高考文科数学真题汇编圆锥曲线老师版 12页

学科教师辅导教案 学员姓名 年 级 高三 辅导科目 数 学 授课老师 课时数 2h 第 次课 授课日期及时段 2018 年 月 日 ： — ： 1、（2016 年四川）抛物线 y2=4x 的焦点坐标是（ D ） (A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 2、（2016 年天津）已知双曲线 的焦距为 ，且双曲线的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线的方程为（ A ） （A） （B） （C） （D） 3、（2016 年全国 I 卷）直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的1 4，则 该椭圆的离心率为（ B ） （A）1 3（B）1 2（C）2 3（D）3 4 4、（2016 年全国 II 卷）设 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，曲线 y= （k>0）与 C 交于点 P，PF⊥x 轴，则 k= （ D ） （A） （B）1 （C） （D）2 5、（2016 年全国 III 卷）已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C： 的左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点.P 为 C 上一点，且 轴.过点 A 的直线 l 与线段 交于点 M，与 y 轴交于点 E. 若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（ A ） （A） （B） （C） （D） )0,0(12 2 2 2 >>=− bab y a x 52 02 =+ yx 14 2 2 =− yx 14 2 2 =− yx 15 3 20 3 22 =− yx 120 3 5 3 22 =− yx k x 1 2 3 2 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > PF x⊥ PF 1 3 1 2 2 3 3 4 历年高考试题集锦——圆锥曲线 6 、（2016 年北京）已知双曲线 （a ＞0 ，b ＞0 ）的一条渐近线为 2x+y=0 ，一个焦点为 （ ,0），则 a=_______；b=_____________. 7、（2016 年江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 的焦距是________ ________. 8、（2016 年山东）已知双曲线 E： – =1（a>0，b>0）．矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的 中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是___2____． 9.（2015 北京文）已知 是双曲线 （ ）的一个焦点，则 ． 10.（2015 年广东文）已知椭圆 （ ）的左焦点为 ，则 （ C ） A． B． C． D． 11.（2015 年安徽文）下列双曲线中，渐近线方程为 的是( A ) （A） （B） （C） （D） 12、（2016 年上海） 双曲线 的左、右焦点分别为 F1、F2，直线 l 过 F2 且与双曲线交于 A、B 两点.（1）若 l 的倾斜角为 ， 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； 解析：（1）设 ．由题意， ， ， ， 因为 是等边三角形，所以 ，即 ，解得 ． 故双曲线的渐近线方程为 ． 13、（2016 年四川）已知椭圆 E： x2 a2+ у2 b2 =1(a﹥b﹥0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点， 点 P( 3， 1 2)在椭圆 E 上。(Ⅰ)求椭圆 E 的方程。 解：（I）由已知，a=2b.又椭圆 过点 ，故 ，解得 . 2 2 2 2 1x y a b − = 5 1, 2a b= = 2 2 17 3 x y− = 2 10 2 2 x a 2 2 y b ( )2,0 2 2 2 1yx b − = 0b > b = 3 2 2 2 125 x y m + = 0m > ( )1F 4,0− m = 9 4 3 2 2y x= ± 2 2 14 yx − = 2 2 14 x y− = 2 2 12 yx − = 2 2 12 x y− = 2 2 2 1( 0)yx bb − = > 2 π 1F AB△ ( ),x yΑ ΑΑ ( )2F ,0c 21c b= + ( )2 2 2 41y b c bΑ = − = 1F∆ ΑΒ 2 3c yΑ= ( )2 44 1 3b b+ = 2 2b = 2y x= ± 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1( 3, )2P 2 2 1 3 4 14b b + = 2 1b = 所以椭圆 E 的方程是 . 