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  • 2021-05-13 发布

2018版高考文科数学(北师大版)一轮文档讲义:章4-3三角函数的图像与性质

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第3讲 三角函数的图像与性质 最新考纲 1.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图像,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等),理解正切函数在区间内的单调性.‎ 知 识 梳 理 ‎1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 ‎(1)正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图像中,五个关键点是:(0,0),,(π,0),,(2π,0).‎ ‎(2)余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图像中,五个关键点是:(0,1),,(π,-1),,(2π,1).‎ ‎2.正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k∈Z)‎ 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图像 定义域 R R 值域 ‎[-1,1]‎ ‎[-1,1]‎ R 周期性 ‎2π ‎2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 续表 递增 区间 ‎[2kπ-π,2kπ]‎ 递减 区间 ‎[2kπ,2kπ+π]‎ 无 对称 中心 ‎(kπ,0)‎ 对称轴 方程 x=kπ+ x=kπ 无 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示 ‎(1)由sin=sin 知,是正弦函数y=sin x(x∈R)的一个周期.(  )‎ ‎(2)余弦函数y=cos x的对称轴是y轴.(  )‎ ‎(3)正切函数y=tan x在定义域内是增函数.(  )‎ ‎(4)已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1.(  )‎ ‎(5)y=sin|x|是偶函数.(  )                   ‎ 解析 (1)函数y=sin x的周期是2kπ(k∈Z).‎ ‎(2)余弦函数y=cos x的对称轴有无穷多条,y轴只是其中的一条.‎ ‎(3)正切函数y=tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数,但在定义域内不是单调函数,故不是增函数.‎ ‎(4)当k>0时,ymax=k+1;当k<0时,ymax=-k+1.‎ 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√‎ ‎2.(2015·四川卷)下列函数中,最小正周期为π的奇函数是(  )‎ A.y=sin B.y=cos C.y=sin 2x+cos 2x D.y=sin x+cos x 解析 y=sin=cos 2x是最小正周期为π的偶函数;y=cos=-sin 2x是最小正周期为π的奇函数;y=sin 2x+cos 2x=sin是最小正周期为π的非奇非偶函数;y=sin x+cos x=sin是最小正周期为2π的非奇非偶函数.‎ 答案 B ‎3.(2017·郑州模拟)若函数f(x)=sin(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=(  )                   ‎ A. B. C. D. 解析 由已知f(x)=sin是偶函数,可得=kπ+,即φ=3kπ+(k∈Z),又φ∈[0,2π],所以φ=.‎ 答案 C ‎4.函数f(x)=sin在区间上的最小值为(  )‎ A.-1 B.- C. D.0‎ 解析 由已知x∈,得2x-∈,所以sin∈,故函数f(x)=sin在区间上的最小值为-.‎ 答案 B ‎5.(教材改编)函数y=-tan的单调递减区间为________.‎ 解析 因为y=tan x的单调递增区间为 (k∈Z),‎ 所以由-+kπ<2x-<+kπ,‎ 得+<x<+(k∈Z),‎ 所以y=-tan的单调递减区间为 (k∈Z).‎ 答案 (k∈Z)‎ 考点一 三角函数的定义域及简单的三角不等式                   ‎ ‎【例1】 (1)函数f(x)=-2tan的定义域是(  )‎ A. B. C. D. ‎(2)不等式+2cos x≥0的解集是________.‎ ‎(3)函数f(x)=+log2(2sin x-1)的定义域是________.‎ 解析 (1)由正切函数的定义域,得2x+≠kπ+,‎ 即x≠+(k∈Z),故选D.‎ ‎(2)‎ 由+2cos x≥0,‎ 得cos x≥-,‎ 由余弦函数的图像,得在一个周期[-π,π]上,不等式cos x≥-的解集为,‎ 故原不等式的解集为.‎ ‎(3)由题意,得 由①得-8≤x≤8,由②得sin x>,由正弦曲线得+2kπ0)在区间上是增函数,则ω的取值范围是________.‎ 解析 (1)由已知可得函数为y=-sin,欲求函数的单调减区间,只需求y=sin的单调增区间.‎ 由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,‎ 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.‎ 故所求函数的单调递减区间为(k∈Z).‎ ‎(2)法一 由2kπ-≤ωx≤2kπ+,k∈Z,‎ 得f(x)的增区间是(k∈Z).