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- 2021-05-13 发布
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1985年全国统一高考数学试卷(理科)
一、选择题(共5小题,每小题3分,满分15分)
1.(3分)如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a,那么四面体A′﹣ABD的体积是( )
A.
B.
C.
D.
2.(3分)的( )
A.
必要条件
B.
充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分又不必要的条件
3.(3分)在下面给出的函数中,哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数?( )
A.
y=x2(x∈R)
B.
y=|sinx|(x∈R)
C.
y=cos2x(x∈R)
D.
y=esin2x(x∈R)
4.(3分)极坐标方程ρ=asinθ(a>0)的图象是( )
A.
B.
C.
D.
5.(3分)用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20000大,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数,共有( )
A.
96个
B.
78个
C.
72个
D.
64个
二、解答题(共13小题,满分90分)
6.(4分)求方程解集.
7.(4分)设|a|≤1,求arccosa+arccos(﹣a)的值.
8.(4分)求曲线y2=﹣16x+64的焦点.
9.(4分)设(3x﹣1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值.
10.(4分)设函数f(x)的定义域是[0,1],求函数f(x2)的定义域.
11.(7分)解方程log4(3﹣x)+log0.25(3+x)=log4(1﹣x)+log0.25(2x+1).
12.(7分)解不等式
13.(15分)如图,设平面AC和BD相交于BC,它们所成的一个二面角为45°,P为平面AC内的一点,Q为面BD内的一点,已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,并且M在BC上又设PQ与平面BD所成的角为β,∠CMQ=θ(0°<θ<90°),线段PM的长为a,求线段PQ的长.
14.(15分)设O为复平面的原点,Z1和Z2为复平面内的两动点,并且满足:
(1)Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和﹣θ;
(2)△OZ1Z2的面积为定值S求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值.
15.(15分)已知两点P(﹣2,2),Q(0,2)以及一条直线:L:y=x,设长为的线段AB在直线L上移动,如图,求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.(要求把结果写成普通方程)
16.(14分)设,
(1)证明不等式对所有的正整数n都成立;
(2)设,用定义证明
17.(12分)设a,b是两个实数,
A={(x,y)|x=n,y=na+b,n是整数},
B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,m是整数},
C={(x,y)|x2+y2≤144},
是平面XOY内的点集合,讨论是否存在a和b使得
(1)A∩B≠φ(φ表示空集),
(2)(a,b)∈C
同时成立.
18.已知曲线y=x3﹣6x2+11x﹣6.在它对应于x∈[0,2]的弧段上求一点P,使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小,并求出这个最小值.
1985年全国统一高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共5小题,每小题3分,满分15分)
1.(3分)如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a,那么四面体A′﹣ABD的体积是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
棱柱、棱锥、棱台的体积.
专题:
计算题.
分析:
画出图形,直接求解即可.
解答:
解:如图四面体A′﹣ABD的体积是
V=
故选D.
点评:
本题考查棱锥的体积,是基础题.
2.(3分)的( )
A.
必要条件
B.
充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分又不必要的条件
考点:
必要条件、充分条件与充要条件的判断.
专题:
计算题.
分析:
先解出tanx=1的解,再判断两命题的关系.
解答:
解:
由tanx=1
得,
当k=1时,x=,
固由前者可以推出后者,
所以tanx=1是的必要条件.
故选A.
点评:
此题要注意必要条件,充分条件的判断,掌握正切函数的基本性质,比较简单.
3.(3分)在下面给出的函数中,哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数?( )
A.
y=x2(x∈R)
B.
y=|sinx|(x∈R)
C.
y=cos2x(x∈R)
D.
y=esin2x(x∈R)
考点:
三角函数的周期性及其求法.
专题:
压轴题.
分析:
根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项逐一验证即可.
解答:
解:y=x2(x∈R)不是周期函数,故排除A.
∵y=|sinx|(x∈R)周期为π,且根据正弦图象知在区间上是增函数.
故选B.
点评:
本题主要考查三角函数的最小正周期和三角函数的图象.
4.(3分)极坐标方程ρ=asinθ(a>0)的图象是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
简单曲线的极坐标方程.
专题:
计算题;压轴题.
