2018版高考数学（理）（苏教版，江苏专用）大一轮教师文档讲义：第五章5-3平面向量的数量积 19页

‎1.向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π].‎ ‎2.平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 ‎3.平面向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角.则 ‎(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.‎ ‎(2)a⊥b⇔a·b＝0.‎ ‎(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；‎ 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.‎ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.‎ ‎(4)cos θ＝.‎ ‎(5)|a·b|≤|a||b|.‎ ‎4.平面向量数量积满足的运算律 ‎(1)a·b＝b·a；‎ ‎(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b(λ为实数)；‎ ‎(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.‎ ‎5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到 ‎(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB＝||＝.‎ ‎(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝.‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；‎ 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.‎ ‎2.平面向量数量积运算的常用公式 ‎(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.‎ ‎(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.‎ ‎(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(　×　)‎ ‎(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(　√　)‎ ‎(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　×　)‎ ‎(4)在四边形ABCD中，＝且·＝0，则四边形ABCD为矩形.(　×　)‎ ‎(5)两个向量的夹角的范围是[0，].(　×　)‎ ‎1.设a，b，c为平面向量，有下面几个命题：‎ ‎①a·(b－c)＝a·b－a·c；‎ ‎②(a·b)·c＝a·(b·c)；‎ ‎③(a－b)2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2；‎ ‎④若a·b＝0，则a＝0，b＝0.‎ 其中正确的有________个.‎ 答案　1‎ 解析　由向量的数量积的性质知①正确；由向量的数量积的运算不满足结合律知②不正确；由(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|cos θ＋|b|2知③不正确；对于④，∵a·b＝|a||b|·cos θ＝0，∴|a|＝0或|b|＝0或cos θ＝0.∴a＝0或b＝0或a⊥b，故④不正确.‎ ‎2.(教材改编)已知△ABC中，BC＝4，AC＝8，∠C＝60°，则·＝________.‎ 答案　－16‎ 解析　画图可知向量与夹角为角C的补角(图略)，故·＝BC×ACcos(π－C)＝4×8×(－)＝－16.‎ ‎3.(教材改编)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m＝________.‎ 答案　 解析　∵a·b＝(1，)·(3，m)＝3＋m，‎ 又a·b＝××cos ，‎ ‎∴3＋m＝××cos ，‎ ‎∴m＝.‎ ‎4.(教材改编)已知向量a＝(2，4)，b＝(1，1)，若向量b⊥(a＋λb)，则实数λ的值是________.‎ 答案　－3‎ 解析　b·(a＋λb)＝b·a＋λb·b＝2×1＋4×1＋2λ＝0⇒λ＝－3.‎ ‎5.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AE与BD交于点M，AB＝，AD＝1，且·＝－，则·＝________.‎ 答案　 解析　因为＝＝(＋)‎ ‎＝＋，‎ ＝＝(－)，‎ 所以·＝(＋)·(－)＝，所以·＝.‎ 题型一　平面向量数量积的运算 例1　(1)(2016·江苏南京开学测试)已知在▱ABCD中，AD＝2，∠BAD＝60°.若E为DC的中点，且·＝1，则·的值为________.