‎ 因为f(x)在上是增函数,‎ 所以⊆.‎ 所以-≥-且≤,所以ω∈.‎ 法二 因为x∈,ω>0.‎ 所以ωx∈,‎ 又f(x)在区间上是增函数,‎ 所以⊆,‎ 则又ω>0,‎ 得0<ω≤.‎ 法三 因为f(x)在区间上是增函数,故原点到-,的距离不超过,即得T≥,即≥,又ω>0,得0<ω≤.‎ 答案 (1)(k∈Z) (2) 规律方法 (1)求较为复杂的三角函数的单调区间时,首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式,再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间,只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sin x的相应单调区间内即可,注意要先把ω化为正数.(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题,首先,明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集,其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系可求解,另外,若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.‎ 命题角度三 三角函数的对称轴或对称中心 ‎【例3-3】 (1)(2017·陕西适应性测试)若函数f(x)=2sin(4x+φ)(φ<0)的图像关于直线x=对称,则φ的最大值为(  )‎ A.- B.- C.- D.- ‎(2)(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在上单调,则ω的最大值为(  )‎ A.11 B.9‎ C.7 D.5‎ 解析 (1)由题可得,4×+φ=+kπ,k∈Z,∴φ=+kπ,k∈Z,∵φ<0,∴φmax=-.‎ ‎(2)因为x=-为f(x)的零点,x=为f(x)的图像的对称轴,所以-=+kT,即=T=·,所以ω=4k+1(k∈N+),又因为f(x)在上单调,所以-=≤=,即ω≤12,由此得ω的最大值为9,故选B.‎ 答案 (1)B (2)B 规律方法 (1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x即可.‎ ‎(2)对于可化为f(x)=Acos(ωx+φ)形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x即可.‎ ‎【训练3】 (1)(2017·南昌二检)函数f(x)=cos的图像关于(  )‎ A.原点对称 B.y轴对称 C.直线x=对称 D.直线x=-对称 ‎(2)已知ω>0,函数f(x)=cos在上单调递增,则ω的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 解析 (1)因为f(x)=cos=cos=-sin 2x,f(-x)=-sin(-2x)=sin 2x=-f(x),所以f(x)=-sin 2x是奇函数,所以f(x)的图像关于原点对称.故选A.‎ ‎(2)函数y=cos x的单调递增区间为[-π+2kπ,2kπ],k∈Z,‎ 则(k∈Z),‎ 解得4k-≤ω≤2k-,k∈Z,‎ 又由4k--≤0,k∈Z且2k->0,k∈Z,‎ 得k=1,所以ω∈.‎ 答案 (1)A (2)D ‎[思想方法]‎ ‎1.讨论三角函数性质,应先把函数式化成y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式.‎ ‎2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t=ωx+φ,将其转化为研究y=sin t的性质.‎ ‎3.数形结合是本讲的重要数学思想.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性;含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响.‎ ‎2.要注意求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时A和ω的符号,尽量化成ω ‎>0时情况,避免出现增减区间的混淆.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时:40分钟)                   ‎ 一、选择题 ‎1.在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos,④y=tan中,最小正周期为π的所有函数为(  )‎ A.①②③ B.①③④‎ C.②④ D.①③‎ 解析 ①y=cos|2x|=cos 2x,最小正周期为π;‎ ‎②由图像知y=|cos x|的最小正周期为π;‎ ‎③y=cos的最小正周期T==π;‎ ‎④y=tan的最小正周期T=,因此选A.‎ 答案 A ‎2.(2017·石家庄模拟)函数f(x)=tan的单调递增区间是(  )‎ A.(k∈Z)‎ B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z)‎ D.(k∈Z)‎ 解析 当kπ-<2x-<kπ+(k∈Z)时,函数y=tan单调递增,解得-<x<+(k∈Z),所以函数y=tan的单调递增区间是(k∈Z),故选B.‎ 答案 B ‎3.(2016·成都诊断)函数y=cos2x-2sin x的最大值与最小值分别为(  )‎ A.3,-1 B.3,-2‎ C.2,-1 D.2,-2‎ 解析 y=cos2x-2sin x=1-sin2x-2sin x ‎=-sin2x-2sin x+1,‎ 令t=sin x,则t∈[-1,1],y=-t2-2t+1=-(t+1)2+2,‎ 所以ymax=2,ymin=-2.