高考模拟文数选编选修解答题解析版 9页

选修 一、解答题（本大题共12小题，共144.0分）‎ 1. 已知函数f（x）=|2x-a|+a． （1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集； （2）设函数g（x）=|2x-1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．‎ ‎【答案】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x-2|+2， ∵f（x）≤6，∴|2x-2|+2≤6， |2x-2|≤4，|x-1|≤2， ∴-2≤x-1≤2， 解得-1≤x≤3， ∴不等式f（x）≤6的解集为{x|-1≤x≤3}． （2）∵g（x）=|2x-1|， ∴f（x）+g（x）=|2x-1|+|2x-a|+a≥3， 2|x-|+2|x-|+a≥3， |x-|+|x-|≥， 当a≥3时，成立， 当a＜3时，|x-|+|x-|≥|a-1|≥＞0， ∴（a-1）2≥（3-a）2， 解得2≤a＜3， ∴a的取值范围是[2，+∞）．‎ ‎【解析】（1）当a=2时，由已知得|2x-2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集． （2）由f（x）+g（x）=|2x-1|+|2x-a|+a≥3，得|x-|+|x-|≥，由此能求出a的取值范围． 本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用． ‎ 2. 已知函数f（x）=-x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x-1|． （1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[-1，1]，求a的取值范围．‎ ‎【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=-x2+x+4，是开口向下，对称轴为x=的二次函数， g（x）=|x+1|+|x-1|=， 当x∈（1，+∞）时，令-x2+x+4=2x，解得x=，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，]； 当x∈[-1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（-1）=2． 当x∈（-∞，-1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（-1）=f（-1）=2． 综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[-1，]； （2）依题意得：-x2+ax+4≥2在[-1，1]恒成立，即x2-ax-2≤0在[-1，1]恒成立，则只需 ‎，解得-1≤a≤1， 故a的取值范围是[-1，1]．‎ ‎【解析】（1）当a=1时，f（x）=-x2+x+4，g（x）=|x+1|+|x-1|=，分x＞1、x∈[-1，1]、x∈（-∞，-1）三类讨论，结合g（x）与f（x）的单调性质即可求得f（x）≥g（x）的解集为[-1，]； （2）依题意得：-x2+ax+4≥2在[-1，1]恒成立⇔x2-ax-2≤0在[-1，1]恒成立，只需​，解之即可得a的取值范围． 本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题． ‎ 1. 已知函数f（x）=|x+1|-|x-2|． （1）求不等式f（x）≥1的解集； （2）若不等式f（x）≥x2-x+m的解集非空，求m的取值范围．‎ ‎【答案】解：（1）∵f（x）=|x+1|-|x-2|=，f（x）≥1， ∴当-1≤x≤2时，2x-1≥1，解得1≤x≤2； 当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2； 综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}． （2）原式等价于存在x∈R使得f（x）-x2+x≥m成立， 即m≤[f（x）-x2+x]max，设g（x）=f（x）-x2+x． 由（1）知，g（x）=， 当x≤-1时，g（x）=-x2+x-3，其开口向下，对称轴方程为x=＞-1， ∴g（x）≤g（-1）=-1-1-3=-5； 当-1＜x＜2时，g（x）=-x2+3x-1，其开口向下，对称轴方程为x=∈（-1，2）， ∴g（x）≤g（）=-+-1=； 当x≥2时，g（x）=-x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2， ∴g（x）≤g（2）=-4+2=3=1； 综上，g（x）max=， ∴m的取值范围为（-∞，]．‎ ‎【解析】（1）由于f（x）=|x+1|-|x-2|=，解不等式f（x）≥1可分-1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集； （2）依题意可得m≤[f（x）-x2+x]max，设g（x）=f（x）-x2+x，分x≤1、-1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max=，从而可得m的取值范围． 本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题． ‎ 1. 已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明： （1）（a+b）（a5+b5）≥4； （2）a+b≤2．‎ ‎【答案】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+）2=（a3+b3）2=4， 当且仅当=，即a=b=1时取等号， （2）∵a3+b3=2， ∴（a+b）（a2-ab+b2）=2， ∴（a+b）[（a+b）2-3ab]=2， ∴（a+b）3-3ab（a+b）=2， ∴=ab， 由均值不等式可得：=ab≤（）2， ∴（a+b）3-2≤， ∴（a+b）3≤2， ∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．‎ ‎【解析】（1）由柯西不等式即可证明， （2）由a3+b3=2转化为=ab，再由均值不等式可得：=ab≤（）2，即可得到（a+b）3≤2，问题得以证明． 本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题 ‎ 2. 已知函数f（x）=|x-|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集． （Ⅰ）求M； （Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．‎ ‎【答案】解：（I）当x＜时，不等式f（x）＜2可化为：-x-x-＜2， 解得：x＞-1， ∴-1＜x＜‎ ‎， 当≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：-x+x+=1＜2， 此时不等式恒成立， ∴≤x≤， 当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：-+x+x+＜2， 解得：x＜1， ∴＜x＜1， 综上可得：M=（-1，1）； 证明：（Ⅱ）当a，b∈M时， （a2-1）（b2-1）＞0， 即a2b2+1＞a2+b2， 即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab， 即（ab+1）2＞（a+b）2， 即|a+b|＜|1+ab|．‎ ‎【解析】（I）分当x＜时，当≤x≤时，当x＞时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案； （Ⅱ）当a，b∈M时，（a2-1）（b2-1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，配方后，可证得结论． 本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，难度中档． ‎ 1. 已知函数f（x）=|2x-a|+|2x+3|，g（x）=|x-1|+2． （1）解不等式|g（x）|＜5； （2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】解：（1）由||x-1|+2|＜5，得-5＜|x-1|+2＜5 ∴-7＜|x-1|＜3， 得不等式的解为-2＜x＜4…（5分） （2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立， 所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}， 又f（x）=|2x-a|+|2x+3|≥|（2x-a）-（2x+3）|=|a+3|， g（x）=|x-1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥-1或a≤-5， 所以实数a的取值范围为a≥-1或a≤-5．…（10分）‎ ‎【解析】（1）利用||x-1|+2|＜5，转化为-7＜|x-1|＜3，然后求解不等式即可． （2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可． 本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用． ‎ 2. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2． （1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程； （2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ ‎【答案】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数）， 移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1， 即有椭圆C1：+y2=1； 曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2， 即有ρ（sinθ+cosθ）=2， 由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y-4=0， 即有C2的直角坐标方程为直线x+y-4=0； （2）由题意可得当直线x+y-4=0的平行线与椭圆相切时， |PQ|取得最值． 