河南省信阳市三门峡市高考数学一模试卷理科解析版 13页

‎2016年河南省信阳市、三门峡市高考数学一模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设全集U=R，A={x|0.3x＜1}，B={x|x＜x2﹣2}，则A∩（∁UB）=（　　）‎ A．{x|﹣1＜x＜0}B．{x|0＜x≤2}C．{x|0＜x＜2}D．{x|0＜x≤1}‎ ‎2．已知复数z1=2+2i，z2=1﹣3i（i为虚数单位），那么复数所对应的点在复平面的（　　）‎ A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 ‎3．设命题p：∀x＞0，lnx＞lgx，命题q：∃x＞0， =1﹣x2，则下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧qB．￢p∧￢qC．p∧￢qD．￢p∧q ‎4．某同学有6本工具书，其中语文1本、英语2本、数学3本，现在他把这6本书放到书架上排成一排，则同学科工具书都排在一起的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为e，一条渐近线的方程为y=x，则e=（　　）‎ A． B． C．2D．‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，输出s的值为（　　）‎ A．2B．﹣C．3D．‎ ‎7．某几何体的三视图细图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．12B．13C．18D．20‎ ‎8．在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且||=3||，当=x+y时，x﹣y=（　　）‎ A．﹣2B．﹣2C．2D．3‎ ‎9．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为．后人导出了“牟合方盖”的体积计算公式，即V牟=r3﹣V方盖差，r为球的半径，也即正方形的棱长均为2r，为从而计算出V球=πr3．记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正，棱长为2r的正方形的方盖差为V方盖差，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象（部分）如图所示，把f（x）的图象上各点向左平移单位，得到函数g（x）的图象，则g（）=（　　）‎ A．﹣1B．1C．﹣D．‎ ‎11．已知O为坐标原点，M（x，y）为不等式组表示的平面区域内的动点，点A的坐标为（2，1），则z=•的最大值为（　　）‎ A．﹣5B．﹣1C．1D．0‎ ‎12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，c=2（b﹣cosC），则△ABC周长的取值范围是（　　）‎ A．（1，3]B．[2，4]C．（2，3]D．[3，5]‎ ‎　‎ 二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13．已知函数y=f（x）+x3为偶函数，且f（10）=10，若函数g（x）=f（x）+6，则g（﹣10）=　　　　　　．‎ ‎14．如图所示的一系列正方形将点阵分割，从内向外扩展，其模式如下：‎ ‎4=22‎ ‎4+12=16=42‎ ‎4+12+20+36=62‎ ‎4+12+20+28=64=82‎ ‎…‎ 由上述事实，请推测关于n的等式：　　　　　　．‎ ‎15．已知a=dx，则（ax+）6展开式中的常数项为　　　　　　．‎ ‎16．已知e是自然对数的底数，实数a，b满足eb=2a﹣3，则|2a﹣b﹣1|的最小值为　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．‎ ‎18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＜0，且1，a2，81成等比数列，a3+a7=﹣6．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求{}的前n项和Tn取得最小值时n的值．‎ ‎19．某新建公司规定，招聘的职工须参加不小于80小时的某种技能培训才能上班．公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．‎ ‎（Ⅰ）求抽取的200名职工中，参加这种技能培训服务时间不少于90小时的人数，并估计从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率；‎ ‎（Ⅱ）从招聘职工（人数很多）中任意选取3人，记X为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数．试求X的分布列和数学期望E（X）和方差D（X）．‎ ‎20．如图，椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为A、B，右焦点为F，且，．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过椭圆的右焦点F作直线l1，l2，直线l1与椭圆分别交于点M、N，直线l2与椭圆分别交于点P、Q，且，求四边形MPNQ的面积S的最小值．‎ ‎21．