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- 2021-05-13 发布
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2014年吉林省九校联考高考数学二模试卷(理科)
(扫描二维码可查看试题解析)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.(5分)(2014•吉林二模)已知U=R,M={x|﹣l≤x≤2},N={x|x≤3},则(∁UM)∩N=( )
A.
{x|2≤x≤3}
B.
{x|2<x≤3}
C.
{x|x≤﹣1,或2≤x≤3}
D.
{x|x<﹣1,或2<x≤3}
2.(5分)(2014•吉林二模)已知复数z=,则复数z在复平面内对应的点在( )
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
3.(5分)(2014•吉林二模)在等差数列{an}中,a1+a5=8,a4=7,则a5等于( )
A.
3
B.
7
C.
10
D.
11
4.(5分)(2014•吉林二模)抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2﹣y2=1的左焦点,则p=( )
A.
B.
C.
D.
5.(5分)(2014•吉林二模)将函数y=sin2x+cos2x的图象向左平移个单位,所得图象的解析式是( )
A.
y=cos2x+sin2x
B.
y=cos2x﹣sin2x
C.
y=sin2x﹣cos2x
D.
y=cosxsinx
6.(5分)(2014•吉林二模)先后两次抛掷一枚骰子,在得到点数之和不大于6的条件下,先后出现的点数中有3的概率为( )
A.
B.
C.
D.
7.(5分)(2014•濮阳县校级一模)一个棱锥的三视图如图所示,则它的体积为( )
A.
B.
C.
1
D.
8.(5分)(2014•吉林二模)执行如图所示的程序框图,则输出的结果是( )
A.
20
B.
30
C.
40
D.
50
9.(5分)(2014•吉林二模)一个空间四边形ABCD的四条边及对角线AC的长均为,二面角D﹣AC﹣B的余弦值为,则下列论断正确的是( )
A.
空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3π
B.
空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4π
C.
空间四边形ABCD的四个顶点在同一球上且此球的表面积为
D.
不存在这样的球使得空间四边形ABCD的四个顶点在此球面上
10.(5分)(2014•吉林二模)如图,在四面体OABC中,,则=( )
A.
8
B.
6
C.
4
D.
3
11.(5分)(2014•南昌模拟)已知f(x)是定义在R上的增函数,函数y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称.若对任意的x,y∈R,不等式f(x2﹣6x+21)+f(y2﹣8y)<0恒成立,则当x>3时,x2+y2的取值范围是( )
A.
(3,7)
B.
(9,25)
C.
(13,49)
D.
(9,49)
12.(5分)(2014•吉林二模)若2014=2a1+2a2+…+2an,其中a1,a2,…,an为两两不等的非负整数,令x=sin,y=cos,z=tan,则x,y,z的大小关系是( )
A.
x<y<z
B.
z<x<y
C.
x<z<y
D.
y<z<x
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.(5分)(2014•吉林二模)将某班的60名学生编号为:01,02,…,60,采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本,且随机抽得的一个号码为04,则剩下的四个号码依次是 .
14.(5分)(2014•阳泉二模)设,则的展开式中含x2项的系数是 .
15.(5分)(2014•吉林二模)在△ABC中,边上的高为,则AC+BC= .
16.(5分)(2014•吉林二模)若直角坐标平面内,A、B两点满足条件:①点A、B都在函数f(x)图象上;②点A、B关于原点对称,则称点对(A、B)是函数f(x)的一个“姐妹点对”(点对(A、B)与点(B、A)可看作同一个“姐妹对”).已知函数,则f(x)的“姐妹点对”有 个.
三.解答题:(本大题共5小题,共60分)
17.(12分)(2014•长春二模)已知α为锐角,且tanα=﹣1,函数f(x)=2xtan2a+sin(2a+),数列{an}的首项a1=1,an+1=f(an).
(Ⅰ)求函数f(x)的表达式;
(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Sn.
18.(12分)(2014•吉林二模)如图,四棱锥A﹣BCDE中,△ABC是正三角形,四边形BCDE是矩形,且平面ABC⊥平面BCDE,AB=2,AD=4.
