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- 2021-05-13 发布
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绝密★启用前
2014年高考全国2卷理科数学试题(含解析)
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、选择题(题型注释)
1.设复数,在复平面内的对应点关于虚轴对称,,则( )
A.- 5 B.5 C.- 4+ i D.- 4 - i
2.设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则ab = ( )
A.1 B.2 C.3 D.5
3.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC= ,则AC=( )
A.5 B. C.2 D.1
4.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45
5.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )
A. B. C. D.
6.执行右图程序框图,如果输入的x,t均为2,则输出的S= ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
7.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a= ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8.设F为抛物线C:的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则
△OAB的面积为( )
A. B. C. D.
9.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,
则BM与AN所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
10.设函数.若存在的极值点满足,则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
第II卷(非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题(题型注释)
11.的展开式中,的系数为15,则a=________.(用数字填写答案)
12. 函数的最大值为_________.
13.已知偶函数在单调递减,.若,则的取值范围是__________.
14.设点M(,1),若在圆O:上存在点N,使得∠OMN=45°,则的取值范围是________.
评卷人
得分
三、解答题(题型注释)
15.已知数列满足=1,.
(1)证明是等比数列,并求的通项公式;
(2)证明:.
16.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1)证明:PB∥平面AEC;
(2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积.
17.某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,
18.设,分别是椭圆的左右焦点,M是C上一点且与x轴垂直,直线与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且,求a,b.
19.已知函数=.
(1)讨论的单调性;
(2)设,当时,,求的最大值;
(3)已知,估计ln2的近似值(精确到0.001)
20.如图,P是O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交O于点E。
证明:(1)BE=EC;
(2)ADDE=2
21.在直角坐标系xoy中,以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为
,
.
(1)求C的参数方程;
(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
22.设函数=
(1)证明:2;
(2)若,求的取值范围.
参考答案
1.A
【解析】由题意知:,所以-5,故选A。
考点:本小题主要考查复数的乘法,复数的几何意义,复数是高考的重点,年年必考,常常以选择或填空题的形式出现,难度不大,熟练基础知识是关键。
2.A
【解析】因为=10,,两式相加得:,所以,故选A.
考点:本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量知识,熟练基础知识与基本题型是解答好本类题目的关键。
3.B
【解析】由面积公式得:,解得,所以或,当时,
由余弦定理得:=1,所以,又因为AB=1,BC=,所以此时为等腰直角三角形,不合题意,舍去;所以,由余弦定理得:=5,所以,故选B.
考点:本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式,考查解三角形的基础知识.
4.A
【解析】设A=“某一天的空气质量为优良”,B=“随后一天的空气质量为优良”,则,故选A.
考点:本小题主要考查条件概率的求法,熟练概率的基础知识是解答好本类题目的关键.
5.C
【解析】因为加工前的零件半径为3,高为6,所以体积,又因为加工后的零件,左半部为小圆柱,半径为2,高4,右半部为大圆柱,半径为3,高为2,所以体积,所以削掉部分的体积与原体积之比为,故选C.
考点:本小题主要考查立体几何中的三视图,考查同学们的空间想象能力.
6.D
【解析】由题意知:当时,,;当时,,;当时,输出S=7,故选D。
考点:本小题主要考查程序框图的基础知识,程序框图是新课标新增内容,是高考的重点,年年必考,主要以客观题的形式出现,经常也数列、不等式、函数等知识相结合,在知识的交汇处出题,应熟练这部分的基础知识.
7.B
【解析】画出不等式组表示的平面区域,可知区域为三角形,平移直线,可知当经过两条直线
与的交点A(5,2)时,取得最大值8,故选B.
考点:本小题主要考查在约束条件下的简单的目标函数的最值问题,正确画图与平移直线是解答这类问题的关键.
8.D
【解析】由题意可知:直线AB的方程为,代入抛物线的方程可得:,设A、B,则所求三角形的面积为=,故选D.
考点:本小题主要考查直线与抛物线的位置关系,考查两点间距离公式等基础知识,考查同学们分析问题与解决问题的能力.
9.C
【解析】以C为原点,直线CA为x轴,直线CB为y轴,直线为轴,则设CA=CB=1,则
,,A(1,0,0),,故,,所以,故选C.
