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  • 2021-05-13 发布

20132017高考数学真题分类选修44内容

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第十六章选讲内容 第 1 节极坐标与参数方程(选修 4-4) 题型 160 极坐标方程化直角坐标方程 1.(2013 安徽理 7)在极坐标系中,圆 的垂直于极轴的两条切线方程分别为(). A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2.(2013 天津理 11)已知圆的极坐标方程为 ,圆心为 ,点 的极坐标为 ,则 . 3. (2013 重庆理 15)在直角坐标系 中,以原点 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若 极坐标方程为 的直线与曲线 ( 为参数)相交于 两点,则 . 4.(2013 湖北理 16) 在直角坐标系 中,椭圆 的参数方程为 ( 为参数, ),在极坐标系(与直角坐标系 取相同的长度单位,且以原点 为极点, 以 轴正半轴为极轴)中,直线 与圆 的极坐标方程分别为 ( 为非零数) 与 .若直线 经过椭圆 的焦点,且与员 相切,则椭圆 的离心率为. 5.(2013 福建理 21) 在平面直角坐标系中,以坐标原点 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点 的极坐标 为 ,直线 的极坐标方程为 ,且点 在直线 上. (1)求 的值及直线 的直角坐标方程; (2)圆 的参数方程为 ,试判断直线 与圆 的位置关系. 6.(2014 重庆理 15)已知直线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点为极点, 轴正 2cosρ θ= ( )0θ ρ= ∈R cos 2ρ θ = ( )π 2 θ ρ= ∈R cos 2ρ θ = ( )π 2 θ ρ= ∈R cos 1ρ θ = ( )0θ ρ= ∈R cos 1ρ θ = 4cosρ θ= C P π4, 3      CP = xOy O x cos 4ρ θ = 2 3 x t y t  = = t A B, AB = xOy C cos sin x a y b ϕ ϕ =  = ϕ 0a b> > xOy O x l O 2sin 24 m πρ θ + = m bρ = l C O C O A π2, 4      l πcos 4 aρ θ − =   A l a l C )(sin ,cos1 为参数aay ax    = += l C l 2 3 x t y t = +  = + t x 半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 ,则直线 与曲线 的公共点的极径 ________. 7.(2014 天津理 13)在以 为极点的极坐标系中,圆 和直线 相交于 两 点.若 是等边三角形,则 的值为___________. 8. ( 2014 陕 西 理 15 ) ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 极 坐 标 系 中 , 点 到 直 线 的距离是. 9.(2014 湖北理 16)(选修 4-4:坐标系与参数方程) 已知曲线 的参数方程是 ,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系,曲线 的极坐标方程是 ,则 与 交点的直角坐标为________. 10.(2014 广东理 14)(坐标与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 和 的方程分别为 和 ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 轴的正半轴,建立平面 直角坐标系,则曲线 和 的交点的直角坐标为 . 11.(2014 安徽理 4)以平面直角坐标系的原点为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种 坐标系中取相同的长度单位,已知直线 的参数方程是 ( 为参数),圆 的极坐标方程 是 ,则直线 被圆 截得的弦长为(). A. B. C. D. 12.(2014 新课标 2 理 23)(本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 中,以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 的极坐标方程 为 , . (1)求 的参数方程; (2)设点 在 上, 在 处的切线与直线 垂直,根据(1)中你得到的参数方程, C ( )2sin 4cos 0 0,0 π 2πρ θ θ ρ− = <  l C ρ = O 4sinρ θ= sin aρ θ = ,A B AOB△ a C. π2, 6      πsin 16 ρ θ − =   1C    = = 3 3ty tx ( )为参数t x 2C 2ρ = 1C 2C 1C 2C 2sin cosρ θ θ= sin 1ρ θ = x 1C 2C x l 1 3 x t y t = +  = − t C 4cosρ θ= l C 14 2 14 2 2 2 xOy x C 2 cosρ θ= 0, 2 θ π ∈   C D C C D : 3 2l y x= + 确定 的坐标. 13.(2015 陕西理 23)在直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数).以 原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 的极坐标方程为 . (1)写出 的直角坐标方程; (2) 为直线 上一动点,当 到圆心 的距离最小时,求 的直角坐标. 13.解析(1)由 , 从而有 . (2) , 所以当 时, 取得最小值,此时 点的直角坐标为 . 14.(2015 北京理 11)在极坐标中,点 到直线 的距离 为. 14.解析极坐标中的点 对应直角坐标系中的点为 ,极坐标方程 对应的直角坐标系方程为 ,根据点到直线的距离公 式 . 15.(2015 广东理 14)已知直线 的极坐标方程为 ,点 的极坐标为 ,则点 到直线 的距离为. 15.解析依题已知直线 和点 可化为直线 D xOy l 13 2 3 2 x t y t  = +  = t x C 2 3sinρ θ= C P l P C P 22 3sin 2 3 sinρ θ ρ ρ θ= ⇒ = ( )22 2 2+ 2 3 , + 3 3x y y x y= − =所以 22 21 33 3 122 2d t t t   = + + − = +        0t = d P ( )3,0 π2, 3      ( )cos 3 sin 6ρ θ θ+ = π2, 3      ( )1, 3 ( )cos 3sin 6ρ θ θ+ = 3 6 0x y+ − = 1 3 6 12d + −= = l 2 sin 24 ρ θ π − =   A 72 2, 4A π     A l : 2 sin 24l ρ θ π − =   72 2, 4A π     和点 ,所以点 与直线 的距离为: .故应填 . 16.(2015 湖北理 16)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系. 已知直线 l 的极坐标方程为 ,曲线 C 的参数方程为 ( t 为参数) , l 与 C 相交于 A B 两点,则 . 16.解析因为 ,所以 , 所以 ,即 ;由 消去 得 .联立方程组 , 解得 或 ,即 , , 故 17.(2015 湖南理 16(Ⅱ))已知直线 ( 为参数),以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 . (1)将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设点 的直角坐标为 ,直线 与曲线 的交点为 , ,求 的值. 17.