2020-2021学年高考数学（理）考点：等差数列及其前n项和 22页

‎2020-2021学年高考数学（理）考点：等差数列及其前n项和 ‎1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．‎ ‎2．等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.‎ ‎3．等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．‎ ‎4．等差数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．‎ ‎(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.‎ ‎(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.‎ ‎(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．‎ ‎(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．‎ ‎(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．‎ ‎(7)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差为d.‎ ‎5．等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d.‎ ‎6．等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝n2＋n.‎ 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．‎ ‎7．等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．‎ 概念方法微思考 ‎1．“a，A，b是等差数列”是“A＝”的什么条件？‎ 提示　充要条件．‎ ‎2．等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？‎ 提示　不一定．当公差d＝0时，Sn＝na1，不是关于n的二次函数．‎ ‎1．（2020•北京）在等差数列中，，．记，2，，则数列　　‎ A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 ‎ C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 ‎【答案】B ‎【解析】设等差数列的公差为，由，，得，‎ ‎．‎ 由，得，而，‎ 可知数列是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值．‎ 可知，，，为最大项，‎ 自起均小于0，且逐渐减小．‎ 数列有最大项，无最小项．‎ 故选．‎ ‎2．（2020•新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）　　‎ A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块 ‎【答案】C ‎【解析】方法一：‎ 设每一层有环，由题意可知从内到外每环之间构成等差数列，且公差，，‎ 由等差数列的性质可得，，成等差数列，‎ 且，‎ 则，‎ 则，‎ 则三层共有扇面形石板块，‎ 方法二：‎ 设第环天石心块数为，第一层共有环，‎ 则是以9为首项，9为公差的等差数列，，‎ 设为的前项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，，，‎ 下层比中层多729块，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，解得，‎ ‎，‎ 故选．‎ ‎3．（2019•新课标Ⅰ）记为等差数列的前项和．已知，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设等差数列的公差为，‎ 由，，得 ‎，，‎ ‎，，‎ 故选．‎ ‎4．（2018•新课标Ⅰ）记为等差数列的前项和．若，，则　　‎ A． B． C．10 D．12‎ ‎【答案】B ‎【解析】为等差数列的前项和，，，‎ ‎，‎ 把，代入得 ‎．‎ 故选．‎ ‎5．（2017•全国）设等差数列的前项和为，，，则公差的取值范围是　　‎ A． B． C． D．，‎ ‎【答案】A ‎【解析】等差数列的前项和为，，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 解得．‎ 公差的取值范围是，．‎ 故选．‎ ‎6．（2017•新课标Ⅰ）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为　　‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】为等差数列的前项和，，，‎ ‎，‎ 解得，，‎ 的公差为4．‎ 故选．‎ ‎7．（2017•新课标Ⅲ）等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为　　‎ A． B． C．3 D．8‎ ‎【答案】A ‎【解析】等差数列的首项为1，公差不为0．，，成等比数列，‎ ‎，‎ ‎，且，，‎ 解得，‎ 前6项的和为．‎ 故选．‎ ‎8．（2020•上海）已知数列是公差不为零的等差数列，且，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，等差数列满足，即，变形可得，‎ 所以．‎ 故答案为：．‎ ‎9．（2020•新课标Ⅱ）记为等差数列的前项和．若，，则__________．‎ ‎【答案】25‎ ‎【解析】因为等差数列中，，，‎ 所以，‎ ‎，即，‎ 则．‎ 故答案为：25．‎ ‎10．（2020•海南）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将数列与的公共项从小到大排列得到数列，‎ 则是以1为首项、以6为公差的等差数列，‎ 故它的前项和为，‎ 故答案为：．‎ ‎11．（2019•新课标Ⅲ）记为等差数列的前项和．若，，则__________．‎ ‎【答案】100‎ ‎【解析】在等差数列中，由，，得，‎ ‎．‎ 则．‎ 故答案为：100．‎ ‎12．（2019•新课标Ⅲ）记为等差数列的前项和．若，，则__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】设等差数列的公差为，则 由，可得，，‎ ‎，‎ 故答案为：4．