高考理科数学全国卷Ⅰ试题及答案河北河南安徽山西海南 9页

‎2005年高考理科数学全国卷Ⅰ试题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页第Ⅱ卷3到10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第Ⅰ卷 注意事项：‎ ‎1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上 ‎2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号不能答在试题卷上 ‎3．本卷共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 参考公式：‎ 如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式 ‎ ‎ 如果事件A、相互独立，那么 其中R表示球的半径 ‎ 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 ‎ n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 一、选择题 ‎（1）复数=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）设为全集，是的三个非空子集，且，则下面论断正确的是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（3）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（4）已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率k的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）当时，函数的最小值为 ‎（A）2 （B） （C）4 （D）‎ ‎（8）设，二次函数的图像为下列之一 ‎ ‎ 则的值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（9）设，函数，则使的的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（10）在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为 ‎（A） （B） （C） （D）2‎ ‎（11）在中，已知，给出以下四个论断：‎ ‎① ②‎ ‎③ ④‎ 其中正确的是 ‎（A）①③ （B）②④ （C）①④ （D）②③‎ ‎（12）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有 ‎（A）18对 （B）24对 （C）30对 （D）36对 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上 ‎2．答卷前将密封线内的项目填写清楚 ‎3．本卷共10小题，共90分 ‎ 二、本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上 ‎ ‎（13）若正整数m满足，则m = ‎ ‎（14）的展开式中，常数项为 （用数字作答）‎ ‎（15）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m = ‎ ‎（16）在正方形中，过对角线的一个平面交于E，交于F，则 ① 四边形一定是平行四边形 ② 四边形有可能是正方形 ③ 四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形 ④ 四边形有可能垂直于平面 以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎ ‎（17）（本大题满分12分）‎ 设函数图像的一条对称轴是直线 ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调增区间；‎ ‎（Ⅲ）证明直线于函数的图像不相切 ‎（18）（本大题满分12分）‎ 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点 ‎（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；‎ ‎（Ⅱ）求AC与PB所成的角；‎ ‎（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小 ‎（19）（本大题满分12分）‎ 设等比数列的公比为，前n项和 ‎（Ⅰ）求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设，记的前n项和为，试比较与的大小 ‎（20）（本大题满分12分）‎ ‎9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种; 若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望（精确到）‎ ‎（21）（本大题满分14分）‎ 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线 ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值 ‎（22）（本大题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）设函数，求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）设正数满足，证明 ‎ ‎ ‎2005年高考理科数学全国卷Ⅰ试题及答案 参考答案 一、 选择题：1．A 2．C 3．B 4．C 5．A 6．D ‎ ‎7．C 8．B 9．C 10．B 11．B 12．D 二、填空题： 13．155 14．672 15．1 16．①③④‎ 三、解答题 ‎17．本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分 解：（Ⅰ）的图像的对称轴，‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 由题意得 所以函数 ‎（Ⅲ）证明：∵ ‎ 所以曲线的切线斜率的取值范围为[-2,2]，‎ 而直线的斜率为，‎ 所以直线于函数的图像不相切 ‎18．本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力满分12分 方案一：‎ ‎（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，‎ ‎∴由三垂线定理得：CD⊥PD.‎ 因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，‎ ‎∴CD⊥面PAD.‎ 又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD. ‎ ‎（Ⅱ）解：过点B作BE//CA，且BE=CA，‎ 则∠PBE是AC与PB所成的角.‎ 连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，‎ 所以四边形ACBE为正方形. 由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°‎ 在Rt△PEB中BE=，PB=， ‎ ‎（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN.‎ 在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，‎ ‎∴△AMC≌△BMC,‎ ‎∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角 ‎∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，‎ 在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.‎ 在等腰三角形AMC中，AN·MC=，‎ ‎. ∴AB=2，‎ 故所求的二面角为 方法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，.‎ ‎（Ⅰ）证明：因 又由题设知AD⊥DC，且AP与与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD.‎ 又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD ‎（Ⅱ）解：因 由此得AC与PB所成的角为 ‎（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使 要使 为所求二面角的平面角.‎ ‎19．（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎20．（Ⅰ）‎ ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ P ‎0.670‎ ‎0.287‎ ‎0.041‎ ‎0.002‎ 的数学期望为:‎ ‎21．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学 知识解决问题及推理的能力. 满分12分 ‎（1）解：设椭圆方程为 则直线AB的方程为，代入，化简得 ‎.‎ 令A（），B），则 由与共线，得 又，‎ 即，所以，‎ 故离心率 ‎（II）证明：（1）知，所以椭圆可化为 设，由已知得 ‎ 在椭圆上，‎ 即①‎ 由（1）知 ‎22．本小题考查数学归纳法及导数应用知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力　满分12分 ‎（Ⅰ）解：对函数求导数：‎ ‎　　　‎ ‎　　　‎ 于是， ‎ 当时，，在区间是减函数，‎ 当时，，在区间是增函数，‎ 所以时取得最小值，，‎ ‎（II）用数学归纳法证明 ‎(ⅰ)当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立 ‎(ⅱ)假设当n=k时命题成立　‎ 即若正数满足，‎ 则 当n=k+1时，若正数满足，‎ 令 ‎，，……，‎ 则为正数，且，‎ 由归纳假定知 ‎　‎ ‎　　　　　　　　　　　①‎ 同理，由，可得 ‎　　　②‎ 综合①、②两式 ‎　‎ ‎　　　‎ ‎　　　‎ ‎　　　‎ 即当n=k+1时命题也成立 根据(ⅰ)、(ⅱ)可知对一切正整数n命题成立