设函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅲ）当a=时，设函数g（x）=x2﹣2bx﹣，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．‎ ‎　‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图所示，⊙O为△ABC的外接圆，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD．‎ ‎（1）求证：∠EDF=∠CDF；‎ ‎（2）求证：AB2=AF•AD．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的参数方程（α为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=3‎ ‎（1）求直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；‎ ‎（2）求圆C上任一点P到直线l距离的最小值和最大值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2‎ ‎（Ⅰ）解不等式f（x）≥0‎ ‎（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016年河南省信阳市、三门峡市高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设全集U=R，A={x|0.3x＜1}，B={x|x＜x2﹣2}，则A∩（∁UB）=（　　）‎ A．{x|﹣1＜x＜0}B．{x|0＜x≤2}C．{x|0＜x＜2}D．{x|0＜x≤1}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】分别求出集合A，B，以及B的补集，再求出其和A的交集即可．‎ ‎【解答】解：U=R，A={x|0.3x＜1}={x|x＞0}，‎ B={x|x＜x2﹣2}={x|x＞2或x＜﹣1}，‎ ‎∴∁UB）={x|﹣1≤x≤2}，‎ ‎∴A∩（∁UB）={x|0＜x≤2}，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．已知复数z1=2+2i，z2=1﹣3i（i为虚数单位），那么复数所对应的点在复平面的（　　）‎ A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接把复数z1，z2代入复数，由复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面对应的点的坐标，则答案可求．‎ ‎【解答】解：已知复数z1=2+2i，z2=1﹣3i（i为虚数单位），‎ 则==，‎ ‎∴复数在复平面所对应的点的坐标为：（，），位于第二象限．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．设命题p：∀x＞0，lnx＞lgx，命题q：∃x＞0， =1﹣x2，则下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧qB．￢p∧￢qC．p∧￢qD．￢p∧q ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】命题p：是假命题，例如取x=1，则lnx=lgx=0．命题q：画出图象：即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：命题p：∀x＞0，lnx＞lgx，是假命题，例如取x=1，则lnx=lgx=0．‎ 命题q：∃x＞0， =1﹣x2，画出图象可知：q为真命题．‎ 则下列命题为真命题的是￢p∧q．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．某同学有6本工具书，其中语文1本、英语2本、数学3本，现在他把这6本书放到书架上排成一排，则同学科工具书都排在一起的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】由题意可得：将6本不同的书排成一排放到书架上共有A66中排法，把2本英语捆绑在一起，把3本数学捆绑在一起，和1本语文，全排，根据概率公式计算即可得到答案．‎ ‎【解答】解：把这6本书放到书架上排成一排，共有A66=720种，‎ 把2本英语捆绑在一起，把3本数学捆绑在一起，和1本语文，全排，故有A22A33A33=72，‎ 故同学科工具书都排在一起的概率是=，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为e，一条渐近线的方程为y=x，则e=（　　）‎ A． B． C．2D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求得双曲线的渐近线方程，由条件可得=，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：由题意可得e=，‎ 双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，‎ 由题意可得=，‎ 由b=，可得==，‎ 即为e2=2e，解得e=2（0舍去）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，输出s的值为（　　）‎ A．