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  • 2021-05-13 发布

高考冲刺样本102圆锥曲线方程试题精粹3

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【2012高考冲刺样本】10---2圆锥曲线方程试题精粹3‎ ‎18 . (泰州市2011届高三第一次模拟考试)(本小题满分16分)‎ 如图,在直角坐标系中,三点在轴上,原点和点分别是线段和 的中点,已知(为常数),平面上的点满足。‎ ‎(1)试求点的轨迹的方程;‎ ‎(2)若点在曲线上,求证:点一定在某圆上;‎ ‎(3)过点作直线,与圆相交于两点,若点恰好是线段的中点,试求直线的方程。‎ ‎18. ⑴由题意可得点的轨迹是以为焦点的椭圆. ……………………(2分)‎ 且半焦距长,长半轴长,则的方程为.………(5分)‎ ‎⑵若点在曲线上,则.设,,则,. …………………………………………………………………………(7分)‎ 代入,得,所以点一定在某一圆上. ‎ ‎ ………………………………(10分)‎ ‎ ⑶由题意. ………………………………………………………………(11分)‎ 设,则.┈┈┈①‎ 因为点恰好是线段的中点,所以. 代入的方程得.┈┈┈②‎ 联立①②,解得,.…………………………………………………(15分)‎ 故直线有且只有一条,方程为. ……………………………………………(16分)‎ ‎(若只写出直线方程,不说明理由,给1分)‎ ‎18 . (泰州市2011届高三第一次模拟考试)(本小题满分16分)‎ 如图,在直角坐标系中,三点在轴上,原点和点分别是线段和 的中点,已知(为常数),平面上的点满足。‎ ‎(1)试求点的轨迹的方程;‎ ‎(2)若点在曲线上,求证:点一定在某圆上;‎ ‎(3)过点作直线,与圆相交于两点,若点恰好是线段的中点,试求直线的方程。‎ ‎18. ⑴由题意可得点的轨迹是以为焦点的椭圆. ……………………(2分)‎ 且半焦距长,长半轴长,则的方程为.………(5分)‎ ‎⑵若点在曲线上,则.设,,则,. …………………………………………………………………………(7分)‎ 代入,得,所以点一定在某一圆上. ‎ ‎ ………………………………(10分)‎ ‎ ⑶由题意. ………………………………………………………………(11分)‎ 设,则.┈┈┈①‎ 因为点恰好是线段的中点,所以. 代入的方程得.┈┈┈②‎ 联立①②,解得,.…………………………………………………(15分)‎ 故直线有且只有一条,方程为. ……………………………………………(16分)‎ ‎(若只写出直线方程,不说明理由,给1分)‎ ‎18.(江苏省南通市2011届高三第一次调研测试)(本题满分15分)‎ ‎(第18题)‎ 如图,已知椭圆的左、右顶点分别为A、B,右焦点为F,直线l为椭圆的右准线,N为l上一动点,且在x轴上方,直线AN与椭圆交于点M.‎ ‎(1)若AM=MN,求∠AMB的余弦值;‎ ‎(2)设过A,F,N三点的圆与y轴交于P,Q两点,当 线段PQ的中点坐标为(0,9)时,求这个圆的方程.‎ 解:(1)由已知,,直线.‎ 设N(8,t)(t>0),因为AM=MN,所以M(4,).‎ 由M在椭圆上,得t=6.故所求的点M的坐标为M(4,3).……………4分 所以,.‎ ‎.………………………7分 ‎(用余弦定理也可求得)‎ ‎(2)设圆的方程为,将A,F,N三点坐标代入,得 ‎∵ 圆方程为,令,得.…11分 设,则.‎ 由线段PQ的中点坐标为(0,9),得,.‎ 此时所求圆的方程为.………………………15分 ‎ ‎(本题用韦达定理也可解)‎ ‎(2)(法二)由圆过点A、F得圆心横坐标为-1,由圆与y轴交点的纵坐标为(0,9),‎ 得圆心的纵坐标为9,故圆心坐标为(-1,9).…………………… 11分 易求得圆的半径为,………………………………………………13分 所以,所求圆的方程为.……………………… 15分 ‎18. (苏北四市2011届高三第一次调研考试)(本小题满分16分)‎ 已知椭圆E:的左焦点为F,左准线与x轴的交点是圆C的圆心,圆C恰好经过坐标原点O,设G是圆C上任意一点.‎ ‎(1)求圆C的方程;‎ ‎(2)若直线FG与直线交于点T,且G为线段FT的中点,求直线FG被圆C所截得的弦长;‎ ‎(3)在平面上是否存在定点P,使得?若存在,求出点P坐标;若不存在,请说明理由.