20132017高考数学真题分类选修44内容 29页

第十六章选讲内容 第 1 节极坐标与参数方程（选修 4-4） 题型 160 极坐标方程化直角坐标方程 1.(2013 安徽理 7）在极坐标系中，圆 的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）. A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2.(2013 天津理 11）已知圆的极坐标方程为 ，圆心为 ，点 的极坐标为 ，则 . 3. (2013 重庆理 15）在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若 极坐标方程为 的直线与曲线 （ 为参数）相交于 两点，则 . 4.（2013 湖北理 16） 在直角坐标系 中，椭圆 的参数方程为 ( 为参数， )，在极坐标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点， 以 轴正半轴为极轴）中，直线 与圆 的极坐标方程分别为 （ 为非零数） 与 ．若直线 经过椭圆 的焦点，且与员 相切，则椭圆 的离心率为． 5.（2013 福建理 21） 在平面直角坐标系中，以坐标原点 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点 的极坐标 为 ，直线 的极坐标方程为 ，且点 在直线 上． （1）求 的值及直线 的直角坐标方程； （2）圆 的参数方程为 ，试判断直线 与圆 的位置关系. 6.（2014 重庆理 15）已知直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴正 2cosρ θ= ( )0θ ρ= ∈R cos 2ρ θ = ( )π 2 θ ρ= ∈R cos 2ρ θ = ( )π 2 θ ρ= ∈R cos 1ρ θ = ( )0θ ρ= ∈R cos 1ρ θ = 4cosρ θ= C P π4, 3      CP = xOy O x cos 4ρ θ = 2 3 x t y t  = = t A B， AB = xOy C cos sin x a y b ϕ ϕ =  = ϕ 0a b> > xOy O x l O 2sin 24 m πρ θ + = m bρ = l C O C O A π2, 4      l πcos 4 aρ θ − =   A l a l C )(sin ,cos1 为参数aay ax    = += l C l 2 3 x t y t = +  = + t x 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，则直线 与曲线 的公共点的极径 ________. 7.（2014 天津理 13）在以 为极点的极坐标系中，圆 和直线 相交于 两 点.若 是等边三角形，则 的值为___________. 8. （ 2014 陕 西 理 15 ） （ 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ） 在 极 坐 标 系 中 ， 点 到 直 线 的距离是. 9.（2014 湖北理 16）（选修 4-4：坐标系与参数方程） 已知曲线 的参数方程是 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系，曲线 的极坐标方程是 ，则 与 交点的直角坐标为________. 10.（2014 广东理 14）（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 和 的方程分别为 和 ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面 直角坐标系，则曲线 和 的交点的直角坐标为 . 11.（2014 安徽理 4）以平面直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种 坐标系中取相同的长度单位，已知直线 的参数方程是 （ 为参数），圆 的极坐标方程 是 ，则直线 被圆 截得的弦长为（）. A. B. C. D. 12.（2014 新课标 2 理 23）（本小题满分 10）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 的极坐标方程 为 ， . （1）求 的参数方程； （2）设点 在 上， 在 处的切线与直线 垂直，根据（1）中你得到的参数方程， C ( )2sin 4cos 0 0,0 π 2πρ θ θ ρ− = <  l C ρ = O 4sinρ θ= sin aρ θ = ,A B AOB△ a C. π2, 6      πsin 16 ρ θ − =   1C    = = 3 3ty tx ( )为参数t x 2C 2ρ = 1C 2C 1C 2C 2sin cosρ θ θ= sin 1ρ θ = x 1C 2C x l 1 3 x t y t = +  = − t C 4cosρ θ= l C 14 2 14 2 2 2 xOy x C 2 cosρ θ= 0, 2 θ π ∈   C D C C D : 3 2l y x= + 确定 的坐标. 13.（2015 陕西理 23）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）．以 原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 的极坐标方程为 ． (1)写出 的直角坐标方程； (2) 为直线 上一动点，当 到圆心 的距离最小时，求 的直角坐标． 13.解析（1）由 ， 从而有 . (2) ， 所以当 时， 取得最小值，此时 点的直角坐标为 . 14.（2015 北京理 11）在极坐标中，点 到直线 的距离 为. 14.解析极坐标中的点 对应直角坐标系中的点为 ，极坐标方程 对应的直角坐标系方程为 ，根据点到直线的距离公 式 . 15.（2015 广东理 14）已知直线 的极坐标方程为 ，点 的极坐标为 ，则点 到直线 的距离为． 15.解析依题已知直线 和点 可化为直线 D xOy l 13 2 3 2 x t y t  = +  = t x C 2 3sinρ θ= C P l P C P 22 3sin 2 3 sinρ θ ρ ρ θ= ⇒ = ( )22 2 2+ 2 3 , + 3 3x y y x y= − =所以 22 21 33 3 122 2d t t t   = + + − = +        0t = d P ( )3,0 π2, 3      ( )cos 3 sin 6ρ θ θ+ = π2, 3      ( )1, 3 ( )cos 3sin 6ρ θ θ+ = 3 6 0x y+ − = 1 3 6 12d + −= = l 2 sin 24 ρ θ π − =   A 72 2, 4A π     A l : 2 sin 24l ρ θ π − =   72 2, 4A π     和点 ，所以点 与直线 的距离为： ．故应填 ． 16.（2015 湖北理 16）在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系. 已知直线 l 的极坐标方程为 ，曲线 C 的参数方程为 ( t 为参数) ， l 与 C 相交于 A B 两点，则 . 16．解析因为 ，所以 ， 所以 ，即 ；由 消去 得 .联立方程组 ， 解得 或 ，即 ， ， 故 17.（2015 湖南理 16（Ⅱ））已知直线 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . (1)将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点 的直角坐标为 ，直线 与曲线 的交点为 ， ，求 的值. 17.