高考数学新高考创新题型之1集合与常用逻辑用语含精析 9页

之1.集合与常用逻辑用语（含精析）‎ 一、选择题。‎ ‎1．用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B=.若A={1,2},B=，且A*B=1，设实数的所有可能取值集合是S，则C(S)=( )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎2．下列命题：①△ABC的三边分别为则该三角形是等边三角形的充要条件为；②数列的前n项和为，则是数列为等差数列的必要不充分条件；③在△ABC中，A＝B是sin A＝sin B的充分必要条件；④已知都是不等于零的实数，关于的不等式和的解集分别为P，Q，则是的充分必要条件，其中正确的命题是( )‎ A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①③‎ ‎3．若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数．有下列命题：‎ ‎①在内单调递增;‎ ‎②和之间存在“隔离直线”, 且b的最小值为-4;‎ ‎③和之间存在“隔离直线”, 且k的取值范围是;‎ ‎④和之间存在唯一的“隔离直线”．‎ 其中真命题的个数有( )‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎4．定义一个集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为，用表示有限集 的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合，都有；②存在集合，使得；‎ ‎③用表示空集，若，则；④若，则；⑤若 ‎，则其中正确的命题个数为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5．已知集合M={}，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：‎ ‎①M={}；　　 ②M={}；‎ ‎③M={}； ④M={}．‎ 其中是“垂直对点集”的序号是( )‎ A.①② B.②④ C.①④ D.②③‎ 二、填空题。‎ ‎6．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点．例如y＝| x |是上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：‎ ‎①函数是上的“平均值函数”． ‎ ‎②若是上的“平均值函数”，则它的均值点x0≥．‎ ‎③若函数是上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是．‎ ‎④若是区间[a，b] （b＞a≥1）上的“平均值函数”，是它的一个均值点，则．‎ 其中的真命题有 ．（写出所有真命题的序号）‎ ‎7．若三个非零且互不相等的实数a、b、c满足，则称a、 b、c是调和的；若满a + c = 2b足，则称a、b、c是等差的.若集合P中元素a、b、c既是调和的，又是等差的，则称集合P为“好 集”.若集合，集合.则 ‎（1）“好集” P中的元素最大值为 ；‎ ‎（2）“好集” P的个数为 .‎ ‎8．给定有限单调递增数列,数列至少有两项)且 ‎,定义集合.若对任意点,‎ 存在点使得为坐标原点),则称数列具有性质.‎ ‎(1)给出下列四个命题,其中正确的是 .(填上所有正确命题的序号)‎ ‎①数列-2,2具有性质;‎ ‎②数列:-2,-1,1,3具有性质;‎ ‎③若数列具有性质,则中一定存在两项,使得;‎ ‎④若数列具有性质,且,则.‎ ‎(2)若数列只有2014项且具有性质,则的所有项和 .‎ ‎9．若自然数n使得作加法n＋(n＋1)＋(n＋2)运算均不产生进位现象，则称n为“给力数”，例如：32是“给力数”，因32＋33＋34不产生进位现象；23不是“给力数”，因23＋24＋25产生进位现象．设小于1 000的所有“给力数”的各个数位上的数字组成集合A，则集合A中的数字和为________．‎ ‎10．设是整数集的非空子集，如果有，则称关于数的乘法是封闭的. 若,是的两个不相交的非空子集，且有有，有四个命题：①中至少有一个关于乘法是封闭的；②中至多有一个关于乘法是封闭的; ③中有且只有一个关于乘法是封闭的；④中每一个关于乘法都是封闭的.其中所有正确命题的序号是 .