‎ ‎13．（2019•北京）设等差数列的前项和为，若，，则__________，的最小值为__________．‎ ‎【答案】0，‎ ‎【解析】设等差数列的前项和为，，，‎ ‎，‎ 解得，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 或时，取最小值为．‎ 故答案为：0，．‎ ‎14．（2019•江苏）已知数列是等差数列，是其前项和．若，，则的值是__________．‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】设等差数列的首项为，公差为，‎ 则，解得．‎ ‎．‎ 故答案为：16．‎ ‎15．（2018•北京）设是等差数列，且，，则的通项公式为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】是等差数列，且，，‎ ‎，‎ 解得，，‎ ‎．‎ 的通项公式为．‎ 故答案为：．‎ ‎16．（2018•上海）记等差数列的前项和为，若，，则__________．‎ ‎【答案】14‎ ‎【解析】等差数列的前项和为，，，‎ ‎，‎ 解得，，‎ ‎．‎ 故答案为：14．‎ ‎17．（2018•上海）已知是等差数列，若，则__________．‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】是等差数列，，‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎．‎ 故答案为：15．‎ ‎18．（2017•上海）若等差数列的前5项的和为25，则__________．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】等差数列的前5项的和为25，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故答案为：10．‎ ‎19．（2019•北京）设是等差数列，，且，，成等比数列．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）记的前项和为，求的最小值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）是等差数列，，且，，成等比数列．‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）由，，得：‎ ‎，‎ 或时，取最小值．‎ ‎20．（2019•新课标Ⅰ）记为等差数列的前项和．已知．‎ ‎（1）若，求的通项公式；‎ ‎（2）若，求使得的的取值范围．‎ ‎【解析】（1）根据题意，等差数列中，设其公差为，‎ 若，则，变形可得，即，‎ 若，则，‎ 则，‎ ‎（2）若，则，‎ 当时，不等式成立，‎ 当时，有，变形可得，‎ 又由，即，则有，即，则有，‎ 又由，则有，‎ 则有，‎ 综合可得：的取值范围是，．‎ ‎21．（2018•新课标Ⅱ）记为等差数列的前项和，已知，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求，并求的最小值．‎ ‎【解析】（1）等差数列中，，，‎ ‎，，解得，，‎ ‎；‎ ‎（2），，，‎ ‎，‎ 当时，前项的和取得最小值为．‎ 强化训练 ‎1．（2020•运城模拟）已知等差数列的前项和为，满足，且，，成等差数列，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】等差数列的前项和为，满足，且，，成等差数列，‎ ‎，，即，，‎ 故公差，，且．‎ ‎，，‎ 故选．‎ ‎2．（2020•东湖区校级模拟）在等差数列中，，表示数列的前项和，则　　‎ A．134 B．135 C．136 D．137‎ ‎【答案】B ‎【解析】在等差数列中，‎ ‎，‎ ‎，解得，‎ 表示数列的前项和，‎ 则．‎ 故选．‎ ‎3．（2020•青羊区校级模拟）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为　　‎ A．七尺五寸 B．六尺五寸 C．五尺五寸 D．四尺五寸 ‎【答案】D ‎【解析】从冬至日起，日影长构成数列，则数列是等差数列，‎ 则，，‎ 所以，‎ 解可得，，．‎ 故．‎ 故选．‎ ‎4．（2020•威海二模）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是　　‎ A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 ‎ B．春分和秋分两个节气的晷长相同 ‎ C．立冬的晷长为一丈五寸 ‎ D．立春的晷长比立秋的晷长短 ‎【答案】D ‎【解析】由题意知：设晷长为等差数列，公差为，则，，‎ 解得．‎ 相邻两个节气晷长减少的量为一尺，故正确．‎ 秋分的晷长为：，春分的晷长为：75，春分和秋分两个节气的晷长相同，故正确．‎ 立冬的晷长为：即为一丈五寸，故正确．‎ 立春的晷长与立秋的晷长都为30，故不正确．‎ 故选．‎ ‎5．（2020•运城模拟）已知为等差数列的前项和，若，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由等差数列的性质可得，‎ 解得．‎ 故选．‎ ‎6．（2020•福建模拟）等差数列的前项和为，若，是方程的两实根．则　　‎ A．10 B．5 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】等差数列的前项和为，若，是方程的两实根，‎ ‎，，‎ 则，‎ 故选．‎ ‎7．（2020•乌鲁木齐三模）已知等差数列满足，，则　　‎ A．20 B．24 C．26 D．28‎ ‎【答案】B ‎【解析】等差数列满足，，设公差为，‎ 相减可得，．‎ 则，‎ 故选．‎ ‎8．（2020•南平三模）已知等差数列的前项和为，且满足，，则下列结论正确的是　　‎ A．有最大值32 B．有最小值10 ‎ C．有最大值 D．有最大值30‎ ‎【答案】D ‎【解析】等差数列中，设公差为，由，‎ 得，‎ 所以；①‎ 又，即，‎ 化简得；②‎ 由①②解得，；‎ 所以；‎ 令，解得；‎ 所以或6时，取得最大值，‎ 此时．‎ 故选．‎ ‎9．（2020•焦作四模）设等差数列的前项和为，，，则　　‎ A． B． C．36 D．85‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意利用等差数列的性质得，‎ 解得，所以，，‎ 故选．‎ ‎10．（2020•重庆模拟）设等差数列的公差为，前项和为，若，且，则　　‎ A． B． C．