14 、（ 2016 年 天 津 ） 设 椭 圆 （ ） 的 右 焦 点 为 ， 右 顶 点 为 ， 已 知 ，其中 为原点， 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程； 解析：（1 ）解：设 ，由 ，即 ，可得 ，又 ，所以 ，因此 ，所以椭圆的方程为 . 15、（2016 年全国 I 卷）在直角坐标系 中，直线 l:y=t(t≠0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C： 于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连结 ON 并延长交 C 于点 H. （I）求 ；（II）除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由. 【解析】（Ⅰ）由已知可得 ， 又∵ 与 关于点 对称，故 ∴ 直线 的方程为 ，代入 ，得： 解得： ， ∴ ．∴ 是 的中点，即 ． （Ⅱ）直线 与曲线 除 外没有其它公共点．理由如下： 直线 的方程为 ，即 ，代入 ，得 ，解得 ，即直线 与 只有一个公共点，所以除 外没有其它公共点． 16.（2015 北京文）已知椭圆 ，过点 且不过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，直线 与直线 交于点 ． （Ⅰ）求椭圆 的离心率；（Ⅱ）若 垂直于 轴，求直线 的斜率； 试题解析：（Ⅰ）椭圆 C 的标准方程为 .所以 ， ， .所以椭圆 C 的离心率 2 2 14 x y+ = 13 2 2 2 =+ y a x 3>a F A || 3 || 1 || 1 FA e OAOF =+ O e ( ,0)F c 1 1 3 | | | | | | c OF OA FA + = 1 1 3 ( ) c c a a a c + = − 2 2 23a c c− = 2 2 2 3a c b− = = 2 1c = 2 4a = 2 2 14 3 x y+ = xOy 2 2 ( 0)y px p= > OH ON (0, )M t 2 ( , )2 tP tp N M P 2 ( , )tN tp ON py xt = 2 2y px= 2 22 0px t x− = 1 0x = 2 2 2tx p = 22( ,2 )tH tp N OH 2OH ON = MH C H MH 2 py t xt − = 2 ( )tx y tp = − 2 2y px= 2 24 4 0y ty t− + = 1 2 2y y t= = MH C H C: 2 23 3x y+ = ( )D 1,0 ( )2,1Ε C Α Β ΑΕ 3x = Μ C ΑΒ x ΒΜ 2 2 13 x y+ = 3a = 1b = 2c = . （Ⅱ）因为 AB 过点 且垂直于 x 轴，所以可设 ， . 直线 AE 的方程为 .令 ，得 . 所以直线 BM 的斜率 . 17.（2015 年安徽文）设椭圆 E 的方程为 点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为 , 点 B 的坐标为（0，b）,点 M 在线段 AB 上，满足 直线 OM 的斜率为 。[学优高考网] （1）求 E 的离心率 e; (2)设点 C 的坐标为（0，-b）,N 为线段 AC 的中点，证明：MN AB。 ∴ ＝ （Ⅱ）由题意可知 N 点的坐标为（ ）∴ ∴ ∴MN⊥AB 6 3 ce a = = (1,0)D 1(1, )A y 1(1, )B y− 11 (1 )( 2)y y x− = − − 3x = 1(3,2 )M y− 1 12 13 1BM y yk − += =− 2 2 2 2 1( 0),x y a ba b + = > > ( ,0)a 2 ,BM MA= 5 10 ⊥ a b 3 2 3 1 5 52 5 4 5 1 5 1 10 5 2 2 2 22 2 2 =⇒=⇒=−⇒=⇒ ea c a ca a b 2,2 ba − a b a b aa bb K MN 5 6 6 5 23 2 2 1 3 1 == − + = a bK AB −= 15 2 2 −=−=⋅ a bKK ABMN 18. （2015 年福建文）已知椭圆 的右焦点为 ．短轴的一个端点为 ，直线 交椭圆 于 两点．若 ，点 到直线 的距离不小于 ，则椭圆 的离 心率的取值范围是（ A ） A． B． C． D． 