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- 2021-05-13 发布
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2018年上海市虹口区高考数学一模试卷
一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)
1.(4分)函数f(x)=lg(2﹣x)定义域为 .
2.(4分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,则f(﹣1)+f(0)+f(1)= .
3.(4分)首项和公比均为的等比数列{an},Sn是它的前n项和,则= .
4.(4分)在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,如果a:b:c=2:3:4,那么cosC= .
5.(4分)已知复数z=a+bi(a,b∈R)满足|z|=1,则a•b的范围是 .
6.(4分)某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考,要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门,政治、历史、地理这三门也至少要选一门,则该生的可能选法总数是 .
7.(5分)已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱AB、PC的中点,记三棱锥P﹣ABC的体积为V1,三棱锥N﹣MBC的体积为V2,则等于 .
8.(5分)在平面直角坐标系中,双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合,则双曲线的两条渐近线的方程为 .
9.(5分)已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC,则△ABC的面积等于 .
10.(5分)设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点,若△MNF2的内切圆的面积为π,则= .
11.(5分)在△ABC中,D是BC的中点,点列Pn(n∈N*)在线段AC上,且满足,若a1=1,则数列{an}的通项公式an= .
12.(5分)设f(x)=x2+2a•x+b•2x,其中a,b∈N,x∈R,如果函数y=f(x)与函数y=f(f(x))都有零点且它们的零点完全相同,则(a,b)为 .
二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)
13.(5分)异面直线a和b所成的角为θ,则θ的范围是( )
A. B.(0,π) C. D.(0,π]
14.(5分)命题:“若x2=1,则x=1”的逆否命题为( )
A.若x≠1,则x≠1或x≠﹣1 B.若x=1,则x=1或x=﹣1
C.若x≠1,则x≠1且x≠﹣1 D.若x=1,则x=1且x=﹣1
15.(5分)已知函数,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2017)=( )
A.2017 B.1513 C. D.
16.(5分)已知Rt△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=6,在三角形所在的平面内有两个动点M和N,满足,,则的取值范围是( )
A. B.[4,6]
C. D.
三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)
17.(14分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA=AC=PC=AB=a,PA⊥AB,AC⊥AB,M为AC的中点.
(1)求证:PM⊥平面ABC;
(2)求直线PB和平面ABC所成的角的大小.
18.(14分)已知函数,其中x∈R,ω>0,且此函数的最小正周期等于π.
(1)求ω的值,并写出此函数的单调递增区间;
(2)求此函数在的最大值和最小值.
19.(14分)如图,阴影部分为古建筑群所在地,其形状是一个长为2km,宽为1km的矩形,矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上,现要过点C修一条直线的路l,这条路不能穿过古建筑群,且与另两条路交于点P和Q.
(1)设AQ=x(km),将△APQ的面积S表示为x的函数;
(2)求△APQ的面积S(km)的最小值.
20.(16分)已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p(p>0),动圆M过点F且与直线l相切,记圆心M的轨迹为曲线C,在曲线C上任取一点A,过A作l的垂线,垂足为E.
(1)求曲线C的轨迹方程;
(2)记点A到直线l的距离为d,且,求∠EAF的取值范围;
(3)判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数,并说明理由.
21.(18分)已知无穷数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,a1=4.
(1)如果a2=2,且对于一切正整数n,均有,求Sn;
(2)如果对于一切正整数n,均有an•an+1=Sn,求Sn;
(3)如果对于一切正整数n,均有an+an+1=3Sn,证明:a3n﹣1能被8整除.
2018年上海市虹口区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)
1.(4分)函数f(x)=lg(2﹣x)定义域为 (﹣∞,2) .
【解答】解:要使函数有意义,可得2﹣x>0,即x<2.
函数f(x)=lg(2﹣x)定义域为:(﹣∞,2).
故答案为:(﹣∞,2).
2.(4分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,则f(﹣1)+f(0)+f(1)= 0 .
【解答】解:∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(﹣1)=﹣f(1),f(0)=0,
即f(﹣1)+f(0)+f(1)=0,
故答案为:0.