设与直线x+y-4=0平行的直线方程为x+y+t=0， 联立可得4x2+6tx+3t2-3=0， 由直线与椭圆相切，可得△=36t2-16（3t2-3）=0， 解得t=±2， 显然t=-2时，|PQ|取得最小值， 即有|PQ|==， 此时4x2-12x+9=0，解得x=， 即为P（，）． 另解：设P（cosα，sinα）， 由P到直线的距离为d= =， 当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为， 此时可取α=，即有P（，）．‎ ‎【解析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程； （2）由题意可得当直线x+y-4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y-4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标． 另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标． 本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题． ‎ 1. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ． （Ⅰ ‎）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； （Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y-1）2=a2． ∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆． 化为一般式：x2+y2-2y+1-a2=0．① 由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2-2ρsinθ+1-a2=0； （Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ， ∴x2+y2=4x，② 即（x-2）2+y2=4． 由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x， ∵曲线C1与C2的公共点都在C3上， ∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程， ①-②得：4x-2y+1-a2=0，即为C3 ， ∴1-a2=0， ∴a=1（a＞0）．‎ ‎【解析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程； （Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1-a2=0，则a值可求． 本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题． ‎ 1. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）． （1）若a=-1，求C与l的交点坐标； （2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．‎ ‎【答案】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：+y2=1； a=-1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y-3=0； 联立方程， 解得或， 所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（-，）． （2）l的参数方程​（t为参数）化为一般方程是：x+4y-a-4=0， 椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）， 所以点P到直线l的距离d为： ‎ d==，φ满足tanφ=， 又d的最大值dmax=， 所以|5sin（θ+φ）-a-4|的最大值为17， 得：5-a-4=17或-5-a-4=-17， 即a=-16或a=8．‎ ‎【解析】（1）将曲线C的参数方程化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标； （2）曲线C上的点可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离，再结合距离最大值为进行分析，可以求出a的值． 本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲线C上的点到直线l距离的最大值求出a． ‎ 1. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4． （1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程； （2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ ‎【答案】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x=4， 设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0=， ∵|OM||OP|=16， ∴=16， 即（x2+y2）（1+）=16， ∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2， 两边开方得：x2+y2=4x， 整理得：（x-2）2+y2=4（x≠0）， ∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x-2）2+y2=4（x≠0）． （2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|=2， ∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d==， ∴△AOB的最大面积S=|OA|•（2+）=2+．‎ ‎【解析】（1）设P（x，y），利用相似得出M点坐标，根据|OM|•|OP|=16列方程化简即可； （2）求出曲线C2的圆心和半径，得出B到OA的最大距离，即可得出最大面积． 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题． ‎ 2. 已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-16cosθ=0，直线l与曲线C交于A，B两点，点P（1，3）， （1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）求的值．‎ ‎【答案】【解答】 ​解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数，可得直线l的普通方程y=2x+1， 曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-16cosθ=0，即ρ2sin2θ=16ρcosθ，曲线C的直角坐标方程为y2=16x， （2）直线的参数方程改写为， 代入y2=16x，，，， ．‎ ‎【解析】【分析】 本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题． ​（1）利用三种方程的转化方法，求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）直线的参数方程改写为，代入y2=16x，利用参数的几何意义求的值． ‎ 1. 已知曲线C的极坐标方程为ρ-4cosθ+3ρsin2θ=0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l过点M（1，0），倾斜角为． （Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程； （Ⅱ）若曲线C经过伸缩变换后得到曲线C′，且直线l与曲线C′交于A，B两点，求|MA|+|MB|．‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ-4cosθ+3ρsin2θ=0，∴ρ2-4ρcosθ+3ρ2sin2θ=0， ∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4x+3y2=0，整理，得（x-2）2+4y2=4， ∵直线l过点M（1，0），倾斜角为， ∴直线l的参数方程为，即，（t是参数）． （Ⅱ）∵曲线C经过伸缩变换后得到曲线C′， ∴曲线C′为：（x-2）2+y2=4， 把直线l的参数方程，（t是参数）代入曲线C′：（x-2）2+y2=4，得： ， 设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=，t1t2=-3， ∴|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|===．‎ ‎【解析】（Ⅰ）曲线C的极坐标方程化为ρ2-4ρcosθ+3ρ2sin2θ=0，由此能求出曲线C的直角坐标方程；由直线l过点M（1，0），倾斜角为，能求出直线l的参数方程． （Ⅱ）由曲线C经过伸缩变换后得到曲线C′，求出曲线C′为：（x-2）2+y2=4，把直线l的参数方程代入曲线C′，得：，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=，t1t2=-3，由此能求出|MA|+|MB|． 本题考查曲线的直角坐标方程与直线的参数方程的求法，考查两线段和的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化、韦达定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． ‎