(1)若点G是AE的中点,求证:AC∥平面BDG;
(2)试问点F在线段AB上什么位置时,二面角B﹣CE﹣F的余弦值为.
19.(12分)(2015•商丘一模)某批发市场对某种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近50天的结果如下:
日销售量
1
1.5
2
频数
10
25
15
频率
0.2
a
b
(1)求表中a,b的值
(2)若以上表频率作为概率,且每天的销售量相互独立,
①求5天中该种商品恰有2天销售量为1.5吨的概率;
②已知每吨该商品的销售利润为2千元,X表示该种商品两天销售利润的和(单位:千元),求X的分布列和期望.
20.(12分)(2014•吉林二模)已知点F(0,1),直线l:y=﹣1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)已知圆M过定点D(0,2),圆心M在轨迹C上运动,且圆M与x轴交于A、B两点,设|DA|=l1,|DB|=l2,求的最大值.
21.(12分)(2014•抚州模拟)已知函数f(x)=(m,n∈R)在x=1处取到极值2
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)设函数g(x)=ax﹣lnx.若对任意的,总存在唯一的,使得g(x2)=f(x1),求实数a的取值范围.
选考题:(本小题满分10分)请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(10分)(2015•丹东一模)已知A、B、C、D为圆O上的四点,直线DE为圆O的切线,AC∥DE,AC与BD相交于H点.
(Ⅰ)求证:BD平分∠ABC;
(Ⅱ)若AB=4,AD=6,BD=8,求AH的长.
23.(2014•吉林二模)已知某圆的极坐标方程为:ρ2﹣4ρcos(θ﹣)+6=0.
(1)将极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程;
(2)若点P(x,y)在该圆上,求x+y的最大值和最小值.
24.(2015•丹东一模)已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1(a>0).
(1)当a=1时,求此不等式的解集;
(2)若此不等式的解集为R,求实数a的取值范围.
2014年吉林省九校联考高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.(5分)(2014•吉林二模)已知U=R,M={x|﹣l≤x≤2},N={x|x≤3},则(∁UM)∩N=( )
A.
{x|2≤x≤3}
B.
{x|2<x≤3}
C.
{x|x≤﹣1,或2≤x≤3}
D.
{x|x<﹣1,或2<x≤3}
考点:
补集及其运算;交集及其运算.菁优网版权所有
专题:
计算题;数形结合.
分析:
利用补集的定义求出集合M的补集;借助数轴求出(CuM)∩N
解答:
解:∵M={x|﹣l≤x≤2},
∴CuM={x|x<﹣1或x>2}
∵N={x|x≤3},
∴(CuM)∩N={x|x<﹣1,或2<x≤3}
故选D.
点评:
本题考查利用数轴求集合间的交集、并集、补集运算.
2.(5分)(2014•吉林二模)已知复数z=,则复数z在复平面内对应的点在( )
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
考点:
复数的基本概念.菁优网版权所有
专题:
数系的扩充和复数.
分析:
将复数进行化简,根据复数的几何意义即可得到结论.
解答:
解:z===,
∴对应的点的坐标为(),
位于第四象限,
故选:D.
点评:
本题主要考查复数的几何意义,利用复数的四则运算将复数进行化简是解决本题的关键,比较基础.
3.(5分)(2014•吉林二模)在等差数列{an}中,a1+a5=8,a4=7,则a5等于( )
A.
3
B.
7
C.
10
D.
11
考点:
等差数列的通项公式.菁优网版权所有
专题:
等差数列与等比数列.
分析:
设出等差数列的公差,由已知条件列式求出公差,则a5可求.
解答:
解:设公差为d,则,
解得,a1=﹣2,d=3,
∴a5=a1+4d=﹣2+3×4=10.
故选C.
点评:
本题考查了等差数列的通项公式,是基础的运算题.
4.(5分)(2014•吉林二模)抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2﹣y2=1的左焦点,则p=( )
A.
B.
C.
D.