解析 2. ( ) 等价于 . ① 将 , 代入①式即得曲线 的直角坐标方程是 : 1 0l x y− − = ( )2, 2A − ( )2, 2A − l ( ) ( )22 2 2 1 3 2 21 1 d − − −= = + − 3 2 2 (sin 3cos ) 0ρ θ θ− = 1, 1 x t t y t t  = −  = + , | |AB = ( )sin 3 co s 0ρ θ θ− = sin 3 cos 0ρ θ ρ θ− = 3 0y x− = 3y x= 1 1 t t x t y t − +  =  = t 2 2 4y x− = 2 2 3 4 y x y x  = − = 2 2 3 2 2 x y  =  = 2 2 3 2 2 x y  = −  = − 2 3 2,2 2A       2 3 2,2 2B  − −    2 2 2 2 3 2 3 2 2 52 2 2 2AB    = + + + =          35 2: 13 2 x t l y t  = +  = + t x C 2cosρ θ= C M ( )5, 3 l C A B | | | |MA MB⋅ i θρ cos2= θρρ cos22 = 222 yx +=ρ x=θρ cos C . ② ( ) 将 代入②,得 . 设这个方程的两个实根分别为 , 则由参数 的几何意义即知 = 18.(2015 江苏 21(C))已知圆 的极坐标方程为 ,求圆 的半径. 18.解析由题意得 , 所以 ,即 , 从而 ,即 ,故圆 的半径为 . 19.(2016 北京理 11)在极坐标系中,直线 圆 交于 两 点,则 __________. 19. 解析解法一:在平面直角坐标系中,题中的直线圆的方程分别是 .可得 两点的坐标 ,即为方程组 的解, 用代入法可求得 两点的坐标分别为 , 所以由两点的距离公式可求得 . 解法二:直线的直角坐标方程为 ,圆的直角坐标方程为 . 圆心 在直线上,因此 为圆的直径,所以 . 20.(2016 全国丙卷 23)在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ,以坐 标 原 点 为 极 点 , 以 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 ,,建 立 极 坐 标 系 , 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 cos 3 sin 1 0ρ θ ρ θ− − = 与 2cosρ θ= ,A B AB = 2 2 23 1 0, 2x y x y x− − = + = ,A B ( , )x y 2 2 1 3 ( 1) 1 x y x y  − = − + = ,A B 3 1 3 11 , , 1 ,2 2 2 2    + − −          2AB = 3 1 0x y− − = 2 2( 1) 1x y− + = ( )1,0 A B 2AB = xOy 1C 3cos ( ) sin x y θ θ θ  = = 为参数 x 2C 0222 =−+ xyx ii       += += .2 13 ,2 35 ty tx 018352 =++ tt 21, tt t |||| MBMA ⋅ .18|| 21 =tt C 2 2 2 sin 4 04 ρ ρ θ π + − − =   C 2 2sin sin cos4 2 2 θ θ θπ − = −   ( )2 2 sin cos 4 0ρ ρ θ θ+ − − = 2 2 sin 2 cos 4 0ρ ρ θ ρ θ+ − − = 2 2 2 2 4 0x y y x+ + − − = ( ) ( )2 21 1 6x y− + + = C 6 . (1)写出 的普通方程和 的直角坐标方程; (2)设点 在 上,点 在 上,求 的最小值及此时 的直角坐标. 20. 分析(1)利用同角三角函数基本关系中的平方关系曲线 的参数方程普通方程,利用公式 与 代入曲线 的极坐标方程即可;(2)利用参数方程表示出点 的坐标, 然后利用点到直线的距离公式建立 的三角函数表达式,然后求出最值与相应的点 坐 标即可. 解析(1) 的普通方程为 , 的直角坐标方程为 . (2)由题意,可设点 的直角坐标为 ,因为 是直线,所以 的最小值,即为 到 的距离 的最小值, . 当且仅当 时, 取得最小值,最小值为 ,此时 的直角坐标为 . 21.(2017 天津理 11)在极坐标系中,直线 与圆 的公共点的个数 为___________. 21.解析直线 化直角坐标方程为 ,由 ,得其直角坐标方程为 ,即 ,则圆心 到直线的距离 ,知直线与圆相交,得它们的公共点的个数为 . 22.(2017 北京理 11)在极坐标系中,点 在圆 上,点 的坐标为 ,则 的最小值为___________. 22. 解析由 ,化为普通方程为 , sin 2 24 ρ θ π + =   1C 2C P 1C Q 2C PQ P 1C c o s xρ θ = s i n yρ θ = 1C P ( )PQ d α= P 1C 2 2 13 x y+ = 2C 4 0x y+ − = P ( )3cos ,sinα α 2C PQ P 2C ( )d α ( ) 3cos sin 4 π2 sin 232 d α α α α + −  = = + −   ( )π2 π 6k kα = + ∈Z ( )d α 2 P 3 1,2 2      4 cos 1 06 ρ θ π − + =   2sinρ θ= 3 14 cos sin 1 02 2 ρ θ θ + + =    2 3 2 1 0x y+ + = 圆 22sin 2 sinρ θ ρ ρ θ= ⇒ = 2 2 2x y y+ = ( )22 1 1x y+ − = ( )0,1 2 1 3 1=412 4 d r += = < + 2 A 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = P ( )1,0 AP 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 2 2 2 4 4 0x y x y+ − − + = 即 ,由圆心为 , 为 ,则 最小值为 1.故选 D. 23.(2107 全国 2 卷理科 22)在直角坐标系 中,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴,建 立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 . (1) 为曲线 上的动点,点 在线段 上,且满足 ,求点 的轨迹 的直 角坐标方程; (2)设点 A 的极坐标为 ,点 在曲线 上,求 面积的最大值. 23.解析(1)设 ,则 . 由 ,解得 ,化直角坐标方程为 . (2)联结 ,易知 为正三角形, 为定值.所以当高最大时, 的面积最大,如 图所示,过圆心 作 垂线,交 于点 ,交圆 于 点,此时 最大, . 题型 161 直角坐标方程化为极坐标方程 1.(2013 广东理 14)已知曲线 的参数方程为 ( 为参数), 在点 处的切线为 , 以 坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则 的极坐标方程为. y x H C(2,0) B A(2, π 3) O ( ) ( )2 21 2 1x y− + − = ( )1,2 P ( )1,0 AP xOy x 1C cos 4ρ θ = M 1C P OM 16OM OP⋅ = P 2C 2, 3 π     B 2C OAB△ ( ) ( )0 0M Pρ θ ρ θ, , , 0 | |OM OPρ ρ= =, 0 0 0 0 16 cos 4 ρρ ρ θ θ θ =  =  = 4cosρ θ= ( )2 22 4x y− + = ( )0x ≠ AC AOC△ | |OA AOB△ C AO AO H C B AOBS△ max 1 | | | |2S AO HB= ⋅ ( )1 2 AO HC BC= + 3 2= + C 2 cos 2 sin x t y t  = = t C ( )1,1 l x l 2.