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- 2021-05-13 发布
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【2012高考冲刺样本】10---2圆锥曲线方程试题精粹3
18 . (泰州市2011届高三第一次模拟考试)(本小题满分16分)
如图,在直角坐标系中,三点在轴上,原点和点分别是线段和
的中点,已知(为常数),平面上的点满足。
(1)试求点的轨迹的方程;
(2)若点在曲线上,求证:点一定在某圆上;
(3)过点作直线,与圆相交于两点,若点恰好是线段的中点,试求直线的方程。
18. ⑴由题意可得点的轨迹是以为焦点的椭圆. ……………………(2分)
且半焦距长,长半轴长,则的方程为.………(5分)
⑵若点在曲线上,则.设,,则,. …………………………………………………………………………(7分)
代入,得,所以点一定在某一圆上.
………………………………(10分)
⑶由题意. ………………………………………………………………(11分)
设,则.┈┈┈①
因为点恰好是线段的中点,所以. 代入的方程得.┈┈┈②
联立①②,解得,.…………………………………………………(15分)
故直线有且只有一条,方程为. ……………………………………………(16分)
(若只写出直线方程,不说明理由,给1分)
18 . (泰州市2011届高三第一次模拟考试)(本小题满分16分)
如图,在直角坐标系中,三点在轴上,原点和点分别是线段和
的中点,已知(为常数),平面上的点满足。
(1)试求点的轨迹的方程;
(2)若点在曲线上,求证:点一定在某圆上;
(3)过点作直线,与圆相交于两点,若点恰好是线段的中点,试求直线的方程。
18. ⑴由题意可得点的轨迹是以为焦点的椭圆. ……………………(2分)
且半焦距长,长半轴长,则的方程为.………(5分)
⑵若点在曲线上,则.设,,则,. …………………………………………………………………………(7分)
代入,得,所以点一定在某一圆上.
………………………………(10分)
⑶由题意. ………………………………………………………………(11分)
设,则.┈┈┈①
因为点恰好是线段的中点,所以. 代入的方程得.┈┈┈②
联立①②,解得,.…………………………………………………(15分)
故直线有且只有一条,方程为. ……………………………………………(16分)
(若只写出直线方程,不说明理由,给1分)
18.(江苏省南通市2011届高三第一次调研测试)(本题满分15分)
(第18题)
如图,已知椭圆的左、右顶点分别为A、B,右焦点为F,直线l为椭圆的右准线,N为l上一动点,且在x轴上方,直线AN与椭圆交于点M.
(1)若AM=MN,求∠AMB的余弦值;
(2)设过A,F,N三点的圆与y轴交于P,Q两点,当
线段PQ的中点坐标为(0,9)时,求这个圆的方程.
解:(1)由已知,,直线.
设N(8,t)(t>0),因为AM=MN,所以M(4,).
由M在椭圆上,得t=6.故所求的点M的坐标为M(4,3).……………4分
所以,.
.………………………7分
(用余弦定理也可求得)
(2)设圆的方程为,将A,F,N三点坐标代入,得
∵ 圆方程为,令,得.…11分
设,则.
由线段PQ的中点坐标为(0,9),得,.
此时所求圆的方程为.………………………15分
(本题用韦达定理也可解)
(2)(法二)由圆过点A、F得圆心横坐标为-1,由圆与y轴交点的纵坐标为(0,9),
得圆心的纵坐标为9,故圆心坐标为(-1,9).…………………… 11分
易求得圆的半径为,………………………………………………13分
所以,所求圆的方程为.……………………… 15分
18. (苏北四市2011届高三第一次调研考试)(本小题满分16分)
已知椭圆E:的左焦点为F,左准线与x轴的交点是圆C的圆心,圆C恰好经过坐标原点O,设G是圆C上任意一点.
(1)求圆C的方程;
(2)若直线FG与直线交于点T,且G为线段FT的中点,求直线FG被圆C所截得的弦长;
(3)在平面上是否存在定点P,使得?若存在,求出点P坐标;若不存在,请说明理由.