‎ ‎11．用表示集合S中的元素的个数，设为集合，称为有序三元组．如果集合满足，且，则称有序三元组为最小相交．由集合的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为 ．‎ ‎12．已知等比数列的首项为，公比为，其前项和记为，又设，的所有非空子集中的最小元素的和为，则的最小正整数为 　　　　　 ．‎ ‎1．B ‎【解析】因为，所以或.由得：.当时，，满足题设.对，当时，，此时符合题意.‎ 当时，或，此时必有，不符合题意.所以.选B.‎ ‎2．D ‎【解析】对于①：显然必要性成立，反之若，则，整理得，当且仅当时成立故充分性成立，故①是真命题；对于②：由得；当时，，显然时适合该式，因此数列是等差数列，故满足充分性，故②是假命题；对于③：在三角形中，又由正弦定理得，则，所以，故③是真命题；对于④：实际上不等式与的解集都是，但是，故不满足必要性，故④是假命题．‎ 故选D． ‎ ‎3．C ‎【解析】(1)=，，则解得，所以在内单调递增;故①正确．‎ ‎(2)和之间存在“隔离直线”,设“隔离直线”为，当“隔离直线”与同时相切时，截距最小，令切点坐标为，则切线方程为所以，故，所以，此时截距最小，故②正确；此时斜率为，k的取值范围是．故③错误．‎ ‎④令F（x）=h（x）-m（x）=x2-2elnx（x＞0），再令F′（x）═=0，x＞0，得x=‎ 从而函数h（x）和m（x）的图象在x=处有公共点．‎ 因此存在h（x）和m（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则 ‎ 隔离直线方程为y-e=k（x-），即y=kx-k+e．‎ 由h（x）≥kx-k+e可得 x2-kx+k-e≥0当x∈R恒成立，‎ 则△=k2-4k+4e=≤0，只有k=2时，等号成立，此时直线方程为：y=2x-e．‎ 同理证明，由φ（x ）≤kx-k+e，可得只有k=2时，等号成立，此时直线方程为：y=2x-e．‎ 综上可得，函数f（x）和g（x）存在唯一的隔离直线y=2x-e，故④正确．‎ ‎5．B ‎【解析】依题意：要使得成立，只需过原点任作一直线与该函数的图象相交，再过原点作与垂直的直线也与该函数的图象相交即可。对①取，与函数图象没有交点，①中M不是“垂直对点集”； ③中取， 与函数图象没有交点，③中M不是“垂直对点集”；作出②、④中两个函数图象知：‎ ‎6．①③④‎ ‎【解析】①正确.因为f（0）＝f（－2π）＝f（2π）＝0，可知①正确．‎ ‎②不正确．反例：f（x）＝0在区间[0，6]上．‎ ‎③正确．由定义：得，‎ 又所以实数m的取值范围是m∈（0，2）‎ ‎④正确．理由如下：由题知．‎ 要证明，即证明： ，‎ 令，原式等价于．‎ 令，则，‎ 所以得证．‎ ‎7．（1）2012；（2）1006‎ ‎【解析】因为若集合P中元素a、b、c既是调和的，又是等差的，则且a + c = 2b，则，故满足条件的“好集”为形如的形式，则，解得，且，符合条件的ｂ的值可取1006个，故“好集” P的个数为1006个，且P中元素的最大值为2012．‎ ‎9．6‎ ‎【解析】给力数的个位取值：0,1,2给力数的其它数位取值：0,1,2,3，所以A＝{0,1,2,3}集合A中的数字和为6.‎ ‎10．①‎ ‎【解析】因为关于乘法封闭的规定是.是整数集的非空子集，如果有，则称关于数的乘法是封闭的.如果代表负数集合，代表非负数集合，则成立, 且有有.但是.所以不是乘法封闭.所以④不正确. 如果代表奇数集合，代表偶数集合，则成立, 且有有.显然都是乘法封闭的，所以②③都不正确. 若都不满足乘法封闭，有.假设，若存在，则与题意矛盾.所以①正确.故填①‎ ‎11．96‎ ‎【解析】三个集合不可能有一元集，否则不能满足，又因为中只有4个元素，则中不可能有两个集合都有3个元素，否则不能满足，但中可以三个集合都含有2个元素，也可能是一个集合有3个元素，其它两个集合含有2个元素，情形如下：‎ 如三个集合都含有2个元素这种情形，，，这种类型有种可能，另外第4个元素可任意加入上述4种可能中的每一个集合，又形成不同的情形，这样就又有种，于是就共有了种情形，在每一种情形中，它们的顺序可以打乱，每种可形成个，因此共有个有序三元组．‎ ‎12．45‎ ‎【解析】由题意有，对于和，我们首先把中的元素按从小到大顺序排列，当时，，对于中的任一元素，比它大的有个，这个元素组成的集合的所有子集有个，把加进这些子集形成新的集合，每个都是以为最小元素的的子集，而最小元素为的的子集也只有这些，故在中出现次，所以 ‎ ‎