(2013 安徽理 7)在极坐标系中,圆 的垂直于极轴的两条切线方程分别为(). A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3.(2014 湖南理 11)在平面直角坐标系中,倾斜角为 的直线 与曲线 ( 为 参数)交于 , 两点,且 ,以坐标原点 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则 直线 的极坐标方程是________. 4.(2014 江西理 11)(2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点, 轴的非负 半轴为极轴建立极坐标系,则线段 的极坐标方程为(). A. , B. , C. , D. , 5.(2015 全国Ⅰ理 23)在直角坐标系 中,直线 , 圆 ,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 , 的极坐标方程; (2)若直线 的极坐标为 ,设 与 的交点为 , ,求 的 面积. 5.解析(1)因为 , ,所以 的极坐标方程为 , 的极坐标方程为 . (2)解法一: 的直角坐标系方程为 ,所以 的圆心到直线 的距离 ,所以 ,所以 . 解法二:将 代入 ,得 , 解得 , ,所以 ,即 .由于 的半径为 1, 2cosρ θ= ( )0θ ρ= ∈R cos 2ρ θ = ( )π 2 θ ρ= ∈R cos 2ρ θ = ( )π 2 θ ρ= ∈R cos 1ρ θ = ( )0θ ρ= ∈R cos 1ρ θ = 4 π l :C 2 cos 1 sin x y α α = +  = + α A B 2AB = O x l x ( )1 0 1y x x= −   1 cos sin ρ θ θ= + 0 2 θ π   1 cos sin ρ θ θ= + 0 4 θ π   cos sinρ θ θ= + 0 2 θ π   cos sinρ θ θ= + 0 4 θ π   xOy 1 : 2C x=− ( ) ( )2 2 2 : 1 2 1C x y− + − = x 1C 2C 3C ( ) 4 θ ρπ= ∈ R 2C 3C M N 2CMN△ cosx ρ θ= siny ρ θ= 1C cos 2ρ θ = − 2C 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 3C y x= 2C 3C ( )2 1 2 2 21 1 d −= = + − 22 1 2MN d= − = 2 1 22C MNS = × ×△ 2 1 2 2 = 4 θ π= 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 2 3 2 4 0ρ ρ− + = 1 2 2ρ = 2 2ρ = 1 2 2ρ ρ− = 2MN = 2C 所以 的面积为 . 6.(2016 全国甲理 23)在直角坐标系 中,圆 的方程为 . (1)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 的极坐标方程; (2)直线 的参数方程是 ( 为参数), 与 交于 两点, ,求 的斜 率. 6.解析(1)整理圆的方程得 , 由 可知圆 的极坐标方程为 . (2)解法一:将直线 的参数方程代入圆 : 化简得, , 设 两 点 处 的 参 数 分 别 为 , 则 , 所 以 , 解得 , 的斜率 . 解法二:设 ,其中 ,如图所示,圆心到到 的距离 , 故 . 题型 162 参数方程化普通方程 1. (2013 重庆理 15)在直角坐标系 中,以原点 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若 极坐标方程为 的直线与曲线 ( 为参数)相交于 两点,则 . xOy C ( )2 26 25x y+ + = C l cos sin x t y t α α =  = , , t l C A B、 10AB = l 2 2 12 11 0x y x+ + + = 2 2 2 cos sin x y x y ρ ρ θ ρ θ  = +  =  = C 2 12 cos 11 0ρ ρ θ+ + = l C 2 2 12 11 0x y x+ + + = 2 12cos 11 0t tα+ + = ,A B 1 2,t t 1 2 1 2 12 cos , 11 t t t t α+ = −  = ( )2 2 1 2 1 2 1 2| | | | 4 144 cos 44 10AB t t t t t t α= − = + − = − = 2 3cos 8 α = l 15tan 3k α= = ± :l y kx= tank α= l 22 2 | | 10 45252 2 2 ABd r   = − = − =        2 2 15 36 dk d = ± = ± − 2C MN△ 1 2 xOy O x cos 4ρ θ = 2 3 x t y t  = = t A B, AB = y xO B A -1-6 2.(2013 湖南理 9)在平面直角坐标系 中,若 过椭圆 , ( 为参数)的右顶点,则常数 . 3.(2013 湖北理 16) 在直角坐标系 中,椭圆 的参数方程为 ( 为参数, ),在极坐标系(与直角坐标系 取相同的长度单位,且以原点 为极点, 以 轴正半轴为极轴)中,直线 与圆 的极坐标方程分别为 ( 为非零数) 与 .若直线 经过椭圆 的焦点,且与员 相切,则椭圆 的离心率为. 4.(2013 福建理 21) 在平面直角坐标系中,以坐标原点 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点 的极坐标 为 ,直线 的极坐标方程为 ,且点 在直线 上. (1)求 的值及直线 的直角坐标方程; (2)圆 的参数方程为 ,试判断直线 与圆 的位置关系. 5.(2014 新课标 1 理 23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 : ,直线 : ( 为参数). (1)写出曲线 的参数方程,直线 的普通方程; (2)过曲线 上任意一点 作与 夹角为 的直线,交 于点 ,求 的最大值与最小值. 6.(2014 江苏理 21)[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 中,已知直线 的参数方程为 ( 为参数),直线 与抛物线 相交于 , 两点,求线段 的长. 7.(2014 福建理 21)B.(本小题满分 7 分)选修 4—4:极坐标与参数方程 xOy ,: ( )x tl ty t a =  = − 为参数 3cos: 2sin xC y ϕ ϕ =  = ϕ a的值为 xOy C cos sin x a y b ϕ ϕ =  = ϕ 0a b> > xOy O x l O 2sin 24 m πρ θ + = m bρ = l C O C O A π2, 4      l πcos 4 aρ θ − =   A l a l C )(sin ,cos1 为参数aay ax    = += l C C 2 2 14 9 x y+ = l 2 2 2 x t y t = +  = − t C l C P l 30° l A PA xOy l 21 2 22 2 x t y t  = −  = + t l 2 4y x= A B AB 已知直线 的参数方程为 ,( 为参数),圆 的参数方程为 ,( 为常数). (1)求直线 和圆 的普通方程; (2)若直线 与圆 有公共点,求实数 的取值范围. 8.(2014 重庆理 15)已知直线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点为极点, 轴正 半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 ,则直线 与曲线 的公共点的极径 ________. 9.