讲评建议:对于第二问题当初是仿照2004年江苏高考题命制,用,考查两解情况,后改为,但综合全题还是有一线教师认为运算量较大,后改为现在情况,改成中点后,命题思想完全发生了变化,改成中点,学生用中点坐标公式,是代数方法,而原来思维是方程思想,这一点引起各位注意,对于第三问,也是教材的习题,逆向思维,同时是对两个参量求最值,学生一般接触较少,当然此题也可转化成一个参数,即对平方法,两次用圆方程消元,达到目的,建议教师讲解。同时注意到,此圆是以椭圆的左准线的与x轴的交点为圆心,两个定点恰是椭圆的左右焦点,三问题之间非常和谐,融为一体。
18.(1)由椭圆E:,得:,,,
又圆C过原点,所以圆C的方程为.………………………………4分
(2)由题意,得,代入,得,
所以的斜率为,的方程为, …………………8分
(注意:若点G或FG方程只写一种情况扣1分)
所以到的距离为,直线被圆C截得弦长为.
故直线被圆C截得弦长为7.…………………………………………………………10分
(3)设,,则由,得,
整理得①,…………………………12分
又在圆C:上,所以②,
②代入①得, …………………………14分
又由为圆C 上任意一点可知,解得.
所以在平面上存在一点P,其坐标为. …………………………16分
18、(宿迁市高三12月联考)(本题满分16分)已知椭圆的中心为坐标原点O,椭圆短轴长为2,动点 在椭圆的准线上。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程;
(3)设F是椭圆的右焦点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值,并求出这个定值。
18、解:(1)由,得 ……………1分
又由点M在准线上,得 ……………2分
故, 从而 ……………4分
所以椭圆方程为 ……………5分
(2)以OM为直径的圆的方程为
即
其圆心为,半径 ……………7分
因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2
所以圆心到直线的距离 ……………9分
所以,解得
所求圆的方程为 ……………10分
(3)方法一:由平几知:
直线OM:,直线FN: ……………12分
由得
所以线段ON的长为定值。 ……………16分
方法二、设,则
又
所以,为定值。
18.(无锡市1月期末调研)(本小题满分16分)
已知椭圆 的左顶点为A,过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点.
(1) 当直线AM的斜率为时,求点M的坐标;
(2) 当直线AM的斜率变化时,直线MN是否过轴上的一定点,若过定点,请给出证明,并求出该定点,若不过定点,请说明理由.
18.(1)直线AM的斜率为时,直线AM:, ………………………………1分
代入椭圆方程并化简得:, ……………………………2分
解之得,∴. ……………………………………4分
(2)设直线AM的斜率为,则AM:,
则 化简得:.……………6分
∵此方程有一根为,∴, ……………………………………7分
同理可得.…………………………………………………………8分
由(1)知若存在定点,则此点必为.…………………………………9分
∵,……………………………11分
同理可计算得.………………………………………………13分
∴直线MN过轴上的一定点. ……………………………………16分
19.(徐州市12月高三调研)(本小题满分16分)
P
第19题
x
y
A
F1
F2
·
M
O
已知椭圆:的左、右焦点分别为,下顶点为,点是椭圆上任一点,⊙是以为直径的圆.
(Ⅰ)当⊙的面积为时,求所在直线的方程;
(Ⅱ)当⊙与直线相切时,求⊙的方程;
(Ⅲ)求证:⊙总与某个定圆相切.
·
19.解:(Ⅰ)易得,设点P,
则,所以…3分
又⊙的面积为,∴,解得,∴,
∴所在直线方程为或………………5分
(Ⅱ)因为直线的方程为,且到直线的
距离为………………………………7分
化简,得,联立方程组,解得或…10分
∴当时,可得,∴⊙的方程为;
当时,可得,∴⊙的方程为…12分
(Ⅲ)⊙始终和以原点为圆心,半径为(长半轴)的圆(记作⊙)相切…13分
证明:因为,
又⊙的半径,∴,∴⊙和⊙相内切…16分
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