考点:本小题主要考查利用空间向量求线线角,考查空间向量的基本运算,考查空间想象能力等数学基本能力,考查分析问题与解决问题的能力.
10.C
【解析】由题意知:的极值为,所以,因为,
所以,所以即,所以,即
3,而已知,所以3,故,解得或,故选C.
考点:本小题主要考查利用导数研究的极值,考查三角函数,考查一元二次不等式的解法,考查分析问题与解决问题的能力.
11.
【解析】因为,所以令,解得,所以=15,解得.
考点:本小题主要考查二项式定理的通项公式,求特定项的系数,题目难度不大,属于中低档.
12.1
【解析】由题意知:=
==
==,即,因为,所以的最大值为1.
考点:本小题主要考查两角和与差的三角函数、三角函数的最值的求解,熟练公式是解答好本类题目的关键.
13.
【解析】因为是偶函数,所以不等式,又因为在上单调递减,所以,解得.
考点:本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性,考查绝对值不等式的解法,熟练基础知识是关键.
14.
【解析】由题意知:直线MN与圆O有公共点即可,即圆心O到直线MN的距离小于等于1即可,如图,
过OA⊥MN,垂足为A,在中,因为∠OMN=45,所以=
,
解得,因为点M(,1),所以,解得,故的取值范围是
.
考点:本小题主要考查考查直线与圆的位置关系,考查数形结合能力和逻辑思维能力,考查同学们分析问题和解决问题的能力,有一定的区分度.
15.
【解析】试题分析:本题第(1)问,证明等比数列,可利用等比数列的定义来证明,之后利用等比数列,求出其通项公式;对第(2)问,可先由第(1)问求出,然后转化为等比数列求和,放缩法证明不等式.
试题解析:(1)证明:由得,所以,所以是等比数列,首项为,公比为3,所以,解得.
(2)由(1)知:,所以,
因为当时,,所以,于是=,
所以.
【易错点】对第(1)问,构造数列证明等比数列不熟练;对第(2)问,想不到当时,,而找不到思路,容易想到用数学归纳法证明而走弯路.
考点:本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识,考查同学们的逻辑推理能力,考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一,熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键.
16.
【解析】试题分析:本题第(1)问,证明直线与平面平行,可利用线面平行的判定定理来证明;对第(2)问,可先建立空间直角坐标系,由空间向量的坐标运算计算二面角,从而计算出AB,然后由棱锥的体积公式求出三棱锥的体积.
试题解析:(1)证明:设O为AC与BD交点,连结OE,则由矩形ABCD知:O为BD的中点,因为E是BD的中点,所以OE∥PB,因为OE面AEC,PB面AEC,所以PB∥平面AEC。
(2)以A为原点,直线AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,设AB=m,则
是平面AED的一个法向量,设是平面AEC的法向量,则
,解得,,所以令,得,所以
=,因为二面角的大小与其两个半平面的两个法向量的夹角相等哉互补,所以=,解得,因为E是PD的中点,所以三棱锥E-ACD的高为,所以三棱锥E-ACD的体积为==.
【易错点】对第(1)问,证明线面平行时,容易漏掉条件;对第(2)问,二面角的大小与两个法向量夹角相等或互补的关系,一部分同学容易得出它们相等;并且计算法向量可能出现错误.
考点:本小题考查空间中直线与平面平行等位置关系的证明、二面角的求解,空间几何体的体积的求法,考查利用空间向量知识解决立体几何的能力,考查同学们的逻辑推理能力、空间想象能力,考查分析问题以及解决问题的能力.
17.(1);(2)在2007至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入在逐年增加,平均每年增加千元;元.
【解析】试题分析:本题第(1)问,由给出的与公式求出与,从而求出回归直线方程;对第(2)问,由第(1)问求出的回归直线方程进行预测,令,可得的近似值.
试题解析:(1)由题意知,,,所以
=,
所以==,所以线性回归方程为。
(2)由(1)中的线性回归方程可知,,所以在2007至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入在逐年增加,平均每年增加千元.
令得:,故预测该地区在2015年农村居民家庭人均纯收入为元。
【易错点】本题的易错点是第(1)问计算错误,第(2)问在2007至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,不知道如何回答.