分析:
先将原极坐标方程两边同乘以ρ后化成直角坐标方程,再利用直角坐标方程进行判断.
解答:
解:∵极坐标方程ρ=asinθ(a>0)
∴ρ2=aρsinθ,
∴x2+y2=ay,它表示圆心在(0,)的圆.
故选C.
点评:
本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得.
5.(3分)用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20000大,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数,共有( )
A.
96个
B.
78个
C.
72个
D.
64个
考点:
排列、组合的实际应用.
专题:
计算题;压轴题;分类讨论.
分析:
根据题意,分析首位数字,要求这个五位数比20000大,则首位必须是2,3,4,5这4个数字,由于百位数不是数字3,分2种情况讨论,①百位是3,②百位是2,4,5,分别求得其情况数目,由乘法原理,计算可得答案.
解答:
解:根据题意,要求这个五位数比20000大,则首位必须是2,3,4,5这4个数字,
分2种情况讨论,
当首位是3时,百位数不是数字3,有A44=24种情况,
当首位是2,4,5时,由于百位数不能是数字3,有3(A44﹣A33)=54种情况,
综合可得,共有54+24=78个数字符合要求,
故选B.
点评:
本题考查排列、组合的应用,注意结合题意,进行分类讨论,特别是“百位数不是数字3”的要求.
二、解答题(共13小题,满分90分)
6.(4分)求方程解集.
考点:
任意角的三角函数的定义.
专题:
计算题.
分析:
直接化简方程,利用正弦函数的定义,求出方程的解.
解答:
解:方程化为:
所以
方程解集为:
点评:
本题考查任意角的三角函数的定义,考查计算能力,是基础题.
7.(4分)设|a|≤1,求arccosa+arccos(﹣a)的值.
考点:
反三角函数的运用.
专题:
计算题.
分析:
直接应用反函数的运算法则,求解即可.
解答:
解:arccosa+arccos(﹣a)=arccosa+π﹣arccosa=π
点评:
本题考查反函数的运算,是基础题.
8.(4分)求曲线y2=﹣16x+64的焦点.
考点:
抛物线的简单性质.
专题:
计算题;转化思想.
分析:
先把曲线方程整理成标准方程,设x﹣4=t,则可求得y2=﹣16t的焦点坐标,则抛物线y2=﹣16(x﹣4)的焦点坐标可得.
解答:
解:整理曲线方程可得y2=﹣16(x﹣4)
令x﹣4=t,则y2=﹣16t,焦点坐标为(﹣4,0)
∴y2=﹣16(x﹣4)的焦点为(0,0)
点评:
本题主要考查了抛物线的简单性质.考查了学生对抛物线基础的灵活运用.
9.(4分)设(3x﹣1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值.
考点:
二项式系数的性质.
专题:
计算题.
分析:
对等式中的x赋值1求出各项系数和.
解答:
解:令x=1得26=a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0
故a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=26
点评:
本题考查赋值法是求展开式的各项系数和的重要方法.
10.(4分)设函数f(x)的定义域是[0,1],求函数f(x2)的定义域.
考点:
函数的定义域及其求法.
分析:
函数f(x)的定义域是[0,1],函数f(x2)中x2∈[0,1],求解即可.
解答:
解:函数f(x)的定义域是[0,1],函数f(x2)中x2∈[0,1],解得x∈[﹣1,1]
点评:
本题考查函数的定义域及其求法,是基础题.
11.(7分)解方程log4(3﹣x)+log0.25(3+x)=log4(1﹣x)+log0.25(2x+1).
考点:
对数的运算性质;对数函数的定义域.
专题:
计算题.
分析:
把方程移项,再化为同底的对数,利用对数性质解出自变量的值,由于不是恒等变形,注意验根.
解答:
解:由原对数方程得,
解这个方程,得到x1=0,x2=7.
检验:x=7是增根,
故x=0是原方程的根.
点评:
本题考查对数的运算性质,对数函数的定义域.
12.(7分)解不等式
考点:
其他不等式的解法.
专题:
计算题;分类讨论.
分析:
分类讨论,当时不等式成立,解出不等式解集即可,当时,将不等式的两边平方,解出解集即可,最后求出两个解集的并集即可.
