2020版高考数学二轮复习 专题三 三角 专题突破练10 三角变换与解三角形 文 9页

专题突破练10　三角变换与解三角形 ‎1.(2018北京卷,文16)已知函数f(x)=sin2x+sin xcos x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)若f(x)在区间上的最大值为,求m的最小值.‎ ‎2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.‎ ‎(1)求c;‎ ‎(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.‎ 9‎ ‎3.(2018河南郑州三模,文17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且acos C=(2b-c)cos A.‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.‎ ‎4.(2018河南六市联考二,文17)已知f(x)=12sin·cos x-3,x∈.‎ ‎(1)求f(x)的最大值和最小值;‎ ‎(2)CD为△ABC的内角平分线,已知AC=f(x)max,BC=f(x)min,CD=2,求∠C.‎ ‎5.(2018山东潍坊三模,文17)已知函数f(x)=sin2x-cos2x+2sin xcos x(x∈R).‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ 9‎ ‎(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f(A)=2,c=5,cos B=,求△ABC中线AD的长.‎ ‎6.已知在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD的面积是△ADC面积的2倍.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.‎ ‎7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知4cos2-4sin Bsin C=3.‎ ‎(1)求A;‎ ‎(2)若(bc-4)cos A+accos B=a2-b2,求△ABC的面积.‎ 9‎ ‎8.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边.若acos B=3,bcos A=1,且A-B=,‎ ‎(1)求边c的长;‎ ‎(2)求角B的大小.‎ 参考答案 专题突破练10　三角变换与解三角形 ‎1.解 (1)因为f(x)=sin 2x=sin 2x-cos 2x+=sin2x-+,所以f(x)的最小正周期为T==π.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=sin.因为x∈,‎ 9‎ 所以2x-.‎ 要使f(x)在上的最大值为,即sin上的最大值为1.‎ 所以‎2m-,即m≥.‎ 所以m的最小值为.‎ ‎2.解 (1)由已知可得tan A=-,所以A=.在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+‎2c-24=0,解得c=-6(舍去),c=4.‎ ‎(2)由题设可得∠CAD=,‎ 所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.故△ABD面积与△ACD面积的比值为=1.又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2,‎ 所以△ABD的面积为.‎ ‎3.解 (1)由正弦定理可得sin Acos C=2sin Bcos A-sin Ccos A,‎ 从而可得sin(A+C)=2sin Bcos A,‎ 即sin B=2sin Bcos A,‎ 所以cos A=.‎ 因为A为三角形的一个内角,‎ 所以A=.‎ 9‎ ‎(2)由余弦定理得4=b2+c2-2bc·≥2bc-bc,所以bc≤4(2+),‎ 所以S=bcsin A=2+.‎ ‎4.解 (1)f(x)=12sin x××cos x+12cos x×cos x-3=3sin 2x+3(1+cos 2x)-3=6sin.‎ ‎∵f(x)在上单调递增,在上单调递减,‎ ‎∴f(x)max=6,f(x)min=3.‎ ‎(2)在△ADC中,,‎ 在△BDC中,.‎ ‎∵sin∠ADC=sin∠BDC,AC=6,BC=3,∴AD=2BD.在△BCD中,BD2=17-12cos,在△ACD中,AD2=44-24cos=68-48cos,‎ ‎∴cos,即C=.‎ ‎5.解 (1)f(x)=-cos 2x+sin 2x=2sin,T==π,即函数f(x)的最小正周期为π.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=2sin,‎ ‎∵在△ABC中,f(A)=2,‎ ‎∴sin=1.‎ 9‎ ‎∴‎2A-,∴A=.‎ ‎∵cos B=,∴sin B=,‎ ‎∴sin C=sin(A+B)=,在△ABC中,由正弦定理,得,‎ ‎∴a=7.∴BD=.‎ 在△ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB×BD×cos B=52+-2×5×,∴AD=.‎ ‎6.解 (1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD,S△ADC=AC·ADsin∠CAD.‎ 因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=‎2AC.‎ 由正弦定理可得.‎ ‎(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=.‎ 在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,　①‎ AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.　②‎ 因为cos∠ADB=-cos∠ADC,‎ 所以①+2×②得 AB2+‎2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=‎2AC,所以AC=1.‎ ‎7.解 (1)4×-4sin Bsin C=2+2cos Bcos C-2sin Bsin C=2+2cos(B+C)=2-2cos A=3,cos A=-,∵0