(2014 湖北理 16)(选修 4-4:坐标系与参数方程) 已知曲线 的参数方程是 ,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系,曲线 的极坐标方程是 ,则 与 交点的直角坐标为________. 10.(2014 北京理 3)曲线 ( 为参数)的对称中心( ). A.在直线 上 B.在直线 上 C.在直线 上 D.在直线 上 11.(2014 安徽理 4)以平面直角坐标系的原点为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种 坐标系中取相同的长度单位,已知直线 的参数方程是 ( 为参数),圆 的极坐标方程 是 ,则直线 被圆 截得的弦长为(). A. B. C. D. 12.(2015 重庆理 15)已知直线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点为极 点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线 的极坐标方程为 ,则直线 与曲线 的交点的极坐标为_______. l 2 4 x a t y t = −  = − t C    = = θ θ sin4 cos4 y x θ l C l C a l 2 3 x t y t = +  = + t x C ( )2sin 4cos 0 0,0 π 2πρ θ θ ρ− = <  l C ρ = 1C    = = 3 3ty tx ( )为参数t x 2C 2ρ = 1C 2C 1 cos 2 sin x y θ θ = − +  = + θ 2y x= 2y x= − 1y x= − 1y x= + x l 1 3 x t y t = +  = − t C 4cosρ θ= l C 14 2 14 2 2 2 l 1 1 x t y t = − +  = + t C 2 cos2 4ρ θ = 3π 5π0, 4 4 ρ θ > < <   l C 12.解析由直线 的参数方程 为参数), 得直线方程为 ① 由 ,得 , 故 ② 联立式①,式② ,解得交点坐标为 ,所以交点的极坐标为 . 13.(2015 全国Ⅱ23)在直角坐标系 中,曲线 ( 为参数, ), 其中 ,在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 , (1)求 与 交点的直角坐标; (2)若 与 相交于点 A, 与 相交于点 B,求 的最大值. 13.分析(1)将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程,联立即可求解;. (2)先确定曲线 的极坐标方程 ,进一步求出点 的极坐标为 , 点 的极坐标为 ,由此可得: . 解析(1)曲线 的直角坐标方程为 ,曲线 的直角坐标方程为: .联立 解得 或 . 所以 与 交点的直角坐标为 和 . l    += +−= tty tx (1 1 02 =+− yx 2 3 5cos2 4 0, π πρ θ ρ θ = > < < 4 4  ( ) ( )2 2cos sin 4ρ θ ρ θ− = 422 =− yx    =− =+− 4 02 22 yx yx ( )2,0− ( )2,π xOy 1 cos: sin x tC y t α α =  = t 0t ≠ 0 πα < 2 : 2sinC ρ θ= 3 : 2 3cosC ρ θ= 2C 3C 1C 2C 1C 3C AB 1C ( )0θ α ρ ρ= ∈ ≠R, A ( )2sin ,α α B ( )2 3 cos ,α α 2sin 2 3 cosAB α α= − π4 sin 43 α = −    2C 2 2 2 0x y y+ − = 3C 2 2 2 3 0x y x+ − = 2 2 2 2 2 0, 2 3 0, x y y x y x  + − = + − = 0, 0, x y =  = 3 2 3 2 x y  =  = 2C 1C (0,0) 3 3( , )2 2 (2)曲线 的极坐标方程为 ,其中 . 因此 得到极坐标为 , 的极坐标为 . 所以 , 当 时, 取得最大值,最大值为 . 命题意图考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化,并能求出距离的最值. 14.(2015 福建理 21(2))在平面直角坐标系 中,圆 的参数方程为 ( 为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系 取相同的长度单位,且以原点 为极点, 以 轴非负半轴为极轴)中,直线 的方程为 . (1)求圆 的普通方程及直线 的直角坐标方程; (2)设圆心 到直线 的距离等于 2,求 的值. 14.分析本小题主要考查极坐标与直角坐标系的互化、圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力, 考查化归与转化思想. 解析(1)消去参数 ,得到圆 的普通方程为 . 由 ,得 , 所以直线的直角坐标方程为 . (2)依题意,圆心 到直线 的距离等于 2,即 ,解得 . 15.(2016 江苏 21 C)在平面直角坐标系 中,已知直线 的参数方程为 , 椭圆 的参数方程为 ,设直线 与椭圆 相交于 两点,求线段 的 长. xOy l ( ) 11 2 3 2 x t t y t  = +  = 为参数 C ( )cos 2sin x y θ θθ =  = 为参数 l C ,A B AB 1C ( , 0)Rθ α ρ ρ= ∈ ≠ 0 πα < A (2sin , )α α B (2 3 cos , )α α 2sin 2 3 cosAB α α= − π4 sin( ) 43 α= −  5π 6 α = AB 4 xOy C 1 3cos 2 3sin x t y t = +  = − + t xOy O x l ( )2 sin 4 m mρ θ π − = ∈   R C l C l m t C ( ) ( )2 21 2 9x y− + + = 2 sin 4 mρ θ π − =   sin cos 0mρ θ ρ θ− − = 0x y m− + = C l ( )1 2 2 2 m− − + = 3 2 2m = − ± 15.解析解法一(求点):直线 方程化为普通方程为 , 椭圆 方程化为普通方程为 , 联立 ,解得 或 , 因此 . 解法二(弦长):直线 方程化为普通方程为 , 椭圆 方程化为普通方程为 ,不妨设 , , 联立得 ,消 得 , 恒成立, 故 ,所以 . 解法三(几何意义):椭圆 方程化为普通方程为 , 直线恒过点 ,该点在椭圆上,将直线的参数方程 代入椭圆的普 通方程, 得 ,整理得 ,故 , ,因此 . 16.(2017 江苏 21 C)在平面坐标系 中,已知直线 的参数方程为 ( 为参数),曲 线 的参数方程为 ( 为参数).设 为曲线 上的动点,求点 到直线 的距离的最小 值. l 3 3 0x y− − = C 2 2 14 yx + = 2 2 3 3 0 14 x y yx  − − = + = 1 0 x y =  = 1 7 8 3 7 x y  = −  = − 221 8 3 161 07 7 7AB   = + + + =      l 3 3y x= − C 2 2 14 yx + = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 2 3 3 4 4 y x x y  = − + = y 27 6 1 0x x− − = 3 6 2 8 6 4 0∆ = + = > 1 2 1 2 6 7 1 7 x x x x  + =  = − 1 21 3AB x x= + − ( )2 1 2 1 2 162 4 7x x x x= + − = C 2 2 14 yx + = ( )1,0 ( ) 11 2 3 2 x t t y t  = +  = 为参数 221 34 1 42 2t t   + + =      27 4 04 t t+ = 1 0t = 2 16 7t = − 1 2 16 7AB t t= − = xOy l 8 2 x t ty = − + = t C 22 2 2 x s y s  = = s P C P l 16.