3.(4分)首项和公比均为的等比数列{an},Sn是它的前n项和,则= 1 .
【解答】解:根据题意,等比数列{an}的首项和公比均为,
则其前n项和Sn==1﹣()n,
则=1;
故答案为:1.
4.(4分)在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,如果a:b:c=2:3:4,那么cosC= ﹣ .
【解答】解:因为a:b:c=2:3:4,所以设a=2k,b=3k,c=4k,
则根据余弦定理得:cosC===﹣.
故答案为:﹣
5.(4分)已知复数z=a+bi(a,b∈R)满足|z|=1,则a•b的范围是 [,] .
【解答】解:∵z=a+bi(a,b∈R),且|z|=1,
∴,即a2+b2=1,
令a=cosθ,b=sinθ,
则ab=cosθ•sinθ=,
∴ab∈[,].
故答案为:.
6.(4分)某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考,要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门,政治、历史、地理这三门也至少要选一门,则该生的可能选法总数是 18 .
【解答】解:根据题意,要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门,政治、历史、地理这三门也至少要选一门,
分2种情况讨论:
①、从物理、化学、生物这三门中选1门,政治、历史、地理这三门选2门,有C31C32=9种选法,
②、从物理、化学、生物这三门中选2门,政治、历史、地理这三门选1门,有C31C32=9种选法,
则一共有9+9=18种选法;
故答案为:18
7.(5分)已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱AB、PC的中点,记三棱锥P﹣ABC的体积为V1,三棱锥N﹣MBC的体积为V2,则等于 .
【解答】解:如图,
设三棱锥P﹣ABC的底面积为S,高为h,
∵M是AB的中点,∴,
∵N是PC的中点,∴三棱锥N﹣MBC的高为,
则,,
∴=.
故答案为:.
8.(5分)在平面直角坐标系中,双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合,则双曲线的两条渐近线的方程为 .
【解答】解:根据题意,抛物线y2=12x的焦点为(3,0),
若双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合,
则双曲线的顶点坐标为(±3,0),
则有a2=9,
则双曲线的方程为:﹣y2=1,
双曲线的焦点在x轴上,则其渐近线方程为
故答案为:
9.(5分)已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC,则△ABC的面积等于 .
【解答】解:由题意正余弦函数的图象可得:y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC是等腰三角形,
∵底边长为一个周期T=2π,高为,
∴△ABC的面积=2=,
故答案为:.
10.(5分)设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点,若△MNF2的内切圆的面积为π,则= 4 .
【解答】解:∵椭圆+的左右焦点分别为F1,F2,a=2,
过焦点F1的直线交椭圆于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,
△MNF2的内切圆的面积为π,
∴△MNF2内切圆半径r=1.
∴△MNF2面积S=×1×(MN+MF2+MF2)=2a=4,
故答案为:4
11.(5分)在△ABC中,D是BC的中点,点列Pn(n∈N*)在线段AC上,且满足,若a1=1,则数列{an}的通项公式an= .
【解答】解:如图所示,
∵D是BC的中点,∴=+=+,
又=+,,
∴+=+an(+),
化为:=(1﹣an﹣an+1)+,
∵点列Pn(n∈N*)在线段AC上,
∴1﹣an﹣an+1+=1,
化为:an+1=﹣,又a1=1,
则数列{an}是等比数列,首项为1,公比为﹣.
∴an=.
故答案为:.
12.(5分)设f(x)=x2+2a•x+b•2x,其中a,b∈N,x∈R,如果函数y=f(x)与函数y=f(f(x))都有零点且它们的零点完全相同,则(a,b)为 (0,0)或(1,0) .