2B．﹣C．3D．‎ ‎【考点】循环结构．‎ ‎【分析】根据题意，本程序框图为求S的值，利用循环体，代入计算可得结论．‎ ‎【解答】解：根据题意，本程序框图为求S的值 第一次进入循环体后，i=1，S=；‎ 第二次进入循环体后，i=2，S=﹣；‎ 第三次进入循环体后，i=3，S=3‎ 第四次进入循环体后，i=4，S=；‎ 退出循环 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．某几何体的三视图细图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．12B．13C．18D．20‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可知几何体为侧放的四棱锥．‎ ‎【解答】解：由三视图可知该几何体为四棱锥，棱锥的底面是边长为4和5的矩形，高为3，‎ ‎∴V==20．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且||=3||，当=x+y时，x﹣y=（　　）‎ A．﹣2B．﹣2C．2D．3‎ ‎【考点】向量的线性运算性质及几何意义．‎ ‎【分析】可作出图形，然后由条件便可得到，根据向量加法的几何意义及向量的数乘运算便可得到，从而由平面向量基本定理即可得出x，y的值，从而求出x﹣y的值．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 根据条件，；‎ ‎∴；‎ ‎∴=；‎ 又；‎ ‎∴；‎ ‎∴x﹣y=﹣2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为．后人导出了“牟合方盖”的体积计算公式，即V牟=r3﹣V方盖差，r为球的半径，也即正方形的棱长均为2r，为从而计算出V球=πr3．记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正，棱长为2r的正方形的方盖差为V方盖差，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】计算出V方盖差，V正，即可得出结论 ‎【解答】解：解：由题意，V方盖差=r3﹣V牟=r3﹣×××π×r3=r3，‎ 所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V正=×=r3，‎ ‎∴==，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象（部分）如图所示，把f（x）的图象上各点向左平移单位，得到函数g（x）的图象，则g（）=（　　）‎ A．﹣1B．1C．﹣D．‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而求得要求式子的值．‎ ‎【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象，‎ 可得A=2， •=﹣，求得ω=π．‎ 再根据五点法作图可得π•+φ=，求得φ=，故f（x）=2sin（πx+）．‎ 把f（x）的图象上各点向左平移单位，得到函数g（x）=2sin[π（x+）+]=2cos（πx+）的图象，‎ 则g（）=2cos（+）=2cos=﹣1，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．已知O为坐标原点，M（x，y）为不等式组表示的平面区域内的动点，点A的坐标为（2，1），则z=•的最大值为（　　）‎ A．﹣5B．﹣1C．1D．0‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，利用向量的坐标运算得到线性目标函数，化目标函数为直线方程的斜截式，把最优解的坐标代入目标函数得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ z=•=（2，1）•（x﹣2，y﹣1）=2x﹣4+y﹣1=2x+y﹣5，‎ 化为直线方程的斜截式：y=﹣2x+z+5，‎ 由图可知，当直线y=﹣2x+z+5过A（2，2）时，‎ 直线在y轴上的截距最大，z有最大值为1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，c=2（b﹣cosC），则△ABC周长的取值范围是（　　）‎ A．（1，3]B．[2，4]C．（2，3]D．[3，5]‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】由余弦定理求得cosC，代入已知等式可得（b+c）2﹣1=3bc，利用基本不等式求得b+c≤2，故a+b+c≤3．再由三角形任意两边之和大于第三边求得a+b+c＞2，由此求得△ABC的周长的取值范围．‎ ‎【解答】解：△ABC中，由余弦定理可得2cosC=，‎ ‎∵a=1，2cosC+c=2b，‎ ‎∴+c=2b，化简可得（b+c）2﹣1=3bc．‎ ‎∵bc≤（）2，‎ ‎∴（b+c）2﹣1≤3×（）2，解得b+c≤2（当且仅当b=c时，取等号）．‎ 故a+b+c≤3．‎ 再由任意两边之和大于第三边可得 b+c＞a=1，故有 a+b+c＞2，‎ 故△ABC的周长的取值范围是（2，3]，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13．