‎ 答案 D ‎4.(2016·铜川模拟)已知函数f(x)=sin(x∈R),下面结论错误的是(  )‎ A.函数f(x)的最小正周期为π B.函数f(x)是偶函数 C.函数f(x)的图像关于直线x=对称 D.函数f(x)在区间上是增函数 解析 f(x)=sin=-cos 2x,故其最小正周期为π,故A正确;易知函数f(x)是偶函数,B正确;由函数f(x)=-cos 2x的图像可知,函数f(x)的图像不关于直线x=对称,C错误;由函数f(x)的图像易知,函数f(x)在上是增函数,D正确.‎ 答案 C ‎5.(2017·安徽江南十校联考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为4π,且任意x∈R,有f(x)≤f成立,则f(x)图像的一个对称中心坐标是(  )‎ A. B. C. D. 解析 由f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为4π,得ω=.因为f(x)≤f恒成立,所以f(x)max=f,即×+φ=+2kπ(k∈Z),由|φ|<,得φ=,故f(x)=sin.‎ 令x+=kπ(k∈Z),得x=2kπ-(k∈Z),故f(x)图像的对称中心为(k∈Z),当k=0时,f(x)图像的对称中心为,故选A.‎ 答案 A 二、填空题 ‎6.(2017·郑州调研)若函数f(x)=cos(0<φ<π)是奇函数,则φ=________.‎ 解析 因为f(x)为奇函数,所以φ-=+kπ,φ=+kπ,k∈Z.又因为0<φ<π,故φ=.‎ 答案  ‎7.(2016·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数y=sin x+cos x的单调递增区间是________.‎ 解析 ∵y=sin x+cos x=sin,‎ 由2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),‎ 解得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z).‎ ‎∴函数的单调递增区间为(k∈Z),‎ 又x∈,∴单调递增区间为.‎ 答案  ‎8.(2016·承德模拟)若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在上单调递增,在区间上单调递减,则ω=________.‎ 解析 法一 由于函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图像经过坐标原点,由已知并结合正弦函数的图像可知,为函数f(x)的周期,故=,解得ω=.‎ 法二 由题意,得f(x)max=f=sinω=1.‎ 由已知并结合正弦函数图像可知,ω=,解得ω=.‎ 答案  三、解答题 ‎9.(2015·安徽卷)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.‎ 解 (1)因为f(x)=sin2 x+cos2 x+2sin xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=sin+1,‎ 所以函数f(x)的最小正周期为T==π.‎ ‎(2)由(1)的计算结果知,f(x)=sin+1.‎ 当x∈时,2x+∈,‎ 由正弦函数y=sin x在上的图像知,‎ 当2x+=,即x=时,f(x)取最大值+1;‎ 当2x+=,即x=时,f(x)取最小值0.‎ 综上,f(x)在上的最大值为+1,最小值为0.‎ ‎10.(2017·昆明调研)设函数f(x)=sin-2cos2+1.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图像关于直线x=1对称,求当x∈时,y=g(x)的最大值.‎ 解 (1)f(x)=sin cos -cos sin -cos ‎=sin -cos =sin,‎ 故f(x)的最小正周期为T==8.‎ ‎(2)法一 在y=g(x)的图像上任取一点(x,g(x)),‎ 它关于x=1的对称点(2-x,g(x)).‎ 由题设条件,知点(2-x,g(x))在y=f(x)的图像上,‎ 从而g(x)=f(2-x)=sin ‎=sin=cos.‎ 当0≤x≤时,≤+≤,‎ 因此y=g(x)在区间上的最大值为 g(x)max=cos =.‎ 法二 区间关于x=1的对称区间为,‎ 且y=g(x)与y=f(x)的图像关于直线x=1对称,‎ 故y=g(x)在上的最大值为 y=f(x)在上的最大值.‎ 由(1)知f(x)=sin,‎ 当≤x≤2时,-≤-≤.‎ 因此y=g(x)在上的最大值为 g(x)max=sin =.‎ 能力提升题组 ‎(建议用时:20分钟)‎ ‎11.已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是-2,则ω的最小值等于(  )‎ A. B. C.2 D.3‎ 解析 ∵ω>0,-≤x≤,∴-≤ωx≤.‎ 由已知条件知-≤-,∴ω≥.‎ 答案 B ‎12.(2015·安徽卷)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是(  )‎ A.f(2)0,∴φmin=,‎ 故f(x)=Asin(2x+).于是f(0)=Asin ,‎ f(2)=Asin=Asin=Asin,‎ f(-2)=Asin=Asin ‎=Asin=Asin.‎ 又∵-<-4<4-<<.‎ 又f(x)在上单调递增,‎ ‎∴f(2)0时,∴a=3-3,b=5.‎ ‎(ⅱ)当a<0时,∴a=3-3,b=8.‎ 综上所述,a=3-3,b=5或a=3-3,b=8.‎ 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎

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