解析 2. ( ) 等价于 . ① 将 ， 代入①式即得曲线 的直角坐标方程是 : 1 0l x y− − = ( )2, 2A − ( )2, 2A − l ( ) ( )22 2 2 1 3 2 21 1 d − − −= = + − 3 2 2 (sin 3cos ) 0ρ θ θ− = 1, 1 x t t y t t  = −  = + , | |AB = ( )sin 3 co s 0ρ θ θ− = sin 3 cos 0ρ θ ρ θ− = 3 0y x− = 3y x= 1 1 t t x t y t − +  =  = t 2 2 4y x− = 2 2 3 4 y x y x  = − = 2 2 3 2 2 x y  =  = 2 2 3 2 2 x y  = −  = − 2 3 2,2 2A       2 3 2,2 2B  − −    2 2 2 2 3 2 3 2 2 52 2 2 2AB    = + + + =          35 2: 13 2 x t l y t  = +  = + t x C 2cosρ θ= C M ( )5, 3 l C A B | | | |MA MB⋅ i θρ cos2= θρρ cos22 = 222 yx +=ρ x=θρ cos C . ② ( ) 将 代入②，得 . 设这个方程的两个实根分别为 ， 则由参数 的几何意义即知 ＝ 18.（2015 江苏 21（C））已知圆 的极坐标方程为 ，求圆 的半径． 18.解析由题意得 ， 所以 ，即 ， 从而 ，即 ，故圆 的半径为 ． 19.（2016 北京理 11）在极坐标系中，直线 圆 交于 两 点，则 __________. 19. 解析解法一：在平面直角坐标系中，题中的直线圆的方程分别是 .可得 两点的坐标 ，即为方程组 的解， 用代入法可求得 两点的坐标分别为 ， 所以由两点的距离公式可求得 . 解法二：直线的直角坐标方程为 ，圆的直角坐标方程为 . 圆心 在直线上，因此 为圆的直径，所以 . 20.（2016 全国丙卷 23）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，以坐 标 原 点 为 极 点 ， 以 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 ，，建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 cos 3 sin 1 0ρ θ ρ θ− − = 与 2cosρ θ= ,A B AB = 2 2 23 1 0, 2x y x y x− − = + = ,A B ( , )x y 2 2 1 3 ( 1) 1 x y x y  − = − + = ,A B 3 1 3 11 , , 1 ,2 2 2 2    + − −          2AB = 3 1 0x y− − = 2 2( 1) 1x y− + = ( )1,0 A B 2AB = xOy 1C 3cos ( ) sin x y θ θ θ  = = 为参数 x 2C 0222 =−+ xyx ii       += += .2 13 ,2 35 ty tx 018352 =++ tt 21, tt t |||| MBMA ⋅ .18|| 21 =tt C 2 2 2 sin 4 04 ρ ρ θ π + − − =   C 2 2sin sin cos4 2 2 θ θ θπ − = −   ( )2 2 sin cos 4 0ρ ρ θ θ+ − − = 2 2 sin 2 cos 4 0ρ ρ θ ρ θ+ − − = 2 2 2 2 4 0x y y x+ + − − = ( ) ( )2 21 1 6x y− + + = C 6 . （1）写出 的普通方程和 的直角坐标方程； （2）设点 在 上，点 在 上，求 的最小值及此时 的直角坐标. 20. 分析（1）利用同角三角函数基本关系中的平方关系曲线 的参数方程普通方程，利用公式 与 代入曲线 的极坐标方程即可；（2）利用参数方程表示出点 的坐标， 然后利用点到直线的距离公式建立 的三角函数表达式，然后求出最值与相应的点 坐 标即可. 解析（1） 的普通方程为 ， 的直角坐标方程为 . （2）由题意，可设点 的直角坐标为 ，因为 是直线，所以 的最小值，即为 到 的距离 的最小值， . 当且仅当 时， 取得最小值，最小值为 ，此时 的直角坐标为 . 21.（2017 天津理 11）在极坐标系中，直线 与圆 的公共点的个数 为___________. 21.解析直线 化直角坐标方程为 ，由 ，得其直角坐标方程为 ，即 ，则圆心 到直线的距离 ，知直线与圆相交，得它们的公共点的个数为 . 22.（2017 北京理 11）在极坐标系中，点 在圆 上，点 的坐标为 ，则 的最小值为___________. 22. 解析由 ，化为普通方程为 ， sin 2 24 ρ θ π + =   1C 2C P 1C Q 2C PQ P 1C c o s xρ θ = s i n yρ θ = 1C P ( )PQ d α= P 1C 2 2 13 x y+ = 2C 4 0x y+ − = P ( )3cos ,sinα α 2C PQ P 2C ( )d α ( ) 3cos sin 4 π2 sin 232 d α α α α + −  = = + −   ( )π2 π 6k kα = + ∈Z ( )d α 2 P 3 1,2 2      4 cos 1 06 ρ θ π − + =   2sinρ θ= 3 14 cos sin 1 02 2 ρ θ θ + + =    2 3 2 1 0x y+ + = 圆 22sin 2 sinρ θ ρ ρ θ= ⇒ = 2 2 2x y y+ = ( )22 1 1x y+ − = ( )0,1 2 1 3 1=412 4 d r += = < + 2 A 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = P ( )1,0 AP 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 2 2 2 4 4 0x y x y+ − − + = 即 ，由圆心为 ， 为 ，则 最小值为 1.故选 D. 23.（2107 全国 2 卷理科 22）在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建 立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1） 为曲线 上的动点，点 在线段 上，且满足 ，求点 的轨迹 的直 角坐标方程； （2）设点 A 的极坐标为 ，点 在曲线 上，求 面积的最大值． 23．解析（1）设 ，则 ． 由 ，解得 ，化直角坐标方程为 . （2）联结 ，易知 为正三角形， 为定值．所以当高最大时， 的面积最大，如 图所示，过圆心 作 垂线，交 于点 ，交圆 于 点，此时 最大， . 题型 161 直角坐标方程化为极坐标方程 1.(2013 广东理 14）已知曲线 的参数方程为 ( 为参数)， 在点 处的切线为 ， 以 坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则 的极坐标方程为． y x H C(2,0) B A(2, π 3) O ( ) ( )2 21 2 1x y− + − = ( )1,2 P ( )1,0 AP xOy x 1C cos 4ρ θ = M 1C P OM 16OM OP⋅ = P 2C 2, 3 π     B 2C OAB△ ( ) ( )0 0M Pρ θ ρ θ， ， ， 0 | |OM OPρ ρ= =， 0 0 0 0 16 cos 4 ρρ ρ θ θ θ =  =  = 4cosρ θ= ( )2 22 4x y− + = ( )0x ≠ AC AOC△ | |OA AOB△ C AO AO H C B AOBS△ max 1 | | | |2S AO HB= ⋅ ( )1 2 AO HC BC= + 3 2= + C 2 cos 2 sin x t y t  = = t C ( )1,1 l x l 2.(2013 安徽理 7）在极坐标系中，圆 的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）. A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3.