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  • 2021-05-13 发布

2020-2021学年高考数学(理)考点:等差数列及其前n项和

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‎2020-2021学年高考数学(理)考点:等差数列及其前n项和 ‎1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.‎ ‎2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是an=a1+(n-1)d.‎ ‎3.等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.‎ ‎4.等差数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).‎ ‎(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.‎ ‎(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.‎ ‎(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.‎ ‎(5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.‎ ‎(6)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…构成等差数列.‎ ‎(7)若{an}是等差数列,则也是等差数列,其首项与{an}的首项相同,公差为d.‎ ‎5.等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差为d,其前n项和Sn=或Sn=na1+d.‎ ‎6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn=n2+n.‎ 数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).‎ ‎7.等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.‎ 概念方法微思考 ‎1.“a,A,b是等差数列”是“A=”的什么条件?‎ 提示 充要条件.‎ ‎2.等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗?‎ 提示 不一定.当公差d=0时,Sn=na1,不是关于n的二次函数.‎ ‎1.(2020•北京)在等差数列中,,.记,2,,则数列  ‎ A.有最大项,有最小项 B.有最大项,无最小项 ‎ C.无最大项,有最小项 D.无最大项,无最小项 ‎【答案】B ‎【解析】设等差数列的公差为,由,,得,‎ ‎.‎ 由,得,而,‎ 可知数列是单调递增数列,且前5项为负值,自第6项开始为正值.‎ 可知,,,为最大项,‎ 自起均小于0,且逐渐减小.‎ 数列有最大项,无最小项.‎ 故选.‎ ‎2.(2020•新课标Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)  ‎ A.3699块 B.3474块 C.3402块 D.3339块 ‎【答案】C ‎【解析】方法一:‎ 设每一层有环,由题意可知从内到外每环之间构成等差数列,且公差,,‎ 由等差数列的性质可得,,成等差数列,‎ 且,‎ 则,‎ 则,‎ 则三层共有扇面形石板块,‎ 方法二:‎ 设第环天石心块数为,第一层共有环,‎ 则是以9为首项,9为公差的等差数列,,‎ 设为的前项和,则第一层、第二层、第三层的块数分别为,,,‎ 下层比中层多729块,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,解得,‎ ‎,‎ 故选.‎ ‎3.(2019•新课标Ⅰ)记为等差数列的前项和.已知,,则  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】设等差数列的公差为,‎ 由,,得 ‎,,‎ ‎,,‎ 故选.‎ ‎4.(2018•新课标Ⅰ)记为等差数列的前项和.若,,则  ‎ A. B. C.10 D.12‎ ‎【答案】B ‎【解析】为等差数列的前项和,,,‎ ‎,‎ 把,代入得 ‎.‎ 故选.‎ ‎5.(2017•全国)设等差数列的前项和为,,,则公差的取值范围是  ‎ A. B. C. D.,‎ ‎【答案】A ‎【解析】等差数列的前项和为,,,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 解得.‎ 公差的取值范围是,.‎ 故选.‎ ‎6.(2017•新课标Ⅰ)记为等差数列的前项和.