1 D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】等差数列中，‎ ‎，‎ 所以；‎ 又，‎ 所以；‎ 所以，‎ 解得．‎ 故选．‎ ‎11．（2020•唐山二模）已知等差数列的前项和为，，，则　　‎ A． B．0 C．10 D．20‎ ‎【答案】C ‎【解析】等差数列中，，，‎ 所以．‎ 故选．‎ ‎12．（2020•天津模拟）已知在等差数列中，，，则　　‎ A．3 B．7 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由等差数列的性质，得，‎ 所以，公差，‎ 又，所以．‎ 故选．‎ ‎13．（2020•梅州一模）已知等差数列的公差不为零，且，，构成新的等差数列，为的前项和，若存在使得，则　　‎ A．10 B．11 C．12 D．13‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，，‎ ‎，‎ 整理可得，即，‎ ‎，‎ 故．‎ 故选．‎ ‎14．（2020•宁德二模）已知等差数列的前项和为，且，则　　‎ A．21 B．27 C．30 D．36‎ ‎【答案】B ‎【解析】等差数列的前项和为，且，，‎ 则，‎ 故选．‎ ‎15．（2020•天心区校级模拟）数列是等差数列，且，，那么　　‎ A． B． C．5 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，，‎ 数列是等差数列，设公差为．‎ ‎，解得．‎ ‎，解得．‎ 故选．‎ ‎16．（2020•河南模拟）记等差数列的前项和为，若，，则　　‎ A． B． C． D．0‎ ‎【答案】A ‎【解析】等差数列的前项和为，，，也成等差数列，‎ 又，，，，‎ 故选．‎ ‎17．（2020•哈尔滨三模）数列是等差数列，且，，那么　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设等差数列的公差为，且，，‎ ‎，，‎ ‎，解得．‎ ‎，‎ ‎．‎ 那么．‎ 故选．‎ ‎18．（2020•湖北模拟）已知首项为正的等差数列的前项和为，，若对于任意的，都有，则　　‎ A．8 B．9 C．8或9 D．9或10‎ ‎【答案】C ‎【解析】首项为正的等差数列的前项和为，，‎ ‎，‎ 整理得：，可得，‎ ‎，‎ 可得或9时，取得最大值．‎ 对于任意的，都有，则或9．‎ 故选．‎ ‎19．（2020•沙坪坝区校级模拟）设为等差数列的前项和，若，，则　　‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】为等差数列的前项和，，，‎ ‎，‎ 解得，，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎20．（2020•松原模拟）已知等差数列的前项和为，若，，则公差　　‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】等差数列中，，，‎ 则，解可得，，‎ 故选．‎ ‎21．（2020•三模拟）已知数列既是等差数列又是等比数列，首项，则它的前2020项的和等于　　‎ A．0 B．1 C．2020 D．2021‎ ‎【答案】C ‎【解析】数列既是等差数列又是等比数列，且首项，‎ ‎，即数列是常数列．‎ 它的前2020项的和等于2020．‎ 故选．‎ ‎22．（2020•运城模拟）等差数列的前项和为，且，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）当时，证明：．‎ ‎【解析】（1）设等差数列的公差为，，．‎ ‎，，‎ 联立解得：，，‎ ‎．‎ ‎（2）证明：当时，．‎ ‎，．‎ ‎，．‎ 综上可得：．‎ ‎23．（2020•安徽模拟）记为等差数列的前项和．已知，．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设．求数列的前项和．‎ ‎【解析】设等差数列的公差为．，．‎ ‎，，‎ 解得：，，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ），‎ 数列的前项和．‎ ‎24．（2020•汉中二模）设等差数列满足，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求的前项和及使得最小的的值．‎ ‎【解析】（1），‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2），‎ 由于是二次函数，‎ ‎，最小．‎ ‎25．（2020•肥城市模拟）已知公差不为零的等差数列的前项和为，，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求的最大值及对应的大小．‎ ‎【解析】（1）设的公差为，且 由，得，‎ 由，得，‎ 解得，．‎ 的通项公式为，．‎ ‎（2）由（1），得．‎ ‎，‎ 当或时，有最大值为20．‎ ‎26．（2020•吉林二模）已知等差数列的前项和为，且，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求使不等式成立的的最小值．‎ ‎【解析】（1）设等差数列的公差为，，．‎ ‎，．‎ 解得：，．‎ ‎．‎ ‎（2）不等式，即，化为：，解得．‎ 使不等式成立的的最小值为8．‎ ‎27．（2020•陕西二模）在等差数列中，已知，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求．‎ ‎【解析】因为是等差数列，，，所以 解得，．则，． ‎ ‎，，，，构成首项为，公差为9的等差数列．‎ 则． ‎ ‎28．（2019•吉安一模）已知等差数列的前项和为，，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求的最大值．‎ ‎【解析】（1），‎ 由得，得：，解得，‎ 故，‎ 由（1），得．‎ 由二次函数的性质，当时有最大值625．‎ ‎29．（2019•西安一模）记为等差数列的前项和，已知，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求，并求的最大值．‎ ‎【解析】（1）设的公差为，由题意得．‎ 由得．‎ 所以的通项公式为．‎ ‎（2）由（1）得．‎ 所以当时，取得最大值，最大值为4．‎ ‎30．（2019•兴庆区校级二模）已知等差数列中，，，求：‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）的前项和．‎ ‎【解析】（1）设的公差为，，，‎ 解得，或，．‎ ‎，，或，．‎ 解得或．‎ ‎，或．‎ ‎（2）由（1）可得：或．‎ 因此，或．‎