‎ ‎(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________.‎ 答案　(1)3　(2)1　1‎ 解析　(1)设AB＝m(m>0)，以向量，为基底，在▱ABCD中，AB＝m，AD＝2，∠BAD＝60°，则·＝(＋)·(－)＝2－·－2＝4－m－m2，因为·＝1，得m2＋m－6＝0，因为m>0，所以m＝2，所以·＝·(＋)＝(－)·(－)＝2－·＋2＝4－3＋2＝3，故·＝3.‎ ‎(2)方法一　以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，‎ 设E(t，0)，t∈[0，1]，则＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1.‎ 因为＝(1，0)，所以·＝(t，－1)·(1，0)＝t≤1，‎ 故·的最大值为1.‎ 方法二　由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，∴·＝||·1＝1，‎ 当E运动到B点时，在方向上的投影最大，即为DC＝1，‎ ‎∴(·)max＝||·1＝1.‎ 思维升华　平面向量数量积的三种运算方法 ‎(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.‎ ‎(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.‎ ‎(3)利用数量积的几何意义求解.‎ ‎　(1)(2016·全国丙卷改编)已知向量＝，＝，则∠ABC＝________.‎ ‎(2)(2015·天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________.‎ 答案　(1)30°　(2) 解析　(1)∵||＝1，||＝1，‎ cos∠ABC＝＝，‎ 又∵0°≤∠ABC≤180°，∴∠ABC＝30°.‎ ‎(2)在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，‎ ‎∠ABC＝60°，∴CD＝1，＝＋＝＋，‎ ＝＋＝＋，‎ ‎∴·＝·＝·＋·＋·＋·＝2×1×cos 60°＋2×＋×12×cos 60°＋××12×cos 120°＝.‎ 题型二　平面向量数量积的应用 命题点1　求向量的模 例2　(1)(2016·南京、盐城调研)在△ABC中，A＝120°，AB＝4.若点D在边BC上，且＝2‎ eq o(DC,sup6(→))，AD＝，则AC的长为________.‎ 答案　3‎ 解析　令AC＝b，由题意得 ·＝4bcos 120°＝－2b，‎ 因为点D在边BC上，‎ 且＝2，‎ 所以＝＋＝＋ ‎＝＋(－)＝＋，‎ 从而2＝(＋)2，又因为AD＝，‎ 所以＝＋－，‎ 整理得b2－2b－3＝0，解之得b＝3(b＝－1舍去)，即AC的长为3.‎ ‎(2)(2016·江苏启东中学阶段测试)已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a与b的夹角等于150°，b与c的夹角等于120°，|c|＝2，求|a|，|b|.‎ 解　由a＋b＋c＝0，‎ 得⇒ ‎∴ 解之得|a|＝2，|b|＝4.‎ 命题点2　求向量的夹角 例3　(1)(2016·南京、盐城调研)已知向量a，b满足a＝(4，－3)，|b|＝1，|a－b|＝，则向量a，b的夹角为________.‎ ‎(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k 的取值范围是____________.‎ 答案　(1)　(2)∪ 解析　(1)设向量a，b的夹角为θ，由|a－b|＝得，‎ ‎21＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝25＋1－10cos θ，‎ 即cos θ＝，所以向量a，b的夹角为.‎ ‎(2)∵2a－3b与c的夹角为钝角，‎ ‎∴(2a－3b)·c＜0，‎ 即(2k－3，－6)·(2，1)＜0，‎ ‎∴4k－6－6＜0，‎ ‎∴k＜3.‎ 又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－.‎ 当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，‎ 即2a－3b与c反向.‎ 综上，k的取值范围为∪.‎ 思维升华　平面向量数量积求解问题的策略 ‎(1)求两向量的夹角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π].‎ ‎(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.‎ ‎(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：‎ ‎①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.‎ ‎②|a±b|＝＝.‎ ‎③若a＝(x，y)，则|a|＝.‎ ‎　(1)(2015·湖北)已知向量⊥，||＝3，则·＝________.‎ ‎(2)在△ABC中，若A＝120°，·＝－1，则||的最小值是________.‎ 答案　(1)9　(2) 解析　(1)因为⊥，所以·＝0.