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- 2021-05-13 发布
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学科网备战高考数学平面向量
【考点定位】2010考纲解读和近几年考点分布
平面向量在高考试题中,主要考查有关的基础知识,突出向量的工具作用.平面向量的考查要求:第【考点pk】名师考点透析
考点一、向量的概念、向量的基本定理
【名师点睛】
了解向量的实际背景,掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念,理解向量的几何表示,掌握平面向量的基本定理。
注意对向量概念的理解,向量是可以自由移动的,平移后所得向量与原向量相同;两个向量无法比较大小,它们的模可比较大小。
如果和是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量有且只有一对实数λ1、λ2,使=λ1+λ2.
注意:若和是同一平面内的两个不共线向量
【试题演练】
1、直角坐标系中,分别是与轴正方向同向的单位向量.在直角三角形中,若,则的可能值个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解:如图,将A放在坐标原点,则B点坐标为(2,1),C点坐标为(3,k),所以C点在直线x=3上,由图知,只可能A、B为直角,C不可能为直角.所以k 的可能值个数是2,选B
点评:本题主要考查向量的坐标表示,采用数形结合法,巧妙求解,体现平面向量中的数形结合思想。
2、如图,平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,|| =
,若=λ+μ(λ,μ∈R),
则λ+μ的值为.
解:过C作与的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,由角BOC=90°角AOC=30°,=得平行四边形的边长为2和4,2+4=6
点评:本题考查平面向量的基本定理,向量OC用向量OA与向量OB作为基底表示出来后,求相应的系数,也考查了平行四边形法则。
二、向量的运算
【名师点睛】向量的运算要求掌握向量的加减法运算,会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的【试题演练】
1、设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=( )
A.(-15,12) B.0 C.-3 D.-11
解:(a+2b),(a+2b)·c,选C
点评:本题考查向量与实数的积,注意积的结果还是一个向量,向量的加法运算,结果也是一个向量,还考查了向量的数量积,结果是一个数字。
2、已知平面向量,且∥,则=( )
A.(-2,-4) B. (-3,-6) C. (-4,-8) D. (-5,-10)
解:由∥,得m=-4,所以,
=(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8),故选(C)。
点评:两个向量平行,其实是一个向量是另一个向量的倍,也是共线向量,注意运算的公式,容易与向量垂直的坐标运算混淆。
3、已知平面向量=(1,-3),=(4,-2),与垂直,则是( )
A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
解:由于
∴,即,选A
点评:本题考查简单的向量运算及向量垂直的坐标运算,注意不要出现运算出错,因为这是一道基础题,要争取满分。
4、在中,,若点满足,则=( ).
A. B. C. D.
【解法一】∵∴
∴.
【试题演练】
设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,且则与( )A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 解:由定比分点的向量式得:同理,有:以上三式相加得所以选A.
点评:利用定比分点的向量式,及向量的运算,是解决本题的要点.
四、向量与三角函数的综合问题
【名师点睛】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题,考查了向量的知识,三角函数的知识,达到了高考中试题的覆盖面的要求。
【试题演练】
1、已知向量 ,函数
(1)求的最小正周期; (2)当时, 若求的值.
解:(1) . 所以,T=.
(2) 由得,
∵,∴∴∴
2、在中,角的对边分别为.
(1)求;(2)若,且,求.
解:(1) 又 解得.
,是锐角. .
(2)由, , .
又. .
. .
点评:本题向量与解三角形的内容相结合,考查向量的数量积,余弦定理等内容。
3、将的图象按向量平移,则平移后所得图象的解析式为( )
A. B.
C. D.
解: 由向量平移的定义,在平移前、后的图像上任意取一对对应点,,则,代入到已知解析式中可得选A
点评:本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识,以平移公式切入,为中档题。注意不要将向量与对应点的顺序搞反,或死记硬背以为是先向右平移个单位,再向下平移2个单位,误选C
五、平面向量与函数问题的交汇
【名师点睛】平面向量与函数交汇的问题,主要是向量与二次函数结合的问题为主,要注意自变量的取值范围。
【试题演练】已知向量=(cosx,sinx),=(),且x∈[0,].
