• 749.58 KB
  • 2021-05-13 发布

2018版高考数学(理)(苏教版,江苏专用)大一轮教师文档讲义:第五章5-3平面向量的数量积

  • 19页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎1.向量的夹角 已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB就是向量a与b的夹角,向量夹角的范围是[0,π].‎ ‎2.平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积,记作a·b 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 ‎3.平面向量数量积的性质 设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ为a与b(或e)的夹角.则 ‎(1)e·a=a·e=|a|cos θ.‎ ‎(2)a⊥b⇔a·b=0.‎ ‎(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;‎ 当a与b反向时,a·b=-|a||b|.‎ 特别地,a·a=|a|2或|a|=.‎ ‎(4)cos θ=.‎ ‎(5)|a·b|≤|a||b|.‎ ‎4.平面向量数量积满足的运算律 ‎(1)a·b=b·a;‎ ‎(2)(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)=λa·b(λ为实数);‎ ‎(3)(a+b)·c=a·c+b·c.‎ ‎5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2,由此得到 ‎(1)若a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|=.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离AB=||=.‎ ‎(3)设两个非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.‎ ‎(4)若a,b都是非零向量,θ是a与b的夹角,则cos θ==.‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1.两个向量a,b的夹角为锐角⇔a·b>0且a,b不共线;‎ 两个向量a,b的夹角为钝角⇔a·b<0且a,b不共线.‎ ‎2.平面向量数量积运算的常用公式 ‎(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.‎ ‎(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2.‎ ‎(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.( × )‎ ‎(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( √ )‎ ‎(3)由a·b=0可得a=0或b=0.( × )‎ ‎(4)在四边形ABCD中,=且·=0,则四边形ABCD为矩形.( × )‎ ‎(5)两个向量的夹角的范围是[0,].( × )‎ ‎1.设a,b,c为平面向量,有下面几个命题:‎ ‎①a·(b-c)=a·b-a·c;‎ ‎②(a·b)·c=a·(b·c);‎ ‎③(a-b)2=|a|2-2|a||b|+|b|2;‎ ‎④若a·b=0,则a=0,b=0.‎ 其中正确的有________个.‎ 答案 1‎ 解析 由向量的数量积的性质知①正确;由向量的数量积的运算不满足结合律知②不正确;由(a-b)2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a||b|cos θ+|b|2知③不正确;对于④,∵a·b=|a||b|·cos θ=0,∴|a|=0或|b|=0或cos θ=0.∴a=0或b=0或a⊥b,故④不正确.‎ ‎2.(教材改编)已知△ABC中,BC=4,AC=8,∠C=60°,则·=________.‎ 答案 -16‎ 解析 画图可知向量与夹角为角C的补角(图略),故·=BC×ACcos(π-C)=4×8×(-)=-16.‎ ‎3.(教材改编)已知向量a=(1,),b=(3,m).若向量a,b的夹角为,则实数m=________.‎ 答案  解析 ∵a·b=(1,)·(3,m)=3+m,‎ 又a·b=××cos ,‎ ‎∴3+m=××cos ,‎ ‎∴m=.‎ ‎4.(教材改编)已知向量a=(2,4),b=(1,1),若向量b⊥(a+λb),则实数λ的值是________.‎ 答案 -3‎ 解析 b·(a+λb)=b·a+λb·b=2×1+4×1+2λ=0⇒λ=-3.‎ ‎5.如图,在平行四边形ABCD中,E为DC的中点,AE与BD交于点M,AB=,AD=1,且·=-,则·=________.‎ 答案  解析 因为==(+)‎ ‎=+,‎ ==(-),‎ 所以·=(+)·(-)=,所以·=.