解析直线 的普通方程为 . 因为点 在曲线 上,设 , 从而点 到直线 的距离 , 当 时, . 因此当点 的坐标为 时,曲线 上点 到直线 的距离取到最小值为 . 17.(2017 全国 1 卷理科 22)在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数), 直线 的参数方程为 . (1)若 ,求 与 的交点坐标; (2)若 上的点到 的距离的最大值为 ,求 . 17.解析(1)当 时,直线 的方程为 ,曲线 的标准方程为 . 联立方程 ,解得 或 ,则 与 交点坐标是 和 . (2)直线 一般式方程为 ,设曲线 上点 . 则点 到 的距离 ,其中 . 依题意得 ,解得 或 . 18.(2017 全国 3 卷理科 22)在平面直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参 数),直线 的参数方程为 .设 与 的交点为 ,当 变化时, 的轨迹为 l 2 8 0x y− + = P C ( )22 ,2 2P s s P l ( ) ( )22 22 2 2 42 4 2 8 51 2 ss s d − +− + = = + − 2s = min 4 5 5d = P ( )4,4 C P l 4 5 5 xOy C 3cos sin x y θ θ =  = θ l ( )4 1 x a t ty t = +  = − 为参数 1a = − C l C l 17 a 1a = − l 4 3 0x y+ − = C 2 2 19 x y+ = 2 2 4 3 0 19 x y x y + − = + = 3 0 x y =  = 21 25 24 25 x y  = −  = C l ( )3 0, 21 24 25 25  −  , l 4 4 0x y a+ − − = C ( )3cos sinp θ θ, P l ( )5sin 43cos 4sin 4 17 17 aad θ ϕθ θ + − −+ − −= = 3tan 4 ϕ = max 17d = 16a = − 8a = xOy 1l 2+x t y kt =  = t 2l 2x m mmy k = − + = ( 为参数) 1l 2l P k P 曲线 . (1)写出 的普通方程; (2)以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 , 为 与 的交点,求 的极径. 18.解析⑴将参数方程转化为一般方程 ① ② ,消 可得 ,即点 的轨迹方程为 . ⑵将极坐标方程转化为一般方程 ,联立 ,解得 . 由 ,解得 ,即 的极半径是 . 题型 163 普通方程化参数方程——暂无 1. (2013 陕西理 15C) C.(坐标系与参数方程选做题)如图,以过原点的直线的倾斜角 为参数,则圆 的参 数方程为. 2. (2013 全国新课标卷理 23)选修 4——4;坐标系与参数方程 已知动点 都在曲线 ( 为参数)上,对应参数分别为 与 ( ), 为 的中点. (1)求 的轨迹的参数方程; (2)将 到坐标原点的距离 表示为 的函数,并判断 的轨迹是否过坐标原点. 3.(2013 辽宁理 23)选修 4-4;坐标系与参数方程 y x P O C C x ( )3 cos sin 2 0l ρ θ θ+ − =: M 3l C M ( )1 : 2l y k x= − ( )2 1: 2l y xk = + ×① ② k 2 2 4x y− = P 2 2 4x y− = ( )0y ≠ 3 : 2 0l x y+ − = 2 2 2 0 4 x y x y  + − = − = 3 2 2 2 2 x y  =  = − cos sin x y ρ θ ρ θ =  = 5ρ = M 5 θ 2 2 0x y x+ − = P Q, 2cos 2sin xC : y β β =  = β β α= 2πMα = 0< <2πα M PQ M M d a M 在直角坐标系 中以 为极点, 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 ,直线 的极坐标方程分别 为 . (1)求 与 交点的极坐标; (2)设 为 的圆心, 为 与 交点连线的中点.已知直线 的参数方程为 ( 为参数),求 的值. 4.(2014 新课标 1 理 23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 : ,直线 : ( 为参数). (1)写出曲线 的参数方程,直线 的普通方程; (2)过曲线 上任意一点 作与 夹角为 的直线,交 于点 ,求 的最大值与最小值. 5.(2014 辽宁理 23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 将圆 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 倍,得曲线 . (1)写出 的参数方程; (2)设直线 与 的交点为 ,以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐 标系,求过线段 的中点且与 垂直的直线的极坐标方程. 题型 164 参数方程与极坐标方程的互化 1.(2013 江西理 15) (1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线 的参数方程为 ( 为参数),若以直角坐标系的原 点 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 的极坐标方程为. 2.(2016 全国乙理 23)在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数, ).在以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 . (1)说明 是哪一种曲线,并将 的方程化为极坐标方程; xOy 1C cos 1 sin x a t y a t =  = + t 0a > x 2 : 4cosC ρ θ= 1C 1C xOy O x 1C 2C π4sin cos 2 24 ρ θ ρ θ = = − =  , 1C 2C P 1C Q 1C 2C PQ 3 3 12 x t a by t  = + = + t ∈R a b, C 2 2 14 9 x y+ = l 2 2 2 x t y t = +  = − t C l C P l 30° l A PA 2 2 1x y+ = 2 C C : 2 2 0l x y+ − = C 1 2PP x 1 2PP l C 2 x t y t =  = t x C (2)直线 的极坐标方程为 ,其中 满足 ,若曲线 与 的公共点都在 上, 求 . 2.解析(1)将 化为直角坐标方程为 ,从而可知其表示圆. 令 , ,代入得极坐标方程 . (2)将 , 化为直角坐标方程为 , . 两式相减可得它们的公共弦所在直线为 . 又 公共点都在 上,故 的方程即为公共弦 . 又 为 , ,即为 ,从而可知 . 第 2 节不等式选讲(选修 4-5) 题型 165 含绝对值的不等式 1.(2013 江西理 15) (2)(不等式选做题)在实数范围内,不等式 的解集为. 2.(2013 福建理 21) 设不等式 的解集为 ,且 . (1)求 的值; (2)求函数 的最小值. 3.(2014 重庆理 16)若不等式 对任意实数 恒成立,则实数 的取值 范围是____________. 4.(2014 湖南理 13)若关于 的不等式 的解集为 ,则 ________. 5.(2014 江西理 11)(1)(不等式选做题)对任意 , 的最小值为 (). A. B. C. D. 6.