2017年高考全国一卷理科数学试卷 5页

‎2017.6‎ ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试（I卷）‎ 理科数学 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。‎ 1. ‎ 已知集合，则 A. ‎ B. ‎ C. D. ‎ 2. ‎ 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图。正方形内切圆中的黑色部分 和白色部分关于正方形的中心成中心对称。在正方形内随机取一点，则此点取自黑 色部分的概率是 A. ‎ B. ‎ C. D. ‎ 3. ‎ 设有下面四个命题 p1：若复数z满足，则；p2：若复数z满足，则；‎ p3：若复数z1、z2满足，则；p4：若复数，则。‎ 其中的真命题为 A. p1，p3 B. p1，p4 C. p2，p3 D. p2，p4‎ 4. ‎ 记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4 + a5 = 24，S6 = 48，则{an}的公差为 A. ‎1 B. 2 C. 4 D. 8‎ 5. ‎ 函数f (x)在单调递减，且为奇函数。若f (1) = -1，则满足-1 ≤ f (x - 2) ≤ 1的x的取值范围是 A. ‎[-2,2] B. [-1,1] C. [0,4] D. [1,3]‎ 6. ‎ 展开式中x2的系数为 A. ‎15 B. 20 ‎ C. 30 D. 35‎ 7. ‎ 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，‎ 正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，‎ 这些梯形的面积之和为 A. ‎10 ‎ B. ‎12 ‎ C. ‎14 ‎ D. ‎16‎ 8. ‎ 右面程序框图是为了求出满足3n - 2n > 1000的最小偶数n，那么在◇和▭两个空白框中，‎ 可以分别填入 A. A > 1000和n = n + 1‎ A. A > 1000和n = n + 2‎ B. A ≤ 1000和n = n + 1‎ C. A ≤ 1000和n = n + 2 ‎ 1. ‎ 已知曲线C1：，C2：，则下面结论正确的是 A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到C2‎ B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到C2 ‎ C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到C2‎ D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到C2‎ 2. 已知F为抛物线C：y2 = 4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1、l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2 与C交于D、E两点，则| AB | + | DE |的最小值为 A. ‎16 B. 14 C. 12 D. 10‎ 3. 设x、y、z为正数，且2x = 3y = 5z，则 A. ‎2x < 3y < 5z B. 5z < 2x < 3y C. 3y < 5z < 2x D. 3y < 2x < 5z 4. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题 获取软件激活码”的活动。这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4， 8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，以此类推， 求满足如下条件的最小整数N：N > 100且该数列的前N项和为2的正数幂，那么该款软件的激活码是 A. ‎440 B. 330 C. 220 D.110 ‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ 5. 已知向量a、b的夹角为60°，| a | = 2，| b | = 3，则| a + 2b | =_______。‎ 6. 设x、y满足约束条件则z = 3x - 2y的最小值为________。‎ 7. 已知双曲线C：的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一 条渐近线交于M、N两点，若∠MAN = 60°，则C的离心率为__________。‎ 8. 如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。‎ D、 E、F为圆O上的点，△DBC、△ECA、△FAB分别是以BC、CA、AB为底边的 等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC、CA、AB为折痕折起△DBC、△ECA、‎ ‎△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体 积（单位：cm3）的最大值为__________。‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17. （12分）‎ ‎△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知△ABC的面积为。‎ （1） 求sinBsinC；‎ （2） 若6cosBcosC = 1，a = 3，求△ABC的周长。‎ ‎18. （12分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且∠BAP = ∠CDP = 90°。‎ （1） 证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ （2） 若PA = PD = AB = DC，∠APD = 90°，求二面角A-PB-C的余弦值。‎ 19. ‎（12分）‎ 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单 位：cm）。根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布。‎ （1） 假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求 P(X ≥ 1)及X的数学期望；‎ （2） 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产 过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查。‎ （i） 试说明上述监控生产过程方法的合理性；‎ （ii） 下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：‎ ‎9.95‎ ‎10.12‎ ‎9.96‎ ‎9.96‎ ‎10.01‎ ‎9.92‎ ‎9.98‎ ‎10.04‎ ‎10.26‎ ‎9.91‎ ‎10.13‎ ‎10.02‎ ‎9.22‎ ‎10.04‎ ‎10.05‎ ‎9.95‎ 经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i = 1,2,…,16。‎ 用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需要对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）。‎ 附：若随机变量Z服从正态分布，则，，‎ ‎。‎ 19. ‎（12分）‎ 已知椭圆C：，四点中恰有三点在椭圆C上。‎ （1） 求C的方程；‎ （2） 设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点。‎ 20. ‎（12分）‎ 已知函数。‎ （1） 讨论f (x)的单调性；‎ （2） 若f (x)有两个零点，求a得取值范围。‎ （二） 选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。‎ 21. ‎[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，直线l的参数方程为 。‎ （1） 若a = -1，求C与l的交点坐标；‎ （2） 若C上的点到l距离的最大值为，求a。‎ 19. ‎[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数f (x) = -x2 + ax + 4，g (x) = |x + 1| + |x - 1|。‎ （1） 当a = 1时，求不等式f (x) ≥ g (x)的解集；‎ （2） 若不等式f (x) ≥ g (x)的解集包含[-1,1]，求a的取值范围。‎