2014高考数学全面突破最新一轮复习必考题型巩固提升学案85直线平面垂直的判定及其性质 9页

‎8.5直线、平面垂直的判定及其性质 考情分析 近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考察重点，在难度上也始终以中等偏难为主。‎ 基础知识 ‎1判断线线垂直的方法：①所成的角是直角，两直线垂直；②垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条；③垂直于同一平面的两条直线平行。‎ ‎2．线面垂直： ①定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。直线l与平面α垂直记作：l⊥α。‎ ②直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。‎ ③直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。‎ ‎3．面面垂直：①两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。‎ ②两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直（线面垂直面面垂直）。‎ ③两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面（面面垂直线面垂直）。‎ 注意事项 ‎1.垂直问题的转化关系 ‎2. (1)证明线线垂直的方法 ‎①定义：两条直线所成的角为90°；‎ ‎②平面几何中证明线线垂直的方法；‎ ‎③线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；‎ ‎④线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.‎ ‎(2)证明线面垂直的方法 ‎①线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；‎ ‎②判定定理1：⇒l⊥α；‎ ‎③判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；‎ ‎④面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；‎ ‎⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.‎ ‎(3)证明面面垂直的方法 ‎①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；‎ ‎②判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥‎ 题型一　直线与平面垂直的判定与性质 ‎【例1】下列命题中错误的是(　　)‎ A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 答案：D 解析：对于命题A，在平面α内存在直线l平行于平面α与平面β的交线，则l平行于平面β，故命题A正确．‎ 对于命题B，若平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α与平面β垂直，故命题B正确．‎ 对于命题C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在l上，过P作直线a，b，使a⊥m，b⊥n.‎ ‎∵γ⊥α，a⊥m，则a⊥α，∴a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，a⊂γ，b⊂γ，∴l⊥γ.故命题C正确．‎ 对于命题D，设α∩β＝l，则l⊂α，但l⊂β.故在α内存在直线不垂直于平面β，即命题D错误，故选D.‎ ‎【变式1】 如图，‎ 已知BD⊥平面ABC，‎ MC綉BD，AC＝BC，N是棱AB的中点．‎ 求证：CN⊥AD.‎ 证明　∵BD⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，∴BD⊥CN.‎ 又∵AC＝BC，N是AB的中点．‎ ‎∴CN⊥AB.‎ 又∵BD∩AB＝B，‎ ‎∴CN⊥平面ABD.‎ 而AD⊂平面ABD，‎ ‎∴CN⊥AD.‎ 题型二　平面与平面垂直的判定与性质 ‎【例2】如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的关系是________．‎ 答案：垂直 解析：⇒DE⊥AC且BE⊥AC.故AC⊥平面BDE.故平面ADC⊥平面BDE.‎ ‎【变式2】 如图所示，‎ 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．‎ 证明：平面ABM⊥平面A1B1M.‎ 证明　∵A1B1⊥平面B1C1CB，BM⊂平面B1C1CB，∴A1B1⊥BM，‎ 由已知易得B1M＝，‎ 又BM＝＝，B1B＝2，‎ ‎∴B1M2＋BM2＝B1B2，∴B1M⊥BM.‎ 又∵A1B1∩B1M＝B1，∴BM⊥平面A1B1M.‎ 而BM⊂平面ABM，∴平面ABM⊥平面A1B1M.‎ 考向三　平行与垂直关系的综合应用 ‎【例3】已知平面α，β和直线m，给出下列条件：‎ ‎①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.‎ ‎(1)当满足条件________时，有m∥β；‎ ‎(2)当满足条件________时，有m⊥β(填所选条件的序号)．‎ 答案：(1)③⑤　(2)②⑤‎ 解析：(1)∵α∥β，m⊂α，‎ ‎∴m∥β.‎ ‎(2)∵α∥β，m⊥α，‎ ‎∴m⊥β.‎ ‎【变式3】 如图，‎ 正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.‎ ‎(1)求证：AF∥平面BDE；‎ ‎(2)求证：CF⊥平面BDE. ‎ 证明　(1)设AC与BD交于点G.‎ 因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1.‎ 所以四边形AGEF为平行四边形，‎ 所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，‎ 所以AF∥平面BDE.‎ ‎(2)如图，连接FG.‎ 因为EF∥CG，EF＝CG＝1，‎ 且CE＝1，‎ 所以四边形CEFG为菱形．‎ 所以CF⊥EG.‎ 因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.‎ 又因为平面ACEF⊥平面ABCD，‎ 且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，‎ 所以BD⊥平面ACEF. ‎ 所以CF⊥BD.‎ 又BD∩EG＝G.‎ 所以CF⊥平面BDE.‎ 考向四　线面角 ‎【例4】‎ 如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．