（2014 湖南理 11）在平面直角坐标系中，倾斜角为 的直线 与曲线 （ 为 参数）交于 ， 两点，且 ，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则 直线 的极坐标方程是________. 4.（2014 江西理 11）（2）（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点， 轴的非负 半轴为极轴建立极坐标系，则线段 的极坐标方程为（）. A. ， B. ， C. ， D. ， 5.（2015 全国Ⅰ理 23）在直角坐标系 中，直线 ， 圆 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求 ， 的极坐标方程； （2）若直线 的极坐标为 ，设 与 的交点为 ， ，求 的 面积. 5.解析（1）因为 ， ，所以 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 ． （2）解法一： 的直角坐标系方程为 ，所以 的圆心到直线 的距离 ，所以 ，所以 ． 解法二：将 代入 ，得 ， 解得 ， ，所以 ，即 ．由于 的半径为 1， 2cosρ θ= ( )0θ ρ= ∈R cos 2ρ θ = ( )π 2 θ ρ= ∈R cos 2ρ θ = ( )π 2 θ ρ= ∈R cos 1ρ θ = ( )0θ ρ= ∈R cos 1ρ θ = 4 π l :C 2 cos 1 sin x y α α = +  = + α A B 2AB = O x l x ( )1 0 1y x x= −   1 cos sin ρ θ θ= + 0 2 θ π   1 cos sin ρ θ θ= + 0 4 θ π   cos sinρ θ θ= + 0 2 θ π   cos sinρ θ θ= + 0 4 θ π   xOy 1 : 2C x=− ( ) ( )2 2 2 : 1 2 1C x y− + − = x 1C 2C 3C ( ) 4 θ ρπ= ∈ R 2C 3C M N 2CMN△ cosx ρ θ= siny ρ θ= 1C cos 2ρ θ = − 2C 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 3C y x= 2C 3C ( )2 1 2 2 21 1 d −= = + − 22 1 2MN d= − = 2 1 22C MNS = × ×△ 2 1 2 2 = 4 θ π= 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 2 3 2 4 0ρ ρ− + = 1 2 2ρ = 2 2ρ = 1 2 2ρ ρ− = 2MN = 2C 所以 的面积为 ． 6.（2016 全国甲理 23）在直角坐标系 中，圆 的方程为 . （1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 的极坐标方程； （2）直线 的参数方程是 （ 为参数）， 与 交于 两点， ，求 的斜 率. 6.解析（1）整理圆的方程得 ， 由 可知圆 的极坐标方程为 ． （2）解法一：将直线 的参数方程代入圆 : 化简得， ， 设 两 点 处 的 参 数 分 别 为 ， 则 ， 所 以 ， 解得 ， 的斜率 . 解法二：设 ，其中 ，如图所示，圆心到到 的距离 ， 故 . 题型 162 参数方程化普通方程 1. (2013 重庆理 15）在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若 极坐标方程为 的直线与曲线 （ 为参数）相交于 两点，则 . xOy C ( )2 26 25x y+ + = C l cos sin x t y t α α =  = ， ， t l C A B、 10AB = l 2 2 12 11 0x y x+ + + = 2 2 2 cos sin x y x y ρ ρ θ ρ θ  = +  =  = C 2 12 cos 11 0ρ ρ θ+ + = l C 2 2 12 11 0x y x+ + + = 2 12cos 11 0t tα+ + = ,A B 1 2,t t 1 2 1 2 12 cos , 11 t t t t α+ = −  = ( )2 2 1 2 1 2 1 2| | | | 4 144 cos 44 10AB t t t t t t α= − = + − = − = 2 3cos 8 α = l 15tan 3k α= = ± :l y kx= tank α= l 22 2 | | 10 45252 2 2 ABd r   = − = − =        2 2 15 36 dk d = ± = ± − 2C MN△ 1 2 xOy O x cos 4ρ θ = 2 3 x t y t  = = t A B， AB = y xO B A -1-6 2.(2013 湖南理 9）在平面直角坐标系 中，若 过椭圆 ， （ 为参数）的右顶点，则常数 . 3.（2013 湖北理 16） 在直角坐标系 中，椭圆 的参数方程为 ( 为参数， )，在极坐标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点， 以 轴正半轴为极轴）中，直线 与圆 的极坐标方程分别为 （ 为非零数） 与 ．若直线 经过椭圆 的焦点，且与员 相切，则椭圆 的离心率为． 4.(2013 福建理 21） 在平面直角坐标系中，以坐标原点 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点 的极坐标 为 ，直线 的极坐标方程为 ，且点 在直线 上． （1）求 的值及直线 的直角坐标方程； （2）圆 的参数方程为 ，试判断直线 与圆 的位置关系. 5.（2014 新课标 1 理 23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 ： ，直线 ： （ 为参数）. （1）写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程； （2）过曲线 上任意一点 作与 夹角为 的直线，交 于点 ，求 的最大值与最小值. 6.（2014 江苏理 21）[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 （ 为参数），直线 与抛物线 相交于 ， 两点，求线段 的长． 7.（2014 福建理 21）B.（本小题满分 7 分）选修 4—4：极坐标与参数方程 xOy ,: ( )x tl ty t a =  = − 为参数 3cos: 2sin xC y ϕ ϕ =  = ϕ a的值为 xOy C cos sin x a y b ϕ ϕ =  = ϕ 0a b> > xOy O x l O 2sin 24 m πρ θ + = m bρ = l C O C O A π2, 4      l πcos 4 aρ θ − =   A l a l C )(sin ,cos1 为参数aay ax    = += l C C 2 2 14 9 x y+ = l 2 2 2 x t y t = +  = − t C l C P l 30° l A PA xOy l 21 2 22 2 x t y t  = −  = + t l 2 4y x= A B AB 已知直线 的参数方程为 ，（ 为参数），圆 的参数方程为 ，（ 为常数）. （1）求直线 和圆 的普通方程； （2）若直线 与圆 有公共点，求实数 的取值范围. 8.（2014 重庆理 15）已知直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，则直线 与曲线 的公共点的极径 ________. 9.（2014 湖北理 16）（选修 4-4：坐标系与参数方程） 已知曲线 的参数方程是 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系，曲线 的极坐标方程是 ，则 与 交点的直角坐标为________. 10.（2014 北京理 3）曲线 （ 为参数）的对称中心（ ）. A.