已知函数y=f（x）+x3为偶函数，且f（10）=10，若函数g（x）=f（x）+6，则g（﹣10）=　2016　．‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】根据函数y=f（x）+x3为偶函数、f（10）=10，由偶函数的性质列出方程求出f（﹣10）的值，代入函数g（x）=f（x）+6求出g（﹣10）的值．‎ ‎【解答】解：因为函数y=f（x）+x3为偶函数，‎ 所以f（10）+103=f（﹣10）+（﹣10）3，‎ 由f（10）=10得，f（﹣10）=2010，‎ 因为函数g（x）=f（x）+6，所以g（﹣10）=2016，‎ 故答案为：2016．‎ ‎　‎ ‎14．如图所示的一系列正方形将点阵分割，从内向外扩展，其模式如下：‎ ‎4=22‎ ‎4+12=16=42‎ ‎4+12+20+36=62‎ ‎4+12+20+28=64=82‎ ‎…‎ 由上述事实，请推测关于n的等式：　4+12+20+…+（8n﹣4）=（2n）2（n∈N*）　．‎ ‎【考点】数列递推式；归纳推理．‎ ‎【分析】由已知中的点阵分隔所得的等式，归纳变化规律，可得答案．‎ ‎【解答】解：由已有中正方形将点阵分割，从内向外扩展，其模式如下：‎ ‎4=22‎ ‎4+12=16=42‎ ‎4+12+20+36=62‎ ‎4+12+20+28=64=82‎ ‎…‎ 归纳可得：等式左边是一个以8为公差，以4为首项的等差数列，右边是正偶数的平方，‎ 故第n个式子为：4+12+20+…+（8n﹣4）=（2n）2（n∈N*），‎ 故答案为：4+12+20+…+（8n﹣4）=（2n）2（n∈N*）‎ ‎　‎ ‎15．已知a=dx，则（ax+）6展开式中的常数项为　160π3　．‎ ‎【考点】定积分；二项式系数的性质．‎ ‎【分析】由定积分的几何意义可求a值，再由二项式定理可得．‎ ‎【解答】解：a=dx表示圆x2+y2=4面积的一半，‎ 故a=×π×22=2π，∴（ax+）6=（2πx+）6，‎ 展开式通项为Tk+1=（2πx）6﹣k（）k=（2π）6﹣kx6﹣2k，‎ 令6﹣2k=0可解得k=3，故展开式中的常数项为T4=（2π）3=160π3，‎ 故答案为：160π3．‎ ‎　‎ ‎16．已知e是自然对数的底数，实数a，b满足eb=2a﹣3，则|2a﹣b﹣1|的最小值为　3　．‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】利用已知条件化简表达式，利用构造法以及函数的导数求解函数的最值．‎ ‎【解答】解：e是自然对数的底数，实数a，b满足eb=2a﹣3，2a﹣3＞0，可得b=ln（2a﹣3），‎ ‎|2a﹣b﹣1|=|2a﹣ln（2a﹣3）﹣1|，令2a﹣3=x，上式化为|x﹣lnx+2|，‎ 令y=x﹣lnx+2，可得y′=1﹣，由y′=0，可得x=1，当x∈（0，1）时，y′＜0，函数是减函数，‎ x＞1时，y′＞0，函数是增函数，x=1时，y=x﹣lnx取得最小值：3．‎ 则|2a﹣b﹣1|的最小值为3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；‎ ‎（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a．又由正弦定理得即可得到即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，‎ 即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．‎ 因为0＜A＜π，所以．‎ ‎（Ⅱ）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．‎ 由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．‎ 又由正弦定理得．‎ ‎　‎ ‎18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＜0，且1，a2，81成等比数列，a3+a7=﹣6．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求{}的前n项和Tn取得最小值时n的值．‎ ‎【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】（I）由a3+a7=﹣6=2a5，解得a5．由1，a2，81成等比数列， =1×81，a2＜0，解得a2．可得等差数列{an}的公差d=．可得an．‎ ‎（II）Sn=n2﹣12n. =n﹣12．由n﹣12≤0，解得n即可得出．‎ ‎【解答】解：（I）∵a3+a7=﹣6=2a5，解得a5=﹣3．‎ ‎∵1，a2，81成等比数列， =1×81，a2＜0，∴a2=﹣9．‎ ‎∴等差数列{an}的公差d===2．‎ ‎∴an=a2+（n﹣2）×2=2n﹣13．‎ ‎（II）Sn==n2﹣12n．‎ ‎=n﹣12．‎ 由n﹣12≤0，解得n≤12，‎ ‎∴当n=11，12时，{}的前n项和Tn取得最小值．‎ ‎　‎ ‎19．某新建公司规定，招聘的职工须参加不小于80小时的某种技能培训才能上班．公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．‎ ‎（Ⅰ）求抽取的200名职工中，参加这种技能培训服务时间不少于90小时的人数，并估计从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率；‎ ‎（Ⅱ）从招聘职工（人数很多）中任意选取3人，记X为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数．