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  • 2021-05-13 发布

2018版高考数学(理)(苏教版,江苏专用)大一轮教师文档讲义:高考专题突破二-三角函数与平面向量问题

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‎ ‎ ‎1.(2016·江苏镇江中学质检)已知函数y=2sin ωx(ω>0)在上的最大值为,则ω的值是________.‎ 答案 1‎ 解析 由题意得>,即T>π,从而>π,‎ 即0<ω<2,故函数在x=时取得最大值,‎ 即2sin(ω)=,也即sin(ω)=,‎ 又ω∈(0,),故ω=,‎ 解得ω=1.‎ ‎2.在△ABC中,AC·cos A=3BC·cos B,且cos C=,则A=________.‎ 答案 45°‎ 解析 由题意及正弦定理得sin Bcos A=3sin Acos B,‎ ‎∴tan B=3tan A,∴0°<A<90°,0°0)在区间(-1,0)上有且仅有一条平行于y轴的对称轴,则ω的最大值是________.‎ 答案  解析 令ωπx-=kπ+,则得x=(k∈Z),‎ ‎∴当k=-1时,得y轴左侧第1条对称轴为-;当k=-2时,得y轴左侧第2条对称轴为-,因此-1<-<0且-1≥-,解得<ω≤,故ωmax=.‎ 题型一 三角函数的图象和性质 例1 已知函数f(x)=sin(ωx+)+sin(ωx-)-2cos2,x∈R(其中ω>0).‎ ‎(1)求函数f(x)的值域;‎ ‎(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离均为,求函数y=f(x)的单调增区间.‎ 解 (1)f(x)=sin ωx+cos ωx+sin ωx-cos ωx-(cos ωx+1)‎ ‎=2(sin ωx-cos ωx)-1=2sin(ωx-)-1.‎ 由-1≤sin(ωx-)≤1,‎ 得-3≤2sin(ωx-)-1≤1,‎ 所以函数f(x)的值域为[-3,1].‎ ‎(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知,y=f(x)的周期为π,‎ 所以=π,即ω=2.‎ 所以f(x)=2sin(2x-)-1,‎ 再由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),‎ 解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).‎ 所以函数y=f(x)的单调增区间为 ‎[kπ-,kπ+](k∈Z).‎ 思维升华 三角函数的图象与性质是高考考查的重点,通常先将三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,然后将t=ωx+φ视为一个整体,结合y=sin t的图象求解.‎ ‎ 已知函数f(x)=5sin xcos x-5cos2x+(其中x∈R),求:‎ ‎(1)函数f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)函数f(x)的单调区间;‎ ‎(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心.‎ 解 (1)因为f(x)=sin 2x-(1+cos 2x)+ ‎=5(sin 2x-cos 2x)=5sin(2x-),‎ 所以函数的周期T==π.‎ ‎(2)由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),‎ 得kπ-≤x≤kπ+ (k∈Z),‎ 所以函数f(x)的单调增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).‎ 由2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z),‎ 得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),‎ 所以函数f(x)的单调减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).‎ ‎(3)由2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),‎ 所以函数f(x)的对称轴方程为x=+(k∈Z).‎ 由2x-=kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z),‎ 所以函数f(x)的对称中心为(+,0)(k∈Z).‎ 题型二 解三角形 例2 (2016·苏北四市期中)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且tan B=2,tan C=3.‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)若c=3,求b的长.‎ 解 (1)因为tan B=2,tan C=3,A+B+C=π,‎ 所以tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)‎ ‎=-=-=1,‎ 又A∈(0,π),所以A=.‎ ‎(2)因为tan B==2,且sin2B+cos2B=1,‎ 又B∈(0,π),所以sin B=,‎ 同理可得,sin C=.‎ 由正弦定理得b===2.‎ 思维升华 根据三角形中的已知条件,‎ 选择正弦定理或余弦定理求解;在做有关角的范围问题时,要注意挖掘题目中隐含的条件,正确对结果进行取舍.