考点:
抛物线的简单性质;双曲线的简单性质.菁优网版权所有
专题:
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
先求出x2﹣y2=1的左焦点,得到抛物线y2=2px的准线,依据p的意义求出它的值.
解答:
解:双曲线x2﹣y2=1的左焦点为(﹣,0),故抛物线y2=2px的准线为x=﹣,
∴=,p=2,
故选C.
点评:
本题考查抛物线和双曲线的简单性质,以及抛物线方程 y2=2px中p的意义.
5.(5分)(2014•吉林二模)将函数y=sin2x+cos2x的图象向左平移个单位,所得图象的解析式是( )
A.
y=cos2x+sin2x
B.
y=cos2x﹣sin2x
C.
y=sin2x﹣cos2x
D.
y=cosxsinx
考点:
函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
根据x以向右取正,以向左为负,所以它向右平移是加,用x+替换原式中的x即得.
解答:
解:由题意得,用x+替换原式中的x,
有:y=sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x﹣sin2x.
故选B.
点评:
本题考查了三角函数的图象变换,三角函数的图象变换包括三种变换,我们分别把三种变换分别称为振幅变换、伸缩变换、平移变换.
6.(5分)(2014•吉林二模)先后两次抛掷一枚骰子,在得到点数之和不大于6的条件下,先后出现的点数中有3的概率为( )
A.
B.
C.
D.
考点:
等可能事件的概率.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
由题意知本题是一个等可能事件的概率,点数之和不大于6的事件可以列举出共有15种结果,满足条件的事件从前面列举出的事件中找出,得到概率.
解答:
解:由题意知本题是一个等可能事件的概率,
点数之和不大于6的事件是(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5),(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)
(3,1)(3,2)(3,3)(4,1)(4,2)(5,1)共有15种结果,
满足条件的事件是点数中有3,共有5种结果,
∴先后出现的点数中有3的概率为
故选C.
点评:
本题考查等可能事件的概率,本题解题的关键是不重不漏的列举出所有的事件,可以按照数字的大小顺序来列举.
7.(5分)(2014•濮阳县校级一模)一个棱锥的三视图如图所示,则它的体积为( )
A.
B.
C.
1
D.
考点:
由三视图求面积、体积.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
由三视图可知几何体是四棱锥,底面是直角梯形,一条侧棱垂直底面,应用公式求体积即可.
解答:
解:由三视图可知几何体是四棱锥,底面是直角梯形,上底为2、下底为4、高为1,
一条侧棱垂直底面,长度是1,该几何体的体积是:.
故选A.
点评:
本题考查由三视图求面积、体积,考查空间想象能力,是基础题.
8.(5分)(2014•吉林二模)执行如图所示的程序框图,则输出的结果是( )
A.
20
B.
30
C.
40
D.
50
考点:
循环结构.菁优网版权所有
专题:
图表型.
分析:
分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加S值,并输出T值.
解答:
解:程序在运行过程中各变量的聚会如下表示:
是否继续循环 s i T
循环前 1 0 0
第一圈 是 7 3 3
第二圈 是 13 6 9
第三圈 是 19 9 18
第四圈 是 25 12 30
第五圈 否
所以最后输出的T值为30.
故选B.
点评:
根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,属于基础题.
9.(5分)(2014•吉林二模)一个空间四边形ABCD的四条边及对角线AC的长均为,二面角D﹣AC﹣B的余弦值为,则下列论断正确的是( )
A.
空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3π
B.
空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4π
C.
空间四边形ABCD的四个顶点在同一球上且此球的表面积为
D.
不存在这样的球使得空间四边形ABCD的四个顶点在此球面上
考点:
球的体积和表面积;与二面角有关的立体几何综合题.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
由题意,求出BD的长,然后判断空间四边形ABCD的四个顶点是否在同一球面上,求出球的表面积即可.
解答:
解:如图AC=AB=AD=BC=CD=,cos∠DEB=,
E为AC的中点,EB=ED=,
所以BD2=2BE2﹣2××BE2BD=sqrt{2}
ABCD的几何体为正四面体,有外接球,球的半径为:
球的表面积为:3π
故选A
点评:
本题是基础题,考查二面角的求法,几何体的外接球的判断,以及外接球的表面积的求法,考查逻辑推理能力,计算能力,是好题.