试求X的分布列和数学期望E（X）和方差D（X）．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（Ⅰ）依题意，参加这种技能培训时间在时间段[90，95）小时的职工人数为60，在时间段[95，100）小时的职工人数为20，由此能求出从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率．‎ ‎（Ⅱ）依题意，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列、数学期望与方差．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）依题意，参加这种技能培训时间在时间段[90，95）小时的职工人数为：200×0.06×5=60，‎ 在时间段[95，100）小时的职工人数为200×0.02×5=20，‎ ‎∴抽取的200位职工中，参加这种技能培训时间不少于90小时的职工人数为80，‎ ‎∴从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率估计为：‎ p==．‎ ‎（Ⅱ）依题意，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，‎ P（X=0）==，‎ P（X=1）==，‎ P（X=2）==，‎ P（X=3）=，‎ ‎∴随机变量X的分布列为：‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎∵X～B（3，），EX==，DX=3×=．‎ ‎　‎ ‎20．如图，椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为A、B，右焦点为F，且，．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过椭圆的右焦点F作直线l1，l2，直线l1与椭圆分别交于点M、N，直线l2与椭圆分别交于点P、Q，且，求四边形MPNQ的面积S的最小值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设椭圆的方程，利用，，确定几何量，从而可得椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）利用，确定l1⊥l2． 再分类讨论，分别计算四边形MPNQ的面积，利用基本不等式，可确定四边形形MPNQ的面积S的最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为（a＞b＞0），‎ 则由题意知c=1，‎ 又∵‎ ‎∴（a+c）（a﹣c）=1=a2﹣c2‎ ‎∴a2=2‎ ‎∴b2=a2﹣c2=1，‎ 故椭圆的方程为：；‎ ‎（Ⅱ）设M（xM，yM），N（xN，yN），P（xP，yP），Q（xQ，yQ）．‎ 则由题意：‎ 整理得：（xN﹣xM）（xP﹣xQ）+（yN﹣yM）（yP﹣yQ）=0．‎ 所以l1⊥l2． ‎ ‎①若直线l1，l2中有一条斜率不存在，不妨设l2的斜率不存在，则可得l2⊥x轴，‎ ‎∴|MN|=2，|PQ|=，‎ 故四边形MPNQ的面积S=．‎ ‎②若直线l1，l2的斜率存在，设直线l1的方程：y=k（x﹣1）（k≠0），则 代入椭圆方程，消去y可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=．‎ ‎∴|MN|===‎ 同理可求得，|PQ|=．‎ 故四边形MPNQ的面积：S==≥‎ 当且仅当k=±1时，取“=”．‎ 综上，四边形形MPNQ的面积S的最小值为．‎ ‎　‎ ‎21．设函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅲ）当a=时，设函数g（x）=x2﹣2bx﹣，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出当a=1时，f（x）的表达式和导数，及切线的斜率，切点，求出切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求出导数f′（x），并分解因式，讨论a=0，a≠0时分0＜a＜，a=，a＞，a＜0，求出单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立⇔g（x）在[0，1]上的最小值 不大于f（x）在[1，2]上的最小值．由（Ⅱ）知f（x）在[1，2]上递增，所以f（x）在[1，2]上的最小值 为f（1）=﹣，就b讨论：b＜0，0≤b≤1，b＞1时g（x）的最小值，再解不等式即可得到．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x﹣1，f′（x）=﹣1，‎ ‎∴f′（1）=0，f（1）=﹣2，∴曲线f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣2．