119. （2015 年新课标 2 文）已知双曲线过点 , 且渐近线方程为 , 则该双曲线的标准方程 为 ． 20.（2015 年陕西文）已知抛物线 的准线经过点 ，则抛物线焦点坐标为（ B ） A． B． C． D． 【解析】试题分析：由抛物线 得准线 ，因为准线经过点 ，所以 ， 所以抛物线焦点坐标为 ，故答案选 考点：抛物线方程. 21.（2015 年陕西文科）如图，椭圆 经过点 ，且离心率为 . (I)求椭圆 的方程； 22. （2015 年天津文）已知双曲线 的一个焦点为 , 且双曲线的渐近线与圆 相切,则双曲线的方程为（ D ） 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > F M :3 4 0l x y− = E ,A B 4AF BF+ = M l 4 5 E 3(0, ]2 3(0, ]4 3[ ,1)2 3[ ,1)4 ( )4, 3 1 2y x= ± 2 2 14 x y− = 2 2 ( 0)y px p= > ( 1,1)− ( 1,0)− (1,0) (0, 1)− (0,1) 2 2 ( 0)y px p= > 2 px = − ( 1,1)− 2p = (1,0) B 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > (0, 1)A − 2 2 E 2 2 12 x y+ = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b- = > > (2,0)F ( ) 2 22 y 3x - + = (A) (B) (C) (D) 23．（2013 广东文）已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 ，离心率等于 ，则 C 的方程是（ D ） A． B． C． D． 24．(2012 沪春招) 已知椭圆 则　　　　（ D ）　　　　　　　 　　 (A) 与 顶点相同.　　　　　　　（B） 与 长轴长相同. 　　 (C) 与 短轴长相同.　　　　　　（D） 与 焦距相等. 25.(2012 新标) 设 是椭圆 的左、右焦点， 为直线 上一点， 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为（ C ） 26.(2013 新标 2 文) 设椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2，P 是 C 上的点，PF2⊥F1F2， ∠PF1F2＝30°，则 C 的离心率为(　D　) A. 3 6 B.1 3 C.1 2 D. 3 3 27.(2013 四川文) 从椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1，A 是椭圆与 x 轴正 半轴的交点，B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 AB∥OP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是(　　) A. 2 4 B.1 2 C. 2 2 D. 3 2 【简解】由题意可设 P(－c，y0)(c 为半焦距)，kOP＝－ y0 c ，kAB＝－ b a，由于 OP∥AB，∴－ y0 c ＝－ b a，y0＝ bc a ， 把 P (－c， bc a )代入椭圆方程得 (－c)2 a2 ＋ (bc a )2 b2 ＝1，而 (c a )2＝ 1 2，∴e＝ c a＝ 2 2 .选 C. 28．（2014 大纲）已知椭圆 C： 的左、右焦点为 、 ，离心率为 ，过 的 直线 交 C 于 A、B 两点，若 的周长为 ，则 C 的方程为（ ） A． B． C． D． 2 2 19 13 x y- = 2 2 113 9 x y- = 2 2 13 x y- = 2 2 13 yx - = (1,0)F 2 1 143 22 =+ yx 1 34 22 =+ yx 124 22 =+ yx 134 22 =+ yx 2 2 2 2 1 2: 1, : 1,12 4 16 8 x y x yC C+ = + = 1C 2C 1C 2C 1C 2C 1C 2C 1 2F F 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > P 3 2 ax = ∆ 2 1F PF 30 E ( )A 1 2 ( )B 2 3 ( )C 3 4 ( )D 4 5 2 2 2 2 1x y a b + = ( 0)a b> > 1F 2F 3 3 2F l 1AF B∆ 4 3 2 2 13 2 x y+ = 2 2 13 x y+ = 2 2 112 8 x y+ = 2 2 112 4 x y+ = 【简解】|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=4a=4 ,a= ;c=1；b2=2.