10.(5分)(2014•吉林二模)如图,在四面体OABC中,,则=( )
A.
8
B.
6
C.
4
D.
3
考点:
平面向量数量积的运算.菁优网版权所有
专题:
平面向量及应用.
分析:
根据题意,求出•的表达式,再利用余弦定理求出cos∠AOC以及cos∠BOC的值,即可得出答案.
解答:
解:∵•=•(﹣)
=•﹣•
=3||cos∠AOC﹣||cos∠BOC,
且cos∠AOC=
=,
cos∠BOC=
=;
AC=BC,
∴3||cos∠AOC﹣||cos∠BOC
=3||×﹣||×
=﹣
=4;
故选:C.
点评:
本题考查了平面向量数量积的运算以及余弦定理的应用问题,是易错题.
11.(5分)(2014•南昌模拟)已知f(x)是定义在R上的增函数,函数y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称.若对任意的x,y∈R,不等式f(x2﹣6x+21)+f(y2﹣8y)<0恒成立,则当x>3时,x2+y2的取值范围是( )
A.
(3,7)
B.
(9,25)
C.
(13,49)
D.
(9,49)
考点:
函数单调性的性质;奇偶函数图象的对称性.菁优网版权所有
专题:
综合题;压轴题;转化思想.
分析:
由函数y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称,结合图象平移的知识可知函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,从而可知函数y=f(x)为奇函数,由f(x2﹣6x+21)+f(y2﹣8y)<0恒成立,可把问题转化为(x﹣3)2+(y﹣4)2<4,借助于的有关知识可求
解答:
解:∵函数y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称
∴函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,即函数y=f(x)为奇函数,则f(﹣x)=﹣f(x)
又∵f(x)是定义在R上的增函数且f(x2﹣6x+21)+f(y2﹣8y)<0恒成立
∴(x2﹣6x+21)<﹣f(y2﹣8y)=f(8y﹣y2 )恒成立
∴x2﹣6x+21<8y﹣y2
∴(x﹣3)2+(y﹣4)2<4恒成立
设M (x,y),则当x>3时,M表示以(3,4)为圆心2为半径的右半圆内的任意一点,
则x2+y2表示在半圆内任取一点与原点的距离的平方
由图可知,最短距离为OA=,最大距离OB=OC+BC=5+2=7
∴13<x2+y2<49
故选 C
点评:
本题考查了函数图象的平移、函数的奇偶性、单调性及圆的有关知识,解决问题的关键是把“数”的问题转化为“形”的问题,借助于图形的几何意义减少了运算量,体现“数形结合:及”转化”的思想在解题中的应用.
12.(5分)(2014•吉林二模)若2014=2a1+2a2+…+2an,其中a1,a2,…,an为两两不等的非负整数,令x=sin,y=cos,z=tan,则x,y,z的大小关系是( )
A.
x<y<z
B.
z<x<y
C.
x<z<y
D.
y<z<x
考点:
象限角、轴线角.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
由题意2014=2a1+2a2+…+2an,可变形为2014=210+29+28+27+26+24+23+22+21,继而得到然后根据三角函数的函数值之间的关系即可得到结论.
解答:
解:∵2014=2a1+2a2+…+2an,且a1,a2,…,an为两两不等的非负整数,
∴2014=210+29+28+27+26+24+23+22+21,
∴=10+9+8+7+6+4+3+2+1=50,
∴x=sin=sin50,y=cos=cos50,z=tan=tan50,
∵50≈15π+2.9,
∴x=sin50=sin(15π+2.9)=﹣sin2.9,
y=cos50=cos(15π+2.9)=﹣cos2.9,
z=tan50=tan(15π+2.9)=tan2.9<0,
∵
∴tan2.9<﹣1,﹣1<﹣sin2.9<0,﹣cos2.9>0,
∴tan2.9<﹣sin2.9<﹣cos2.9,
∴tan50<sin50<cos50,
∴z<x<y.