在直线 上 B.在直线 上 C.在直线 上 D.在直线 上 11.（2014 安徽理 4）以平面直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种 坐标系中取相同的长度单位，已知直线 的参数方程是 （ 为参数），圆 的极坐标方程 是 ，则直线 被圆 截得的弦长为（）. A. B. C. D. 12.（2015 重庆理 15）已知直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极 点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，则直线 与曲线 的交点的极坐标为_______. l 2 4 x a t y t = −  = − t C    = = θ θ sin4 cos4 y x θ l C l C a l 2 3 x t y t = +  = + t x C ( )2sin 4cos 0 0,0 π 2πρ θ θ ρ− = <  l C ρ = 1C    = = 3 3ty tx ( )为参数t x 2C 2ρ = 1C 2C 1 cos 2 sin x y θ θ = − +  = + θ 2y x= 2y x= − 1y x= − 1y x= + x l 1 3 x t y t = +  = − t C 4cosρ θ= l C 14 2 14 2 2 2 l 1 1 x t y t = − +  = + t C 2 cos2 4ρ θ = 3π 5π0, 4 4 ρ θ > < <   l C 12.解析由直线 的参数方程 为参数）， 得直线方程为 ① 由 ，得 ， 故 ② 联立式①，式② ，解得交点坐标为 ，所以交点的极坐标为 ． 13.（2015 全国Ⅱ23）在直角坐标系 中，曲线 （ 为参数， ）， 其中 ，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ， （1）求 与 交点的直角坐标； （2）若 与 相交于点 A， 与 相交于点 B，求 的最大值. 13.分析（1）将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，联立即可求解；. （2）先确定曲线 的极坐标方程 ，进一步求出点 的极坐标为 ， 点 的极坐标为 ，由此可得： ． 解析（1）曲线 的直角坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程为： ．联立 解得 或 ． 所以 与 交点的直角坐标为 和 ． l    += +−= tty tx (1 1 02 =+− yx 2 3 5cos2 4 0, π πρ θ ρ θ = > < < 4 4  ( ) ( )2 2cos sin 4ρ θ ρ θ− = 422 =− yx    =− =+− 4 02 22 yx yx ( )2,0− ( )2,π xOy 1 cos: sin x tC y t α α =  = t 0t ≠ 0 πα < 2 : 2sinC ρ θ= 3 : 2 3cosC ρ θ= 2C 3C 1C 2C 1C 3C AB 1C ( )0θ α ρ ρ= ∈ ≠R, A ( )2sin ,α α B ( )2 3 cos ,α α 2sin 2 3 cosAB α α= − π4 sin 43 α = −    2C 2 2 2 0x y y+ − = 3C 2 2 2 3 0x y x+ − = 2 2 2 2 2 0, 2 3 0, x y y x y x  + − = + − = 0, 0, x y =  = 3 2 3 2 x y  =  = 2C 1C (0,0) 3 3( , )2 2 （2）曲线 的极坐标方程为 ，其中 ． 因此 得到极坐标为 ， 的极坐标为 ． 所以 ， 当 时， 取得最大值，最大值为 ． 命题意图考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，并能求出距离的最值. 14.（2015 福建理 21（2））在平面直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点， 以 轴非负半轴为极轴）中，直线 的方程为 ． (1)求圆 的普通方程及直线 的直角坐标方程； (2)设圆心 到直线 的距离等于 2，求 的值． 14.分析本小题主要考查极坐标与直角坐标系的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力， 考查化归与转化思想． 解析（1）消去参数 ，得到圆 的普通方程为 ． 由 ，得 ， 所以直线的直角坐标方程为 ． （2）依题意，圆心 到直线 的距离等于 2，即 ，解得 ． 15.（2016 江苏 21 C）在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 ， 椭圆 的参数方程为 ，设直线 与椭圆 相交于 两点，求线段 的 长． xOy l ( ) 11 2 3 2 x t t y t  = +  = 为参数 C ( )cos 2sin x y θ θθ =  = 为参数 l C ,A B AB 1C ( , 0)Rθ α ρ ρ= ∈ ≠ 0 πα < A (2sin , )α α B (2 3 cos , )α α 2sin 2 3 cosAB α α= − π4 sin( ) 43 α= −  5π 6 α = AB 4 xOy C 1 3cos 2 3sin x t y t = +  = − + t xOy O x l ( )2 sin 4 m mρ θ π − = ∈   R C l C l m t C ( ) ( )2 21 2 9x y− + + = 2 sin 4 mρ θ π − =   sin cos 0mρ θ ρ θ− − = 0x y m− + = C l ( )1 2 2 2 m− − + = 3 2 2m = − ± 15.解析解法一（求点）：直线 方程化为普通方程为 ， 椭圆 方程化为普通方程为 ， 联立 ，解得 或 ， 因此 ． 解法二（弦长）：直线 方程化为普通方程为 ， 椭圆 方程化为普通方程为 ，不妨设 ， ， 联立得 ，消 得 ， 恒成立， 故 ，所以 ． 解法三（几何意义）：椭圆 方程化为普通方程为 ， 直线恒过点 ，该点在椭圆上，将直线的参数方程 代入椭圆的普 通方程， 得 ，整理得 ，故 ， ，因此 ． 16.（2017 江苏 21 C）在平面坐标系 中，已知直线 的参数方程为 （ 为参数），曲 线 的参数方程为 （ 为参数）．设 为曲线 上的动点，求点 到直线 的距离的最小 值． l 3 3 0x y− − = C 2 2 14 yx + = 2 2 3 3 0 14 x y yx  − − = + = 1 0 x y =  = 1 7 8 3 7 x y  = −  = − 221 8 3 161 07 7 7AB   = + + + =      l 3 3y x= − C 2 2 14 yx + = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 2 3 3 4 4 y x x y  = − + = y 27 6 1 0x x− − = 3 6 2 8 6 4 0∆ = + = > 1 2 1 2 6 7 1 7 x x x x  + =  = − 1 21 3AB x x= + − ( )2 1 2 1 2 162 4 7x x x x= + − = C 2 2 14 yx + = ( )1,0 ( ) 11 2 3 2 x t t y t  = +  = 为参数 221 34 1 42 2t t   + + =      27 4 04 t t+ = 1 0t = 2 16 7t = − 1 2 16 7AB t t= − = xOy l 8 2 x t ty = − + = t C 22 2 2 x s y s  = = s P C P l 16.解析直线 的普通方程为 ． 因为点 在曲线 上，设 ， 从而点 到直线 的距离 ， 当 时， ． 因此当点 的坐标为 时，曲线 上点 到直线 的距离取到最小值为 ． 17.