2018版高考数学（浙江·文理通用）大一轮教师文档讲义：第三章3-2第2课时导数与函数的极值、最值 18页

第2课时　导数与函数的极值、最值 题型一　用导数解决函数极值问题 命题点1　根据函数图象判断极值 例1　(1)(2016·绍兴模拟)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是(　　)‎ ‎(2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)‎ A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)‎ B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)‎ C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)‎ D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)‎ 答案　(1)C　(2)D 解析　(1)由f′(x)图象可知，x＝0是函数f(x)的极大值点，x＝2是f(x)的极小值点，故选C.‎ ‎(2)由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；‎ 当－22时，f′(x)>0.‎ 由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．‎ 命题点2　求函数的极值 例2　(2016·台州模拟)已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．‎ ‎(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的极值．‎ 解　(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.‎ 又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，‎ 得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e.‎ ‎(2)f′(x)＝1－，‎ ‎①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．‎ ‎②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝ln a，‎ 当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；‎ 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，‎ 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，‎ 在(ln a，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．‎ 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；‎ 当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．‎ 命题点3　已知极值求参数 例3　(1)(2016·杭州模拟)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.‎ ‎(2)(2016·福州质检)若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间(，3)上有极值点，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(2，) B．[2，)‎ C．(2，) D．[2，)‎ 答案　(1)－7　(2)C 解析　(1)由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则 解得或 经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.‎ ‎(2)若函数f(x)在区间(，3)上无极值，‎ 则当x∈(，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≥0恒成立或当x∈(，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≤0恒成立．‎ 当x∈(，3)时，y＝x＋的值域是[2，)；‎ 当x∈(，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≥0，‎ 即a≤x＋恒成立，a≤2；‎ 当x∈(，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≤0，‎ 即a≥x＋恒成立，a≥.‎ 因此要使函数f(x)在(，3)上有极值点，‎ 实数a的取值范围是(2，)．‎ 思维升华　(1)求函数f(x)极值的步骤 ‎①确定函数的定义域；‎ ‎②求导数f′(x)；‎ ‎③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；‎ ‎④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．‎ ‎(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．‎ ‎　(1)函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是(　　)‎ A．x＝1 B．x＝－1‎ C．x＝1或－1或0 D．x＝0‎ ‎(2)函数y＝2x－的极大值是________．‎ 答案　(1)C　(2)－3‎ 解析　(1)∵f(x)＝x4－2x2＋3，‎ ‎∵由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得 x＝0或x＝1或x＝－1.‎ 又当x<－1时，f′(x)<0，‎ 当－10.‎ 当01时，f′(x)>0，‎ ‎∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．‎ ‎(2)y′＝2＋，令y′＝0，得x＝－1.‎ 当x<－1，x>0时，y′>0；当－10，f(x)在区间(0，e]上单调递增，此时函数f(x)无最小值．‎ ‎②若00，函数f(x)在区间(a，e]上单调递增，‎ 所以当x＝a时，函数f(x)取得最小值ln a.‎ ‎③若a≥e，则当x∈(0，e]时，f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，‎ 所以当x＝e时，函数f(x)取得最小值.‎ 综上可知，当a≤0时，函数f(x)在区间(0，e]上无最小值；‎ 当0a，则实数a的取值范围是________________．‎ 答案　(－∞，)‎ 解析　由题意知，f′(x)＝3x2－x－2，‎ 令f′(x)＝0，得3x2－x－2＝0，‎ 解得x＝1或x＝－，‎ 又f(1)＝，f(－)＝，‎ f(－1)＝，f(2)＝7，‎ 故f(x)min＝，∴a<.‎ 题型三　函数极值和最值的综合问题 例5　已知函数f(x)＝ ‎(1)求f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；‎ ‎(2)求f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值．‎ 解　(1)当x<1时，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，‎ 令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，0)‎ ‎0‎ ‎(0，)‎ ‎(，1)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎ ‎↘ 极小值 ↗‎ 极大值 ↘‎ 故当x＝0时，函数f(x)取得极小值f(0)＝0，函数f(x)的极大值点为x＝.‎ ‎(2)①当－1≤x＜1时，由(1)知，函数f(x)在[－1,0]和[，1)上单调递减，在[0，]上单调递增．‎ 因为f(－1)＝2，f()＝，f(0)＝0，‎ 所以f(x)在[－1,1)上的最大值为2.‎ ‎②当1≤x≤e时，f(x)＝aln x，‎ 当a≤0时，f(x)≤0；‎ 当a>0时，f(x)在[1，e]上单调递增，‎ 则f(x)在[1，e]上的最大值为f(e)＝a.‎ 故当a≥2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为a；‎ 当a<2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为2.‎ 思维升华　求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．‎ ‎　若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．[－5,0) B．(－5,0)‎ C．[－3,0) D．(－3,0)‎ 答案　C 解析　由题意，得f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，‎ 故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，‎ 在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，‎ 令x3＋x2－＝－得，‎ x＝0或x＝－3，则结合图象可知，‎ 解得a∈[－3,0)．‎ ‎3．