2019届高考数学一轮复习 第七章 第2讲空间几何体的表面积与体积学案（无答案）文 11页

空间几何体的表面积与体积 ‎【目标分解一】空间几何体的表面积 ‎【目标分解二】空间几何体的体积 ‎【目标分解三】球与空间几何体的接、切问题 ‎ 【课前自主复习】‎ ‎1.熟记常用的平面图形面积公式 ‎2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面 积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧 ‎＝π(r＋r′)l ‎3.空间几何体的表面积与体积公式 ‎　　名 称 几何体　　‎ 表面积 体积 柱 体 ‎(棱柱和圆柱)‎ S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥 体 ‎(棱锥和圆锥)‎ S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台 体 (棱台和圆台)‎ S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2‎ V＝πR3‎ ‎4．与球有关的切、接结论 外接球:若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。‎ 结论1：(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，2R＝a；球心是其体对角线的中点，‎ ‎(2)长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.‎ 11‎ 球心是其体对角线的中点．‎ 结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．‎ 结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．‎ 结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．‎ 结论5：正四面体、同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥、棱锥含有线面垂直关系…都可分别构造长方体和正方体．‎ 内切球问题：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。内切球球心到多面体各面的距离均相等。‎ 结论1：正方体的棱长为a，球的半径为R。‎ 若球为正方体的内切球，则2R＝a； 若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.‎ 结论2：正多面体的内切球和外接球的球心重合．‎ 结论3：正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合．‎ 结论4：基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理．体积分割求内切球半径 结论5：正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1。‎ 正四面体棱长为，外接球半径= 内切球的半径= ‎ ‎ ‎ ‎【基础自测】‎ ‎1．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为(　　) 表面积为 ‎ A．1　　　　　　B． C． D． 11‎ ‎2. 圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比V球∶V柱为(　　)‎ A．1∶2 B．2∶3‎ C．3∶4 D．1∶3‎ ‎3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　) 表面积为 ‎ A．6 B．‎3‎ ‎ C．2 D．3‎ ‎4. 已知圆锥的侧面积为a m2，且它的侧面展开图为半圆，则圆锥的体积为________m3.‎ ‎5. 一个棱长为‎2 cm的正方体的顶点都在球面上，则球的体积为________cm3.‎ ‎　‎ ‎【目标分解一】空间几何体的表面积 利用平面图形面积公式求出各个面的面积 旋转体要对底面半径、母线长与侧面展开图中的边长关系准确对应。‎ 例 (2016·高考全国卷乙)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是(　　)‎ A．17π　　　　　　　　　 B．18π C．20π D．28π 11‎ ‎【我会做】‎ ‎ 1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于(　　)‎ A．8＋2 B．11＋2 C．14＋2 D．15‎ ‎★【我能做对】2．(2017·长春调研)某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为(　　)‎ A．2＋π B．2＋π C．2＋(1＋)π D．2＋π ‎★【我能做对】3. (2017·安徽江南十校联考)某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．4π＋16＋4 B．5π＋16＋4 C．4π＋16＋2 D．5π＋16＋2 ‎【目标分解二】空间几何体的体积 11‎ 常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．‎ ‎(2)等积法（三棱锥 四面体常用）：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．‎ ‎(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体．‎ 例 (2016·高考山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为(　　)‎ A．＋π　　　　　　　 B．＋π C．＋π D．1＋π ‎【我会做】‎ ‎ 1．如图所示，已知三棱柱ABCA1B‎1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为(　　)‎ A． B． C． D． ‎2.(2017·唐山第一次模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A． B． C．8－ D．8－ ‎★【我能做对】3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A．＋2π B． 11‎ C． D． ‎★【我能做对】4．(2016·高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 A．　　　　　　　　　　 B． C． D．1‎ ‎★★【我要挑战】‎ ‎5. (2017·唐山模拟)如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，则此几何体的体积为________．‎ ‎ ‎ ‎【目标分解三】球与空间几何体的接、切问题 例 (2017·沈阳模拟)已知直三棱柱ABCA1B‎1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)‎ A．　　　　　　　　　 B．2 C． D．3 ‎★【我能做对】 若将本例中的直三棱柱改为“底面边长为2，高为4的正四棱锥”，如何求解？‎ 11‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【我会做】‎ ‎1. 【2017全国Ⅱ，文15】长方体的长，宽，高分别为，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为 ．‎ ‎2. 【2017福建4月质检】已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎★【我能做对】 3. 如图中的三个直角三角形是一个体积为的几何体的三视图，则该几何体外接球的面积（单位： ）等于 ( )． ‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 【2014陕西高考】已知底面边长为1，侧棱长为错误！未找到引用源。的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）‎ 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。★★【我要挑战】‎ ‎5.【2015全国Ⅱ，文10】已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点．若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 6. ‎【2014湖南高考文8】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ） ‎ ‎ A.1 B‎.2 C.3 D.4 ‎ 11‎ ‎ 【巩固提升】‎ ‎1．将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是(　　)‎ A．40π2　　　　　　　　　 B．64π2‎ C．32π2或64π2 D．32π2＋8π或32π2＋32π ‎2．如图是一个空间几何体的三视图，其中正(主)视图、侧(左)视图都是由边长为4和6的矩形以及直径等于4的圆组成，俯视图是直径等于4的圆，该几何体的体积是(　　)‎ A． B． C． D． ‎3. 如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为(　　) ‎ A．　　　　 B．　　　　‎ C．　　　　 D． ‎4.(2016·高考全国卷丙)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　　)‎ 11‎ ‎ ‎ A．18＋36 B．54＋18 C．90 D．81‎ ‎5．在封闭的直三棱柱ABCA1B‎1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)‎ A．4π B． C．6π D． ‎6．(2017·福州模拟)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则棱柱的高h＝________．‎ ‎7. 如图，在三棱柱A1B‎1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B‎1C1ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎★我能做对8．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝________．‎ 11‎ ‎★★【我要挑战】9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ ‎ ‎ A． B． C． D． ‎★★【我要挑战】‎ ‎10．一个几何体的三视图如图所示，且其侧(左)视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为______‎ ‎ ‎ 11‎ ‎★★【我要挑战】‎ ‎ 11. (2017·太原一模)如图，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′BCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为(　　)‎ ‎ ‎ A．3π B．π C．4π D．π ‎★★【我要挑战】‎ ‎12. 已知△的顶点都在半径为的球的球面上，球心到平面的距离为， ，则球的体积是（ 　 ）‎ A． ‎ B． C． D． ‎ 11‎