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- 2021-05-13 发布
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1.(2016·江苏镇江中学质检)已知函数y＝2sin ωx(ω>0)在上的最大值为，则ω的值是________.
答案 1
解析 由题意得>，即T>π，从而>π，
即0<ω<2，故函数在x＝时取得最大值，
即2sin(ω)＝，也即sin(ω)＝，
又ω∈(0，)，故ω＝，
解得ω＝1.
2.在△ABC中，AC·cos A＝3BC·cos B，且cos C＝，则A＝________.
答案 45°
解析 由题意及正弦定理得sin Bcos A＝3sin Acos B，
∴tan B＝3tan A，∴0°＜A<90°，0°0)在区间(－1，0)上有且仅有一条平行于y轴的对称轴，则ω的最大值是________.
答案
解析 令ωπx－＝kπ＋，则得x＝(k∈Z)，
∴当k＝－1时，得y轴左侧第1条对称轴为－；当k＝－2时，得y轴左侧第2条对称轴为－，因此－1<－<0且－1≥－，解得<ω≤，故ωmax＝.
题型一 三角函数的图象和性质
例1 已知函数f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos2，x∈R(其中ω>0).
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离均为，求函数y＝f(x)的单调增区间.
解 (1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＋sin ωx－cos ωx－(cos ωx＋1)
＝2(sin ωx－cos ωx)－1＝2sin(ωx－)－1.
由－1≤sin(ωx－)≤1，
得－3≤2sin(ωx－)－1≤1，
所以函数f(x)的值域为[－3，1].
(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π，
所以＝π，即ω＝2.
所以f(x)＝2sin(2x－)－1，
再由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).
所以函数y＝f(x)的单调增区间为
[kπ－，kπ＋](k∈Z).
思维升华 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sin t的图象求解.
已知函数f(x)＝5sin xcos x－5cos2x＋(其中x∈R)，求：
(1)函数f(x)的最小正周期；
(2)函数f(x)的单调区间；
(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心.
解 (1)因为f(x)＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
＝5(sin 2x－cos 2x)＝5sin(2x－)，
所以函数的周期T＝＝π.
(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)，
所以函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z).
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z).
(3)由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).
由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的对称中心为(＋，0)(k∈Z).
题型二 解三角形
例2 (2016·苏北四市期中)在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tan B＝2，tan C＝3.
(1)求角A的大小；
(2)若c＝3，求b的长.
解 (1)因为tan B＝2，tan C＝3，A＋B＋C＝π，
所以tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)
＝－＝－＝1，
又A∈(0，π)，所以A＝.
(2)因为tan B＝＝2，且sin2B＋cos2B＝1，
又B∈(0，π)，所以sin B＝，
同理可得，sin C＝.
由正弦定理得b＝＝＝2.
思维升华 根据三角形中的已知条件，
选择正弦定理或余弦定理求解；在做有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，正确对结果进行取舍.
(2016·无锡期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin A＝acos B.
(1)求角B的值；
(2)若cos Asin C＝，求角A的值.
解 (1)因为＝，所以bsin A＝asin B，
又bsin A＝acos B，
所以acos B＝asin B，
即tan B＝，所以角B＝.
(2)因为cos Asin C＝，
所以cos Asin(－A)＝，
cos A(cos A＋sin A)＝cos2A＋sin A·cos A
＝·＋sin 2A＝，
所以sin(2A＋)＝－，
因为0c.已知·＝2，cos B＝，b＝3，求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值.
解 (1)由·＝2，得c·acos B＝2.
又cos B＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B.
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.
解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.
因为a>c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，sin B＝
＝ ＝，
由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.
因为a＝b>c，所以C为锐角，
因此cos C＝＝ ＝.
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C
＝×＋×＝.
1.已知函数f(x)＝Asin(x＋)，x∈R，且f()＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈(0，)，求f(－θ).
解 (1)∵f()＝Asin(＋)＝Asin
＝A＝，∴A＝.
(2)由(1)知f(x)＝sin(x＋)，
故f(θ)＋f(－θ)
＝sin(θ＋)＋sin(－θ＋)＝，
∴[(sin θ＋cos θ)＋(cos θ－sin θ)]＝，
∴cos θ＝，∴cos θ＝.
又θ∈(0，)，∴sin θ＝＝，
∴f(－θ)＝sin(π－θ)＝sin θ＝.
2.(2016·山东)设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值.
解 (1)f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2
＝2sin2x－(1－2sin xcos x)
＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1
＝sin 2x－cos 2x＋－1
＝2sin＋－1.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，
把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变).
得到y＝2sin＋－1的图象.
再把得到的图象向左平移个单位，
得到y＝2sin x＋－1的图象，
即g(x)＝2sin x＋－1.
所以g＝2sin ＋－1＝.
3.(2016·江苏南京学情调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A，B.若点A的横坐标是，点B的纵坐标是.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)求α＋β的值.
解 (1)因为锐角α的终边与单位圆交于点A，且点A的横坐标是，
所以，由任意角的三角函数的定义可知，cos α＝，
从而sin α＝＝.
因为钝角β的终边与单位圆交于点B，且点B的纵坐标是，
所以sin β＝，从而cos β＝－＝－.
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×(－)＋×＝－.
(2)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×(－)＋×＝.
因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈(，)，
所以α＋β＝.
4.(2016·江苏仪征中学期初测试)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，－<φ<，x∈R)的部分图象如图所示.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)当x∈[－，]时，求f(x)的取值范围.
解 (1)由图象知，A＝2，
又＝－＝，ω>0，
所以T＝2π＝，得ω＝1.
所以f(x)＝2sin(x＋φ)，将点(，2)代入，
得＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
即φ＝＋2kπ(k∈Z)，
又－<φ<，所以φ＝.
所以f(x)＝2sin(x＋).
(2)当x∈[－，]时，x＋∈[－，]，
所以sin(x＋)∈[－，1]，即f(x)∈[－，2].
5.已知向量a＝(ksin ，cos2)，b＝(cos ，－k)，实数k为大于零的常数，函数f(x)＝a·b，x∈R，且函数f(x)的最大值为.
(1)求k的值；
(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若
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