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- 2021-05-13 发布
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2012高考压轴导数大题
例1.已知函数在区间,内各有一个极值点.
(I)求的最大值;
(II)当时,设函数在点处的切线为,若在点处穿过函数的图象(即动点在点附近沿曲线运动,经过点时,从的一侧进入另一侧),求函数的表达式.
例2.函数的值域是_____________.
例3已知函数,其中为参数,且.
(1)当时,判断函数是否有极值;
(2)要使函数的极小值大于零,求参数的取值范围;
例4.已知函数在点处取得极大值,其导函数的图象经过点,.求:(Ⅰ)的值;(Ⅱ)的值.
例5设是函数的一个极值点.
(Ⅰ)求与的关系式(用表示),并求的单调区间;
(Ⅱ)设,.若存在使得成立,
求的取值范围
例6已知函数
在处取得极大值,在处取得极小值,且.
(1)证明;
(2)若z=a+2b,求z的取值范围。
例7用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?
例8统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗
油量(升)关于行驶速度(千米/小时)的函数解析式可以表示为:
已知甲、乙两地相距100千米.
(I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
1. 已知函数,.
(Ⅰ)如果函数在上是单调增函数,求的取值范围;
(Ⅱ)是否存在实数,使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根?若存在,请求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
2. 如果是函数的一个极值,称点是函数的一个极值点.已知函数
(1)若函数总存在有两个极值点,求所满足的关系;
(2)若函数有两个极值点,且存在,求在不等式表示的区域内时实数的范围.(3)若函数恰有一个极值点,且存在,使在不等式表示的区域内,证明:.
3 已知函数.
(1)若函数是其定义域上的增函数,求实数的取值范围;
(2)若是奇函数,且的极大值是,求函数在区间上的最大值;
(3)证明:当时,.
4已知实数a满足0<a≤2,a≠1,设函数f (x)=x3-x2+ax.
(Ⅰ) 当a=2时,求f (x)的极小值;
(Ⅱ) 若函数g(x)=x3+bx2-(2b+4)x+ln x (b∈R)的极小值点与f (x)的极小值点相同.
求证:g(x)的极大值小于等于5/4
例1解(I)因为函数在区间,内分别有一个极值点,所以在,内分别有一个实根,
设两实根为(),则,且.于是
,,且当,即,时等号成立.故的最大值是16.
(II)解法一:由知在点处的切线的方程是
,即,
因为切线在点处空过的图象,
所以在两边附近的函数值异号,则
不是的极值点.
而,且
.
若,则和都是的极值点.
所以,即,又由,得,故.
解法二:同解法一得
.
因为切线在点处穿过的图象,所以在两边附近的函数值异号,于是存在().
当时,,当时,;
或当时,,当时,.
设,则
当时,,当时,;
或当时,,当时,.
由知是的一个极值点,则,
所以,又由,得,故.
例3解(Ⅰ)当时,,则在内是增函数,故无极值.
(Ⅱ),令,得.
由(Ⅰ),只需分下面两种情况讨论.
①当时,随x的变化的符号及的变化情况如下表:
x
0
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
因此,函数在处取得极小值,且.
要使,必有,可得.
由于,故.
②当时,随x的变化,的符号及的变化情况如下表:
+
0
-
0
+
极大值
极小值
因此,函数处取得极小值,且
若,则.矛盾.所以当时,的极小值不会大于零.
综上,要使函数在内的极小值大于零,参数的取值范围为.
例4解法一:(Ⅰ)由图像可知,在上,在上,在上,
故在上递增,在上递减,
因此在处取得极大值,所以
(Ⅱ)
由
得
解得
解法二:(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)设
又
所以
由即得
所以
例5解(Ⅰ)f `(x)=-[x2+(a-2)x+b-a ]e3-x,
由f `(3)=0,得 -[32+(a-2)3+b-a ]e3-3=0,即得b=-3-2a,
则 f `(x)=[x2+(a-2)x-3-2a-a ]e3-x
=-[x2+(a-2)x-3-3a ]e3-x=-(x-3)(x+a+1)e3-x.
令f `(x)=0,得x1=3或x2=-a-1,由于x=3是极值点,
所以x+a+1≠0,那么a≠-4.
当a<-4时,x2>3=x1,则
在区间(-∞,3)上,f `(x)<0, f (x)为减函数;
在区间(3,―a―1)上,f `(x)>0,f (x)为增函数;
在区间(―a―1,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数.
当a>-4时,x2<3=x1,则
在区间(-∞,―a―1)上,f `(x)<0, f (x)为减函数;
在区间(―a―1,3)上,f `(x)>0,f (x)为增函数;
在区间(3,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a>0时,f (x)在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)上单调递减,那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[min(f (0),f (4) ),f (3)],
而f (0)=-(2a+3)e3<0,f (4)=(2a+13)e-1>0,f (3)=a+6,
那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a+3)e3,a+6].
又在区间[0,4]上是增函数,
且它在区间[0,4]上的值域是[a2+,(a2+)e4],
由于(a2+)-(a+6)=a2-a+=()2≥0,所以只须仅须
(a2+)-(a+6)<1且a>0,解得0
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