(1)求(2)设函数+,求函数的最值及相应的的值。
解:由已知条件: , 得:
(2)
因为:,所以:
所以,只有当: 时, ,或时,
点评:本题考查向量、三角函数、二次函数的知识,经过配方后,变成开口向下的二次函数图象,要注意sinx的取值范围,否则容易搞错。
六、平面向量在平面几何中的应用
【名师点睛】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后,使向量之间的运算代数化,这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此,许多平面几何问题中较难解决的问题,都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中,赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标,这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.
O
x
A
C
B
a
y
A
C
B
a
Q
P
【试题演练】
如图在RtABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以A为中点,问与的夹角取何值时,的值最大?并求出这个最大值。
解:以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系。设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b).且|PQ|=2a,|BC|=a.设点P的坐标为(x,y),则Q(-x,-y),
∴cx-by=a2cos.∴=- a2+ a2cos.故当cos=1,即=0(方向相同)时,的值最大,其最大值为0.
点评:本题主要考查向量的概念,运算法则及函数的有关知识,平面向量与几何问题的融合。考查学生运用向量知识解决综合问题的能力。
【三年高考】 07、08、09 高考试题及其解析
2009高考试题及解析
一、选择题
1.(2009年广东卷文)已知平面向量a= ,b=, 则向量
A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线
【答案】
【解析】,由及向量的性质可知,C正确.
2.(2009广东卷理)一质点受到平面上的三个力(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知,成角,且,的大小分别为2和4,则的大小为
A. 6B. 2 C. D.
【解析】,所以,选D.
3.(2009浙江卷理)设向量,满足:,,.以,,的模为边长构成三角形,则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( )
A. B. C. D.答案:C
【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点,对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现4个交点的情况,但5个以上的交点不能实现.
5.(2009浙江卷文)已知向量,.若向量满足,,则( )
A. B. C. D.
【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算,通过平面向量的平行和垂直关系的考查,很好地体现
∵a,b,若,则cab,dab, 显然,a与b不平行,排除A、B. 若,则cab,dab,即cd且c与d反向,排除C,故选D.
6.(2009北京卷文)设D是正及其内部的点构成的集合,点是的中心,若集合,则集合S表示的平面区域是 ( )
A. 三角形区域 B.四边形区域 C. 五边形区域 D.六边形区域
【答案】D
【解析】本题主要考查集合与平面几何基础知识. 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.
如图,A、B、C、D、E、F为各边
三等分点,答案是集合S为六边形
ABCDEF,其中,
即点P可以是点A.
7.(2009北京理)已知向量a、b不共线,cabR),dab,如果cd,那么 ( ) A.且c与d同向 B.且c与d反向 C.且c与d同向 D.且c与d反向
【答案】D【解析】取a,b,若,则cab,dab, 显然,a与b不平行,排除A、B.若,则cab,dab,即cd且c与d反向,排除C,故选D.
8.(2009山东卷理)设P是△ABC所在平面内的一点,,则( )
A. B. C. D.
【解析】:因为,所以点P为线段AC的中点,所以应该选B。答案:B。
【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则,
集合,则A.{〔1,1〕} B. {〔-1,1〕}C. {〔1,0〕} D. {〔0,1〕}
【解析】因为代入选项可得故选A.
12.(2009全国卷Ⅱ理)已知向量,则
A. B. C. D.
解:。故选C
13.(2009辽宁卷理)平面向量a与b的夹角为,, 则
(A) (B) (C) 4 (D)12
【解析】由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12 ∴选B
14.(2009宁夏海南卷理)已知O,N,P在所在平面内,且,且,则点O,N,P依次是的
(A)重心 外心 垂心 (B)重心 外心 内心 (C)外心 重心 垂心 (D)外心 重心 内心
(注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心)
解析:;
15.(2009湖北卷文)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=
A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b
【答案】B【解析】由计算可得故选B
17.(2009辽宁卷文)平面向量a与b的夹角为,a=(2,0), | b |=1,则 | a+2b |=
(A) (B)2 (C)4 (D)12
【解析】由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12 ∴
18.(2009全国卷Ⅰ文)设非零向量、、满足,则( )
(A)150°B)120° (C)60° (D)30°
【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想,基础题。
(A) (B) (C) (D)
【解析】向量=(-3-1,2),
=(-1,2),因为两个向量垂直,故有(-3-1,2)×(-1,2)=0,即3+1+4=0,解得:=,故选.A。
21.(2009湖南卷理)对于非0向量,是“”的()
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】由可得,即得,但,不一定
有,所以“”是“的充分不必要条件。
22.(2009福建卷文)设,,为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足与不共线,∣∣=∣∣,则∣•∣的值一定等于
A.以,为邻边的平行四边形的面积 B. 以,为两边的三角形面积
C.,为两边的三角形面积 D. 以,为邻边的平行四边形的面积
解析 假设与的夹角为,∣•∣=︱︱·︱︱·∣cos<,>∣=︱︱·︱︱•∣cos(90)∣=︱︱·︱︱•sin,即为以,为邻边的平行四边形的面积,故选A。
23.(2009重庆卷理)已知,则向量与向量的夹角是( )