‎ ‎(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；‎ ‎(2)当PD＝AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．‎ ‎ (1)证明　∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD，‎ ‎∴PD⊥AC.又PD∩BD＝D，‎ ‎∴AC⊥平面PDB.又AC⊂平面AEC，‎ ‎∴平面AEC⊥平面PDB.‎ ‎(2)解　设AC∩BD＝O，连接OE.‎ 由(1)知，AC⊥平面PDB于点O，‎ ‎∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角．‎ ‎∵点O、E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，且OE＝PD.‎ 又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，∴OE⊥AO.‎ 在Rt△AOE中，OE＝PD＝AB＝AO，∴∠AEO＝45°.‎ 即AE与平面PDB所成的角为45°.‎ ‎ 求直线与平面所成的角，一般分为两大步：‎ ‎(1)找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；‎ ‎(2)计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．‎ ‎【训练4】‎ 如图，已知DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．‎ ‎(1)证明：PQ∥平面ACD；‎ ‎(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．‎ ‎(1)证明　因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.‎ 又DC∥EB，因此PQ∥DC，PQ⊄平面ACD，DC⊂平面ACD，从而PQ∥平面ACD.‎ ‎(2)解　如图，连接CQ，DP.‎ 因为Q为AB的中点，且AC＝BC，‎ 所以CQ⊥AB.‎ 因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，‎ 所以EB⊥平面ABC.‎ 因此CQ⊥EB，又AB∩EB＝B，‎ 故CQ⊥平面ABE.‎ 由(1)有PQ∥DC，又PQ＝EB＝DC，‎ 所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，‎ 因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，‎ 在Rt△DPA中，AD＝，DP＝1，sin∠DAP＝.‎ 因此AD和平面ABE所成角的正弦值为.　　‎ 重难点突破 ‎【例4】如图，‎ 在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：‎ ‎(1)直线EF∥平面PCD；‎ ‎(2)平面BEF⊥平面PAD.‎ 解析 ‎(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.‎ 又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.‎ ‎(2)如图，连结BD.‎ 因为AB＝AD，∠BAD＝60°，‎ 所以△ABD为正三角形．‎ 因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.‎ 因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.‎ 又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.‎ ‎ 巩固提高 ‎1.已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是(　　)‎ A. l∥m，l⊥α　　　　　 B. l⊥m，l⊥α C. l⊥m，l∥α　　 D. l∥m，l∥α 答案：C 解析：设m在平面α内的射影为n，当l⊥n且与α无公共点时，l⊥m，l∥α.‎ ‎2.设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是(　　)‎ A. 若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α B. 若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α C. 若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α D. 若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β 答案：C 解析：与α、β两垂直相交平面的交线垂直的直线m，可与α平行，故A错；对于B，存在n∥α情况，故B错；D，存在α∥β情况，故D错．由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以m⊥α，故C正确，选C.‎ ‎3.平面α⊥平面β的一个充分条件是(　　)‎ A. 存在一条直线l，l⊥α，l⊥β B. 存在一个平面γ，γ∥α，γ∥β C. 存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β D. 存在一条直线l，l⊥α，l∥β 答案：D 解析：由A项可推出α∥β；由B项可推出α∥β；由C项可推出α∥β或α⊥β，均不是 α⊥β的充分条件．故应选D.‎ ‎4.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABCDEF，PA＝2AB，则下列结论正确的是(　　)‎ A. PA⊥AD B. 平面ABCDEF⊥平面PBC C. 直线BC∥平面PAE D. 直线PD与平面ABCDEF所成的角为30°‎ 答案：A 解析：因为PA⊥平面ABCDEF，所以PA⊥AD，故A正确；B项中两个平面不垂直；C项中，AD与平面PAE相交，BC∥AD，故C错；D项中，PD与平面ABCDEF所成的角为45°，故D错．故选A.‎ ‎5.如图，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：‎ ‎①BD⊥AC；‎ ‎②△BAC是等边三角形；‎ ‎③三棱锥D－ABC是正三棱锥；‎ ‎④平面ADC⊥平面ABC.‎ 其中正确的是(　　)‎ A. ①②④　　 B. ①②③‎ C. ②③④　　 D. ①③④‎ 答案：B 解析：由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①对；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②对；易知DA＝DB＝DC，又由②知③对；由①知④错．故选B.‎