‎ 题型一 平面向量数量积的运算 例1 (1)(2016·江苏南京开学测试)已知在▱ABCD中,AD=2,∠BAD=60°.若E为DC的中点,且·=1,则·的值为________.‎ ‎(2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为________;·的最大值为________.‎ 答案 (1)3 (2)1 1‎ 解析 (1)设AB=m(m>0),以向量,为基底,在▱ABCD中,AB=m,AD=2,∠BAD=60°,则·=(+)·(-)=2-·-2=4-m-m2,因为·=1,得m2+m-6=0,因为m>0,所以m=2,所以·=·(+)=(-)·(-)=2-·+2=4-3+2=3,故·=3.‎ ‎(2)方法一 以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),‎ 设E(t,0),t∈[0,1],则=(t,-1),=(0,-1),所以·=(t,-1)·(0,-1)=1.‎ 因为=(1,0),所以·=(t,-1)·(1,0)=t≤1,‎ 故·的最大值为1.‎ 方法二 由图知,无论E点在哪个位置,在方向上的投影都是CB=1,∴·=||·1=1,‎ 当E运动到B点时,在方向上的投影最大,即为DC=1,‎ ‎∴(·)max=||·1=1.‎ 思维升华 平面向量数量积的三种运算方法 ‎(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.‎ ‎(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.‎ ‎(3)利用数量积的几何意义求解.‎ ‎ (1)(2016·全国丙卷改编)已知向量=,=,则∠ABC=________.‎ ‎(2)(2015·天津)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.点E和F分别在线段BC和DC上,且=,=,则·的值为________.‎ 答案 (1)30° (2) 解析 (1)∵||=1,||=1,‎ cos∠ABC==,‎ 又∵0°≤∠ABC≤180°,∴∠ABC=30°.‎ ‎(2)在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2,BC=1,‎ ‎∠ABC=60°,∴CD=1,=+=+,‎ =+=+,‎ ‎∴·=·=·+·+·+·=2×1×cos 60°+2×+×12×cos 60°+××12×cos 120°=.‎ 题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 求向量的模 例2 (1)(2016·南京、盐城调研)在△ABC中,A=120°,AB=4.若点D在边BC上,且=2‎ eq o(DC,sup6(→)),AD=,则AC的长为________.‎ 答案 3‎ 解析 令AC=b,由题意得 ·=4bcos 120°=-2b,‎ 因为点D在边BC上,‎ 且=2,‎ 所以=+=+ ‎=+(-)=+,‎ 从而2=(+)2,又因为AD=,‎ 所以=+-,‎ 整理得b2-2b-3=0,解之得b=3(b=-1舍去),即AC的长为3.‎ ‎(2)(2016·江苏启东中学阶段测试)已知向量a,b,c满足a+b+c=0,且a与b的夹角等于150°,b与c的夹角等于120°,|c|=2,求|a|,|b|.‎ 解 由a+b+c=0,‎ 得⇒ ‎∴ 解之得|a|=2,|b|=4.‎ 命题点2 求向量的夹角 例3 (1)(2016·南京、盐城调研)已知向量a,b满足a=(4,-3),|b|=1,|a-b|=,则向量a,b的夹角为________.‎ ‎(2)若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b与c的夹角为钝角,则k 的取值范围是____________.‎ 答案 (1) (2)∪ 解析 (1)设向量a,b的夹角为θ,由|a-b|=得,‎ ‎21=(a-b)2=a2+b2-2a·b=25+1-10cos θ,‎ 即cos θ=,所以向量a,b的夹角为.‎ ‎(2)∵2a-3b与c的夹角为钝角,‎ ‎∴(2a-3b)·c<0,‎ 即(2k-3,-6)·(2,1)<0,‎ ‎∴4k-6-6<0,‎ ‎∴k<3.‎ 又若(2a-3b)∥c,则2k-3=-12,即k=-.‎ 当k=-时,2a-3b=(-12,-6)=-6c,‎ 即2a-3b与c反向.‎ 综上,k的取值范围为∪.‎ 思维升华 平面向量数量积求解问题的策略 ‎(1)求两向量的夹角:cos θ=,要注意θ∈[0,π].‎ ‎(2)两向量垂直的应用:两非零向量垂直的充要条件是:a⊥b⇔a·b=0⇔|a-b|=|a+b|.‎ ‎(3)求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有:‎ ‎①a2=a·a=|a|2或|a|=.‎ ‎②|a±b|==.‎ ‎③若a=(x,y),则|a|=.‎ ‎ (1)(2015·湖北)已知向量⊥,||=3,则·=________.