河北省衡水中学高考数学二模试卷文科解析 20页

‎2016年河北省衡水中学高考数学二模试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．设集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|log2x＜0}，则M∩N等于（　　）‎ A．（﹣1，0） B．（﹣1，1） C．（0，1） D．（1，3）‎ ‎2．若复数Z的实部为1，且|Z|=2，则复数Z的虚部是（　　）‎ A．﹣ B．± C．±i D． i ‎3．若命题p：∃α∈R，cos（π﹣α）=cosα；命题q：∀x∈R，x2+1＞0．则下面结论正确的是（　　）‎ A．p是假命题 B．￢q是真命题 C．p∧q是假命题 D．p∨q是真命题 ‎4．设函数f（x）=，则f（f（e））=（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．ln（e2+1）‎ ‎5．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎6．在等差数列{an}中，a1=﹣2012，其前n项和为Sn，若﹣=2002，则S2014的值等于（　　）‎ A．2011 B．﹣2012 C．2014 D．2013‎ ‎7．如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90）[90，100），则图中x的值等于（　　）‎ A．0.754 B．0.048 C．0.018 D．0.012‎ ‎8．函数y=xsinx在[﹣π，π]上的图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．若函数f（x）=2sin（x+）（﹣2＜x＜14）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•=（其中O为坐标原点）（　　）‎ A．﹣32 B．32 C．﹣72 D．72‎ ‎10．双曲线C1的中心在原点，焦点在x轴上，若C1的一个焦点与抛物线C2：y2=12x的焦点重合，且抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4，则双曲线C1的实轴长为（　　）‎ A．6 B．2 C． D．2‎ ‎11．已知点P是椭圆+=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且•=0，则||的取值范围是（　　）‎ A．[0，3） B．（0，2） C．[2，3） D．[0，4]‎ ‎12．已知函数f（x）=，若函数f（x）的图象在A、B两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣2，﹣1） B．（1，2） C．（﹣1，+∞） D．（﹣ln2，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.‎ ‎13．若直线ax﹣by+1=0平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，则ab的取值范围是　　　　　　．‎ ‎14．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的i值为　　　　　　．‎ ‎15．已知变量x，y满足约束条件，且目标函数z=3x+y的最小值为﹣1，则实常数k=　　　　　　．‎ ‎16．在一个棱长为4的正方体内，最多能放入　　　　　　个直径为1的球．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．已知等差数列{an}的首项为a（a∈R，a≠0）．设数列的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式及Sn；‎ ‎（2）是否存在正整数n和k，使得Sn，Sn+1，Sn+k成等比数列？若存在，求出n和k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎18．全国第十二届全国人民代表大会第二次会议和政协第十二届全国委员会第二次会议，2014年3月在北京开幕．期间为了了解国企员工的工资收入状况，从108名相关人员中用分层抽样方法抽取若干人组成调研小组，有关数据见下表：（单位：人）‎ 相关人数 抽取人数 一般职工 ‎63‎ x 中层 ‎27‎ y 高管 ‎18‎ ‎2‎ ‎（1）求x，y；‎ ‎（2）若从中层、高管抽取的人员中选2人，求这二人都来自中层的概率．‎ ‎19．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，BA=BC．把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图2所示，点E、F分别为棱PC、CD的中点．‎ ‎（1）求证：平面OEF∥平面APD；‎ ‎（2）求证：CD⊥平面POF；‎ ‎（3）若AD=3，CD=4，AB=5，求三棱锥E﹣CFO的体积．‎ ‎20．已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知点P（2，3），Q（2，﹣3）在椭圆上，点A、B是椭圆上不同的两个动点，且满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．‎ ‎21．已知函数f（x）=‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（2）对于任意的非零实数k，证明不等式（e+k2）ln（e+k2）＞e+2k2恒成立．