A. B. C. D.
二、填空题
1.(2009广东卷理)若平面向量,满足,平行于轴,,则.
【解析】或,则或.
2.(2009江苏卷)已知向量和向量的夹角为,,
则向量和向量的数量积=。
【解析】考查数量积的运算。
3.(2009安徽理)给定两个长度为1的平面向量和,
它们的夹角为.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧
上变动.若其中,则
的最大值是________.
[解析]设
,即
∴
4.(2009安徽文)在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,或=+,其中,R ,则+= ______。
【解析】设、则 , ,代入条件得【答案】4/3
5.(2009江西卷文)已知向量,,,若则=.
答案:【解析】因为所以.
6.(2009江西卷理)已知向量,,,若∥,则=.
答案:【解析】
7.(2009湖南卷文)如图2,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若,则 , .
解:作,设,,
由解得故
8.(2009辽宁文)在平面直角坐标系xoy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为___________.
2(2009湖南卷文)(每小题满分12分) 已知向量
(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)若求的值。
解:(Ⅰ) 因为,所以于是,故
(Ⅱ)由知,所以
从而,即,于是.又由
知,,所以,或.因此,或
3(2009广东文理)已知向量与互相垂直,其中.(1)求和的值;(2)若,求的值.
解:(1)∵与互相垂直,则,即,代入得,又,∴.
(2)∵,,∴,则,∴.
4.2009江苏卷)设向量
(1)若与垂直,求的值;(2)求的最大值;
(3)若,求证:∥.
2008高考试题及解析
(一)选择题
1.(安徽理3文2)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若,,则()
A.(-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4)
解:因为,选B。
2.(广东卷理8)在平行四边形中,与交于点是线段的中点,的延长线与交于点.若,,则( B )
A. B. C. D.
【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出,然后利用向量的加减法则易得答案B.
3.(广东卷文3)已知平面向量,,且//,则=()
A、 B、 C、 D、
【解析】排除法:横坐标为,选B.
4.(海南宁夏卷理8文9)平面向量,共线的充要条件是()
A. ,方向相同 B. ,两向量中至少有一个为零向量
C. , D. 存在不全为零的实数,,
【试题解析】:若均为零向量,则显然符合题意,且存在不全为零的实数使得;【解析】由定比分点的向量式得:
以上三式相加得
所以选A.
8.(辽宁卷理5)已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足,则
A. B. C. D.
解析:本小题主要考查平面向量的基本定理。
依题∴答案:A
9.(辽宁卷文5)已知四边形的三个顶点,,,且,则顶点的坐标为()A.B.C.D.
解析:本小题主要考查平面向量的基本知识。
且,答案:A
10.(全国Ⅰ卷理3文5)在中,,.若点满足,则
A.B.C. D.
A. 由,,;
11.(四川卷文3)设平面向量,则( )
(A) (B) (C) (D)
【解】:∵∴
故选C;此题重点考察向量加减、数乘的坐标运算
12.(上海春卷13)已知向量,若,则等于( )
(A). (B). (C). (D)
解析:由题意得2-(-3)3=0,所以=。
13.(湖南卷文7)在中,AB=3,AC=2,BC=,则 ( )
A.B.C. D.
【解析】由余弦定理得所以选D.
14.(浙江卷理9)已知,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值是
(A)1 (B)2 (C)(D)
解析:本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题。
展开
则的最大值是;或者利用数形结合,,对应的点A,B在圆上,对应的点C在圆上即可.