选 A． 29．（2012 江西）椭圆 （a＞b＞0）的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F 1，F2。若|AF1|， |F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________. 【简解】 ， ， ； ，即 ，则 ； 故 .填 . 30．（2014 广东）若实数 k 满足 ，则曲线 与曲线 的（ A ） A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等 31．（2013 湖北）已知 ，则双曲线 ： 与 ： 的（ D） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 32.(2014 天津理) 已知双曲线 的一条渐近线平行于直线 ： ，双曲 线的一个焦点在直线 上，则双曲线的方程为（　A　） （A） 　　 （B） （C） 　 　（D） 33.(2013 新标 1) 已知双曲线 ： （ ）的离心率为 ，则 的渐近线方程为（C ） . . . . 34.(2014 新标 1 文)已知双曲线 的离心率为 2，则 （D ） A. 2 B. C. D. 1 35.(2014 新标 1 文) 已知抛物线 C ： 的焦点为 , 是 C 上一点， ，则 （ A ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 36.(2013 新标 1 文) 为坐标原点， 为抛物线 的焦点， 为 上一点，若 ， 则 的面积为（ ） 3 3 2 2 2 2 1x y a b + = 1AF a c= − 1 2 2F F c= 1F B a c= + 2( )( ) (2 )a c a c c− + = 2 2 24a c c− = 2 25a c= 5 5 ce a = = 5 5 0 9k< < 2 2 125 9 x y k − =− 2 2 125 9 x y k − =− π0 4 θ< < 1C 2 2 2 2 1cos sin x y θ θ− = 2C 2 2 2 2 2 1sin sin tan y x θ θ θ− = 2 2 2 2 1x y a b- = ( )0, 0a b> > l 2 10y x= + l 2 2 15 20 x y - = 2 2 120 5 x y - = 2 23 3 125 100 x y - = 2 23 3 1100 25 x y - = C 2 2 2 2 1x y a b − = 0, 0a b> > 5 2 C A 1 4y x= ± B 1 3y x= ± C 1 2y x= ± D y x= ± )0(13 2 2 2 >=− ay a x =a 2 6 2 5 xy =2 F ( )yxA 00, xFA 04 5= =x0 O F 2: 4 2C y x= P C | | 4 2PF = POF∆ （A） （B） （C） （D） 【简解】准线 x=- ,PF=P 到准线距，求得 xP=3 ；进而 yP=±2 ；S= ,选 C 37.(2013 新标 2 文) 设 为抛物线 的焦点，过 且倾斜角为 的直线交 于 , 两点，则 （A） （B） （C） （D） 【简解】根据抛物线定义|AB|=xA+xB+ ,将 y= (x- )代入，知选 C 38.(2013 新标 2 文)设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与 C 交于 A，B 两点．若|AF|＝3|BF|，则 l 的方程为(　　) A．y＝x－1 或 y＝－x＋1 B．y＝ 3 3 (x－1)或 y＝－ 3 3 (x－1) C．y＝ 3(x－1)或 y＝－ 3(x－1) D．y＝ 2 2 (x－1)或 y＝－ 2 2 (x－1) 【简解】抛物线 y2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，准线方程为 x＝－1，设 A(x 1，y1)，B(x2，y2)，因为|AF|＝ 3|BF|，所以 x1＋1＝3(x2＋1)，所以 x1＝3x2＋2.因为|y1|＝3|y2|，x1＝9x2，所以 x1＝3，x2＝1 3，当 x1＝3 时，y 21＝12，所以此时 y1＝± 12＝±2 3，若 y1＝2 3，则 A(3,2 3)，B(1 3，－2 3 3 )，此时 kAB＝ 3，此时直线方 程为 y＝ 3(x－1)．若 y1＝－2 3，则 A(3，－2 3)，B(1 3，2 3 3 )，此时 kAB＝－ 3，此时直线方程为 y＝－ 3(x－1)．所以 l 的方程是 y＝ 3(x－1)或 y＝－ 3(x－1)，选 C. 39.