利用导数求函数的最值 典例　(15分)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．‎ 思维点拨　(1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′(x)>0，f′(x)<0的解区间，并注意定义域．(2)先研究f(x)在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．(3)两小问中，由于解析式中含有参数a，要对参数a进行分类讨论．‎ 规范解答　‎ 解　(1)f′(x)＝－a (x>0)，‎ ‎①当a≤0时，f′(x)＝－a>0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)． [3分]‎ ‎②当a>0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，‎ 当00；‎ 当x>时，f′(x)＝<0，‎ 故函数f(x)的单调递增区间为，‎ 单调递减区间为. [5分]‎ 综上可知，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；‎ 当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为. [6分]‎ ‎(2)①当≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a. [7分]‎ ‎②当≥2，即00，则f(x)单调递增；‎ 当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，‎ ‎∴f(x)的极小值点为a＝2.‎ ‎3．(2016·温州模拟)函数f(x)＝x2－ln x的最小值为(　　)‎ A. B．1 C．0 D．不存在 答案　A 解析　f′(x)＝x－＝且x>0.‎ 令f′(x)>0，得x>1.‎ 令f′(x)<0，得00，即a2－3a－18>0.‎ ‎∴a>6或a<－3.‎ ‎ *5.(2016·安阳模拟)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx－34(a，b，c∈R)的导函数为f′(x)，若不等式f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，f(x)的极小值等于－115，则a的值是(　　)‎ A．－ B. C．2 D．5‎ 答案　C 解析　由已知可得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，‎ 由3ax2＋2bx＋c≤0的解集为{x|－2≤x≤3}可知a>0，‎ 且－2,3是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，‎ 则由根与系数的关系知＝－1，＝－6，‎ ‎∴b＝－，c＝－18a，‎ 此时f(x)＝ax3－x2－18ax－34，‎ 当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，f(x)为增函数；‎ 当x∈(－2,3)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；‎ 当x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，‎ ‎∴f(3)为f(x)的极小值，且f(3)＝27a－－54a－34＝－115，‎ 解得a＝2，故选C.‎ ‎6．(2016·奉化模拟)已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax(a>)，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 答案　D 解析　由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.‎ 令f′(x)＝－a＝0，得x＝，‎ 当00；‎ 当x>时，f′(x)<0.‎ ‎∴f(x)max＝f()＝－ln a－1＝－1，‎ 解得a＝1.‎ ‎7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于(　　)‎ A．11或18 B．11‎ C．18 D．17或18‎ 答案　C 解析　∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，‎ ‎∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，‎ 即解得或 而当时，函数在x＝1处无极值，故舍去．‎ ‎∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝18.‎ ‎8．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是________．‎ 答案　(，＋∞)‎ 解析　f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，‎ 由f′(x)＝0得x＝±a，‎ 当－aa或x<－a时，f′(x)>0，函数递增．‎ ‎∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0且f(a)＝a3－3a3＋a<0，‎ 解得a>.‎ ‎∴a的取值范围是(，＋∞)．‎ ‎9．(2016·宁波模拟)已知函数f(x)＝x3－x2－x＋m在[0,1]上的最小值为，则实数m的值为________．‎ 答案　2‎ 解析　由f(x)＝x3－x2－x＋m，‎ 可得f′(x)＝x2－2x－1，‎ 令x2－2x－1＝0，可得x＝1±.‎ 当x∈(1－，1＋)时，f′(x)<0，‎ 即函数f(x)在(1－，1＋)上是减函数，‎ 即f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)，‎ 所以－1－1＋m＝，解得m＝2.‎ ‎10．(2016·杭州模拟)已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1,1]，则f(m)的最小值为________．‎ 答案　－4‎ 解析　f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0.‎ 即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.‎ 由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.‎ f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，‎ ‎∴对m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.‎ ‎11．设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．‎ ‎(1)确定a的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间与极值．‎ 解　(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，‎ 所以f′(x)＝2a(x－5)＋.‎ 令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，‎ 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y－16a＝(6－8a)(x－1)，‎ 由点(0,6)在切线上，可得6－16a＝8a－6，故a＝.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x>0)，‎ f′(x)＝x－5＋＝.‎ 令f′(x)＝0，解得x＝2或3.‎ 当03时，f′(x)>0，‎ 故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；‎ 当20)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切．‎ ‎(1)求实数a，b的值；‎ ‎(2)求函数f(x)在[，e]上的最大值．‎ 解　(1)f′(x)＝－2bx，‎ ‎∵函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，‎ ‎∴ 解得 ‎(2)由(1)知，f(x)＝ln x－x2，‎ f′(x)＝－x＝，‎ 当≤x≤e时，令f′(x)>0，得≤x<1，‎ 令f′(x)<0，得10，b∈R)．‎ ‎(1)设a＝1，b＝－1，求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若对任意的x>0，f(x)≥f(1)，试比较ln a与－2b的大小．‎ 解　(1)由f(x)＝ax2＋bx－ln x，x∈(0，＋∞)，‎ 得f′(x)＝.‎ ‎∵a＝1，b＝－1，‎ ‎∴f′(x)＝＝(x>0)．‎ 令f′(x)＝0，得x＝1.‎ 当01时，f′(x)>0，f(x)单调递增．‎ ‎∴f(x)的单调递减区间是(0,1)；‎ 单调递增区间是(1，＋∞)．‎ ‎(2)由题意可知，f(x)在x＝1处取得最小值，‎ 即x＝1是f(x)的极值点，‎ ‎∴f′(1)＝0，∴2a＋b＝1，即b＝1－2a.‎ 令g(x)＝2－4x＋ln x(x>0)，‎ 则g′(x)＝.‎ 令g′(x)＝0，得x＝.‎ 当00，g(x)单调递增，‎ 当x>时，g′(x)<0，g(x)单调递减，‎ ‎∴g(x)≤g()＝1＋ln ‎＝1－ln 4<0，‎ ‎∴g(a)<0，即2－4a＋ln a＝2b＋ln a<0，‎ 故ln a<－2b.‎