‎ ‎　‎ ‎[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．‎ ‎（Ⅰ）求证AB•PC=PA•AC ‎（Ⅱ）求AD•AE的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎23．已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为（φ为参数）．点A，B是曲线C上两点，点A，B的极坐标分别为（ρ1，），（ρ2，）．‎ ‎（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求|AB|的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．‎ ‎（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；‎ ‎（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016年河北省衡水中学高考数学二模试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．设集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|log2x＜0}，则M∩N等于（　　）‎ A．（﹣1，0） B．（﹣1，1） C．（0，1） D．（1，3）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】利用一元二次不等式和对数函数的知识分别求出集合M和集合N，由此能求出M∩N．‎ ‎【解答】解：∵集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，‎ N={x|log2x＜0}={x|0＜x＜1}，‎ ‎∴M∩N={x|0＜x＜1}=（0，1）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．若复数Z的实部为1，且|Z|=2，则复数Z的虚部是（　　）‎ A．﹣ B．± C．±i D． i ‎【考点】复数求模．‎ ‎【分析】设出复数，然后利用复数的模求解即可．‎ ‎【解答】解：复数Z的实部为1，‎ 设Z=1+bi．‎ ‎|Z|=2，‎ 可得=2，‎ 解得b=．‎ 复数Z的虚部是．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．若命题p：∃α∈R，cos（π﹣α）=cosα；命题q：∀x∈R，x2+1＞0．则下面结论正确的是（　　）‎ A．p是假命题 B．￢q是真命题 C．p∧q是假命题 D．p∨q是真命题 ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】先判定命题p、q的真假性，再判定各选项是否正确．‎ ‎【解答】解：∵α=0时，cos（π﹣0）=cosπ=cos0=1；‎ ‎∴命题p：∃α∈R，cos（π﹣α）=cosα是真命题；‎ ‎∵∀x∈R，x2+1≥1＞0，∴命题q是真命题；‎ ‎∴A中p是假命题是错误的；B中￢q是真命题是错误的；C中p∧q是假命题是错误的；D中p∨q是真命题正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．设函数f（x）=，则f（f（e））=（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．ln（e2+1）‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】从里到外根据自变量的范围选择解析式、逐一求解．‎ ‎【解答】解：f（e）=lne=1，所以f（f（e））=f（1）=12+1=2．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】由三视图还原实物图．‎ ‎【分析】由题意可知，几何体为三棱锥，将其放置在长方体模型中即可得出正确答案．‎ ‎【解答】解：由题意可知，几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示（图中红色部分），‎ 利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．在等差数列{an}中，a1=﹣2012，其前n项和为Sn，若﹣=2002，则S2014的值等于（　　）‎ A．2011 B．﹣2012 C．2014 D．2013‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】先根据等差数列的性质和前n项和公式，求出公差，即可求出答案．‎ ‎【解答】解：在等差数列{an}中，‎ ‎∵an=a1+（n﹣1）d，则其前n项和为Sn=na1+，‎ ‎∴S2012=2012×（﹣2012）+1006×2011d，S10=10×（﹣2012）+5×9d，‎ ‎∴﹣=﹣2012+d+2012﹣d=1001d=2002，‎ ‎∴d=2，‎ ‎∴S2014=2014×（﹣2012）+×2=2014（﹣2012+2013）=2014，‎ 故选：C ‎　‎ ‎7．如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90）[90，100），则图中x的值等于（　　）‎ A．0.754 B．0.048 C．0.018 D．0.012‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；‎ ‎【解答】解：由图得30×0.006+10×0.01+10×0.054+10x=1，‎ 解得x=0.018‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．