‎ ‎(2)在△ABC中,若A=120°,·=-1,则||的最小值是________.‎ 答案 (1)9 (2) 解析 (1)因为⊥,所以·=0.所以·=·(+)=2+·=||2+0=32=9.‎ ‎(2)∵·=-1,‎ ‎∴||·||·cos 120°=-1,‎ 即||·||=2,‎ ‎∴||2=|-|2=2-2·+2‎ ‎≥2||·||-2·=6,‎ ‎∴||min=.‎ 题型三 平面向量与三角函数 例4 (2016·南通调研)已知△ABC是锐角三角形,向量m=(cos(A+),sin(A+)),n=(cos B,sin B),且m⊥n.‎ ‎(1)求A-B的值;‎ ‎(2)若cos B=,AC=8,求BC的长.‎ 解 (1) 因为m⊥n,‎ 所以m·n=cos(A+)cos B+sin(A+)sin B ‎=cos(A+-B)=0.‎ 又A,B∈(0,),‎ 所以A+-B∈(-,),‎ 所以A+-B=,即A-B=.‎ ‎(2)因为cos B=,B∈(0,),所以sin B=.‎ 所以sin A=sin(B+)=sin Bcos +cos Bsin ‎=×+×=.‎ 由正弦定理,得BC=·AC=×8=4+3.‎ 思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 ‎(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.‎ ‎(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.‎ ‎ 在△ABC中,已知C=,m=(sin A,1),n=(1,cos B),且m⊥n.‎ ‎(1)求A的值;‎ ‎(2)若点D在边BC上,且3=,AD=,求△ABC的面积.‎ 解 (1)由题意知m·n=sin A+cos B=0,‎ 因为C=,A+B+C=π,‎ 所以sin A+cos(-A)=0,‎ 即sin A-cos A+sin A=0,‎ 即sin(A-)=0.‎ 又00)的图象上任意一点,过M点向直线y=x和y轴作垂线,垂足分别是A,B,则·=________.‎ 答案 -2‎ 解析 设M(x0,y0)为函数f(x)= (x>0)的图象上任意一点,由题设知B(0,y0),A(,),从而=(,),=(-x0,0),故·=,因为M(x0,y0)为函数f(x)=(x>0)的图象上任意一点,所以x0y0=x+4,从而有·===-2.‎ ‎*12.(2016·苏北四市调研)已知||=||=,且·=1,若点C满足|+|=1,则||的取值范围是____________.‎ 答案 [-1,+1]‎ 解析 因为·=||×||×cos〈,〉=1,||=||=,所以cos〈,〉=,所以〈,〉=,以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则O(0,0),A(,0),B(,).‎ 令=+=(,),则||=,‎ 因为|+|=|+-|=|-|=1,‎ 所以点C的运动轨迹是以点P为圆心,1为半径的圆,而||=,则||的取值范围为[-1,+1].‎ ‎13.设向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量积a⊗b=(a1b1,a2b2),已知向量m=(2,),n=(,0),点P(x,y)在y=sin x的图象上运动,Q是函数y=f(x)图象上的点,且满足=m⊗+n(其中O为坐标原点),则函数y=f(x)的值域是________.‎ 答案  解析 设Q(c,d),由新的运算可得 =m⊗+n=(2x,sin x)+(,0)‎ ‎=(2x+,sin x),‎ 由 消去x得d=sin(c-),‎ 所以y=f(x)=sin(x-),‎ 易知y=f(x)的值域是.‎ ‎14.(2016·江苏如东中学质检)在△ABC中,B=,D是边BC上一点,AD=5,CD=3,AC=7.‎ ‎(1)求∠ADC的值;‎ ‎(2)求·的值.‎ 解 (1)在△ADC中,由余弦定理得 AD2+CD2-2AD·CD·cos∠ADC=AC2,‎ ‎52+32-2×5×3×cos∠ADC=72,‎ 所以cos∠ADC=-.‎ 又因为0<∠ADC<π,所以∠ADC=.‎ ‎(2)由(1)得∠ADB=.‎ 在△ABD中,由正弦定理=,‎ 得AB=×sin∠ADB=.‎ 所以·=×5×cos(π--)=.‎ ‎15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cos B,-sin B),且m·n=-.‎ ‎(1)求sin A的值;‎ ‎(2)若a=4,b=5,求角B的大小及向量在方向上的投影.‎ 解 (1)由m·n=-,得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-,所以cos A=-.‎ 因为0<A<π,‎ 所以sin A== =.‎ ‎(2)由正弦定理,得=,‎ 则sin B===,‎ 因为a>b,所以A>B,则B=.‎ 由余弦定理得(4)2=52+c2-2×5c×,‎ 解得c=1,‎ 故向量在方向上的投影为 ‎||cos B=ccos B=1×=.‎

相关文档