（2017 全国 1 卷理科 22）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）， 直线 的参数方程为 . （1）若 ，求 与 的交点坐标； （2）若 上的点到 的距离的最大值为 ，求 . 17.解析（1）当 时，直线 的方程为 ，曲线 的标准方程为 . 联立方程 ，解得 或 ，则 与 交点坐标是 和 . （2）直线 一般式方程为 ，设曲线 上点 ． 则点 到 的距离 ，其中 ． 依题意得 ，解得 或 . 18.（2017 全国 3 卷理科 22）在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参 数），直线 的参数方程为 ．设 与 的交点为 ，当 变化时， 的轨迹为 l 2 8 0x y− + = P C ( )22 ,2 2P s s P l ( ) ( )22 22 2 2 42 4 2 8 51 2 ss s d − +− + = = + − 2s = min 4 5 5d = P ( )4,4 C P l 4 5 5 xOy C 3cos sin x y θ θ =  = θ l ( )4 1 x a t ty t = +  = − 为参数 1a = − C l C l 17 a 1a = − l 4 3 0x y+ − = C 2 2 19 x y+ = 2 2 4 3 0 19 x y x y + − = + = 3 0 x y =  = 21 25 24 25 x y  = −  = C l ( )3 0， 21 24 25 25  −  ， l 4 4 0x y a+ − − = C ( )3cos sinp θ θ， P l ( )5sin 43cos 4sin 4 17 17 aad θ ϕθ θ + − −+ − −= = 3tan 4 ϕ = max 17d = 16a = − 8a = xOy 1l 2+x t y kt =  = t 2l 2x m mmy k = − + = （ 为参数） 1l 2l P k P 曲线 ． （1）写出 的普通方程； （2）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 ， 为 与 的交点，求 的极径． 18．解析⑴将参数方程转化为一般方程 ① ② ，消 可得 ，即点 的轨迹方程为 . ⑵将极坐标方程转化为一般方程 ，联立 ，解得 . 由 ，解得 ，即 的极半径是 ． 题型 163 普通方程化参数方程——暂无 1. (2013 陕西理 15C） C.（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角 为参数，则圆 的参 数方程为. 2. (2013 全国新课标卷理 23）选修 4——4；坐标系与参数方程 已知动点 都在曲线 （ 为参数）上，对应参数分别为 与 （ ）， 为 的中点. （1）求 的轨迹的参数方程； （2）将 到坐标原点的距离 表示为 的函数，并判断 的轨迹是否过坐标原点. 3.(2013 辽宁理 23）选修 4-4；坐标系与参数方程 y x P O C C x ( )3 cos sin 2 0l ρ θ θ+ − =： M 3l C M ( )1 : 2l y k x= − ( )2 1: 2l y xk = + ×① ② k 2 2 4x y− = P 2 2 4x y− = ( )0y ≠ 3 : 2 0l x y+ − = 2 2 2 0 4 x y x y  + − = − = 3 2 2 2 2 x y  =  = − cos sin x y ρ θ ρ θ =  = 5ρ = M 5 θ 2 2 0x y x+ − = P Q， 2cos 2sin xC : y β β =  = β β α= 2πMα = 0< <2πα M PQ M M d a M 在直角坐标系 中以 为极点， 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 ，直线 的极坐标方程分别 为 . （1）求 与 交点的极坐标； （2）设 为 的圆心， 为 与 交点连线的中点.已知直线 的参数方程为 （ 为参数），求 的值. 4.（2014 新课标 1 理 23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 ： ，直线 ： （ 为参数）. （1）写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程； （2）过曲线 上任意一点 作与 夹角为 的直线，交 于点 ，求 的最大值与最小值. 5.（2014 辽宁理 23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 将圆 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 倍，得曲线 . （1）写出 的参数方程； （2）设直线 与 的交点为 ，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐 标系，求过线段 的中点且与 垂直的直线的极坐标方程. 题型 164 参数方程与极坐标方程的互化 1.（2013 江西理 15） (1)（坐标系与参数方程选做题）设曲线 的参数方程为 （ 为参数），若以直角坐标系的原 点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 的极坐标方程为． 2.（2016 全国乙理 23）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ）.在以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 . （1）说明 是哪一种曲线，并将 的方程化为极坐标方程； xOy 1C cos 1 sin x a t y a t =  = + t 0a > x 2 : 4cosC ρ θ= 1C 1C xOy O x 1C 2C π4sin cos 2 24 ρ θ ρ θ = = − =  ， 1C 2C P 1C Q 1C 2C PQ 3 3 12 x t a by t  = + = + t ∈R a b， C 2 2 14 9 x y+ = l 2 2 2 x t y t = +  = − t C l C P l 30° l A PA 2 2 1x y+ = 2 C C : 2 2 0l x y+ − = C 1 2PP x 1 2PP l C 2 x t y t =  = t x C （2）直线 的极坐标方程为 ，其中 满足 ，若曲线 与 的公共点都在 上， 求 . 2.解析（1）将 化为直角坐标方程为 ，从而可知其表示圆． 令 ， ，代入得极坐标方程 ． （2）将 ， 化为直角坐标方程为 ， ． 两式相减可得它们的公共弦所在直线为 . 又 公共点都在 上，故 的方程即为公共弦 . 又 为 ， ，即为 ，从而可知 ． 第 2 节不等式选讲（选修 4-5） 题型 165 含绝对值的不等式 1.（2013 江西理 15） (2)（不等式选做题）在实数范围内，不等式 的解集为． 2.(2013 福建理 21） 设不等式 的解集为 ，且 . （1）求 的值； （2）求函数 的最小值. 3.（2014 重庆理 16）若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值 范围是____________. 4.（2014 湖南理 13）若关于 的不等式 的解集为 ，则 ________. 5.（2014 江西理 11）（1）（不等式选做题）对任意 ， 的最小值为 （）. A. B. C. D. 6.