(2014 陕西理 15) (不等式选做题)设 ,且 ,则 3C 0 θ α= 0 α 0tan 2α = 1C 2C 3C a 1C ( )22 21 ax y+ − = cosx ρ θ= siny ρ θ= 2 2s2 in 1 0aρ ρ θ + − =− 1C 2C 2 2 2 1 2: 1 0y yC x a+ − + − = 2 2 2 : 4 0C x y x+ − = 24 2 1 0x y a− + − = 1 2,C C 3C 3C 24 2 1 0x y a− + − = 3C 0 θ α= 0tan 2α = 2y x= 1a = 2 1 1x − −  ( )2x a a ∗− < ∈Ν A AA ∉∈ 2 1,2 3 a 2)( −++= xaxxf 2 12 1 2 22x x a a− + + + + x a x 2 3ax− < 5 1 3 3x x  − < <   a = ,x y ∈ R 1 1 1x x y y− + + − + + 1 2 3 4 A. , , ,a b m n ∈ R 2 2 5, 5a b ma nb+ = + = 的最小值为. 7.(2014 新课标 2 理 24)(本小题满分 10)选修 4-5:不等式选讲 设函数 . (1)证明: ; (2)若 ,求 的取值范围. 8.(2014 辽宁理 24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 , ,记 的解集为 , 的解集为 . (1)求 ; (2)当 时,证明: . 9.(2014 福建理 21)(本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 已知定义在 上的函数 的最小值为 . (1)求 的值; (2)若 为正实数,且 ,求证: . 10.(2015 重庆理 16)若函数 的最小值为 5,则实数 _______. 10.解析当 时,端点值为 . (1)当 时, ; (2)当 时, ; (3)当 时, ; 如图所示: 2 2m n+ ( ) 1f x x x aa = + + − ( )0a > ( ) 2f x  ( )3 5f < a ( ) 2 1 1f x x x= − + − ( ) 216 8 1g x x x= − + ( ) 1f x  M ( ) 4g x  N M x M N∈  ( ) ( ) 22 1 4x f x x f x+     R ( ) 1 2f x x x= + + − a a rqp ,, arqp =++ 2 2 2 3p q r+ +  ( ) 1 2f x x x a= + + − a = 1a > − , 1a − 1x − ( )( ) 1 2 3 2 1f x x a x x a= − − + − = − + − 1 x a− < < ( ) ( )1 2 2 1f x x a x x a= + + − = − + + x a ( ) ( )1 2 3 2 1f x x x a x a= + + − = − + 由图易知: ,解得 (舍)或 ,所以 . 当 时,端点值为 . (1)当 时, ; (2)当 时, ; (3)当 时, ; 如图所示: 由图易知: ,解得 (舍)或 ,即 . 当 时, , ,与题意不符,舍. 综上所述: 或 . 11.(2015 陕西理 24)已知关于 的不等式 的解集为 . (1)求实数 , 的值; (2)求 的最大值. 11.解析(1)由 所以 解得 . -1 a a -1 ( )min 1 5f a a= + = 6a = − 4=a 4a = 1a < − , 1a − x a ( ) ( )1 2 3 2 1f x x a x x a= − − + − = − + − 1a x< < − ( ) 1 2( ) 2 1f x x x a x a= − − + − = − − 1x − ( ) ( )1 2 3 2 1f x x x a x a= + + − = − + ( )min 1 5f a a= + = 4=a 6a = − 6a=− 1a = − ( ) 3 1f x x= + ( ) ( )min 1 0f x f= − = 6a = − 4 x x a b+ < { }2 4x x< < a b 12at bt+ + | |x a b+ < ⇒ b a x b a− − < < − 2, 4, b a b a − − =  − = 3 1 a b = −  = (2) , 所以 ,即 的最大值为 4,当 时取等号. 12.(2015 山东理 5)不等式 的解集是( ). A.    B.    C. D. 12.解析令 ,则 , 所以原不等式同解于如下三个不等式组的解集的并集: ① ;② ③ , 解①得: ,解②得: ;解③得: . 综上所述,原不等式的解集为 .故选 A. 评注本题也可数形结合,而快捷的方法则是取特殊值验证. 13.(2015 全国Ⅰ24)已知函数 , . (1)当 时,求不等式 的解集; (2)若 的图像与 轴围成的三角形面积大于 6,求 的取值范围. 13.解析(1)当 时, ,即 . 当 时,不等式化为 ,无解; 当 时,不等式化为 ,解得 ; 当 时,不等式化为 ,解得 . 综上所述,当 时, 的解集为 . ( ) [ ] 22 2 112 3 + 1 12 3 3 3 t t t t   − + + − +      4 12 163 × = 12 3 + 4t t- 12 3 +t t- 1t = 1 5 2x x− − − < ( )4−∞ ( ),1−∞ ( )1, 4 ( )1,5 1 5y x x= − − − 4, 5 2 6,1 5 4, 1 x y x x x  = − < − <   5 4 2 x  <  5 1 5 2 6 2 x x <  − <  1 4 2 x < − < x∈∅ 1 4x < 1x < { }4x x < ( ) 1 2f x x x a= + − − 0a > 1a = ( ) 1f x > ( )f x x a 1a = ( ) 1f x > 1 2 1 1 0x x+ − − − > 1x − 4 0x − > 1 1x− < < 3 2 0x − > 2 13 x< < 1x  2 0x− + > 1 2x < 1a = ( ) 1f x > 2 ,23      (2) , , 如图所示,函数 的图像与 轴所围成三角形的三 个顶点为 , , , ,即 ,解得 , 所以 的取值范围是 . 14. ( 2015 福建理 21(3))已知 , , ,函数 的最小值为 4. (1)求 的值; (2)求 的最小值. 14.分析本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查推理论证能力, 考查化归与转化思想. 解析(1)因为 , 当且仅当 时,等号成立.又 , ,所以 , 所以 的最小值为 .又已知 的最小值为 4,所以 . 当 时,化简得 ,解得 ,故 ; 当 时,化简得 ,解得 ,故 . 故不等式的解集为 . 15.(2015 江苏 21(D))解不等式 . 15. 解析当 时,化简得 ,解得 ,故 ; 当 时,化简得 ,解得 ,故 . 0a > ( ) 1 2 , 1 3 1 2 , 1 1 2 , x a x f x x a x a x a x a − − < − = + − − − + + >   ( )f x x 2 1,03 aA −     ( )2 1,0B a + ( ), 1C a a + ( )22 13ABCS a= +△ ( )22 1 63 a + > 2a > a ( )2,+∞ 0a > 0b > 0c > ( )f x x a x b c= + + − + a b c+ + 2 2 21 1 4 9a b c+ + ( )f x x a x b c= + + − +  ( ) ( )x a x b c a b c+ − − + = + + a x b−   0a > 0b > a b a b+ = + ( )f x a b c+ + ( )f x 4a b c+ + = 3 2x − 3 3 2x+  1 3x − 1 3x − 3 2x < − 3 2x− −  5x − 5x − ( ] 1, 5 ,3  −∞ − − +∞  2 3 2x x+ +  3 2x − 3 3 2x+  1 3x − 1 3x − 3 2x < − 3 2x− −  5x − 5x − C BAO x y 故不等式的解集为 . 16.(2016 上海理 1)设 ,则不等式 的解集为. 16.解析 由题意 ,即 ,则解集为 .故填 . 17.(2016 全国甲理 24(1))已知函数 , 为不等式 的解集.求 ; 17. 