解答:
解:,解得;(4分)
或,解得﹣1≤x<2;(8分)
综上所述,解得(12分)
点评:
此题主要考查根号下的不等式的求解.
13.(15分)如图,设平面AC和BD相交于BC,它们所成的一个二面角为45°,P为平面AC内的一点,Q为面BD内的一点,已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,并且M在BC上又设PQ与平面BD所成的角为β,∠CMQ=θ(0°<θ<90°),线段PM的长为a,求线段PQ的长.
考点:
平面与平面之间的位置关系.
专题:
计算题.
分析:
过点P作平面BD的垂线,垂足为R,由PQ与平面BD所成的角为β,要求PQ,可根据,故我们要先求PR值,而由二面角的平面角为45°,我们可得NR=PR,故我们要先根据MR=,及a2=PR2+MR2,求出NR的值.
解答:
解:自点P作平面BD的垂线,垂足为R,
由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,
所以R在MQ上,过R作BC的垂线,设垂足为N,
则PN⊥BC(三垂线定理
因此∠PNR是所给二面角的平面角,所以∠PNR=45°
由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,所以∠PQR=β
在Rt△PNR中,NR=PRcot45°,所以NR=PR.
在Rt△MNR中,MR=,
在Rt△PMR中,,
又已知0°<θ<90°,所以.
在Rt△PRQ中,.
故线段PQ的长为.
点评:
本题考查的知识点是平面与平面间的位置关系,二面角,解三角形,根据已知条件由未知的结论利用分析法寻求解题思路是解题的关键.
14.(15分)设O为复平面的原点,Z1和Z2为复平面内的两动点,并且满足:
(1)Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和﹣θ;
(2)△OZ1Z2的面积为定值S求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值.
考点:
复数的基本概念;复数求模.
专题:
综合题.
分析:
设出Z1,Z2和Z对应的复数分别为z1,z2和z,由于Z是△OZ1Z2的重心,表示其关系,求解即可.
解答:
解:设Z1,Z2和Z对应的复数分别为z1,z2和z,其中
z1=r1(coθ+isinθ),
z2=r2(coθ﹣isinθ).
由于Z是△OZ1Z2的重心,根据复数加法的几何意义,
则有3z=z1+z2=(r1+r2)cosθ+(r1﹣r2)isinθ.
于是|3z|2=(r1+r2)2cos2θ+(r1﹣r2)2sin2θ
=(r1﹣r2)2cos2θ+4r1r2cos2θ+(r1﹣r2)2sin2θ
=(r1﹣r2)2+4r1r2cos2θ
又知△OZ1Z2的面积为定值S及,
所以,即
由此,
故当r1=r2=时,|z|最小,且|z|最小值=.
点评:
本题考查复数的基本概念,复数求模,是中档题.
15.(15分)已知两点P(﹣2,2),Q(0,2)以及一条直线:L:y=x,设长为的线段AB在直线L上移动,如图,求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.(要求把结果写成普通方程)
考点:
轨迹方程.
专题:
计算题;交轨法.
分析:
根据题意,设点A和B分别是(a,a)和(a+1,a+1),直线PA的方程是,直线QB的方程是.当,即a=0时,直线PA和QB平行,无交点;当a≠0时,直线PA与QB相交,
设交点为M(x,y),由此能得到直线PA和QB的交点M的轨迹方程.
解答:
解:由于线段AB在直线y=x上移动,且AB的长,
所以可设点A和B分别是(a,a)和(a+1,a+1),其中a为参数
于是可得:直线PA的方程是
直线QB的方程是
(1)当,即a=0时,
直线PA和QB平行,无交点
(2)当a≠0时,直线PA与QB相交,
设交点为M(x,y),由(2)式得,
∴
将上述两式代入(1)式,得
整理得x2﹣y2+2x﹣2y+8=0,
即
当a=﹣2或a=﹣1时,直线PA和QB仍然相交,并且交点坐标也满足(*)式
所以(*)式即为所求动点的轨迹方程.
点评:
本题考查轨迹方程的求法,解题时要认真审题,仔细分析,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地选取公式.
16.(14分)设,
(1)证明不等式对所有的正整数n都成立;
(2)设,用定义证明
考点:
不等式的证明;极限及其运算.