【解答】解:根据题意,函数y=f(x)的零点为方程x2+2a•x+b•2x=0的根,
如果函数y=f(x)与函数y=f(f(x))的零点完全相同,则有f(x)=x,即x2+2a•x+b•2x=x,
方程x2+2a•x+b•2x=x的根就是函数y=f(x)与函数y=f(f(x))的零点,
则有,解可得x=0,
即x2+2a•x+b•2x=0的1个根为x=0,分析可得b=0,
则f(x)=x2+2a•x,
解可得x1=0或x2=﹣2a,
f(f(x))=(x2+2a•x)2+2a(x2+2a•x),
若函数y=f(x)与函数y=f(f(x))的零点完全相同,
分析可得a=0或a=1,
则(a,b)为(0,0)或(1,0);
故答案为(0,0)或(1,0).
二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)
13.(5分)异面直线a和b所成的角为θ,则θ的范围是( )
A. B.(0,π) C. D.(0,π]
【解答】解:∵异面直线a和b所成的角为θ,
∴θ的范围是(0,].
故选:C.
14.(5分)命题:“若x2=1,则x=1”的逆否命题为( )
A.若x≠1,则x≠1或x≠﹣1 B.若x=1,则x=1或x=﹣1
C.若x≠1,则x≠1且x≠﹣1 D.若x=1,则x=1且x=﹣1
【解答】解:命题:“若x2=1,则x=1”的逆否命题为
“若x≠1,则x2≠1”;
即“若x≠1,则x≠1且x≠﹣1”.
故选:C.
15.(5分)已知函数,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2017)=( )
A.2017 B.1513 C. D.
【解答】解:∵函数,
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2017)
=1009×f(﹣1)+1008×f(0)
=1009×2﹣1+1008×20
=.
故选:D.
16.(5分)已知Rt△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=6,在三角形所在的平面内有两个动点M和N,满足,,则的取值范围是( )
A. B.[4,6]
C. D.
【解答】解:以AB,AC为坐标轴建立坐标系,则B(4,0),C(0,6),
∵||=2,∴M的轨迹是以A为圆心,以2为半径的圆.
∵,∴N是MC的中点.
设M(2cosα,2sinα),则N(cosα,sinα+3),
∴=(cosα﹣4,sinα+3),
∴||2=(cosα﹣4)2+(sinα+3)2=6sinα﹣8cosα+26=10sin(α﹣φ)+26,
∴当sin(α﹣φ)=﹣1时,||取得最小值=4,
当sin(α﹣φ)=1时,||取得最大值=6.
故选B.
三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)
17.(14分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA=AC=PC=AB=a,PA⊥AB,AC⊥AB,M为AC的中点.
(1)求证:PM⊥平面ABC;
(2)求直线PB和平面ABC所成的角的大小.
【解答】证明:(1)在三棱锥P﹣ABC中,
∵PA=AC=PC=AB=a,PA⊥AB,AC⊥AB,M为AC的中点.
∴PM⊥AC,AB⊥平面PAC,
∴PM⊥AB,
∵AB∩AC=A,∴PM⊥平面ABC.
解:(2)连结BM,
∵PM⊥平面ABC,∴∠PBM是直线PB和平面ABC所成的角,
∵PA=AC=PC=AB=a,PA⊥AB,AC⊥AB,M为AC的中点,
∴PM==,
BM===,
∴tan∠PBM===,
∴.
∴直线PB和平面ABC所成的角为arctan.
18.(14分)已知函数,其中x∈R,ω>0,且此函数的最小正周期等于π.
(1)求ω的值,并写出此函数的单调递增区间;
(2)求此函数在的最大值和最小值.
【解答】解:函数=sinωx+cosωx=2sin(ωx),
(1)∵函数的最小正周期等于π.即
∴ω=2.
可得f(x)=2sin(2x),
由2x,k∈Z
得:≤x≤
故得函数的单调递增区间为[,],k∈Z
(2)∵f(x)=2sin(2x),
当,
(2x)∈[]
∴当2x=时,函数f(x)取得最大值为2.
当2x=时,函数f(x)取得最小值为﹣1.
19.(14分)如图,阴影部分为古建筑群所在地,其形状是一个长为2km,宽为1km的矩形,矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上,现要过点C修一条直线的路l,这条路不能穿过古建筑群,且与另两条路交于点P和Q.
