2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章8-2空间图形的基本关系与公理 23页

第2讲　空间图形的基本关系与公理 最新考纲　1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．‎ 知 识 梳 理 ‎1．空间图形的公理 ‎(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．‎ ‎(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．‎ ‎(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．‎ ‎(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．‎ 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．‎ 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．‎ 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．‎ ‎(5)等角定理 空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．‎ ‎2．空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形 语言 符号 语言 a∥b a∥α α∥β 相交关系 图形 语言 符号 语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 独有关系 图形 语言 符号 语言 a，b是异面直线 aα ‎3.异面直线所成的角 ‎(1)定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角．‎ ‎(2)范围：.‎ 诊 断 自 测 ‎1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)　精彩PPT展示 ‎(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　)‎ ‎(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　)‎ ‎(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　)‎ ‎(4)若直线a不平行于平面α，且aα，则α内的所有直线与a异面．(　　)‎ 解析　(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误．‎ ‎(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误．‎ ‎(4)由于a不平行于平面α，且aα，则a与平面α相交，故平面α内有与a相交的直线，故错误．‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2．(必修2P52B1(2)改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．30° B．45° ‎ C．60° D．90°‎ 解析　连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.‎ 答案　C ‎3.在下列命题中，不是公理的是(　　)‎ A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 解析　选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的．‎ 答案　A ‎4．(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α ，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由题意知aα，bβ，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．‎ 答案　A ‎5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．‎ 答案　b与α相交或b∥α或bα 考点一　空间图形的公理及应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【例1】 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：‎ ‎(1)E，C，D1，F四点共面；‎ ‎(2)CE，D1F，DA三线共点．‎ 证明　(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B.‎ 又A1B∥CD1，∴EF∥CD1，‎ ‎∴E，C，D1，F四点共面．‎ ‎(2)∵EF∥CD1，EF