（2014 陕西理 15） （不等式选做题）设 ，且 ，则 3C 0 θ α= 0 α 0tan 2α = 1C 2C 3C a 1C ( )22 21 ax y+ − = cosx ρ θ= siny ρ θ= 2 2s2 in 1 0aρ ρ θ + − =− 1C 2C 2 2 2 1 2: 1 0y yC x a+ − + − = 2 2 2 : 4 0C x y x+ − = 24 2 1 0x y a− + − = 1 2,C C 3C 3C 24 2 1 0x y a− + − = 3C 0 θ α= 0tan 2α = 2y x= 1a = 2 1 1x − −  ( )2x a a ∗− < ∈Ν A AA ∉∈ 2 1,2 3 a 2)( −++= xaxxf 2 12 1 2 22x x a a− + + + + x a x 2 3ax− < 5 1 3 3x x  − < <   a = ,x y ∈ R 1 1 1x x y y− + + − + + 1 2 3 4 A. , , ,a b m n ∈ R 2 2 5, 5a b ma nb+ = + = 的最小值为. 7.（2014 新课标 2 理 24）（本小题满分 10）选修 4-5：不等式选讲 设函数 . （1）证明： ； （2）若 ，求 的取值范围. 8.（2014 辽宁理 24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 ， ，记 的解集为 ， 的解集为 . （1）求 ； （2）当 时，证明： . 9.（2014 福建理 21）（本小题满分 7 分）选修 4—5：不等式选讲 已知定义在 上的函数 的最小值为 . （1）求 的值； （2）若 为正实数，且 ，求证： . 10.（2015 重庆理 16）若函数 的最小值为 5，则实数 _______. 10.解析当 时，端点值为 ． （1）当 时， ； （2）当 时， ； （3）当 时， ； 如图所示： 2 2m n+ ( ) 1f x x x aa = + + − ( )0a > ( ) 2f x  ( )3 5f < a ( ) 2 1 1f x x x= − + − ( ) 216 8 1g x x x= − + ( ) 1f x  M ( ) 4g x  N M x M N∈  ( ) ( ) 22 1 4x f x x f x+     R ( ) 1 2f x x x= + + − a a rqp ，， arqp =++ 2 2 2 3p q r+ +  ( ) 1 2f x x x a= + + − a = 1a > − , 1a − 1x − ( )( ) 1 2 3 2 1f x x a x x a= − − + − = − + − 1 x a− < < ( ) ( )1 2 2 1f x x a x x a= + + − = − + + x a ( ) ( )1 2 3 2 1f x x x a x a= + + − = − + 由图易知： ，解得 （舍）或 ，所以 ． 当 时，端点值为 . （1）当 时， ； （2）当 时， ； （3）当 时， ； 如图所示： 由图易知： ，解得 （舍）或 ，即 . 当 时， ， ，与题意不符，舍. 综上所述： 或 . 11.（2015 陕西理 24）已知关于 的不等式 的解集为 ． (1)求实数 ， 的值； (2)求 的最大值． 11.解析（1）由 所以 解得 . -1 a a -1 ( )min 1 5f a a= + = 6a = − 4=a 4a = 1a < − , 1a − x a ( ) ( )1 2 3 2 1f x x a x x a= − − + − = − + − 1a x< < − ( ) 1 2( ) 2 1f x x x a x a= − − + − = − − 1x − ( ) ( )1 2 3 2 1f x x x a x a= + + − = − + ( )min 1 5f a a= + = 4=a 6a = − 6a=− 1a = − ( ) 3 1f x x= + ( ) ( )min 1 0f x f= − = 6a = − 4 x x a b+ < { }2 4x x< < a b 12at bt+ + | |x a b+ < ⇒ b a x b a− − < < − 2, 4, b a b a − − =  − = 3 1 a b = −  = （2） ， 所以 ，即 的最大值为 4，当 时取等号. 12.（2015 山东理 5）不等式 的解集是( )． A. 　　 B． 　　 C． D． 12.解析令 ，则 ， 所以原不等式同解于如下三个不等式组的解集的并集： ① ；② ③ ， 解①得： ，解②得： ；解③得： ． 综上所述，原不等式的解集为 ．故选 A． 评注本题也可数形结合，而快捷的方法则是取特殊值验证． 13.（2015 全国Ⅰ24）已知函数 ， . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 的图像与 轴围成的三角形面积大于 6，求 的取值范围. 13.解析（1）当 时， ，即 ． 当 时，不等式化为 ，无解； 当 时，不等式化为 ，解得 ； 当 时，不等式化为 ，解得 ． 综上所述，当 时， 的解集为 ． ( ) [ ] 22 2 112 3 + 1 12 3 3 3 t t t t   − + + − +      4 12 163 × = 12 3 + 4t t- 12 3 +t t- 1t = 1 5 2x x− − − < ( )4−∞ ( ),1−∞ ( )1, 4 ( )1,5 1 5y x x= − − − 4, 5 2 6,1 5 4, 1 x y x x x  = − < − <   5 4 2 x  <  5 1 5 2 6 2 x x <  − <  1 4 2 x < − < x∈∅ 1 4x < 1x < { }4x x < ( ) 1 2f x x x a= + − − 0a > 1a = ( ) 1f x > ( )f x x a 1a = ( ) 1f x > 1 2 1 1 0x x+ − − − > 1x − 4 0x − > 1 1x− < < 3 2 0x − > 2 13 x< < 1x  2 0x− + > 1 2x < 1a = ( ) 1f x > 2 ,23      （2） ， ， 如图所示，函数 的图像与 轴所围成三角形的三 个顶点为 ， ， ， ，即 ，解得 ， 所以 的取值范围是 ． 14. ( 2015 福建理 21（3）)已知 ， ， ，函数 的最小值为 4． (1)求 的值; (2)求 的最小值． 14.分析本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力， 考查化归与转化思想． 解析（1）因为 ， 当且仅当 时，等号成立．又 ， ，所以 ， 所以 的最小值为 ．又已知 的最小值为 4，所以 ． 当 时，化简得 ，解得 ，故 ； 当 时，化简得 ，解得 ，故 ． 故不等式的解集为 . 15.(2015 江苏 21（D）)解不等式 ． 15. 解析当 时，化简得 ，解得 ，故 ； 当 时，化简得 ，解得 ，故 ． 0a > ( ) 1 2 , 1 3 1 2 , 1 1 2 , x a x f x x a x a x a x a − − < − = + − − − + + >   ( )f x x 2 1,03 aA −     ( )2 1,0B a + ( ), 1C a a + ( )22 13ABCS a= +△ ( )22 1 63 a + > 2a > a ( )2,+∞ 0a > 0b > 0c > ( )f x x a x b c= + + − + a b c+ + 2 2 21 1 4 9a b c+ + ( )f x x a x b c= + + − +  ( ) ( )x a x b c a b c+ − − + = + + a x b−   0a > 0b > a b a b+ = + ( )f x a b c+ + ( )f x 4a b c+ + = 3 2x − 3 3 2x+  1 3x − 1 3x − 3 2x < − 3 2x− −  5x − 5x − ( ] 1, 5 ,3  −∞ − − +∞  2 3 2x x+ +  3 2x − 3 3 2x+  1 3x − 1 3x − 3 2x < − 3 2x− −  5x − 5x − C BAO x y 故不等式的解集为 ． 16.（2016 上海理 1）设 ，则不等式 的解集为． 16.解析 由题意 ，即 ，则解集为 ．故填 ． 17.（2016 全国甲理 24（1））已知函数 ， 为不等式 的解集.求 ； 17. 解析（1）当 时， ，所以 ； 当 时， 恒成立； 当 时， ，所以 ．综上可得， ． 18.