2020高考数学三轮冲刺 专题 直线、圆的位置关系练习（含解析） 13页

直线、圆的位置关系 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1. 已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是 ‎ A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 ‎（正确答案）B 解：圆的标准方程为M：，‎ 则圆心为，半径，‎ 圆心到直线的距离，‎ 圆M：截直线所得线段的长度是，‎ ‎，‎ 即，即，，‎ 则圆心为，半径，‎ 圆N：的圆心为，半径，‎ 则，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 即两个圆相交．‎ 故选：B．‎ 根据直线与圆相交的弦长公式，求出a的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．‎ 本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a的值是解决本题的关键．‎ ‎2. 已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为 ‎ 13‎ A. B. ‎1 C. 2 D. 4‎ ‎（正确答案）C 解：由，得，圆心坐标为，半径为3．‎ 如图：当过点的直线与连接P与圆心的直线垂直时，弦AB最短，‎ 则最短弦长为．‎ 故选：C．‎ 化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，如何利用垂径定理求得答案．‎ 本题考查直线与圆的位置关系，考查垂径定理的应用，是基础题．‎ ‎3. 直线l过点，被圆C：截得的弦长为，则直线l的方程是 ‎ A. B. ‎ C. D. 或 ‎（正确答案）D 解：圆C：的圆心坐标，半径为2，‎ 直线l过点，被圆C：截得的弦长为，‎ 圆心到所求直线的距离为：1，‎ 设所求直线为：即，‎ ‎，‎ 解得或，‎ 13‎ 所求直线方程为或．‎ 故选：D．‎ 求出圆的圆心与半径，利用弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出所求直线的斜率，然后求出直线方程．‎ 本题考查直线与圆的位置关系，弦心距与半径以及半弦长的关系，考查计算能力．‎ ‎4. 直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）A 解：直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，‎ 令，得，令，得，‎ ‎，，，‎ 点P在圆上，设，‎ 点P到直线的距离：‎ ‎，‎ ‎，，‎ 面积的取值范围是：‎ ‎．‎ 故选：A．‎ 求出，，，设，点P到直线的距离：，由此能求出面积的取值范围．‎ 本题考查三角表面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ 13‎ ‎5. 一条光线从点射出，经y轴反射后与圆相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）C 解：如图所示，‎ 由题意可设入射光线PQ的方程为：，‎ 令，则，可得．‎ 反射光线QAB的方程为：．‎ 则，解得：．‎ 入射光线所在直线的斜率的取值范围为．‎ 故选：C．‎ 如图所示，由题意可设入射光线PQ的方程为：，可得反射光线QAB的方程为：利用直线与圆相交可得，解出即可得出．‎ 本题考查了入射光线与反射光线的性质、对称性、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎6. 直线l：为参数与圆C：为参数的位置关系是 ‎ A. 相离 B. 相切 C. 相交且过圆心 D. 相交但不过圆心 ‎（正确答案）D 解：把圆的参数方程化为普通方程得：，‎ 圆心坐标为，半径，‎ 把直线的参数方程化为普通方程得：，‎ 13‎ 圆心到直线的距离，‎ 又圆心不在直线上，‎ 则直线与圆的位置关系为相交但不过圆心．‎ 故选：D．‎ 把圆的方程及直线的方程化为普通方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，判定发现d小于圆的半径r，又圆心不在已知直线上，则直线与圆的位置关系为相交但不过圆心．‎ 本题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线与圆的位置关系，其中直线与圆的位置关系为：为圆心到直线的距离，r为圆的半径，直线与圆相交；，直线与圆相切；，直线与圆相离，是基础题．‎ ‎7. 若直线与圆有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎（正确答案）D 解：圆化为，圆的圆心坐标，半径为 ‎ 直线与圆有两个不同的公共点，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故选D．‎ 利用圆心到直线的距离小于半径，建立不等式，即可确定实数m的取值范围．‎ 本题考查直线和圆的方程的应用，解题的关键是利用圆心到直线的距离小于半径，建立不等式，属于中档题．‎ ‎8. 设直线与圆相交于A，B两点，O为坐标原点，若为等边三角形，则实数a的值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）B 13‎ 解：由圆的方程得到圆心坐标为，半径，‎ 由为等边三角形，得圆心到直线的距离，‎ 解得：．‎ 故选B．‎ 由圆的标准方程找出圆心坐标与半径r，利用为等边三角形，点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．‎ 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，其中由为等边三角形，得圆心到直线的距离是解本题的关键．‎ ‎9. 已知直线l过圆的圆心，且与直线垂直，则l的方程是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）D 解：由题意可得所求直线l经过点，斜率为1，‎ 故l的方程是，即，‎ 故选：D．‎ 由题意可得所求直线l经过点，斜率为1，再利用点斜式求直线l的方程．‎ 本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，属于基础题．‎ ‎10. 若直线截得圆的弦长为2，则的最小值为 ‎ A. 4 B. ‎12 C. 16 D. 6‎ ‎（正确答案）D 解：圆的半径为1，圆心 ‎ 直线截得圆的弦长为2，‎ 直线经过圆的圆心．‎ 可得：．‎ 13‎ 则．‎ 当且仅当，时取等号．‎ 故选：D．