故选:B.
点评:
本题考查了三角函数值的大小比较,关键是把2012=2a1+2a2+…+2an变形为2014=210+29+28+27+26+24+23+22+21,综合性较强,难度较大.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.(5分)(2014•吉林二模)将某班的60名学生编号为:01,02,…,60,采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本,且随机抽得的一个号码为04,则剩下的四个号码依次是 16、28、40、52 .
考点:
系统抽样方法.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则,构造一个等差数列,将四个学生的号码从小到大成等差数列,建立等式关系,解之即可.
解答:
解:用系统抽样抽出的5个学生的号码从小到大成等差数列,
随机抽得的一个号码为04
则剩下的四个号码依次是
16、28、40、52.
故答案为:16、28、40、52
点评:
系统抽样过程中,每个个体被抽取的可能性是相等的,系统抽样的原则是等距,抓住这一原则构造等差数列,是我们常用的方法.
14.(5分)(2014•阳泉二模)设,则的展开式中含x2项的系数是 40 .
考点:
二项式系数的性质.菁优网版权所有
专题:
二项式定理.
分析:
先利用定积分求得n的值,在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于2,求出r的值,即可求得展开式中含x2项的系数.
解答:
解:由于 =(x3﹣2x)=4﹣(﹣1)=5,
则的展开式的通项公式为Tr+1=•x5﹣r•2r•=•,
令5﹣=2,解得 r=2,∴展开式中含x2项的系数是=40,
故答案为:40
点评:
本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题.
15.(5分)(2014•吉林二模)在△ABC中,边上的高为,则AC+BC= .
考点:
解三角形;正弦定理;余弦定理.菁优网版权所有
专题:
计算题;压轴题.
分析:
求出三角形的面积,利用余弦定理,直接求出AC+BC的值.
解答:
解:由题意可知三角形的面积为:==,
所以AC•BC=.
由余弦定理AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=(AC+BC)2﹣3AC•BC,
所以(AC+BC)2﹣3AC•BC=3,
所以(AC+BC)2=11.
所以AC+BC=.
故答案为:.
点评:
本题考查解三角形,三角形的面积与余弦定理的应用,考查计算能力.
16.(5分)(2014•吉林二模)若直角坐标平面内,A、B两点满足条件:①点A、B都在函数f(x)图象上;②点A、B关于原点对称,则称点对(A、B)是函数f(x)的一个“姐妹点对”(点对(A、B)与点(B、A)可看作同一个“姐妹对”).已知函数,则f(x)的“姐妹点对”有 2 个.
考点:
函数的图象.菁优网版权所有
专题:
新定义.
分析:
根据题意:“姐妹点对”,可知,欲求f(x)的“姐妹点对”,只须作出函数y=2x2+4x+1(x<0)的图象关于原点对称的图象,看它与函数y=(x≥0)交点个数即可.
解答:
解:根据题意:“姐妹点对”,可知,
只须作出函数y=2x2+4x+1(x<0)的图象关于原点对称的图象,
看它与函数y=(x≥0)交点个数即可.
如图,
观察图象可得:它们的交点个数是:2.
即f(x)的“姐妹点对”有:2个.
故答案为:2.
点评:
本题主要考查了奇偶函数图象的对称性,以及数形结合的思想,解答的关键在于对“姐妹点对”的正确理解,合理地利用图象法解决.
三.解答题:(本大题共5小题,共60分)
17.(12分)(2014•长春二模)已知α为锐角,且tanα=﹣1,函数f(x)=2xtan2a+sin(2a+),数列{an}的首项a1=1,an+1=f(an).
(Ⅰ)求函数f(x)的表达式;
(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Sn.
考点:
数列的求和.菁优网版权所有
专题:
综合题;等差数列与等比数列.