（2016 全国乙理 24）已知函数 . （1）在如图所示的图形中，画出 的图像； （2）求不等式 的解集. 18. 解析由题意得 ．其图像如图所示. （2）当 时， ，解得 或 ，故 ； 当 时， ，解得 或 ，故 或 ； 当 时， ，解得 或 ，故 或 ． 综上所述，该不等式的解集为 ． x ∈ R 3 1x − < 1 3 1x− < − < 2 4x< < ( )2, 4 ( )2, 4 1 1( ) 2 2f x x x= − + + M ( ) 2f x < M 1 2x < − ( ) 1 1 2 22 2f x x x x= − − − = − < 11 2x− < < − 1 1 2 2x− ≤ ≤ ( ) 1 1 1 22 2f x x x= − + + = < 1 2x> ( ) 2 2f x x= < 1 12 x << { }| 1 1M x x= − < < ( ) 1 2 3f x x x= + − − ( )y f x= ( ) 1f x > 3 2 33 2 1 2 4 1 4 ( ) x f x x x x x x − + = − − < − < −     ， ， ，   1x < − 4 1x − > 5x > 3x < 1x < − 31 2x− < 3 2 1x − > 1x > 1 3x < 11 3x− < 31 2x< < 3 2x 4 4 1x x− + = − > 5x > 3x < 3 2 3x < 5x > ( ) ( )1, 1,3 5,3  −∞ +∞    ( ] 1, 5 ,3  −∞ − − +∞  1 1 O y x 评注或者可以由图形观察大致结果，但不能替代解题过程． 19.（2016 全国丙卷 24）已知函数 （1）当 时，求不等式 的解集； （2）设函数 当 时， ，求 的取值范围. 19.解析（1）当 时， .解不等式 ，得 . 因此， 的解集为 . （2）当 时，得 ， 所以当 时， 等价于 . ① 当 时，①等价于 ，无解； 当 时，①等价于 ，解得 . 所以 的取值范围是 . 20.（2017 全国 1 卷理科 23）已知函数 ， . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若不等式 的解集包含 ，求 的取值范围. 20.解析（1）当 时， 为开口向下，对称轴为 的二次函数， ， 当 时，令 ，即 ，解得 . 当 时，令 ，即 ，解得 ． 当 时，令 ，即 ，解得 ． 1 1 x y O ( ) | 2 |f x x a a= − + 2a = ( ) 6f x  ( ) | 2 1 |,g x x= − x∈R ( ) ( ) 3f x g x+  a 2a = ( ) 2 2 2f x x= − + 2 2 2 6x − + ≤ 1 3x− ≤ ≤ ( ) 6f x ≤ { }1 3x x− ≤ ≤ x ∈ R ( ) ( ) 2 1 2f x g x x a a x+ = − + + − 2 1 2x a x a− + − +≥ 1 a a= − + x ∈ R ( ) ( ) 3f x g x+ ≥ 1 3a a− + ≥ 1a ≤ 1 3a a− + ≥ 1a > 1 3a a− + ≥ 2a≥ a [ )2,+∞ ( ) 2– 4f x x ax= + + ( ) 1 1g x x x= + + − 1a = ( ) ( )f x g x ( ) ( )f x g x [ ]–1 1， a 1a = ( ) 2 4f x x x= − + + 1 2x = ( ) 2 1 1 1 2 1 1 2 1 x x g x x x x x x > = + + − = − − < − ， ， ，   (1, )x∈ +∞ ( ) ( )f x g x g 2 4 2x x x− + +  17 11, 2x  −∈   [ ]1 1x∈ − ， ( ) ( )f x g x g 2 4 2x x− + +  [ ]1,1x∈ − ( )1x∈ −∞ −， ( ) ( )f x g x g 2 4 2x x x− + + − x∈∅ 综上所述， 的解集为 ． （2）依题意得 在 上恒成立，即 在 恒成立， 则只需 ，解得 ． 故 取值范围是 ． 21.（2017 全国 3 卷理科 23）已知函数 ． （1）求不等式 的解集； （2）若不等式 的解集非空，求 的取值范围． 21．解析（1） 可等价为 . 由 ，可得①当 时显然不满足题意； ② 当 时， ，解得 ； ③ 当 时， 恒成立.综上， 的解集为 . ⑵不等式 等价于 ， 令 ，则 的解集非空只需要 . 而 . ①当 时， ； ②当 时， ； ④ 当 时， . 综上所述， ，故 . 题型 166 不等式的证明 1. (2013 全国新课标卷理 22）选修 4——5；不等式选讲 ( ) ( )f x g x 17 11 2  −−    ， 2 4 2x ax− + + ≥ [ ]1 1− ， 2 2 0x ax− − ≤ [ ]1 1− ， ( ) ( ) 2 2 1 1 2 0 1 1 2 0 a a  − ⋅ − − − − −   1 1a−   a [ ]1 1− ， ( ) 1 2f x x x= + − − ( ) 1f x  ( ) 2 –f x x x m+ m ( ) 1 2f x x x= + − − ( ) 3, 1 2 1, 1 2 3, 2 x f x x x x − − = − − < <    ( ) 1f x  1x − 1 2x− < < 2 1 1x −  1x 2x ( ) 3 1f x =  ( ) 1f x  { }1x x ( ) 2f x x x m− + ( ) 2f x x x m− +  ( ) ( ) 2g x f x x x= − + ( )g x m ( ) maxg x m    ( ) 2 2 2 3, 1 3 1, 1 2 3, 2 x x x g x x x x x x x − + − − = − + − − < <  − + +   1x − ( ) ( ) max 1 3 1 1 5g x g= − = − − − = −   1 2x− < < ( ) 2 max 3 3 3 53 12 2 2 4g x g    = = − + ⋅ − =           2x ( ) ( ) 2 max 2 2 2 3 1g x g= = − + + =   ( ) max 5 4g x =   5 4m 设 均为正数，且 ，证明： （1） ； （2） . 2.（2014 新课标 1 理 24）（本小题满分 10 分）选修 4-5；不等式选讲 若 ， ，且 . （1）求 的最小值； （2）是否存在 ，使得 ？并说明理由. 3.（2014 辽宁理 24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 ， ，记 的解集为 ， 的解集为 . （1）求 ； （2）当 时，证明： . 4.（2014 江苏理）D．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） 已知 ， ，证明： ． 5.（2014 福建理 21）（本小题满分 7 分）选修 4—5：不等式选讲 已知定义在 上的函数 的最小值为 . （1）求 的值； （2）若 为正实数，且 ，求证： . 6.（2016 江苏 21 D）设 ， ， ，求证： ． 6. 解析证明：由 可得 ，故 . 7.（2016 全国甲理 24）已知函数 ， 为不等式 的解集. （1）求 ； （2）证明：当 时， . 0a > 1 3 ax − < 2 3 ay − < 2 4x y a+ − < 1 3 ax − < 22 2 3 ax − < 22 4 2 2 2 3 3 a ax y x y a+ − − + − < + = 1 1( ) 2 2f x x x= − + + M ( ) 2f x < M a b M∈， 1a b ab+ < + a b c， ， 1a b c+ + = 1 3ab bc ac+ + ≤ 2 2 2 1a b c b c a − − ≥ 0a > 0b > abba =+ 11 3 3a b+ ,a b 632 =+ ba ( ) 2 1 1f x x x= − + − ( ) 216 8 1g x x x= − + ( ) 1f x  M ( ) 4g x  N M x M N∈  ( ) ( ) 22 1 4x f x x f x+     0x > 0y > ( )( )2 21 1 9x y x y xy+ + + +  R ( ) 1 2f x x x= + + − a a rqp ，， arqp =++ 2 2 2 3p q r+ +  7.