(1)设AQ=x(km),将△APQ的面积S表示为x的函数;
(2)求△APQ的面积S(km)的最小值.
【解答】解:(1)设AQ=x,
则由得:
即AP=
故S==(x>1);
(2)由(1)得:S′=(x>1);
当x∈(1,2)时,S′<0,当x∈(2,+∞)时,S′>0,
故x=2时,Smin=4.
20.(16分)已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p(p>0),动圆M过点F且与直线l相切,记圆心M的轨迹为曲线C,在曲线C上任取一点A,过A作l的垂线,垂足为E.
(1)求曲线C的轨迹方程;
(2)记点A到直线l的距离为d,且,求∠EAF的取值范围;
(3)判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数,并说明理由.
【解答】解:(1)如图,以FK的中点为坐标原点O,
FK所在的直线为x轴,过O的垂线为y轴建立直角坐标系,
即有F(,0),直线l:x=﹣,
动圆M过点F且与直线l相切,
可得|AE|=|AF|,
由抛物线的定义可得曲线C的轨迹为F为焦点、直线l为准线的抛物线,
可得方程为y2=2px;
(2)点A到直线l的距离为d,可得|AE|=|AF|=d,且,
设A(x0,y0),可得y02=2px0,
即有d=x0+,则x0=d﹣,
即有|EF|2=p2+y02=p2+2p(d﹣)=2pd,
在△EAF中,
cos∠EAF==1﹣,
可得﹣≤cos∠EAF≤,
可得arccos≤π﹣arccos,
则∠EAF的取值范围是[arccos];
(3)∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1.
设A(x0,y0),可得y02=2px0,
当A与O重合时,显然一个交点;
当A不与O重合,由∠EAF的平分线交x轴于M,连接EM,
可得∠AMF=∠MAF,
即有|MF|=|AF|=d,
四边形AEMF为菱形,EF垂直平分AM,
可得∠AMF+∠EFM=90°,
tan∠AMF=cot∠EFM==,
可设y0>0,
则直线AM的方程为y﹣y0=(x﹣x0),
则y0y﹣y02=px﹣px0,
化为y0y=px+px0,
代入抛物线的方程y2=2px,
消去x可得,y2﹣2y0y+2px0=0,
即为(y﹣y0)2=0,
可得y=y0,x=x0,
即∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1.
21.(18分)已知无穷数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,a1=4.
(1)如果a2=2,且对于一切正整数n,均有,求Sn;
(2)如果对于一切正整数n,均有an•an+1=Sn,求Sn;
(3)如果对于一切正整数n,均有an+an+1=3Sn,证明:a3n﹣1能被8整除.
【解答】解:(1)∵无穷数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,a1=4.
a2=2,且对于一切正整数n,均有,
∴==1,=,
由此猜想=23﹣n.
再利用数学归纳法证明:
①当n=1时,=4,成立.
②假设n=k时,成立,即,
则ak+1====2(6﹣2k)﹣(4﹣k)=22﹣k=23﹣(k+1).
由①②得,
∴{an}是首项为4,公比为的等比数列,
∴Sn==8(1﹣).
(2)∵对于一切正整数n,均有an•an+1=Sn,
∴Sn=anan+1,Sn﹣1=an﹣1an,
∴an=an(an+1﹣an﹣1),∴an+1﹣an﹣1=1.
a1=4,由an•an+1=Sn,得a2=1,a3=5,a4=3,…
∴当n为偶数时,+
===.
当n为奇数时,Sn=++
==.
证明:(3)∵对于一切正整数n,均有an+an+1=3Sn,
∴an+an+1=3Sn,an﹣1+an=3Sn﹣1,
∴an+1﹣an﹣1=3an,
a1+a2=3a1,
a2=2a1=8,能被8整除,
a3﹣a1=3a2,a3=28,假设a3k﹣1=8m,m∈N*.
则a3k+2=3a2k+1+a3k=3(3a3k+a3k﹣1)+a3k
=10a3k+a3k﹣1
=40p+24q,p,q∈N*能被8整除,
综上,a3n﹣1能被8整除.