函数y=xsinx在[﹣π，π]上的图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】本题可采用排除法解答，先分析出函数的奇偶性，再求出和f（π）的值，排除不满足条件的答案，可得结论．‎ ‎【解答】解：∵y=x和y=sinx均为奇函数 根据“奇×奇=偶”可得函数y=f（x）=xsinx为偶函数，‎ ‎∴图象关于y轴对称，所以排除D．‎ 又∵，排除B．‎ 又∵f（π）=πsinπ=0，排除C，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．若函数f（x）=2sin（x+）（﹣2＜x＜14）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•=（其中O为坐标原点）（　　）‎ A．﹣32 B．32 C．﹣72 D．72‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由f（x）=2sin（x+）=0，结合已知x的范围可求A，设B（x1，y1），C（x2，y2），由正弦函数的对称性可知B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解 ‎【解答】解：由f（x）=2sin（x+）=0可得x+=kπ ‎∴x=8k﹣2，k∈Z ‎∵﹣2＜x＜14‎ ‎∴x=6即A（6，0）‎ 设B（x1，y1），C（x2，y2）‎ ‎∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点 ‎∴B，C 两点关于A对称即x1+x2=12，y1+y2=0‎ 则（+）•=（x1+x2，y1+y2）•（6，0）=6（x1+x2）=72‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．双曲线C1的中心在原点，焦点在x轴上，若C1的一个焦点与抛物线C2：y2=12x的焦点重合，且抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4，则双曲线C1的实轴长为（　　）‎ A．6 B．2 C． D．2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可得双曲线C1的一个焦点为（3，0），c=3，可设双曲线C1的方程为再根据抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4，求得a的值，可得双曲线C1的实轴长2a的值．‎ ‎【解答】解：由题意可得双曲线C1的一个焦点为（3，0），∴c=3，‎ 可设双曲线C1的方程为．‎ 由，解得 y=±，∴2×=4，解得a=，‎ ‎∴双曲线C1的实轴长为2a=2，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．已知点P是椭圆+=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且•=0，则||的取值范围是（　　）‎ A．[0，3） B．（0，2） C．[2，3） D．[0，4]‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；椭圆的定义．‎ ‎【分析】延长PF2，与F1M 交与点G，由条件判断三角形PF1G为等腰三角形，OM为三角形F1F2G的中位线，故OM=F2G=|PF1﹣PF2|=|2a﹣2PF2|，再根据PF2的最值域，求得OM的最值，从而得到结论．‎ ‎【解答】解：延长PF2，与F1M 交与点G，则PM是∠F1PG 的角平分线．‎ 由•=0可得 F1M垂直PM，‎ 可得三角形PF1G为等腰三角形，故M为F1G的中点，‎ 由于O为F1F2的中点，则OM为三角形F1F2G的中位线，‎ 故OM=F2G．‎ 由于PF1=PG，所以F2G=PF1﹣PF2，‎ ‎∴OM=|PF1﹣PF2|=|2a﹣2PF2|．‎ 问题转化为求PF2的最值．‎ 而PF2的最小值为a﹣c，PF2的最大值为a+c，‎ 即PF2的值域为[a﹣c，a+c]．‎ 故当PF2=a+c，或PF2=a﹣c时，‎ ‎|OM|取得最大值为|2a﹣2PF2|=|2a﹣2（a﹣c）|=c===2；‎ 当PF2=a时，P在y轴上，此时，G与PF2重合，M与O重合，|OM|取得最小值为0，‎ ‎∴|OM|的取值范围是（0，），‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=，若函数f（x）的图象在A、B两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣2，﹣1） B．（1，2） C．（﹣1，+∞） D．（﹣ln2，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出a=lnx2﹣（﹣1）2﹣1，构造h（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣，（0＜t＜1），最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：当x＜0时，f（x）=x2+x+a的导数为f′（x）=2x+1；‎ 当x＞0时，f（x）=lnx的导数为f′（x）=，‎ 设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2，‎ 当x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2时，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2，‎ 当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为 y﹣（x12+x1+a）=（2x1+1）（x﹣x1）；‎ 当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为 y﹣lnx2=（x﹣x2）．