17.(安徽卷理5)将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称,则向量的坐标可能为()A. B. C. D.
解:设平移向量,则函数按向量平移后的表达式为
,因为图象关于点中心对称,
故代入得:,,
k=0得:,选C。本题也可以从选择支出发,逐个排除也可。
18.(福建卷理9)函数f(x)=cosx(x)(xR)的图象按向量(m,0) 平移后,得到函数y=-f′(x)的图象,则m的值可以为A. B. C.- D.-
解:,而的图象按向量平移后
得到,所以,故可以为.
19.(福建卷文7)函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移个单位后,得到函数y=g(x)的图象,则g(x)的解析式为
A.-sinx B.sinx C.-cosxD.cosx
解:
20.(湖北卷理5文7)将函数的图象F按向量平移得到图象,若的一条对称轴是直线,则的一个可能取值是A. B. C. D.
解:平移得到图象的解析式为,对称轴方程,
把带入得,令,
21.(辽宁卷理8文8)将函数的图象按向量平移得到函数的图象,则
A. B. C. D.
解析:本小题主要考查函数图像的平移与向量的关系问题。依题由函数的图象得到函数的图象,需将函数的图象向左平移1个单位,向下平移1个单位;故
22.(重庆卷理7)若过两点P1(-1,2),P2(5,6)的直线与x轴相交于点P,则点P分有向线段所成的比的值为(A)- (B) - (C) (D)
解:设点,则,选 A
23.(重庆卷文4)若点P分有向线段所成的比为-,则点B分有向线段所成的比是
(A)- (B)- (C) (D)3
【解析】本小题主要考查线段定比分点的有关计算。如下图可知,B点是有向线段PA的外分点,,故选A。
(二)填空题
1.(北京卷理10)已知向量与的夹角为,且,那么的值为.
【标准答案】: 0
【试题分析】: 利用数形结合知,向量a与2a+b垂直。
【备考提示】:向量的共线、平行、垂直、构成特殊三角形、特殊四边形等希望引起注意。
2.(北京卷文11)已知向量与的夹角为,且,那么的值为.
【答案】【解析】
3.(江苏卷5)的夹角为,,则。
【解析】本小题考查向量的线性运算.
=,7【答案】7
4.(江西卷理13)直角坐标平面上三点,若为线段的三等分点,则=.
【答案】【解析】由已知得,则
5.(江西卷文16)如图,正六边形中,有下列四个命题:
A.
B.
C.
D.
其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号).
【解析】,∴对取的中点,则,
∴对设, 则,而,∴错
又,∴对∴真命题的代号是
6.(陕西卷理15文15)关于平面向量.有下列三个命题:
①若,则.②若,,则.③非零向量和满足,则与的夹角为.其中真命题的序号为.(写出所有真命题的序号)
解:①,向量与垂直②
③构成等边三角形,与的夹角应为所以真命题只有②。
7.(上海卷理5文5)若向量、满足||=1,||=2,且与的夹角为,则|+|=
【答案】
【解析】.
8.(天津卷理14)如图,在平行四边形中,,
则.
解析:令,,则
所以.
9.(天津卷文14)已知平面向量,,若,则.
解析:因为,所以.
10.(浙江卷文16)已知是平面内的单位向量,若向量满足,则的取值范围是。答案:
(舍负).
(三)解答题
1.(福建卷理17) 已知向量m=(sinA,cosA),n=,m·n=1,且A为锐角.
(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)求函数的值域.
解:(Ⅰ)由题意得
由A为锐角得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
所以
因为x∈R,所以,因此,当时,f(x)有最大值.
当时,有最小值-3,所以所求函数的值域是
2.(福建卷文17)已知向量,且
(Ⅰ)求tanA的值;(Ⅱ)求函数R)的值域.
本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识,考查运算能力,满分12分.
解:(Ⅰ)由题意得m·n=sinA-2cosA=0,因为cosA≠0,所以tanA=2.(Ⅱ)由(Ⅰ)知tanA=2得
因为xR,所以.当时,f(x)有最大值,当sinx=-1时,f(x)有最小值-3,所以所求函数f(x)的值域是
2007高考试题及解析
一、选择题
1(北京4)已知是所在平面内一点,为边中点,且,那么( A )
A. B. C. D.
2(辽宁3)若向量与不共线,,且,则向量与的夹角为( D )
A.0 B. C. D.