解析(1)当 时, ,所以 ; 当 时, 恒成立; 当 时, ,所以 .综上可得, . 18.(2016 全国乙理 24)已知函数 . (1)在如图所示的图形中,画出 的图像; (2)求不等式 的解集. 18. 解析由题意得 .其图像如图所示. (2)当 时, ,解得 或 ,故 ; 当 时, ,解得 或 ,故 或 ; 当 时, ,解得 或 ,故 或 . 综上所述,该不等式的解集为 . x ∈ R 3 1x − < 1 3 1x− < − < 2 4x< < ( )2, 4 ( )2, 4 1 1( ) 2 2f x x x= − + + M ( ) 2f x < M 1 2x < − ( ) 1 1 2 22 2f x x x x= − − − = − < 11 2x− < < − 1 1 2 2x− ≤ ≤ ( ) 1 1 1 22 2f x x x= − + + = < 1 2x> ( ) 2 2f x x= < 1 12 x << { }| 1 1M x x= − < < ( ) 1 2 3f x x x= + − − ( )y f x= ( ) 1f x > 3 2 33 2 1 2 4 1 4 ( ) x f x x x x x x − + = − − < − < −     , , ,   1x < − 4 1x − > 5x > 3x < 1x < − 31 2x− < 3 2 1x − > 1x > 1 3x < 11 3x− < 31 2x< < 3 2x 4 4 1x x− + = − > 5x > 3x < 3 2 3x < 5x > ( ) ( )1, 1,3 5,3  −∞ +∞    ( ] 1, 5 ,3  −∞ − − +∞  1 1 O y x 评注或者可以由图形观察大致结果,但不能替代解题过程. 19.(2016 全国丙卷 24)已知函数 (1)当 时,求不等式 的解集; (2)设函数 当 时, ,求 的取值范围. 19.解析(1)当 时, .解不等式 ,得 . 因此, 的解集为 . (2)当 时,得 , 所以当 时, 等价于 . ① 当 时,①等价于 ,无解; 当 时,①等价于 ,解得 . 所以 的取值范围是 . 20.(2017 全国 1 卷理科 23)已知函数 , . (1)当 时,求不等式 的解集; (2)若不等式 的解集包含 ,求 的取值范围. 20.解析(1)当 时, 为开口向下,对称轴为 的二次函数, , 当 时,令 ,即 ,解得 . 当 时,令 ,即 ,解得 . 当 时,令 ,即 ,解得 . 1 1 x y O ( ) | 2 |f x x a a= − + 2a = ( ) 6f x  ( ) | 2 1 |,g x x= − x∈R ( ) ( ) 3f x g x+  a 2a = ( ) 2 2 2f x x= − + 2 2 2 6x − + ≤ 1 3x− ≤ ≤ ( ) 6f x ≤ { }1 3x x− ≤ ≤ x ∈ R ( ) ( ) 2 1 2f x g x x a a x+ = − + + − 2 1 2x a x a− + − +≥ 1 a a= − + x ∈ R ( ) ( ) 3f x g x+ ≥ 1 3a a− + ≥ 1a ≤ 1 3a a− + ≥ 1a > 1 3a a− + ≥ 2a≥ a [ )2,+∞ ( ) 2– 4f x x ax= + + ( ) 1 1g x x x= + + − 1a = ( ) ( )f x g x ( ) ( )f x g x [ ]–1 1, a 1a = ( ) 2 4f x x x= − + + 1 2x = ( ) 2 1 1 1 2 1 1 2 1 x x g x x x x x x > = + + − = − − < − , , ,   (1, )x∈ +∞ ( ) ( )f x g x g 2 4 2x x x− + +  17 11, 2x  −∈   [ ]1 1x∈ − , ( ) ( )f x g x g 2 4 2x x− + +  [ ]1,1x∈ − ( )1x∈ −∞ −, ( ) ( )f x g x g 2 4 2x x x− + + − x∈∅ 综上所述, 的解集为 . (2)依题意得 在 上恒成立,即 在 恒成立, 则只需 ,解得 . 故 取值范围是 . 21.(2017 全国 3 卷理科 23)已知函数 . (1)求不等式 的解集; (2)若不等式 的解集非空,求 的取值范围. 21.解析(1) 可等价为 . 由 ,可得①当 时显然不满足题意; ② 当 时, ,解得 ; ③ 当 时, 恒成立.综上, 的解集为 . ⑵不等式 等价于 , 令 ,则 的解集非空只需要 . 而 . ①当 时, ; ②当 时, ; ④ 当 时, . 综上所述, ,故 . 题型 166 不等式的证明 1. (2013 全国新课标卷理 22)选修 4——5;不等式选讲 ( ) ( )f x g x 17 11 2  −−    , 2 4 2x ax− + + ≥ [ ]1 1− , 2 2 0x ax− − ≤ [ ]1 1− , ( ) ( ) 2 2 1 1 2 0 1 1 2 0 a a  − ⋅ − − − − −   1 1a−   a [ ]1 1− , ( ) 1 2f x x x= + − − ( ) 1f x  ( ) 2 –f x x x m+ m ( ) 1 2f x x x= + − − ( ) 3, 1 2 1, 1 2 3, 2 x f x x x x − − = − − < <    ( ) 1f x  1x − 1 2x− < < 2 1 1x −  1x 2x ( ) 3 1f x =  ( ) 1f x  { }1x x ( ) 2f x x x m− + ( ) 2f x x x m− +  ( ) ( ) 2g x f x x x= − + ( )g x m ( ) maxg x m    ( ) 2 2 2 3, 1 3 1, 1 2 3, 2 x x x g x x x x x x x − + − − = − + − − < <  − + +   1x − ( ) ( ) max 1 3 1 1 5g x g= − = − − − = −   1 2x− < < ( ) 2 max 3 3 3 53 12 2 2 4g x g    = = − + ⋅ − =           2x ( ) ( ) 2 max 2 2 2 3 1g x g= = − + + =   ( ) max 5 4g x =   5 4m 设 均为正数,且 ,证明: (1) ; (2) . 2.(2014 新课标 1 理 24)(本小题满分 10 分)选修 4-5;不等式选讲 若 , ,且 . (1)求 的最小值; (2)是否存在 ,使得 ?并说明理由. 3.(2014 辽宁理 24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 , ,记 的解集为 , 的解集为 . (1)求 ; (2)当 时,证明: . 4.(2014 江苏理)D.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 已知 , ,证明: . 5.(2014 福建理 21)(本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 已知定义在 上的函数 的最小值为 . (1)求 的值; (2)若 为正实数,且 ,求证: . 6.(2016 江苏 21 D)设 , , ,求证: . 6. 解析证明:由 可得 ,故 . 7.(2016 全国甲理 24)已知函数 , 为不等式 的解集. (1)求 ; (2)证明:当 时, . 0a > 1 3 ax − < 2 3 ay − < 2 4x y a+ − < 1 3 ax − < 22 2 3 ax − < 22 4 2 2 2 3 3 a ax y x y a+ − − + − < + = 1 1( ) 2 2f x x x= − + + M ( ) 2f x < M a b M∈, 1a b ab+ < + a b c, , 1a b c+ + = 1 3ab bc ac+ + ≤ 2 2 2 1a b c b c a − − ≥ 0a > 0b > abba =+ 11 3 3a b+ ,a b 632 =+ ba ( ) 2 1 1f x x x= − + − ( ) 216 8 1g x x x= − + ( ) 1f x  M ( ) 4g x  N M x M N∈  ( ) ( ) 22 1 4x f x x f x+     0x > 0y > ( )( )2 21 1 9x y x y xy+ + + +  R ( ) 1 2f x x x= + + − a a rqp ,, arqp =++ 2 2 2 3p q r+ +  7.