‎ ‎ (2016·无锡期中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin A=acos B.‎ ‎(1)求角B的值;‎ ‎(2)若cos Asin C=,求角A的值.‎ 解 (1)因为=,所以bsin A=asin B,‎ 又bsin A=acos B,‎ 所以acos B=asin B,‎ 即tan B=,所以角B=.‎ ‎(2)因为cos Asin C=,‎ 所以cos Asin(-A)=,‎ cos A(cos A+sin A)=cos2A+sin A·cos A ‎=·+sin 2A=,‎ 所以sin(2A+)=-,‎ 因为0c.已知·=2,cos B=,b=3,求:‎ ‎(1)a和c的值;‎ ‎(2)cos(B-C)的值.‎ 解 (1)由·=2,得c·acos B=2.‎ 又cos B=,所以ac=6.‎ 由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.‎ 又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.‎ 解得a=2,c=3或a=3,c=2.‎ 因为a>c,所以a=3,c=2.‎ ‎(2)在△ABC中,sin B= ‎= =,‎ 由正弦定理,得sin C=sin B=×=.‎ 因为a=b>c,所以C为锐角,‎ 因此cos C== =.‎ 于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C ‎=×+×=.‎ ‎1.已知函数f(x)=Asin(x+),x∈R,且f()=.‎ ‎(1)求A的值;‎ ‎(2)若f(θ)+f(-θ)=,θ∈(0,),求f(-θ).‎ 解 (1)∵f()=Asin(+)=Asin ‎=A=,∴A=.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=sin(x+),‎ 故f(θ)+f(-θ)‎ ‎=sin(θ+)+sin(-θ+)=,‎ ‎∴[(sin θ+cos θ)+(cos θ-sin θ)]=,‎ ‎∴cos θ=,∴cos θ=.‎ 又θ∈(0,),∴sin θ==,‎ ‎∴f(-θ)=sin(π-θ)=sin θ=.‎ ‎2.(2016·山东)设f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g的值.‎ 解 (1)f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2‎ ‎=2sin2x-(1-2sin xcos x)‎ ‎=(1-cos 2x)+sin 2x-1‎ ‎=sin 2x-cos 2x+-1‎ ‎=2sin+-1.‎ 由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),‎ 得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).‎ 所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).‎ ‎(2)由(1)知f(x)=2sin+-1,‎ 把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变).‎ 得到y=2sin+-1的图象.‎ 再把得到的图象向左平移个单位,‎ 得到y=2sin x+-1的图象,‎ 即g(x)=2sin x+-1.‎ 所以g=2sin +-1=.‎ ‎3.(2016·江苏南京学情调研)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A,B.若点A的横坐标是,点B的纵坐标是.‎ ‎(1)求cos(α-β)的值;‎ ‎(2)求α+β的值.‎ 解 (1)因为锐角α的终边与单位圆交于点A,且点A的横坐标是,‎ 所以,由任意角的三角函数的定义可知,cos α=,‎ 从而sin α==.‎ 因为钝角β的终边与单位圆交于点B,且点B的纵坐标是,‎ 所以sin β=,从而cos β=-=-.‎ cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β ‎=×(-)+×=-.‎ ‎(2)sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β ‎=×(-)+×=.‎ 因为α为锐角,β为钝角,故α+β∈(,),‎ 所以α+β=.‎ ‎4.(2016·江苏仪征中学期初测试)设函数f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,-<φ<,x∈R)的部分图象如图所示. ‎ ‎(1)求函数y=f(x)的解析式;‎ ‎(2)当x∈[-,]时,求f(x)的取值范围.‎ 解 (1)由图象知,A=2,‎ 又=-=,ω>0,‎ 所以T=2π=,得ω=1.‎ 所以f(x)=2sin(x+φ),将点(,2)代入,‎ 得+φ=+2kπ(k∈Z),‎ 即φ=+2kπ(k∈Z),‎ 又-<φ<,所以φ=.‎ 所以f(x)=2sin(x+).‎ ‎(2)当x∈[-,]时,x+∈[-,],‎ 所以sin(x+)∈[-,1],即f(x)∈[-,2].‎ ‎5.已知向量a=(ksin ,cos2),b=(cos ,-k),实数k为大于零的常数,函数f(x)=a·b,x∈R,且函数f(x)的最大值为.‎ ‎(1)求k的值;‎ ‎(2)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若