分析:
(Ⅰ)利用二倍角的正切可求得tan2α=1,α为锐角,可求得sin(2α+)=1,于是可知函数f(x)的表达式;
(Ⅱ)依题意,可知数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,于是可求得an=2n﹣1,nan=n•2n﹣n,先用错位相减法求得{n•2n}的前n项和Tn,再利用分组求和法求得Sn.
解答:
解:(Ⅰ)∵tanα=﹣1,
∴tan2α===1,又α为锐角,
∴2α=,
∴sin(2α+)=1,
∴f(x)=2x+1;
(Ⅱ)∵an+1=f(an)=2an+1,
∴an+1+1=2(an+1),
∵a1=1,
∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,
∴an+1=2•2n﹣1=2n,
∴an=2n﹣1,
∴nan=n•2n﹣n,
下面先求{n•2n}的前n项和Tn:
Tn=1×2+2×22+3×23+…+(n﹣1)•2n﹣1+n•2n,
2Tn=1×22+2×23+…+(n﹣1)•2n+n•2n+1,
两式相减得:﹣Tn=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1
=﹣n•2n+1
=2n+1﹣2﹣n•2n+1,
∴Tn=2+(n﹣1)•2n+1,
∴Sn=2+(n﹣1)•2n+1﹣.
点评:
本题考查数列的求和,着重考查等比关系的确定,求得an=2n﹣1是关键,也是难点,突出考查错位相减法与分组求和法,属于难题.
18.(12分)(2014•吉林二模)如图,四棱锥A﹣BCDE中,△ABC是正三角形,四边形BCDE是矩形,且平面ABC⊥平面BCDE,AB=2,AD=4.
(1)若点G是AE的中点,求证:AC∥平面BDG;
(2)试问点F在线段AB上什么位置时,二面角B﹣CE﹣F的余弦值为.
考点:
用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;二面角的平面角及求法.菁优网版权所有
专题:
空间位置关系与距离;空间角.
分析:
(Ⅰ)利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明;
(2)建立空间直角坐标系,求平面BCE和CEF的法向量,利用向量法求二面角的大小,解方程即可得出.
解答:
解:(1)证明:连接CE、BD,设CE∩BD=O,连接OG,
由三角形的中位线定理可得:OG∥AC,
∵AC⊄平面BDG,OG⊂平面BDG,
∴AC∥平面BDG.
(2)∵平面ABC⊥平面BCDE,DC⊥BC,
∴DC⊥平面ABC,
∴DC⊥AC,则△ACD为直角三角形.
∵△ABC是正三角形,
∴取BC的中点M,连结MO,则MO∥CD,
∴MO⊥面ABC,
以M为坐标原点,以MB,M0,MA分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
∵AB=2,AD=4,∴AM=,
∴B(1,0,0),C(﹣1,0,0),A(0,0,),
在Rt△ACD中,CD=.
∴BE=CD=,即E(1,2,0)
则,
∵点F在线段AB上,
∴设BF=xBA,(0≤x≤1)
则
∴F(1﹣x,0,),则,,
设面CEF的法向量为,
则由得,,
令a=,则b=﹣1,c=,即,
平面BCE的法向量为,
二面角B﹣CE﹣F的余弦值为,
即,
∴,
平方得,解得:,
解得x=﹣1(舍去)或x=.
即F是线段AB的中点时,二面角B﹣CE﹣F的余弦值为.
点评:
本题主要考查直线和平面平行的判定定理,以及利用向量法解决二面角的大小问题,综合性较强,运算量较大.
19.(12分)(2015•商丘一模)某批发市场对某种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近50天的结果如下:
日销售量
1
1.5
2
频数
10
25
15
频率
0.2
a
b
(1)求表中a,b的值
(2)若以上表频率作为概率,且每天的销售量相互独立,
①求5天中该种商品恰有2天销售量为1.5吨的概率;
②已知每吨该商品的销售利润为2千元,X表示该种商品两天销售利润的和(单位:千元),求X的分布列和期望.
考点:
离散型随机变量的期望与方差;相互独立事件的概率乘法公式.菁优网版权所有
专题:
应用题;概率与统计.
分析:
(1)利用频率等于频数除以样本容量,求出样本容量,再求出表中的a,b.