‎ 讲评建议:对于第二问题当初是仿照2004年江苏高考题命制,用,考查两解情况,后改为,但综合全题还是有一线教师认为运算量较大,后改为现在情况,改成中点后,命题思想完全发生了变化,改成中点,学生用中点坐标公式,是代数方法,而原来思维是方程思想,这一点引起各位注意,对于第三问,也是教材的习题,逆向思维,同时是对两个参量求最值,学生一般接触较少,当然此题也可转化成一个参数,即对平方法,两次用圆方程消元,达到目的,建议教师讲解。同时注意到,此圆是以椭圆的左准线的与x轴的交点为圆心,两个定点恰是椭圆的左右焦点,三问题之间非常和谐,融为一体。‎ ‎18.(1)由椭圆E:,得:,,,‎ 又圆C过原点,所以圆C的方程为.………………………………4分 ‎(2)由题意,得,代入,得,‎ 所以的斜率为,的方程为, …………………8分 ‎(注意:若点G或FG方程只写一种情况扣1分)‎ 所以到的距离为,直线被圆C截得弦长为.‎ 故直线被圆C截得弦长为7.…………………………………………………………10分 ‎(3)设,,则由,得,‎ 整理得①,…………………………12分 又在圆C:上,所以②,‎ ‎②代入①得, …………………………14分 又由为圆C 上任意一点可知,解得.‎ 所以在平面上存在一点P,其坐标为. …………………………16分 ‎18、(宿迁市高三12月联考)(本题满分16分)已知椭圆的中心为坐标原点O,椭圆短轴长为2,动点 在椭圆的准线上。‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程;‎ ‎(3)设F是椭圆的右焦点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值,并求出这个定值。‎ ‎18、解:(1)由,得 ……………1分 又由点M在准线上,得 ……………2分 故, 从而 ……………4分 所以椭圆方程为 ……………5分 ‎(2)以OM为直径的圆的方程为 即 ‎ 其圆心为,半径 ……………7分 因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2‎ 所以圆心到直线的距离 ……………9分 所以,解得 所求圆的方程为 ……………10分 ‎(3)方法一:由平几知:‎ 直线OM:,直线FN: ……………12分 由得 所以线段ON的长为定值。 ……………16分 方法二、设,则 又 所以,为定值。‎ ‎18.(无锡市1月期末调研)(本小题满分16分) ‎ 已知椭圆 的左顶点为A,过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点.‎ (1) 当直线AM的斜率为时,求点M的坐标;‎ (2) 当直线AM的斜率变化时,直线MN是否过轴上的一定点,若过定点,请给出证明,并求出该定点,若不过定点,请说明理由.‎ ‎18.(1)直线AM的斜率为时,直线AM:, ………………………………1分 代入椭圆方程并化简得:, ……………………………2分 解之得,∴. ……………………………………4分 ‎(2)设直线AM的斜率为,则AM:,‎ 则 化简得:.……………6分 ‎∵此方程有一根为,∴, ……………………………………7分 同理可得.…………………………………………………………8分 由(1)知若存在定点,则此点必为.…………………………………9分 ‎∵,……………………………11分 同理可计算得.………………………………………………13分 ‎∴直线MN过轴上的一定点. ……………………………………16分 ‎19.(徐州市12月高三调研)(本小题满分16分)‎ P 第19题 x y A F1‎ F2‎ ‎·‎ M O 已知椭圆:的左、右焦点分别为,下顶点为,点是椭圆上任一点,⊙是以为直径的圆.‎ ‎(Ⅰ)当⊙的面积为时,求所在直线的方程;‎ ‎(Ⅱ)当⊙与直线相切时,求⊙的方程;‎ ‎(Ⅲ)求证:⊙总与某个定圆相切.‎ ‎·‎ ‎19.解:(Ⅰ)易得,设点P,‎ 则,所以…3分 又⊙的面积为,∴,解得,∴,‎ ‎∴所在直线方程为或………………5分 ‎(Ⅱ)因为直线的方程为,且到直线的 距离为………………………………7分 化简,得,联立方程组,解得或…10分 ‎∴当时,可得,∴⊙的方程为;‎ 当时,可得,∴⊙的方程为…12分 ‎(Ⅲ)⊙始终和以原点为圆心,半径为(长半轴)的圆(记作⊙)相切…13分 证明:因为,‎ 又⊙的半径,∴,∴⊙和⊙相内切…16分