3(辽宁6)若函数的图象按向量平移后,得到函数的图象,则向量( A )
A. B. C. D.
4(宁夏,海南4)已知平面向量,则向量( D )
A. B. C. D.
5.(福建4)对于向量和实数,下列命题中真命题是( B )
A.若,则或 B.若,则或
C.若,则或 D.若,则
6(湖北2)将的图象按向量平移,则平移后所得图象的解析式为( A )
A. B.C. D.
7(湖北文9)设,在上的投影为,在轴上的投影为2,且,则为( B )
A. B. C. D.
8(湖南4)设是非零向量,若函数的图象是一条直线,则必有( A )
A. B. C. D.
9(湖南文2)若是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( B )
A. B.
C. D.
10(四川7)设A{a,1},B{2,b},C{4,5},为坐标平面上三点,O为坐标原点,若上的投影相同,则a与b满足的关系式为 ( A )
(A)(B) (C) (D)
11(天津10)设两个向量和,其中为实数.若,则的取值范围是( A )A.[-6,1] B. C.(-6,1] D.[-1,6]
12(浙江7)若非零向量满足,则( C )
A. B. C. D.
13(浙江文9)若非零向量、满足|一|=||,则(A)
(A) |2|>|一2| (B) |2|<|一2|
(C) |2|>|2一| (D) |2|<|2一|
14(山东11)在直角中,是斜边上的高,则下列等式不成立的是( C )
(A) (B)
(C) (D)
15(山东文5)已知向量,若与垂直,则( C )
A. B. C. D.4
16(重庆5)在中,,,,则( A )
D
C
A
B
题(10)图
A. B. C. D.
17(重庆10)如题(10)图,在四边形中,,
,,
则的值为( C )
A. B. C. D.
18(上海14)直角坐标系中,分别是与轴正方向同向的单位向量.在直角三角形中,若,则的可能值个数是( B )
A.1 B.2 C.3 D.4
19(全国Ⅰ3)已知向量,,则与( A )
A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向
20(全国Ⅱ5)在中,已知是边上一点,若,则( A )
A. B. C. D.
二、填空题
1(安徽13)在四面体中,为的中点,为的中点,则(用表示).
2(北京11.)已知向量.若向量,则实数的值是
3(北京12.)在中,若,,,则
4(广东10. )若向量、满足的夹角为120°,则=.
5(湖南12.)在中,角所对的边分别为,若,b=,,则.
7(江西15.)如图,在中,点是的中点,过点的直线分别交直线,于不同的两点,若,,则的值为 2 .
8(江西文13.)在平面直角坐标系中,正方形的对角线的两端点分别为,
,则.
9(陕西15. )如图,平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为.
10(天津15.)如图,在中,,是边上一点,,则.
11(天津文15)在中,,,是边的中点,则.
12(重庆文(13))在△ABC中,AB=1,BC=2,B=60°,则AC=。
13(上海文6.)若向量的夹角为,,则.
三、解答题:
1.(广东)16已知△顶点的直角坐标分别为.
(1)若,求sin∠的值;(2)若∠是钝角,求的取值范围.
解:(1) , 当c=5时,
进而
(2)若A为钝角,则AB﹒AC= -3(c-3)+( -4)2<0 解得c>
显然此时有AB和AC不共线,故当A为钝角时,c的取值范围为[,+)
(1)求;(2)若,且,求.
解:(1) 又 解得.
,是锐角. .
(2), ,.又.
. . .