(2)①利用二项分布的概率公式求出5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率.
②写出X可取得值,利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率.列出分布列,求得期望.
解答:
解:(1)∵=50∴a==0.5,b==0.3
(2)①依题意,随机选取一天,销售量为1.5吨的概率p=0.5
设5天中该种商品有X天的销售量为1.5吨,则X~B(5,0.5)
P(X=2)=C52×0.52×(1﹣0.5)3=0.3125
②X的可能取值为4,5,6,7,8,则
p(X=4)=0.22=0.04
p(X=5)═2×0.2×0.5=0.2
p(X=6)═0.52+2×0.2×0.3=0.37
p(X=7)═2×0.3×0.5=0.3
p(X=8)=0.32=0.09
所有X的分布列为:
X
4
5
6
7
8
P
0.04
0.2
0.37
0.3
0.09
EX=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=6.2.
点评:
本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识,考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.
20.(12分)(2014•吉林二模)已知点F(0,1),直线l:y=﹣1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)已知圆M过定点D(0,2),圆心M在轨迹C上运动,且圆M与x轴交于A、B两点,设|DA|=l1,|DB|=l2,求的最大值.
考点:
圆与圆锥曲线的综合.菁优网版权所有
专题:
计算题;数形结合;转化思想.
分析:
(1)先设出点P的坐标,代入整理即可得到动点P的轨迹C的方程;
(2)先利用条件设出圆的方程,并求出A、B两点的坐标以及|DA|=l1,|DB|=l2的表达式,代入整理后利用基本不等式求最大值即可.
解答:
(1)解:设P(x,y),则Q(x,﹣1),
∵,
∴(0,y+1)•(﹣x,2)=(x,y﹣1)•(x,﹣2).
即2(y+1)=x2﹣2(y﹣1),即x2=4y,
所以动点P的轨迹C的方程x2=4y.
(2)解:设圆M的圆心坐标为M(a,b),则a2=4b.①
圆M的半径为.
圆M的方程为(x﹣a)2+(y﹣b)2=a2+(b﹣2)2.
令y=0,则(x﹣a)2+b2=a2+(b﹣2)2,
整理得,x2﹣2ax+4b﹣4=0.②
由①、②解得,x=a±2.
不妨设A(a﹣2,0),B(a+2,0),
∴,.
∴=,③
当a≠0时,由③得,.
当且仅当时,等号成立.
当a=0时,由③得,.
故当时,的最大值为.
点评:
本小题主要考查圆、抛物线、基本不等式等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力
21.(12分)(2014•抚州模拟)已知函数f(x)=(m,n∈R)在x=1处取到极值2
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)设函数g(x)=ax﹣lnx.若对任意的,总存在唯一的,使得g(x2)=f(x1),求实数a的取值范围.
考点:
利用导数求闭区间上函数的最值;函数解析式的求解及常用方法;函数在某点取得极值的条件.菁优网版权所有
专题:
综合题.
分析:
(I)由已知中,函数,易求出导函数的解析式,再由函数在x=1处取到极值2,其导函数在x=1处等0,易构造一个关于m的方程,解方程求出m值,即可得到f(x)的解析式;
(Ⅱ)由(I)我们可以求出函数导函数的解析式,进而可分别出函数f(X)的单调性,由此易判断f(x)在区间[,2]上的值域,由对任意的,总存在唯一的,使得g(x2)=f(x1),及函数g(x)=ax﹣lnx.我们分别对a值与e及e2的关系进行分类讨论,即可得到满足条件的实数a的取值范围.
解答:
解:(Ⅰ)f′(x)==
f(x)在x=1处取到极值2,故f′(1)=0,f(1)=2即,
解得m=4,n=1,经检验,此时f(x)在x=1处取得极值.故
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,故f(x)在上单调递增,在(1,2)上单调递减,由,故f(x)的值域为
依题意,记,∵x∈M∴
(ⅰ)当a≤e时,g'(x)≤0,g(x),依题意由得,
故此时
(ⅱ)当e<a≤e2时,>>当时,g′(x)<0,当时,g′(x)>0.依题意由,得,即.与a>e矛盾
(ⅲ)当a>e2时,<,此时g′(x)>0,g(x).依题意得 即此不等式组无解综上,所求a取值范围为0<a≤e
点评:
本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值,函数解析式的求解及常用方法,函数在某点取得极值的条件,其中根据已知条件构造关于m的方程,进而求出函数f(x)的解析式是解答的关键.