‎ 两直线重合的充要条件是=2x1+1①，lnx2﹣1=﹣x12+a②，‎ 由①及x1＜0＜x2得0＜＜1，由①②得a=lnx2﹣（﹣1）2﹣1，‎ 令t=，则0＜t＜1，且a=﹣lnt+t2﹣t﹣，‎ 设h（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣，（0＜t＜1）‎ 则h′（t）=﹣+t﹣＜0，即h（t）在（0，1）为减函数，‎ 则h（t）＞h（1）=﹣ln1﹣1=﹣1，‎ 则a＞﹣1，‎ 可得函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，‎ a的取值范围是（﹣1，+∞）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.‎ ‎13．若直线ax﹣by+1=0平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，则ab的取值范围是　　．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】依题意知直线ax﹣by+1=0过圆C的圆心（﹣1，2），故有a+2b=1，再利用ab=（1﹣2b）b之和为 二次函数的最值，求得ab的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵直线ax﹣by+1=0平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，‎ ‎∴直线ax﹣by+1=0过圆C的圆心（﹣1，2），‎ ‎∴有a+2b=1，‎ ‎∴ab=（1﹣2b）b=﹣2（b﹣）2+≤，‎ ‎∴ab的取值范围是（﹣∞，]．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的i值为　8　．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据框图流程依次计算运行的结果，直到满足条件n=1，求得此时i的值，即可得解．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：程序第一次运行n=10，i=2；‎ 第二次运行n=5，i=3；‎ 第三次运行n=3×5+1=16，i=4；‎ 第四次运行n=8，i=5；‎ 第五次运行n=4，i=6；‎ 第六次运行n=2，i=7；‎ 第七次运行n=1，i=8．‎ 满足条件n=1，程序运行终止，输出i=8．‎ 故答案为：8．‎ ‎　‎ ‎15．已知变量x，y满足约束条件，且目标函数z=3x+y的最小值为﹣1，则实常数k=　9　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由题意作平面区域，化简目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z，从而利用数形结合求解．‎ ‎【解答】解：由题意作平面区域如下，‎ ‎，‎ 结合图象可知，‎ 当过点A（x，2）时，目标函数z=3x+y取得最小值﹣1，‎ 故3x+2=﹣1，‎ 解得，x=﹣1，故A（﹣1，2），‎ 故﹣1=4×2﹣k，‎ 故k=9，‎ 故答案为：9．‎ ‎　‎ ‎16．在一个棱长为4的正方体内，最多能放入　66　个直径为1的球．‎ ‎【考点】球内接多面体．‎ ‎【分析】根据球体的特点，最多应该是放5层，确定各层的个数，进一步求出最多可以放入小球的个数即可．‎ ‎【解答】解：根据球体的特点，最多应该是放5层，第一层能放16个；第2层放在每4个小球中间的空隙，共放9个；第3层继续往空隙放，可放16个；第4层同第2层放9个；第5层同第1、3层能放16个，‎ 所以最多可以放入小球的个数：16+9+16+9+16=66（个）．‎ 故答案为：66．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．已知等差数列{an}的首项为a（a∈R，a≠0）．设数列的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式及Sn；‎ ‎（2）是否存在正整数n和k，使得Sn，Sn+1，Sn+k成等比数列？若存在，求出n和k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和；等比关系的确定；数列的求和．‎ ‎【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，把n=1代入已知式子可得=3，可得d=2a，可得通项公式，进而可得前n项和；‎ ‎（2）由（1）知，进而可得Sn+1，Sn+k的表达式，由等比数列可得S2n+1=SnSn+k，化简可得n（k﹣2）=1，由于n、k均是正整数，可得n=1，k=3‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，‎ 在中，令n=1 可得=3，即 故d=2a，an=a1+（n﹣1）d=（2n﹣1）a．‎ 经检验，恒成立 所以an=（2n﹣1）a，Sn=[1+3+…+（2n﹣1）]a=n2a，‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 假若Sn，Sn+1，Sn+k成等比数列，则S2n+1=SnSn+k，‎ 即知a2（n+1）4=an2a（n+k）2，‎ 又a≠0，n，k∈N*，∴（n+1）2=n（n+k），‎ 整理可得n（k﹣2）=1，由于n、k均是正整数，∴n=1，k=3‎ 故存在正整数n=1和k=3符合题目的要求．