若,,则的公差为  ‎ A.1 B.2 C.4 D.8‎ ‎【答案】C ‎【解析】为等差数列的前项和,,,‎ ‎,‎ 解得,,‎ 的公差为4.‎ 故选.‎ ‎7.(2017•新课标Ⅲ)等差数列的首项为1,公差不为0.若,,成等比数列,则前6项的和为  ‎ A. B. C.3 D.8‎ ‎【答案】A ‎【解析】等差数列的首项为1,公差不为0.,,成等比数列,‎ ‎,‎ ‎,且,,‎ 解得,‎ 前6项的和为.‎ 故选.‎ ‎8.(2020•上海)已知数列是公差不为零的等差数列,且,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意,等差数列满足,即,变形可得,‎ 所以.‎ 故答案为:.‎ ‎9.(2020•新课标Ⅱ)记为等差数列的前项和.若,,则__________.‎ ‎【答案】25‎ ‎【解析】因为等差数列中,,,‎ 所以,‎ ‎,即,‎ 则.‎ 故答案为:25.‎ ‎10.(2020•海南)将数列与的公共项从小到大排列得到数列,则的前项和为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将数列与的公共项从小到大排列得到数列,‎ 则是以1为首项、以6为公差的等差数列,‎ 故它的前项和为,‎ 故答案为:.‎ ‎11.(2019•新课标Ⅲ)记为等差数列的前项和.若,,则__________.‎ ‎【答案】100‎ ‎【解析】在等差数列中,由,,得,‎ ‎.‎ 则.‎ 故答案为:100.‎ ‎12.(2019•新课标Ⅲ)记为等差数列的前项和.若,,则__________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】设等差数列的公差为,则 由,可得,,‎ ‎,‎ 故答案为:4.‎ ‎13.(2019•北京)设等差数列的前项和为,若,,则__________,的最小值为__________.‎ ‎【答案】0,‎ ‎【解析】设等差数列的前项和为,,,‎ ‎,‎ 解得,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 或时,取最小值为.‎ 故答案为:0,.‎ ‎14.(2019•江苏)已知数列是等差数列,是其前项和.若,,则的值是__________.‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】设等差数列的首项为,公差为,‎ 则,解得.‎ ‎.‎ 故答案为:16.‎ ‎15.(2018•北京)设是等差数列,且,,则的通项公式为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】是等差数列,且,,‎ ‎,‎ 解得,,‎ ‎.‎ 的通项公式为.‎ 故答案为:.‎ ‎16.(2018•上海)记等差数列的前项和为,若,,则__________.‎ ‎【答案】14‎ ‎【解析】等差数列的前项和为,,,‎ ‎,‎ 解得,,‎ ‎.‎ 故答案为:14.‎ ‎17.(2018•上海)已知是等差数列,若,则__________.‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】是等差数列,,‎ ‎,‎ 解得,‎ ‎.‎ 故答案为:15.‎ ‎18.(2017•上海)若等差数列的前5项的和为25,则__________.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】等差数列的前5项的和为25,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故答案为:10.‎ ‎19.(2019•北京)设是等差数列,,且,,成等比数列.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)记的前项和为,求的最小值.‎ ‎【解析】(Ⅰ)是等差数列,,且,,成等比数列.‎ ‎,‎ ‎,‎ 解得,‎ ‎.‎ ‎(Ⅱ)由,,得:‎ ‎,‎ 或时,取最小值.‎ ‎20.(2019•新课标Ⅰ)记为等差数列的前项和.已知.‎ ‎(1)若,求的通项公式;‎ ‎(2)若,求使得的的取值范围.‎ ‎【解析】(1)根据题意,等差数列中,设其公差为,‎ 若,则,变形可得,即,‎ 若,则,‎ 则,‎ ‎(2)若,则,‎ 当时,不等式成立,‎ 当时,有,变形可得,‎ 又由,即,则有,即,则有,‎ 又由,则有,‎ 则有,‎ 综合可得:的取值范围是,.‎ ‎21.(2018•新课标Ⅱ)记为等差数列的前项和,已知,.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)求,并求的最小值.‎ ‎【解析】(1)等差数列中,,,‎ ‎,,解得,,‎ ‎;‎ ‎(2),,,‎ ‎,‎ 当时,前项的和取得最小值为.‎ 强化训练 ‎1.(2020•运城模拟)已知等差数列的前项和为,满足,且,,成等差数列,则  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】等差数列的前项和为,满足,且,,成等差数列,‎ ‎,,即,,‎ 故公差,,且.