【两年模拟】
08名校模拟题及其答案
一、选择题
1.(江苏省启东中学高三综合测试四)在中,=a,=b,M为OB的中点,N为AB的中点,ON,AM交于点P,则= ()
A.a-b B.-a+b C.a-b D.-a+b答案B
2.(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知向量,,若与共线,则等于( )A.; B.; C.; D.;答案A
3.(江西省五校2008届高三开学联考)已知向量≠,||=1,对任意t∈R,恒有|-t|≥|-|,则 ( )A.⊥B.⊥(-) C.⊥(-) D.(+)⊥(-)答案:B
4.(北京市宣武区2008年高三综合练习二)已知向量a= (-3 ,2 ) , b=(x, -4) , 若a//b,则x=( )A.4 B.5 C.6 D.7答案C
5.(山东省博兴二中高三第三次月考)已知向量,其中、均为非零向量,则的取值范围是( )A. B. C. D.答案B
6.(山东省博兴二中高三第三次月考)已知A,B,C是平面上不共线上三点,动点P满足,则P的轨迹一定通过的
A.内心 B. 垂心 C.重心 D.AB边的中点答案C
7.(四川省成都市高2008届毕业班摸底测试)下列式子中(其中的a、b、c为平面向量),正确的是 ( ) A. B.a(b·c)=(a·b)c
C. D.答案C
8.(东北区三省四市2008年第一次联合考试)已知单位向量a,b的夹角为,那么 ( )
A.B.C.2D.答案B
9.(东北三校2008年高三第一次联考)已知向量( )A.1 B. C.2 D.4答案B
10.(河北省正定中学2008年高三第五次月考)已知平面上三点A、B、C满足的值等于 ( )A 25 B 24 C.-25 D -24答案C
11.(湖北省黄冈中学2008届高三第一次模拟考试)如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包含边界),设,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m、n满足( )
A.m>0, n>0 B.m>0, n<0
C.m<0, n>0 D.m<0, n<0答案 B
12.(湖北省荆门市2008届上期末)如图,在△ABC中,= ()
A. B.
C. D.
二、填空题
13.(江苏省省阜中2008届高三第三次调研) O为平面上定点,A,B,C是平面上不共线的三
若()·()=0,则DABC的形状是.答案 等腰三角形
14.( 江苏省滨海县2008高三第三次联考数学试卷)不共线的向量,的模都为2,若,,则两向量与 的夹角为答案 90°
15.(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)已知向量,,则的值为.答案1
16.(北京市朝阳区2008年高三数学一模)已知,且,∠AOB=60°,则=____;与的夹角为_____.答案2,
17.(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知Rt△ABC的斜边BC=5,则的值等于.答案-25
三、解答题
19.(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一)已知, ,,.(Ⅰ)当时,求使不等式成立的x的取值范围;(Ⅱ)求使不等式成立的x的取值范围.
解(Ⅰ)当时,,.
. ∵,
∴ 解得 或.
∴当时,使不等式成立的x的取值范围是.
(Ⅱ)∵,
∴ 当m<0时,; 当m=0时,; 当时,; 当m=1时,; 当m>1时,.
2009名校模拟题及其答案
一、选择题
1.(山东省乐陵一中2009届高三考前回扣45分钟练习三)已知平面向量等于( )A.9 B.1 C.-1 D.-9答案 B
2.(2009昆明市期末)在△ABC中,
( )A.B
C.D.1答案 B
3.(2009玉溪市民族中学第四次月考)已知向量反向,则m=( )
A.-1 B.-2 C.0 D.1答案A
4.(2009上海闸北区)已知向量和的夹角为,,且,则 ( )
A. B. C. D.答案 C
5.(湖北省八校2009届高三第二次联考文)已知、是不共线的,则、、 三点共线的充要条件是:()
A.B.C.D.答案 D
6.(辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试)已知向量夹角的取值范围是()
A.B. C. D.答案C
二、填空题
7. (山东省乐陵一中2009届高三考前回扣45分钟练习三)已知,且,则与的夹角为.答案
8.(2009云南师大附中)设向量_________答案
9.(2009冠龙高级中学3月月考)若向量与的夹角为,,则____.答案
10.(2009上海九校联考)若向量,则向量的夹角等于
11.(天门市2009届高三三月联考数学试题文)给出下列命题
① 非零向量、满足||=||=|-|,则与+的夹角为30°;
②·>0是、的夹角为锐角的充要条件;
③ 将函数y=|x-1|的图象按向量=(-1,0)平移,得到的图像对应的函数为y=|x|;
④若()·()=0,则△ABC为等腰三角形
以上命题正确的是。(注:把你认为正确的命题的序号都填上)答案 ①③④
12.(2009扬州大学附中3月月考)在直角坐标系中,分别是与轴,轴平行的单位向量,若直角三角形中,,,则实数m=.答案 -2或0
13.(2009丹阳高级中学一模)已知平面上的向量、满足,,设向量,则的最小值是答案 2
三、解答题
14.(山东省乐陵一中2009届高三考前回扣45分钟练习三)已知向量m=(,1),n=(,)。(1)若m•n=1,求的值;(2)记f(x)=m•n,在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围。
解(I)m•n===
∵m•n=1 ∴ =
(II)∵(2a-c)cosB=bcosC 由正弦定理得
∴∴∵∴,且∴∴
∴又∵f(x)=m•n=,∴f(A)=
故函数f(A)的取值范围是(1,)
平移后得到函数的图像,求实数m,n的值。
解(1)
又
(2)平移后为而
17.(2008年东北三省三校高三第一次联合模拟考试)已知向量
(1)当时,求的值;(2)求在上的值域.