选考题:(本小题满分10分)请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(10分)(2015•丹东一模)已知A、B、C、D为圆O上的四点,直线DE为圆O的切线,AC∥DE,AC与BD相交于H点.
(Ⅰ)求证:BD平分∠ABC;
(Ⅱ)若AB=4,AD=6,BD=8,求AH的长.
考点:
与圆有关的比例线段.菁优网版权所有
专题:
证明题;数形结合.
分析:
(Ⅰ)证明BD平分∠ABC可通过证明D是的中点,利用相等的弧所对的圆周角相等证明BD是角平分线;
(Ⅱ)由图形知,可先证△ABH∽△DBC,得到,再由等弧所对的弦相等,得到AD=DC,从而得到,求出AH的长
解答:
解:(Ⅰ)∵AC∥DE,直线DE为圆O的切线,∴D是弧的中点,即
又∠ABD,∠DBC与分别是两弧所对的圆周角,故有∠ABD=∠DBC,
所以BD平分∠ABC
(Ⅱ)∵由图∠CAB=∠CDB且∠ABD=∠DBC
∴△ABH∽△DBC,∴
又
∴AD=DC,
∴
∵AB=4,AD=6,BD=8
∴AH=3
点评:
本题考查与圆有关的比例线段,解题的关键是对与圆有关性质掌握得比较熟练,能根据这些性质得出角的相等,边的相等,从而使问题得到证明
23.(2014•吉林二模)已知某圆的极坐标方程为:ρ2﹣4ρcos(θ﹣)+6=0.
(1)将极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程;
(2)若点P(x,y)在该圆上,求x+y的最大值和最小值.
考点:
简单曲线的极坐标方程;三角函数的最值.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
(1)利用两角差的余弦公式展开极坐标方程,再将直角坐标与极坐标的互化公式代入,极坐标方程即 ρ2﹣4 ( +),即 x2+y2﹣4x﹣4y+6=0.
(2)圆的参数方程为 ,故 x+y=4+(sinα+cosα)=4+2sin(α+),由于﹣1≤sin(α+)≤1,可得 2≤x+y≤6.
解答:
解:(1) 即 ρ2﹣4( + ),即 x2+y2﹣4x﹣4y+6=0.(2)圆的参数方程为 ,∴x+y=4+(sinα+cosα)=4+2sin(α+).
由于﹣1≤sin(α+)≤1,∴2≤x+y≤6,故x+y 的最大值为6,最小值等于 2.
点评:
本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得.
24.(2015•丹东一模)已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1(a>0).
(1)当a=1时,求此不等式的解集;
(2)若此不等式的解集为R,求实数a的取值范围.
考点:
绝对值不等式的解法.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
(1)当a=1时,可得2|x﹣1|≥1,即,由此求得不等式的解集.
(2)不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R,等价于|a﹣1|≥1,由此求得实数a的取值范围.
解答:
解:(1)当a=1时,可得2|x﹣1|≥1,即,解得,
∴不等式的解集为. …(5分)
(2)∵|ax﹣1|+|ax﹣a|≥|a﹣1|,不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R,等价于|a﹣1|≥1.
解得a≥2,或a≤0. 又∵a>0,∴a≥2.
∴实数a的取值范围为[2,+∞). …(10分)
点评:
本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,体现了等价转化的数学思想,属于中档题.
参与本试卷答题和审题的老师有:wdnah;maths;sxs123;minqi5;yhx01248;涨停;qiss;742048;吕静;caoqz;wfy814;庞会丽;翔宇老师;xintrl;733008(排名不分先后)
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2015年4月29日