‎ ‎,,‎ 故选.‎ ‎2.(2020•东湖区校级模拟)在等差数列中,,表示数列的前项和,则  ‎ A.134 B.135 C.136 D.137‎ ‎【答案】B ‎【解析】在等差数列中,‎ ‎,‎ ‎,解得,‎ 表示数列的前项和,‎ 则.‎ 故选.‎ ‎3.(2020•青羊区校级模拟)《周髀算经》有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺,前七个节气日影之和为七丈三尺五寸,问立夏日影长为  ‎ A.七尺五寸 B.六尺五寸 C.五尺五寸 D.四尺五寸 ‎【答案】D ‎【解析】从冬至日起,日影长构成数列,则数列是等差数列,‎ 则,,‎ 所以,‎ 解可得,,.‎ 故.‎ 故选.‎ ‎4.(2020•威海二模)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长减少或增加的量相同,周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸,夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则说法不正确的是  ‎ A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 ‎ B.春分和秋分两个节气的晷长相同 ‎ C.立冬的晷长为一丈五寸 ‎ D.立春的晷长比立秋的晷长短 ‎【答案】D ‎【解析】由题意知:设晷长为等差数列,公差为,则,,‎ 解得.‎ 相邻两个节气晷长减少的量为一尺,故正确.‎ 秋分的晷长为:,春分的晷长为:75,春分和秋分两个节气的晷长相同,故正确.‎ 立冬的晷长为:即为一丈五寸,故正确.‎ 立春的晷长与立秋的晷长都为30,故不正确.‎ 故选.‎ ‎5.(2020•运城模拟)已知为等差数列的前项和,若,则  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由等差数列的性质可得,‎ 解得.‎ 故选.‎ ‎6.(2020•福建模拟)等差数列的前项和为,若,是方程的两实根.则  ‎ A.10 B.5 C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】等差数列的前项和为,若,是方程的两实根,‎ ‎,,‎ 则,‎ 故选.‎ ‎7.(2020•乌鲁木齐三模)已知等差数列满足,,则  ‎ A.20 B.24 C.26 D.28‎ ‎【答案】B ‎【解析】等差数列满足,,设公差为,‎ 相减可得,.‎ 则,‎ 故选.‎ ‎8.(2020•南平三模)已知等差数列的前项和为,且满足,,则下列结论正确的是  ‎ A.有最大值32 B.有最小值10 ‎ C.有最大值 D.有最大值30‎ ‎【答案】D ‎【解析】等差数列中,设公差为,由,‎ 得,‎ 所以;①‎ 又,即,‎ 化简得;②‎ 由①②解得,;‎ 所以;‎ 令,解得;‎ 所以或6时,取得最大值,‎ 此时.‎ 故选.‎ ‎9.(2020•焦作四模)设等差数列的前项和为,,,则  ‎ A. B. C.36 D.85‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意利用等差数列的性质得,‎ 解得,所以,,‎ 故选.‎ ‎10.(2020•重庆模拟)设等差数列的公差为,前项和为,若,且,则  ‎ A. B. C.1 D.3‎ ‎【答案】A ‎【解析】等差数列中,‎ ‎,‎ 所以;‎ 又,‎ 所以;‎ 所以,‎ 解得.‎ 故选.‎ ‎11.(2020•唐山二模)已知等差数列的前项和为,,,则  ‎ A. B.0 C.10 D.20‎ ‎【答案】C ‎【解析】等差数列中,,,‎ 所以.‎ 故选.‎ ‎12.(2020•天津模拟)已知在等差数列中,,,则  ‎ A.3 B.7 C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由等差数列的性质,得,‎ 所以,公差,‎ 又,所以.‎ 故选.‎ ‎13.(2020•梅州一模)已知等差数列的公差不为零,且,,构成新的等差数列,为的前项和,若存在使得,则  ‎ A.10 B.11 C.12 D.13‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得,,‎ ‎,‎ 整理可得,即,‎ ‎,‎ 故.‎ 故选.‎ ‎14.(2020•宁德二模)已知等差数列的前项和为,且,则  ‎ A.21 B.27 C.30 D.36‎ ‎【答案】B ‎【解析】等差数列的前项和为,且,,‎ 则,‎ 故选.‎ ‎15.(2020•天心区校级模拟)数列是等差数列,且,,那么  ‎ A. B. C.5 D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】,,‎ 数列是等差数列,设公差为.‎ ‎,解得.