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- 2021-05-13 发布
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考点11 定积分的概念与微积分基本定理
【考点分类】
热点一 定积分的基本计算
1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】若 ,则s1,s2,s3的大小关系为( )
A. s1<s2<s3 B. s2<s1<s3 C. s2<s3<s1 D. s3<s2<s1
2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】一辆汽车在高速公路下行驶,由于遇到紧急情
况而刹车,以速度(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶
的距离(单位:m)是( )
B. C. D.
3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)】若.
4. (2012年高考江西卷理科11)计算定积分___________
【答案】
【方法总结】
1.计算简单定积分的步骤:
(1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差;
(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差;
(3)分别用求导公式求出F(x),使得F′(x)=f(x);
(4)利用牛顿-莱布尼兹公式求出各个定积分的值;
(5)计算所求定积分的值.
2.求定积分的常用技巧:
(1)求被积函数,要先化简,再求积分.
(2)求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和.
(3)对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值号才能积分.
热点二 微积分基本定理的应用
5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理】直线l过抛物线C: x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于( )
A. B.2 C. D.
y
x
O
6.(2012年高考湖北卷理科3)已知二次函数y =f(x)的图像如图所示 ,则它与x轴所围图形的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知,二次函数y =f(x)的图像与X轴所围图形的面积为==,所以选B.
7.(2012年高考山东卷理科15)设a>0.若曲线与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a,则a=______.
8.(2012年高考下海卷理科13)已知函数的图象是折线段,其中、、,函数
()的图象与轴围成的图形的面积为.
【方法总结】
求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤:
(1)画出图形,确定图形的范围,通过解方程组求出交点的横坐标.定出积分的下、下限;
(2)确定被积函数,特别要注意分清被积函数的下、下位置;
(3)写出平面图形面积的定积分的表达式;
(4)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.
【考点剖析】
一.明确要求
1.考查定积分的概念,定积分的几何意义,微积分基本定理.
2.利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程.
二.命题方向
定积分的考查频率不是很高,本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义,使用微积分基本定理计算定积分,使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等.一般以客观题形式出现.
三.规律总结
一种思想
定积分基本思想的核心是“以直代曲”,用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题,其方法是“分割求近似,求和取极限”,利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等.恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就.
三条性质
(1)常数可提到积分号外;
(2)和差的积分等于积分的和差;
(3)积分可分段进行.
一个公式
由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数,由此可知,求导与积分是互为逆运算.
【考点模拟】
一.扎实基础
1. 【湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三三月联合考试】设曲线与直线所围成的封闭区域的面积为,则下列等式成立的是()
A.B.
C.D.
2. 【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】由曲线,直线y=x-2,及y轴所围成的图形的面积为( )
A. B.4 C. D.6
3. 【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试】由直线,,与曲线所围成的封闭图形的面积为( )
A. B.1 C. D.
,选D.
4. 【云南师大附中2013届高三适应性月考卷(三)】如图3,直线y=2x与抛物线y=3-x2
所围成的阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
5. 【天津耀华中学2013届高三年级第一次月考】计算=.
6. 【北京市东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测】图中阴影部分的面积等于.
7.【湖北省黄冈中学2013届高三4月月考】________.
8.【山东省济宁市2013届高三下学期期末考试】由直线及所围成的封闭图形的面积为.
9. 【山东省滨州市2013届高三第一次模拟】设的展开式中的常数项等于.
10. 【2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模】
____________.
【答案】
【解析】.
二.能力拔高
11. 【河北省唐山一中、衡水一中2013届高三4月联考】如图,设D是图中边长为4的正方形区域,E是D内函数的图像下方的点构成的区域,在D中随机取一点,则该点在E中的概率为( )
A. B. C. D.
12. 【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】
如果的展开式中的常数项为,则直线与曲线围成图形的面积为( )
A. B.9C. D.
13. 【云南玉溪一中高2013届高三下学期第三次月考】如图所示,曲线和曲线围成一个叶形图(阴影部分),则该叶形图的面积是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由,解得或,所以根据积分的应用可得阴影部分的面积为,选D.
14. 【山东省潍坊市四县一校2013届高三4月期中联考】已知,若,则=( )
A.1 B.-2 C.-2或4 D.4
【答案】D
【解析】由得,,解得或(舍去),选D.
15. 【山东省泰安市2013届高三下学期期中考试数学】=___.___.
16. 【2012-2013学年度河北省普通高中高三4月教学质量监测】已知函数,则
17.【江西省2013届百所重点高中阶段性诊断考试】
已知不等式的解集为(-1,2),则= ____ .
18. 【山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期质量检测】 设,则m与n的大小关系为.
【答案】m>n
【解析】, ,所以.
19. 【山东省滨州市滨城区一中2013届高三4月质检】 由曲线以及x轴所围成的面积为 ______ .
【答案】
【解析】
20.【江西省2013年四月高中毕业班新课程教学质量监测卷】已知函数则函数f(x)图像与直线:围成的封闭图形的面积是______.
三.提升自我
21. 【山东省济南市2013届高三高考第一次模拟考试】设,则下列关系式成立的是( )
A.B.
C.D.
22. 【山东省烟台市2012-2013学年度第一学期模块检测】如图,设D是图中边长分别为1和2的矩形区域,E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域,则阴影部分E的面积为( )
A. B. C. D.
23. 【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】已知是曲线与围成的区域,若向区域下随机投一点,则点落入区域的概率为.
24. 【天津一中2012—2013学年高三数学一月考】曲线与直线y=x和y=3所围成的平面图形的面积为_________.
【答案】4-ln3
【解析】由得.当,解得,由,解得,由得
.所以根据积分的应用知所求面积为
.
25. 【山东省烟台市2013届高三第一次模拟诊断性测试】给出下列命题:
①函数在区间[1,3]下是增函数;
②函数f(x)=2x-x2的零点有3个;
③函数y= sin x(x∈)图像与x轴围成的图形的面积是S= ;
④若~N(1,),且P(0≤≤1)=0.3,则P(≥2)=0.2.
其中真命题的序号是(请将所有正确命题的序号都填下).
【考点预测】
1.若则等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.
2.已知函数 ()的图象如下图所示,它与x轴在原点处
相切,且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为,则a的值
为.
【答案】-1
3.函数 的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为(
)
A. B. 1 C. 2 D.5.函数的图像和其在点处的切线与轴所围成区域的面积为________.
【答案】