‎ 利用已知条件求出m，n的关系式，然后利用基本不等式求解最值即可．‎ 本题考查基本不等式的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎11. 已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数a的值是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）B 解：圆即，‎ 故弦心距．‎ 再由弦长公式可得，，‎ 故选：B．‎ 把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．‎ 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．‎ ‎12. 若直线与圆相切，则a的值为 ‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎（正确答案）D 解：圆的圆心坐标为，半径为1，‎ 直线与圆相切，‎ 圆心到直线的距离，‎ 即，‎ 解得：．‎ 故选D．‎ 13‎ 由直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值 本题考查了直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13. 设直线与圆C：相交于A，B两点，若，则圆C的面积为______ ．‎ ‎（正确答案）‎ 解：圆C：的圆心坐标为，半径为，‎ 直线与圆C：相交于A，B两点，且，‎ 圆心到直线的距离，‎ 即，‎ 解得：，‎ 故圆的半径．‎ 故圆的面积，‎ 故答案为： ‎ 圆C：的圆心坐标为，半径为，利用圆的弦长公式，求出a值，进而求出圆半径，可得圆的面积．‎ 本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，难度中档．‎ ‎14. 已知直线l：与圆交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则 ______ ．‎ ‎（正确答案）4‎ 解：由题意，，圆心到直线的距离，‎ ‎，‎ 13‎ ‎ ‎ 直线l的倾斜角为，‎ 过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，‎ ‎．‎ 故答案为：4．‎ 先求出m，可得直线l的倾斜角为，再利用三角函数求出即可．‎ 本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎15. 在上随机地取一个数k，则事件“直线与圆相交”发生的概率为______．‎ ‎（正确答案）‎ 解：圆的圆心为，半径为3．‎ 圆心到直线的距离为，‎ 要使直线与圆相交，则，解得．‎ 在区间上随机取一个数k，使直线与圆相交相交的概率为．‎ 故答案为：．‎ 利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．‎ 本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎16. 直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为______．‎ ‎（正确答案）或 13‎ 解：圆的圆心，半径，‎ 圆心到直线的距离，‎ 直线被圆截得的弦长为，‎ ‎，‎ 解得，‎ 直线的倾斜角为或．‎ 故答案为：或．‎ 求出圆心到直线的距离，由直线被圆截得的弦长为，得，由此能求出直线的倾斜角．‎ 本题考查直线的倾斜角的求法，考查直线、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ 三、解答题（本大题共3小题，共30分）‎ ‎17. 以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为为参数．‎ 点P在曲线C上，Q在直线l上，若，求线段的最小值；‎ 设直线l与曲线C有两个不同的交点，求直线l的斜率k的范围．‎ ‎（正确答案）解：时，易知直线l的方程为，分 ‎ 曲线C：的普通方程为分 ‎ 13‎ 由题意知的最小值为圆心到直线的距离减去半径，‎ 所以分 ‎ 因为时，直线l与C没有交点，‎ 所以直线l可化为普通方程为，分 ‎ 令，即，‎ 当圆心到直线的距离等于半径时，即，‎ 解得，此时它们相切，分 ‎ 所以分 点P在曲线C上，Q在直线l上，若，利用的最小值为圆心到直线的距离减去半径，即可求线段的最小值；‎ 设直线l与曲线C有两个不同的交点，当圆心到直线的距离等于半径时，即，即可求直线l的斜率k的范围．‎ 本题考查直线与圆的位置关系，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎18. 已知直线l经过点，倾斜角，‎ 写出直线l的参数方程；‎ 设l与圆相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．‎ ‎（正确答案）解：直线的参数方程为，即分 ‎ 13‎ 把直线代入，‎ 得，，‎ 则点P到A，B两点的距离之积为2．‎ 利用公式和已知条件直线l经过点，倾斜角，写出其极坐标再化为一般参数方程；‎ 由题意将直线代入，从而求解．‎ 此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必的热点问题．‎ ‎19. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，直线l与AB平行．‎ 求直线l的斜率；‎ 已知圆C：与直线l相交于M，N两点，且，求直线l的方程；‎ 在的圆C上是否存在点P，使得？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．‎ ‎（正确答案）解：点，，直线l与AB平行，‎ 直线l的斜率．‎ 圆C：，圆C的标准方程为：，圆心，半径为2，‎ 由知直线l的斜率，‎ 设直线l的方程为，‎ 则圆心C到直线l的距离，‎ ‎，‎ 13‎ 而，，‎ 解得或，‎ 故直线l的方程为或．‎ 假设圆C上存在点P，设，则，‎ ‎，‎ 整理，得，即，‎ ‎，‎ 圆与圆相交，‎ 点P的个数为2．‎ 由点，，直线l与AB平行，利用斜率公式和直线与直线平行的性质能求出直线l的斜率．‎ 圆C的标准方程为：，圆心，半径为2，设直线l的方程为，求出圆心C到直线l的距离，由，求出或，由此能求出直线l的方程．‎ 假设圆C上存在点P，设，则，由，得到，从而求出圆与圆相交，由此能求出点P的个数．‎ 本题考查直线的斜率、直线方程、满足条件的点的个数的求法，涉及到斜率、直线、圆、直线与直线平行、点到直线距离公式、圆与圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ 13‎