‎ ‎,解得.‎ 故选.‎ ‎16.(2020•河南模拟)记等差数列的前项和为,若,,则  ‎ A. B. C. D.0‎ ‎【答案】A ‎【解析】等差数列的前项和为,,,也成等差数列,‎ 又,,,,‎ 故选.‎ ‎17.(2020•哈尔滨三模)数列是等差数列,且,,那么  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】设等差数列的公差为,且,,‎ ‎,,‎ ‎,解得.‎ ‎,‎ ‎.‎ 那么.‎ 故选.‎ ‎18.(2020•湖北模拟)已知首项为正的等差数列的前项和为,,若对于任意的,都有,则  ‎ A.8 B.9 C.8或9 D.9或10‎ ‎【答案】C ‎【解析】首项为正的等差数列的前项和为,,‎ ‎,‎ 整理得:,可得,‎ ‎,‎ 可得或9时,取得最大值.‎ 对于任意的,都有,则或9.‎ 故选.‎ ‎19.(2020•沙坪坝区校级模拟)设为等差数列的前项和,若,,则  ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】A ‎【解析】为等差数列的前项和,,,‎ ‎,‎ 解得,,‎ ‎.‎ 故选.‎ ‎20.(2020•松原模拟)已知等差数列的前项和为,若,,则公差  ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】等差数列中,,,‎ 则,解可得,,‎ 故选.‎ ‎21.(2020•三模拟)已知数列既是等差数列又是等比数列,首项,则它的前2020项的和等于  ‎ A.0 B.1 C.2020 D.2021‎ ‎【答案】C ‎【解析】数列既是等差数列又是等比数列,且首项,‎ ‎,即数列是常数列.‎ 它的前2020项的和等于2020.‎ 故选.‎ ‎22.(2020•运城模拟)等差数列的前项和为,且,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)当时,证明:.‎ ‎【解析】(1)设等差数列的公差为,,.‎ ‎,,‎ 联立解得:,,‎ ‎.‎ ‎(2)证明:当时,.‎ ‎,.‎ ‎,.‎ 综上可得:.‎ ‎23.(2020•安徽模拟)记为等差数列的前项和.已知,.‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设.求数列的前项和.‎ ‎【解析】设等差数列的公差为.,.‎ ‎,,‎ 解得:,,‎ ‎.‎ ‎(Ⅱ),‎ 数列的前项和.‎ ‎24.(2020•汉中二模)设等差数列满足,.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求的前项和及使得最小的的值.‎ ‎【解析】(1),‎ ‎,‎ ‎;‎ ‎(2),‎ 由于是二次函数,‎ ‎,最小.‎ ‎25.(2020•肥城市模拟)已知公差不为零的等差数列的前项和为,,.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)求的最大值及对应的大小.‎ ‎【解析】(1)设的公差为,且 由,得,‎ 由,得,‎ 解得,.‎ 的通项公式为,.‎ ‎(2)由(1),得.‎ ‎,‎ 当或时,有最大值为20.‎ ‎26.(2020•吉林二模)已知等差数列的前项和为,且,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)求使不等式成立的的最小值.‎ ‎【解析】(1)设等差数列的公差为,,.‎ ‎,.‎ 解得:,.‎ ‎.‎ ‎(2)不等式,即,化为:,解得.‎ 使不等式成立的的最小值为8.‎ ‎27.(2020•陕西二模)在等差数列中,已知,,.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求.‎ ‎【解析】因为是等差数列,,,所以 解得,.则,. ‎ ‎,,,,构成首项为,公差为9的等差数列.‎ 则. ‎ ‎28.(2019•吉安一模)已知等差数列的前项和为,,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)求的最大值.‎ ‎【解析】(1),‎ 由得,得:,解得,‎ 故,‎ 由(1),得.‎ 由二次函数的性质,当时有最大值625.‎ ‎29.(2019•西安一模)记为等差数列的前项和,已知,.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)求,并求的最大值.‎ ‎【解析】(1)设的公差为,由题意得.‎ 由得.‎ 所以的通项公式为.‎ ‎(2)由(1)得.‎ 所以当时,取得最大值,最大值为4.‎ ‎30.(2019•兴庆区校级二模)已知等差数列中,,,求:‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)的前项和.‎ ‎【解析】(1)设的公差为,,,‎ 解得,或,.‎ ‎,,或,.‎ 解得或.‎ ‎,或.‎ ‎(2)由(1)可得:或.‎ 因此,或.‎