‎ ‎　‎ ‎18．全国第十二届全国人民代表大会第二次会议和政协第十二届全国委员会第二次会议，2014年3月在北京开幕．期间为了了解国企员工的工资收入状况，从108名相关人员中用分层抽样方法抽取若干人组成调研小组，有关数据见下表：（单位：人）‎ 相关人数 抽取人数 一般职工 ‎63‎ x 中层 ‎27‎ y 高管 ‎18‎ ‎2‎ ‎（1）求x，y；‎ ‎（2）若从中层、高管抽取的人员中选2人，求这二人都来自中层的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．‎ ‎【分析】本题的关键是利用分层抽样的基本理论求出一般职工、中层被抽出的人数，在根据古典概型的计算方法求出概率．‎ ‎【解答】解：（1）由分层抽样可知，，所以x=7，y=3‎ ‎（2）记从中层抽取的3人为b1，b2，b3，从高管抽取的2人为c1，c2，‎ 则抽取的5人中选2人的基本事件有：（b1，b2），（b1，b3），（b1，c1），（b1，c2），（b2，b3），（b2，c1），（b2，c2），（b3，c1），（b3，c2），（c1，c2）共10种．‎ 设选中的2人都来自中层的事件为A，‎ 则A包含的基本事件有：（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共3种 因此 故选中的2人都来自中层的概率为0.3‎ ‎　‎ ‎19．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，BA=BC．把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图2所示，点E、F分别为棱PC、CD的中点．‎ ‎（1）求证：平面OEF∥平面APD；‎ ‎（2）求证：CD⊥平面POF；‎ ‎（3）若AD=3，CD=4，AB=5，求三棱锥E﹣CFO的体积．‎ ‎【考点】平面与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】（1）证明平面OEF∥平面APD，只需证明OE∥平面PAD，OF∥平面PAD；‎ ‎（2）证明CD⊥平面POF，只需证明OF⊥CD，PO⊥CD；‎ ‎（3）求出以，E到平面CFO的距离为，利用体积公式，即可求三棱锥E﹣CFO的体积．‎ ‎【解答】（1）证明：因为点P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，‎ 所以PO⊥平面ADC，所以PO⊥AC …‎ 因为AB=BC，‎ 所以O是AC中点，…‎ 所以OE∥PA，‎ 因为PA⊂平面PAD 所以OE∥平面PAD…‎ 同理OF∥平面PAD 又OE∩OF=O，OE、OF⊂平面OEF 所以平面OEF∥平面APD； …‎ ‎（2）证明：因为OF∥AD，AD⊥CD 所以OF⊥CD 又PO⊥平面ADC，CD⊂平面ADC 所以PO⊥CD …‎ 又OF∩PO=O 所以CD⊥平面POF； …‎ ‎（3）解：因为∠ADC=90°，AD=3，CD=4，‎ 所以，‎ 而点O，E分别是AC，CD的中点，‎ 所以，…‎ 由题意可知△ACP为边长为5的等边三角形，‎ 所以高，…‎ 即P点到平面ACD的距离为，‎ 又E为PC的中点，所以E到平面CFO的距离为，‎ 故．…‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知点P（2，3），Q（2，﹣3）在椭圆上，点A、B是椭圆上不同的两个动点，且满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）由已知条件设椭圆C的方程为，并且b=2，，由此能求出椭圆C的方程．‎ ‎（2）由已知条件设PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2），PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），由已知条件推导出，，由此能求出AB的斜率为定值．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，‎ ‎∴设椭圆C的方程为，a＞b＞0，‎ 离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点，‎ ‎∴b=2，，‎ ‎∵a2=b2+c2，∴a=4，‎ ‎∴椭圆C的方程为．‎ ‎（2）当∠APQ=∠BPQ时，PA，PB的斜率之和为0，‎ 设直线PA的斜为k，则PB的斜率为﹣k，设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 设PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2），‎ 由，消去y并整理，得：‎ ‎（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k2）﹣48=0，‎ ‎∴，‎ 设PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），‎ 同理，得=，‎ ‎∴，，‎ kAB==‎ ‎==，‎ ‎∴AB的斜率为定值．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（2）对于任意的非零实数k，证明不等式（e+k2）ln（e+k2）＞e+2k2恒成立．