考点:本小题主要考查线性回归方程的解法等基础知识,属中档题目,考查同学们分析问题与解决问题的能力.
18.(1);(2),.
【解析】试题分析:本题第(1)问,可结合与x轴垂直,由勾股定理及椭圆定义求出椭圆的离心率;对第(2)问,观察到是三角形的中位线,然后结合向量的坐标运算及椭圆方程,可求出a,b.
试题解析:(1)由题意知,,所以,由勾股定理可得:,由椭圆定义可得:=,解得C的离心率为。
(2)由题意,原点O为的中点,∥y轴,所以直线与y轴的交点D(0,2)是线段的中点,故,即,由得,设,由题意知,则
,即,代入C的方程得,将及代入得:,解得,.
【易错点】对第(1)问,较容易,大部分同学都能计算出;对第(2)问,一部分同学考虑不到中位线,
容易联立方程组求解而走弯路,并且容易出现计算失误.
考点:本小题考查椭圆的几何意义(离心率的求解)、椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系,考查数学中的待定系数法、设而不求思想
,考查同学们的计算能力以及分析问题、解决问题的能力.圆锥曲线是高考的热点问题,年年必考,熟练本部分的基础知识是解答好本类问题的关键.
19.(1)函数在R上是增函数;(2)2;(3)
【解析】试题分析:本题第(1)问,判断函数的单调,关键是判断导数的正数;对第(2)问,可构造函数,对(3)问,可根据的取值讨论.
试题解析:(1)因为,当且仅当时等号成立,所以函数在R上是增函数;
(2)因为=,
所以=.
(1)当时, ,等号仅当时成立,所以在R上单调递增,而,所以对任意,;
(2)当时,若满足,即时,,而,
因此当时,,
综上,的最大值为2.
(3)由(2)知,,
当时,,;
当时,,,
,所以的近似值为.
【易错点】对第(Ι)问,函数单调性的判断,容易;对第(2)问,考虑不到针对去讨论;对第(3)问,
找不到思路.
考点:本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识,综合性较强,考查函数与方程、分类讨论等数学思想方法,考查同学们分析问题、解决问题的能力,熟练函数与导数的基础知识以及基本题型是解答好本类题目的关键.
20.(1)见解析 (2)见解析
【解析】试题分析:本题第(1)问,先由已知得出PA=PD,然后由对应角相等,拆分角得出结论;对第(2)问,可由切割线定理得出,,
然后由相交弦定理,得出结论.
试题解析:(1)连结AB,AC,由题意知PA=PD,故,因为,
,,所以,从而,因此BE=EC.
(2)由切割线定理得:,因为,所以,,
由相交弦定理得:==
=,所以等式成立.
【易错点】对第(1)问,不容易找到思路;第(2)问中不会灵活应用已知条件而出错.
考点:本小题主要考查圆的切线、割线、相交弦定理、圆内接四边形等平面几何知识,考查数形结合思想,考查分析问题、解决问题的能力.
21.(1)是参数,;(2)
【解析】试题分析:本题第(1)问,由极坐标与普通方程的互化关系可得出C的普通方程为:,从而写出C的参数方程为是参数,.;对第(2)问,可先设D点坐标为,然后由C在点D处的切线与垂直,得出,从而得出,写出D点坐标.
试题解析:(1)设点M是C上任意一点,则由可得C的普通方程为:,
即,
所以C的参数方程为是参数,.
(2)设D点坐标为,由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆,
因为C在点D处的切线与垂直,所以直线GD与的斜率相同,,,
故D点的直角坐标为,即.
【易错点】对第(1)问,极坐标与普通方程、参数方程之间的互化,有一部分学生不熟练而出错;对第(2)问,不理解题意而出错.
考点:本小题主要考查坐标系与参数方程的基础知识,熟练这部分的基础知识是解答好本类题目的关键.
22.(2)
【解析】试题分析:本题第(1)问,可由绝对值不等式的几何意义得出,从而得出结论;对第(2)问,由去掉一个绝对值号,然后去掉另一个绝对值号,解出的取值范围.
试题解析:(1)证明:由绝对值不等式的几何意义可知:,当且仅当时,取等号,所以.
(2)因为,所以
,解得:.
【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.
考点:本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.
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