‎ ‎（Ⅱ）f′（x）=﹣a﹣=（x＞0）‎ 当a=0，f′（x）=，f（x）的增区间是（1，+∞），减区间是（0，1），‎ 当a≠0时，＞1，即0＜a＜时，f（x）的增区间是（1，），减区间是（0，1），（，+∞），‎ ‎=1，即a=，f（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；‎ ‎＜1，即a＞或a＜0，a＞时，f（x）的增区间是（，1），减区间是（0，），（1，+∞），‎ a＜0，f（x）的增区间是（0，），（1，+∞），减区间是（，1）；‎ ‎（Ⅲ）当a=时，由（Ⅱ）知f（x）在[1，2]上递增，‎ 所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=﹣，‎ 若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立⇔g（x）在[0，1]上的最小值 不大于f（x）在[1，2]上的最小值．‎ 又g（x）=x2﹣2bx﹣=（x﹣b）2﹣b2﹣，x∈[0，1]，‎ ‎①当b＜0，g（x）在[0，1]上递增，g（x）min=g（0）=﹣＞﹣，不成立；‎ ‎②当0≤b≤1，g（x）min=g（b）=﹣b2﹣，由﹣b2﹣≤﹣及0≤b≤1，≤b≤1；‎ ‎③当b＞1时，g（x）在[0，1]上递减，g（x）min=g（1）=﹣2b≤﹣，此时b＞1，‎ 综上，b的取值范围是[，+∞）．‎ ‎　‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图所示，⊙O为△ABC的外接圆，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD．‎ ‎（1）求证：∠EDF=∠CDF；‎ ‎（2）求证：AB2=AF•AD．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段．‎ ‎【分析】（1）可根据切割线定理先得出关于FD，FA，FC，FB的比例关系，然后得出三角形FDC和FBA相似，因此可得出∠CDF=∠ABC，∠EDF和∠ADB是对顶角，因此只要证得∠ABC=∠ADB相等即可，AB=AC，∠ABC=∠ACB，而∠ACB和∠ADB又对应同一段弧，因此也就相等了，至此便可得出本题的结论；‎ ‎（2）关键是证△ABD，△ABF相似，已经有一个公共角，根据（1）中证明的过程我们不难得出∠ABC=∠CDF，得到两三角形相似后根据相似三角形的对应边对应比例即可得出所求的结果 ‎【解答】证明：（1）根据切割线定理的推论可知：FD•FA=FC•FB ‎∵∠F=∠F，‎ ‎∴△FDC∽△FBA，‎ ‎∴∠CDF=∠ABC，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB，‎ ‎∵∠ADB=∠ACB（所对的弧相等）‎ ‎∴∠ABC=∠ADB=∠EDF，‎ ‎∴∠EDF=∠CDF；‎ ‎（2）由（1）知∠ADB=∠ABC．‎ 又∵∠BAD=∠FAB，‎ ‎∴△ADB∽△ABF，∴=，‎ ‎∴AB2=AF•AD．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的参数方程（α为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=3‎ ‎（1）求直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；‎ ‎（2）求圆C上任一点P到直线l距离的最小值和最大值．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）根据参数方程和极坐标方程和普通方程的关系进行转化即可．‎ ‎（2）求出圆心和半径，利用直线和圆的位置关系进行判断即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=3‎ ‎∴ρcosθ+ρsinθ=3，即x+y﹣3=0．‎ ‎∵圆C的参数方程，‎ ‎∴消去参数得（x﹣1）2+y2=1．‎ 即圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1．‎ ‎（2）由圆的普通方程得（x﹣1）2+y2=1，得圆心C（1，0），半径r=1，‎ 则圆心C到直线l的距离d=＞1，‎ 则直线与圆C相离，‎ 则圆C上任一点P到直线l距离的最小值是，最大值是．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2‎ ‎（Ⅰ）解不等式f（x）≥0‎ ‎（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集．‎ ‎（Ⅱ）不等式即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．根据绝对值的意义可得|x+|﹣|x|∈[﹣，]，故有+1≥﹣，由此求得a的范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2=，‎ 当x＜﹣时，由﹣x﹣3≥0，可得x≤﹣3．‎ 当﹣≤x＜0时，由3x﹣1≥0，求得 x∈∅．‎ 当x≥0时，由x﹣1≥0，求得 x≥1．‎ 综上可得，不等式的解集为{x|x≤﹣3 或x≥1}．‎ ‎（Ⅱ）f（x）≤|x|+a，即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．‎ 由于|x+|﹣|x|表示数轴上的x对应点到﹣对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+|﹣|x|∈[﹣，]，‎ 故有+1≥﹣，求得a≥﹣3．‎ ‎　‎ ‎2016年7月21日