxaxax .
综上, a 的取值范围是[1, ) .
22.解:
(1)由题设得 22
411ab,
22
2
1
2
ab
a
,解得 2 6a , 2 3b .
所以 C 的方程为
22
163
xy.
(2)设 11( , )M x y , 22( , )N x y .
若直线 MN 与 x 轴不垂直,设直线 MN 的方程为 ykxm,
代入 得 222(12)4260kxkmxm .
于是
2
1 2 1 222
4 2 6,1 2 1 2
km mx x x xkk
.①
由 AM AN 知 0AMAN,故 1212(2)(2)(1)(1)0xxyy ,
可得 22
1 212(1)(2)()(1)40kx xkmkxxm .
将①代入上式可得
2
22
22
264(1)(2)(1)401212
mkmkkmkm kk
.
整理得 (231)(21)0kmkm .
因为 (2 ,1 )A 不在直线 MN 上,所以 2 1 0km ,故 2 3 1 0km , 1k .
于是 MN 的方程为 21()(1)33yk xk .
所以直线 MN 过点 21( , )33P .
若直线 MN 与 x 轴垂直,可得 11( , )N x y .
由 0AM AN得 1 1 1 1( 2)( 2) ( 1)( 1) 0x x y y .
又
22
11163
xy,可得 2
113 8 4 0xx .解得 1 2x (舍去), 1
2
3x .
此时直线 MN 过点 21( , )33P .
令 Q 为 AP 的中点,即 41( , )33Q .
若 D 与 P 不重合,则由题设知 AP 是 Rt ADP△ 的斜边,故 122|||| 23DQAP.
若 D 与 P 重合,则 1| | | | 2D Q A P .
综上,存在点 41( , )33Q ,使得 ||DQ 为定值.