所以·＝·(＋)＝2＋·＝||2＋0＝32＝9.‎ ‎(2)∵·＝－1，‎ ‎∴||·||·cos 120°＝－1，‎ 即||·||＝2，‎ ‎∴||2＝|－|2＝2－2·＋2‎ ‎≥2||·||－2·＝6，‎ ‎∴||min＝.‎ 题型三　平面向量与三角函数 例4　(2016·南通调研)已知△ABC是锐角三角形，向量m＝(cos(A＋)，sin(A＋))，n＝(cos B，sin B)，且m⊥n.‎ ‎(1)求A－B的值；‎ ‎(2)若cos B＝，AC＝8，求BC的长.‎ 解　(1) 因为m⊥n，‎ 所以m·n＝cos(A＋)cos B＋sin(A＋)sin B ‎＝cos(A＋－B)＝0.‎ 又A，B∈(0，)，‎ 所以A＋－B∈(－，)，‎ 所以A＋－B＝，即A－B＝.‎ ‎(2)因为cos B＝，B∈(0，)，所以sin B＝.‎ 所以sin A＝sin(B＋)＝sin Bcos ＋cos Bsin ‎＝×＋×＝.‎ 由正弦定理，得BC＝·AC＝×8＝4＋3.‎ 思维升华　平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 ‎(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.‎ ‎(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.‎ ‎　在△ABC中，已知C＝，m＝(sin A，1)，n＝(1，cos B)，且m⊥n.‎ ‎(1)求A的值；‎ ‎(2)若点D在边BC上，且3＝，AD＝，求△ABC的面积.‎ 解　(1)由题意知m·n＝sin A＋cos B＝0，‎ 因为C＝，A＋B＋C＝π，‎ 所以sin A＋cos(－A)＝0，‎ 即sin A－cos A＋sin A＝0，‎ 即sin(A－)＝0.‎ 又00)的图象上任意一点，过M点向直线y＝x和y轴作垂线，垂足分别是A，B，则·＝________.‎ 答案　－2‎ 解析　设M(x0，y0)为函数f(x)＝ (x>0)的图象上任意一点，由题设知B(0，y0)，A(，)，从而＝(，)，＝(－x0，0)，故·＝，因为M(x0，y0)为函数f(x)＝(x>0)的图象上任意一点，所以x0y0＝x＋4，从而有·＝＝＝－2.‎ ‎*12.(2016·苏北四市调研)已知||＝||＝，且·＝1，若点C满足|＋|＝1，则||的取值范围是____________.‎ 答案　[－1，＋1]‎ 解析　因为·＝||×||×cos〈，〉＝1，||＝||＝，所以cos〈，〉＝，所以〈，〉＝，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则O(0，0)，A(，0)，B(，).‎ 令＝＋＝(，)，则||＝，‎ 因为|＋|＝|＋－|＝|－|＝1，‎ 所以点C的运动轨迹是以点P为圆心，1为半径的圆，而||＝，则||的取值范围为[－1，＋1].‎ ‎13.设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积a⊗b＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝(2，)，n＝(，0)，点P(x，y)在y＝sin x的图象上运动，Q是函数y＝f(x)图象上的点，且满足＝m⊗＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是________．‎ 答案　 解析　设Q(c，d)，由新的运算可得 ＝m⊗＋n＝(2x，sin x)＋(，0)‎ ‎＝(2x＋，sin x)，‎ 由 消去x得d＝sin(c－)，‎ 所以y＝f(x)＝sin(x－)，‎ 易知y＝f(x)的值域是.‎ ‎14.(2016·江苏如东中学质检)在△ABC中，B＝，D是边BC上一点，AD＝5，CD＝3，AC＝7.‎ ‎(1)求∠ADC的值；‎ ‎(2)求·的值.‎ 解　(1)在△ADC中，由余弦定理得 AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC＝AC2，‎ ‎52＋32－2×5×3×cos∠ADC＝72，‎ 所以cos∠ADC＝－.‎ 又因为0<∠ADC<π，所以∠ADC＝.‎ ‎(2)由(1)得∠ADB＝.‎ 在△ABD中，由正弦定理＝，‎ 得AB＝×sin∠ADB＝.‎ 所以·＝×5×cos(π－－)＝.‎ ‎15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.‎ ‎(1)求sin A的值；‎ ‎(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影.‎ 解　(1)由m·n＝－，得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，所以cos A＝－.‎ 因为0＜A＜π，‎ 所以sin A＝＝ ＝.‎ ‎(2)由正弦定理，得＝，‎ 则sin B＝＝＝，‎ 因为a＞b，所以A＞B，则B＝.‎ 由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×，‎ 解得c＝1，‎ 故向量在方向上的投影为 ‎||cos B＝ccos B＝1×＝.‎