2018版高考数学（浙江·文理通用）大一轮教师文档讲义：第十一章11-3离散型随机变量及其分布列 16页

‎1．离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．‎ ‎2．离散型随机变量的分布列及性质 ‎(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．‎ ‎(2)离散型随机变量的分布列的性质 ‎①pi≥0，i＝1,2，…，n；‎ ‎②i＝1.‎ ‎3．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn ‎(1)均值 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．‎ ‎(2)方差 称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量X的标准差．‎ ‎4．均值与方差的性质 ‎(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.‎ ‎(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(　√　)‎ ‎(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(　√　)‎ ‎(3)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　×　)‎ ‎(4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　√　)‎ ‎(5)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．(　×　)‎ ‎(6)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．(　√　)‎ ‎1．(教材改编)抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的事件是(　　)‎ A．一颗是3点，一颗是1点 B．两颗都是2点 C．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点 D．以上答案都不对 答案　C 解析　根据抛掷两颗骰子的试验结果可知，C正确．‎ ‎2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于(　　)‎ A．0 B. C. D. 答案　C 解析　设X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P p ‎2p 即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，由p＋2p＝1，得p＝，故选C.‎ ‎3．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝2,4,6,8,10)，则D(ξ)等于(　　)‎ A．8 B．5‎ C．10 D．12‎ 答案　A 解析　E(ξ)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，‎ D(ξ)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.‎ ‎4．随机变量ξ的分布列如图所示，其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________.‎ ξ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ P a b c 答案　 解析　由分布列的性质可得a＋b＋c＝1，由期望公式可得，(－1)×a＋0×b＋1×c＝，由等差数列知，a＝c＝2b，综上，解得a＝，b＝，c＝.代入方差计算公式即可得结果．‎ 题型一　离散型随机变量分布列的性质 例1　(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P ‎2－3q q2‎ 则q等于(　　)‎ A．1 B.± C.－ D.＋ ‎(2)(2016·湖北孝感汉川期末)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝a()i，i＝1,2,3，则实数a的值为(　　)‎ A．1 B. C. D. 答案　(1)C　(2)D 解析　(1)∵＋2－3q＋q2＝1，∴q2－3q＋＝0，解得q＝±.又由题意知08且n∈N*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．‎ ‎(1)若随机选出的2名校友代表为“最佳组合”的概率不小于，求n的最大值；‎ ‎(2)当n＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为ξ，求ξ的分布列和均值．‎ 解　(1)设选出2人为“最佳组合”记为事件A，‎ 则事件A发生的概率P(A)＝＝.‎ 依题意≥，化简得n2－25n＋144≤0，‎ ‎∴9≤n≤16，故n的最大值为16.‎ ‎(2)由题意，ξ的可能取值为0,1,2，且ξ服从超几何分布，‎ 则P(ξ ＝k)＝(k＝0,1,2)，‎ ‎∴P(ξ＝0)＝P(ξ＝2)＝＝，‎ P(ξ＝1)＝＝.‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.‎