专题:
证明题.
分析:
(1)考虑an和式的通项,先对其进行放缩,结合数列的求和公式即可证得;
(2)欲用定义证明即证对任意指定的正数ε,要使.
解答:
证:(1)由不等式
对所有正整数k成立,把它对k从1到n(n≥1)求和,
得到1+2+3+…+n<an<
又因1+2+3+…+n=,以及
<[1+3+5+…+(2n+1)]=,
对所有的正整数n都成立.
(2)由(1)及bn的定义知
对任意指定的正数ε,要使,
只要使,即只要使
取N是的整数部分,则数列bn的第N项以后所有的项都满足
根据极限的定义,证得
点评:
本题主要考查不等式的证明,主要采用了放缩法.放缩是一种重要的变形手段,但是放缩的对象以及放缩的尺度不易掌握,技巧性较强.
17.(12分)设a,b是两个实数,
A={(x,y)|x=n,y=na+b,n是整数},
B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,m是整数},
C={(x,y)|x2+y2≤144},
是平面XOY内的点集合,讨论是否存在a和b使得
(1)A∩B≠φ(φ表示空集),
(2)(a,b)∈C
同时成立.
考点:
集合关系中的参数取值问题;点到直线的距离公式.
专题:
压轴题.
分析:
A、B、C是点的集合,由y=na+b和y=3m2+15想到直线和抛物线.
A∩B≠φ表示直线和抛物线有公共点,
故只需联力方程,△≥0得a,b的关系式,
再考虑与集合C中x2+y2≤144表示的以原点为圆心,以12为半径的圆及内部点的关系即可.
解答:
解:据题意,知
A={(x,y)|x=n,y=an+b,n∈Z}
B={(x,y)|x=m,y=3m^2+15,m∈Z}
假设存在实数a,b,使得A∩B≠Ø成立,则方程组
y=ax+b
y=3x2+15 有解,且x∈Z.
消去y,方程组化为 3x2﹣ax+15﹣b=0.①
∵方程①有解,
∴△=a2﹣12(15﹣b)≥0.
∴﹣a2≤12b﹣180.②
又由(2),得 a2+b2≤144.③
由②+③,得 b2≤12b﹣36.
∴(b﹣6)2≤0
∴b=6.
代入②,得 a2≥108.
代入③,得 a2≤108.
∴a2=108.a=±6√3
将a=±6,b=6代入方程①,得
3x2±6x+9=0.
解之得 x=±,与x∈Z矛盾.
∴不存在实数a,b使(1)(2)同时成立.
点评:
此题以集合为背景考查直线和抛物线的位置关系,以及圆等知识,综合性较强.
18.已知曲线y=x3﹣6x2+11x﹣6.在它对应于x∈[0,2]的弧段上求一点P,使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小,并求出这个最小值.
考点:
利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值.
专题:
计算题;压轴题.
分析:
求出曲线方程的导函数,在曲线上取一点设P(x0,y0),把x0代入到导函数中求出切线方程的斜率,根据P点坐标和斜率写出切线的方程,令x等于0表示出切线在y轴上的截距r,求出r′,判断r′大于0得到r为增函数,得到r在x0=0处取到最小值,把x0=0代入r求出最小值即可.
解答:
解:已知曲线方程是y=x3﹣6x2+11x﹣6,因此y'=3x2﹣12x+11
在曲线上任取一点P(x0,y0),则点P处切线的斜率是y'|x=x0=3x02﹣12x0+11
点P处切线方程是y=(3x02﹣12x0+11)(x﹣x0)+y0
设这切线与y轴的截距为r,则
r=(3x02﹣12x0+11)(﹣x0)+(x03﹣6x02+11x0﹣6)=﹣2x03+6x02﹣6
根据题意,要求r(它是以x0为自变量的函数)在区间[0,2]上的最小值
因为r'=﹣6x02+12x0=﹣6x0(x0﹣2)
当0<x0<2时r'>0,因此r是增函数,
故r在区间[0,2]的左端点x0=0处取到最小值,即在点P(0,﹣6)处切线在y轴上的截距最小
这个最小值是r最小值=﹣6
点评:
此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线的斜率,会利用导数求闭区间上函数的最小值,是一道中档题.
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