解析（1）当 时， ，所以 ； 当 时， 恒成立； 当 时， ，所以 ． 综上可得， ． （2）当 时，有 ，即 ， 则 ， 则 ，即 . 8.（2016 浙江理 8）已知实数 （）. A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 ，则 8. D 解析举反例排除法:对于选项 A，可以令 ，例如令 ， 则 ，但是 ，所以选项 A 不正确； 对于选项 B，可以令 ，例如令 ，则 ， 但是 ，所以选项 B 不正确；对于选项 C，可以令 ，例如令 ，则 ，但是 ，所以选项 C 不正确.故选 D. 9.（2016 全国丙理 21）设函数 ，其中 ，记 的最大值 为 . （1）求 ； （2）求 ； （3）证明 1 2x < − ( ) 1 1 2 22 2f x x x x= − − − = − < 11 2x− < < − 1 1 2 2x− ≤ ≤ ( ) 1 1 1 22 2f x x x= − + + = < 1 2x> ( ) 2 2f x x= < 1 12 x << { }| 1 1M x x= − < < ( )1 1a b∈ −， ， ( )( )2 21 1 0a b− − > 2 2 2 21a b a b+ > + 2 2+2 +1a b ab > 2 22a ab b+ + ( ) ( )2 21ab a b+ > + 1a b ab+ < + , ,a b c 2 2 1a b c a b c+ + + + + ≤ 2 2 2 100a b c+ + < 2 2 1a b c a b c+ + + + − ≤ 2 2 2 100a b c+ + < 2 2 1a b c a b c+ + + + − ≤ 2 2 2 100a b c+ + < 2 2 1a b c a b c+ + + + − ≤ 2 2 2 100a b c+ + < ( )2 2 2,a b a b c a b+ = + = − + 10, 110a b c= = = − 2 210 10 110 10 10 110 1+ − + + − ≤=0 ( )22 210 10 110 100+ + − > 20, 0c a b= + = 10, 100, 0a b c= = − = 2 210 100 0 10 100 0 1− + + − − ≤ ( )22 210 100 0 100+ − + > 20, 0a b c+ = = 100, 100, 0a b c= = − = 2 2100 100 0 100 100 0 1− + + − − ≤=0 ( )22 2100 100 0 100+ − + > ( ) cos 2 ( 1)(cos +1)f x a x a x= + − 0a > ( )f x A ( )f x′ A 2 .f x A′（ ） 9. 解析 (1) . （2）当 时， . 因此 .当 时，将 变形为 . 令 ，则 是 在 上的最大值， ， ， 且 当 时 ， 取 得 极 小 值 ， 极 小 值 为 . 令 ，解得 且 ，所以 . （i）当 时， 在 内无极值点， ， ， ， 所以 .（ii）当 时，在同一坐标中画出函数 ， ， 在 上的图像. 由图，我们得到如下结论当 时， . 综上， . （3）由（1）得 . 当 时， ； 当 时， ，所以 ； 当 时， .所以 ； ( ) ( )2 sin 2 1 sinf x a x a x′ = − − − 1a  ( ) ( )( ) ( ) ( )cos2 1 cos 1 2 1 3 2 0f x a x a x a a a f= + − + + − = − =≤ 3 2A α= − 0 1a< < ( )f x ( ) ( )22 cos 1 cos 1f x a x a x= + − − ( ) ( )22 1 1g t at a t= + − − A ( )g t [ ]1,1− ( )1g a− = ( )1 3 2g a= − 1 4 at a −= ( )g t ( )2 211 6 114 8 8 aa a ag a a a −− + +  = − − = −   11 14 a a −− < < 1 3a > − 1 5a> 1 5a> 10 5a<  ( )g t ( )1,1− ( )1g a− = ( )1 2 3g a= − ( ) ( )1 1g g− < 2 3A a= − 1 15 a< < y x= 3 2y x= − 2 6 1 8 x xy x + += 1,5  +∞  1 15 a< < 2 6 1 8 a aA a + += 2 12 3 ,0 5 6 1 1, 18 5 3 2, 1 a a a a aa a a  − <  + + < <  − >   ( ) ( )2 sin2 1 sin 2 1f x a x x a aα′ = − − − + − 10 5a<  ( ) ( )1 2 4 2 2 3 2f x a a a A′ + − < − =1  1 15 α< < 1 3 18 8 4 aA a = + +  ( ) 1 2f x a A′ + <1 1a ≥ ( ) 3 1 6 4 2f x a a A′ − − = 1  ( ) 2f x A′  y= x2+6x+1 8x y=xy=3x-2 O y x 综上所述有 . 题型 167 函数单调性在证明不等式中的应用 1.（2016 全国甲理 21（1））讨论函数 的单调性，并证明当 时， 1. 解析证明：由已知得，函数的定义域为由已知得， . 因为 ，所以 . 因为当 时， ，所以 在 上单调递增， 所以当 时， ，所以 . 题型 168 柯西不等式在证明不等式中的应用——暂无 1.（2017 江苏 21 D）已知 为实数，且 ， ，证明： ． 1.解析由柯西不等式可得 ， 因为 ， ，所以 ，因此 ． 2.（2107 全国 2 卷理科 23）已知 ， ， ，求证： （1） ； （2） ． 2．解析（1）由柯西不等式得 ， 当且仅当 ，即 时取等号． （2） 因 为 ， 所 以 ，即 ，当且仅当 时等号成立． 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org ( ) 2f x A′  2( ) e2 xxf x x −= + 0x > ( 2)e 2 0;xx x− + + > 2x ≠ − ( ) 2e2 xxf x x −= + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 ee 2 2 2 x x x xf x x x x  −′  = + = + + +  x∈ ( ) ( )2 2−∞ − − +∞， ， ( ) 0f x′ > ( )f x ( ) ( )2 2 ,−∞ − − + ∞， 和 0x > ( )2e 0 = 12 xx fx − > −+ ( )2 e 2 0xx x− + + > , , ,a b c d 2 2 4a b+ = 2 2 16c d+ = 8ac bd+  ( ) ( )( )2 2 2 2 2ac bd a b c d+ + + 2 2 4a b+ = 2 2 16c d+ = ( )2 64ac bd+  8ac bd+  0a > 0b > 3 3 2a b+ = ( )( )5 5 4a b a b+ +  2a b+  ( )( ) ( ) ( )2 25 5 5 5 3 3 4a b a b a a b b a b+ + + = + =≥ ⋅ ⋅ 5 5ab ba= 1a b= = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 23 2 2 3 333 3 2 3 2 24 4 a ba b a a b ab b ab a b a b a b ++ = + + + = + + + + + = + ( )3 8a b+ ≤ 2a b+ ≤ 1a b= =