(2017 新课标 1 文)已知 F 是双曲线 C：x2- =1 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的 坐标是(1,3).则△APF 的面积为（ D ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】由 得 ，所以 ，将 代入 ，得 ，所 以 ，又 A 的坐标是(1,3)，故 APF 的面积为 ，选 D. 40.(2017 新课标 1 文)设 A、B 是椭圆 C： 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足∠AMB=120°， 则 m 的取值范围是 （ A ） 2 2 2 2 3 4 2 2 6 1 2 2 62 × × F 2: =3C y x F 30° C A B AB = 30 3 6 12 7 3 3 2 3 3 3 4 2 3 y 1 3 1 2 2 3 3 2 2 2 2 4c a b= + = 2c = (2,0)F 2x = 2 2 13 yx − = 3y = ± 3PF = 1 33 (2 1)2 2 × × − = 2 2 13 x y m + = A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当 ，焦点在 轴上，要使 C 上存在点 M 满足 ，则 ，即 ，得 ；当 ，焦点在 轴上，要使 C 上存在点 M 满足 ，则 ，即 ，得 ，故 m 的取值范围为 ，选 A. 41、(2017·全国Ⅱ文，5)若 a>1，则双曲线x2 a2－y2＝1 的离心率的取值范围是(　　) A．( 2，＋∞) B．( 2，2) C．(1， 2) D．(1,2) 3．【答案】C【解析】由题意得双曲线的离心率 e＝ a2＋1 a .∴e2＝a2＋1 a2 ＝1＋ 1 a2. ∵a＞1，∴0＜ 1 a2＜1，∴1＜1＋ 1 a2＜2，∴1＜e＜ 2.故选 C. 42．(2017·全国Ⅱ文，12)过抛物线 C：y2＝4x 的焦点 F，且斜率为 3的直线交 C 于点 M(M 在 x 轴上方)，l 为 C 的准线，点 N 在 l 上且 MN⊥l，则 M 到直线 NF 的距离为(　　) A. 5 B．2 2 C．2 3 D．3 3 4．【答案】C【解析】抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1.由直线方程的点斜式可得直线 MF 的方程为 y＝ 3(x－1)．联立得方程组Error!解得Error!或Error! ∵点 M 在 x 轴的上方，∴M(3,2 3)．∵MN⊥l，∴N(－1,2 3)．∴|NF|＝ (1＋1)2＋(0－2 3)2＝4， |MF|＝|MN|＝3－(－1)＝4.∴△MNF 是边长为 4 的等边三角形．∴点 M 到直线 NF 的距离为 2 3. 故选 C. 43．(2017·全国Ⅲ文，11)已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直 径的圆与直线 bx－ay＋2ab＝0 相切，则椭圆 C 的离心率为(　　) A． 6 3 B． 3 3 C． 2 3 D．1 3 5．【答案】A【解析】由题意知以 A1A2 为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为 a. 又直线 bx－ay＋2ab＝0 与圆相切，∴圆心到直线的距离 d＝ 2ab a2＋b2＝a，解得 a＝ 3b， (0,1] [9, )+∞ (0, 3] [9, )+∞ (0,1] [4, )+∞ (0, 3] [4, )+∞ 0 3m< < x 120AMB∠ =  tan 60 3a b ≥ = 3 3 m ≥ 0 1m< ≤ 3m > y 120AMB∠ =  tan 60 3a b ≥ = 3 3 m ≥ 9m ≥ (0,1] [9, )∪ +∞ ∴b a＝ 1 3 ，∴e＝c a＝ a2－b2 a ＝ 1－(b a )2＝ 1－( 1 3 )2＝ 6 3 . 44．(2017·天津文，5)已知双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为 2 的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为(　　) A．x2 4－y2 12＝1 B．x2 12－y2 4＝1 C．x2 3－y2＝1 D．x2－y2 3＝1 6．【答案】D【解析】根据题意画出草图如图所示(不妨设点A在渐近线y＝b ax上). 由△AOF 是边长为 2 的等边三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2.又点 A 在双曲线的渐近线 y＝b ax 上，∴b a＝ tan 60°＝ 3.