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）求得f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，可得极大值，无极小值；‎ ‎（2）由题意可得要证原不等式成立，令x=e+k2，可得原不等式即为xlnx＞2x﹣e，即证x＞e时，即xlnx﹣2x+e＞0，令g（x）=xlnx﹣2x+e（x＞e），求出导数，判断单调性，即可得证．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）=（x＞0）的导数为f′（x）=，‎ 令=0，可得x=e，‎ 当x＞e时，f′（x）＜0；当0＜x＜e时，f′（x）＞0．‎ 可得f（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）；‎ f（x）的极大值为f（e）=，无极小值；‎ ‎（2）证明：要证原不等式成立，‎ 令x=e+k2，可得原不等式即为xlnx＞2x﹣e，‎ 即证x＞e时，xlnx＞2x﹣e，‎ 即xlnx﹣2x+e＞0，‎ 令g（x）=xlnx﹣2x+e（x＞e），可得g′（x）=1+lnx﹣2=lnx﹣1，‎ 当x＞e时，g′（x）＞0，g（x）递增；‎ 即有g（x）＞g（e）=elne﹣2e+e=0，‎ 则x＞e时，xlnx＞2x﹣e成立，‎ 即有对于任意的非零实数k，‎ 不等式（e+k2）ln（e+k2）＞e+2k2恒成立．‎ ‎　‎ ‎[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．‎ ‎（Ⅰ）求证AB•PC=PA•AC ‎（Ⅱ）求AD•AE的值．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段．‎ ‎【分析】（1）由已知条件推导出△PAB∽△PCA，由此能够证明AB•PC=PA•AC．‎ ‎（2）由切割线定理求出PC=40，BC=30，由已知条件条件推导出△ACE∽△ADB，由此能求出AD•AE的值．‎ ‎【解答】（1）证明：∵PA为圆O的切线，‎ ‎∴∠PAB=∠ACP，又∠P为公共角，‎ ‎∴△PAB∽△PCA，‎ ‎∴，‎ ‎∴AB•PC=PA•AC．…‎ ‎（2）解：∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，‎ ‎∴PA2=PB•PC，‎ ‎∴PC=40，BC=30，‎ 又∵∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2=900，‎ 又由（1）知，‎ ‎∴AC=12，AB=6，‎ 连接EC，则∠CAE=∠EAB，‎ ‎∴△ACE∽△ADB，∴，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎23．已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为（φ为参数）．点A，B是曲线C上两点，点A，B的极坐标分别为（ρ1，），（ρ2，）．‎ ‎（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求|AB|的值．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）消去参数φ，把曲线C的参数方程化为普通方程；‎ 由公式，把曲线C的普通方程化为极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）方法1：由A、B两点的极坐标，得出，判定AB为直径，求出|AB|；‎ 方法2：把A、B化为直角坐标的点的坐标，求出A、B两点间距离|AB|．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为，（φ为参数），‎ 消去参数φ，化为普通方程是x2+（y﹣2）2=4；‎ 由，（θ为参数），‎ ‎∴曲线C的普通方程x2+（y﹣2）2=4可化为 极坐标ρ=4sinθ，（θ为参数）；‎ ‎（Ⅱ）方法1：由是圆C上的两点，‎ 且知，‎ ‎∴AB为直径，‎ ‎∴|AB|=4；‎ 方法2：由两点A（ρ1，），B（ρ2，），‎ 化为直角坐标中点的坐标是A（，3），B（﹣，1），‎ ‎∴A、B两点间距离为|AB|=4．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．‎ ‎（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；‎ ‎（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）依题意知，a=3时，f（x）=，通过对x范围的分类讨论，解不等式f（x）＞0即可；‎ ‎（2）利用等价转化的思想，通过分离参数a，可知当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2或a＞x+2恒成立，从而可求得a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=，…‎ 当x＞2时，1﹣x＞0，即x＜1，解得x∈∅；‎ 当≤x≤2时，5﹣3x＞0，即x＜，解得≤x＜；‎ 当x＜时，x﹣1＞0，即x＞1，解得1＜x＜；‎ 综上所述，不等式的解集为{x|1＜x＜}．…‎ ‎（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立⇔2﹣x﹣|2x﹣a|＜0‎ ‎⇔2﹣x＜|2x﹣a|恒成立 ‎⇔2﹣x＜2x﹣a或2x﹣a＜x﹣2恒成立 ‎⇔x＞或x＜a﹣2恒成立，‎ ‎∴当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2①或a＞x+2②恒成立，‎ 解①，a不存在；解②得：a≥4．‎ 综上知，a≥4．…‎ ‎　‎ ‎2016年7月29日