解析(1)当 时, ,所以 ; 当 时, 恒成立; 当 时, ,所以 . 综上可得, . (2)当 时,有 ,即 , 则 , 则 ,即 . 8.(2016 浙江理 8)已知实数 (). A.若 ,则 B.若 ,则 C.若 ,则 D.若 ,则 8. D 解析举反例排除法:对于选项 A,可以令 ,例如令 , 则 ,但是 ,所以选项 A 不正确; 对于选项 B,可以令 ,例如令 ,则 , 但是 ,所以选项 B 不正确;对于选项 C,可以令 ,例如令 ,则 ,但是 ,所以选项 C 不正确.故选 D. 9.(2016 全国丙理 21)设函数 ,其中 ,记 的最大值 为 . (1)求 ; (2)求 ; (3)证明 1 2x < − ( ) 1 1 2 22 2f x x x x= − − − = − < 11 2x− < < − 1 1 2 2x− ≤ ≤ ( ) 1 1 1 22 2f x x x= − + + = < 1 2x> ( ) 2 2f x x= < 1 12 x << { }| 1 1M x x= − < < ( )1 1a b∈ −, , ( )( )2 21 1 0a b− − > 2 2 2 21a b a b+ > + 2 2+2 +1a b ab > 2 22a ab b+ + ( ) ( )2 21ab a b+ > + 1a b ab+ < + , ,a b c 2 2 1a b c a b c+ + + + + ≤ 2 2 2 100a b c+ + < 2 2 1a b c a b c+ + + + − ≤ 2 2 2 100a b c+ + < 2 2 1a b c a b c+ + + + − ≤ 2 2 2 100a b c+ + < 2 2 1a b c a b c+ + + + − ≤ 2 2 2 100a b c+ + < ( )2 2 2,a b a b c a b+ = + = − + 10, 110a b c= = = − 2 210 10 110 10 10 110 1+ − + + − ≤=0 ( )22 210 10 110 100+ + − > 20, 0c a b= + = 10, 100, 0a b c= = − = 2 210 100 0 10 100 0 1− + + − − ≤ ( )22 210 100 0 100+ − + > 20, 0a b c+ = = 100, 100, 0a b c= = − = 2 2100 100 0 100 100 0 1− + + − − ≤=0 ( )22 2100 100 0 100+ − + > ( ) cos 2 ( 1)(cos +1)f x a x a x= + − 0a > ( )f x A ( )f x′ A 2 .f x A′( ) 9. 解析 (1) . (2)当 时, . 因此 .当 时,将 变形为 . 令 ,则 是 在 上的最大值, , , 且 当 时 , 取 得 极 小 值 , 极 小 值 为 . 令 ,解得 且 ,所以 . (i)当 时, 在 内无极值点, , , , 所以 .(ii)当 时,在同一坐标中画出函数 , , 在 上的图像. 由图,我们得到如下结论当 时, . 综上, . (3)由(1)得 . 当 时, ; 当 时, ,所以 ; 当 时, .所以 ; ( ) ( )2 sin 2 1 sinf x a x a x′ = − − − 1a  ( ) ( )( ) ( ) ( )cos2 1 cos 1 2 1 3 2 0f x a x a x a a a f= + − + + − = − =≤ 3 2A α= − 0 1a< < ( )f x ( ) ( )22 cos 1 cos 1f x a x a x= + − − ( ) ( )22 1 1g t at a t= + − − A ( )g t [ ]1,1− ( )1g a− = ( )1 3 2g a= − 1 4 at a −= ( )g t ( )2 211 6 114 8 8 aa a ag a a a −− + +  = − − = −   11 14 a a −− < < 1 3a > − 1 5a> 1 5a> 10 5a<  ( )g t ( )1,1− ( )1g a− = ( )1 2 3g a= − ( ) ( )1 1g g− < 2 3A a= − 1 15 a< < y x= 3 2y x= − 2 6 1 8 x xy x + += 1,5  +∞  1 15 a< < 2 6 1 8 a aA a + += 2 12 3 ,0 5 6 1 1, 18 5 3 2, 1 a a a a aa a a  − <  + + < <  − >   ( ) ( )2 sin2 1 sin 2 1f x a x x a aα′ = − − − + − 10 5a<  ( ) ( )1 2 4 2 2 3 2f x a a a A′ + − < − =1  1 15 α< < 1 3 18 8 4 aA a = + +  ( ) 1 2f x a A′ + <1 1a ≥ ( ) 3 1 6 4 2f x a a A′ − − = 1  ( ) 2f x A′  y= x2+6x+1 8x y=xy=3x-2 O y x 综上所述有 . 题型 167 函数单调性在证明不等式中的应用 1.(2016 全国甲理 21(1))讨论函数 的单调性,并证明当 时, 1. 解析证明:由已知得,函数的定义域为由已知得, . 因为 ,所以 . 因为当 时, ,所以 在 上单调递增, 所以当 时, ,所以 . 题型 168 柯西不等式在证明不等式中的应用——暂无 1.(2017 江苏 21 D)已知 为实数,且 , ,证明: . 1.解析由柯西不等式可得 , 因为 , ,所以 ,因此 . 2.(2107 全国 2 卷理科 23)已知 , , ,求证: (1) ; (2) . 2.解析(1)由柯西不等式得 , 当且仅当 ,即 时取等号. (2) 因 为 , 所 以 ,即 ,当且仅当 时等号成立. 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org ( ) 2f x A′  2( ) e2 xxf x x −= + 0x > ( 2)e 2 0;xx x− + + > 2x ≠ − ( ) 2e2 xxf x x −= + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 ee 2 2 2 x x x xf x x x x  −′  = + = + + +  x∈ ( ) ( )2 2−∞ − − +∞, , ( ) 0f x′ > ( )f x ( ) ( )2 2 ,−∞ − − + ∞, 和 0x > ( )2e 0 = 12 xx fx − > −+ ( )2 e 2 0xx x− + + > , , ,a b c d 2 2 4a b+ = 2 2 16c d+ = 8ac bd+  ( ) ( )( )2 2 2 2 2ac bd a b c d+ + + 2 2 4a b+ = 2 2 16c d+ = ( )2 64ac bd+  8ac bd+  0a > 0b > 3 3 2a b+ = ( )( )5 5 4a b a b+ +  2a b+  ( )( ) ( ) ( )2 25 5 5 5 3 3 4a b a b a a b b a b+ + + = + =≥ ⋅ ⋅ 5 5ab ba= 1a b= = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 23 2 2 3 333 3 2 3 2 24 4 a ba b a a b ab b ab a b a b a b ++ = + + + = + + + + + = + ( )3 8a b+ ≤ 2a b+ ≤ 1a b= =