又 a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝ 3，∴双曲线的方程为 x2－y2 3＝1.故选 D. 45．(2017·全国Ⅲ文，14)双曲线x2 a2－y2 9＝1(a>0)的一条渐近线方程为 y＝3 5x，则 a＝________. 1．【答案】5【解析】∵双曲线的标准方程为x2 a2－y2 9＝1(a＞0)，∴双曲线的渐近线方程为 y＝±3 ax. 又双曲线的一条渐近线方程为 y＝3 5x，∴a＝5. 46、(2017·北京文，10)若双曲线 x2－y2 m＝1 的离心率为 3，则实数 m＝________. 【答案】2【解析】由双曲线的标准方程知 a＝1，b2＝m，c＝ 1＋m，故双曲线的离心率 e＝c a＝ 1＋m＝ 3， ∴1＋m＝3，∴m＝2. 47、(2017·全国Ⅱ理，16)已知 F 是抛物线 C：y2＝8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点，则|FN|＝________. 【解析】如图，不妨设点 M 位于第一象限内，抛物线 C 的准线交 x 轴于点 A，过点 M 作准线的垂线，垂足 为点 B，交 y 轴于点 P，∴PM∥OF. 由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.∵点 M 为 FN 的中点，PM∥OF，∴|MP|＝1 2|FO|＝1. 又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6. 48、(2017 新课标 1 文)设 A，B 为曲线 C：y= 上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4. （1）求直线 AB 的斜率； （2）设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM BM，求直线 AB 的方程. 【解析】（1）设 ，则 （2）设 ，则 C 在 M 处的切线斜率 ∴ 则 ，又 AM⊥ BM， 即 又设 AB：y=x＋m 代入 得 ∴ ， －4m＋8＋20=0∴m=7 故 AB：x＋y=7 49.(2017 年新课标Ⅱ文)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C:x2 2＋y2＝1 上，过 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,点 P 满足→ NP＝ 2→ NM. (1)求点 P 的轨迹方程； (2)设点 Q 在直线 x＝－3 上,且→ OP·→ PQ＝1.证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 【解析】(1)设 P(x,y),M(x0,y0),则 N(x0,0),→ NP＝(x－x0,y),→ NM＝(0,y0).由→ NP＝ 2→ NM得 x0＝x,y0＝ 2 y. ∵M(x0,y0)在 C 上,∴x2 2＋ y2 2 ＝1,∴点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝2. (2)由题意知 F(－1,0).设 Q(－3,t),P(m,n),则→ OQ＝Q(－3,t),→ PF＝(－1－m,－n),→ OQ·→ PF＝3＋3m－tn, → OP＝(m,n),→ PQ＝(－3－m,－tn).由→ OP·→ PQ＝1 得－3m－m2＋tn－n2＝1, 2 4 x ⊥ ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 4 14AB x x y y x xK x x x x −− += = = =− − 2 0 0 , 4 xM x       ' 0 0 1 12AB yK K xx x = = = =− 0 2x = ( )1 2,1A 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 11 1 4 4 2 2 2 2AM BM x x y yK K x x x x − −− −= =− − − −   ( )( ) ( )1 2 1 2 1 22 2 2 4 116 16 x x x x x x+ + + + += = = − ( )1 2 1 22 20 0x x x x+ + + = 2 4x y= 2 4 4 0x x m− − = 1 2 4x x+ = 1 2 4x x m= − 由(1)知 m2＋n2＝2,∴3＋3m－tn＝0.∴→ OQ·→ PF＝0,即→ OQ⊥→ PF.又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ, ∴过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.