解(1) ,∴,∴
(5分)
(2)
∵,∴,∴
∴∴函数(10分)
18.(青岛市2009年统一质量检测)已知向量,设函数.(Ⅰ)求函数的最大值;(Ⅱ)在锐角三角形中,角、、的对边分别为、、,, 且的面积为,,求的值.
解(Ⅰ)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,
因为,所以,
,又
19.(黄山2009届一次质量检测)已知△ABC的面积S满足(1)求的取值范围;(2)求函数的最大值
解(1)由题意知.
,
(2)
.
图4
20.(2009广东江门模拟)如图4,已知点和
单位圆上半部分上的动点.⑴若,求向量;
⑵求的最大值.
解 依题意,,
(不含1个或2个端点也对),
(写出1个即可)因为,所以 4分,即解得,所以.
⑵,
------11分 ------12分
当时,取得最大值,.
,
22.(山东临沂2009年模拟)如图,已知△ABC中,|AC|=1,∠ABC=,∠BAC=θ,记。
(1) 求关于θ的表达式;求的值域。
解:(1)由正弦定理,得
(2)由,得
∴,即的值域为.
(I)解;
得到的单调递增区间为
(II)
25.(安徽省江南十校2009年高三高考冲刺)在中,,记的夹角为.(Ⅰ)求的取值范围;(Ⅱ)求函数的最大值和最小值.
解 (1)由余弦定理知:,又,
所以,又即为的取值范围;
(Ⅱ),因为
,所以,因此,.
【一年原创】 2008和2009原创试题及其解析
一、选择题
1.若向量与的夹角为120° ,且,则有 A
(A) (B) (C) (D)
2.已知向量=(1,2)和=(x,1),若向量+2与2-平行,则实数x等于 (A )
A. B.1 C. D.2
3.在平行四边形ABCD中,O是对角线的交点,下列结论正确的是(C)
A、, B、
C、 D、
4.设是双曲线上一点,点关于直线的对称点为,点为坐标原点,则(B ).A. B. C.D.
5.已知平面内不共线的四点0,A,B,C满足,则(D )
A.1:3 B.3:1 C. 1:2D. 2:1
A
B
C
O
6.如图,在平面直角坐标系中,两个非零向量与轴正半轴的夹角分别为和,向量满足,则与轴正半轴夹角取值范围是( B )
A、 B、 C、 D、
7.已知,,,点在直线上的射影为点,则的最大值为 ( C )
8.若=a,=b,则∠AOB平分线上的向量为( B )
A.B.(),由确定
C.D.
二、填空题
1.已知在平面直角坐标系中,,(其中为原点,实数满足),若N(1,0),则的最小值是________.
2.已知直线交于不同的两点A、B,O是坐标原点,的取值范围是。
3.设与是两个不共线的向量,且向量与共线,则的值等于
4.
5.设点是内一点(不包括边界),且,则的取值范围是(,3).
6.已知向量,,若与共线,则=.
7.在平面直角坐标系中,分别是与轴正方向同向的单位向量,平面内三点A、B、C满足,。 若A、B、C三点构成直角三角形,则实数m的值为或10.
8.设是平面直角坐标系内轴、轴正方向上的单位向量,且,则面积的值等于▲。
三、计算题
1.已知向量.(Ⅰ) 求 f ()的值;(Ⅱ)求时,f (x)的单调递增区间.
【解】(Ⅰ) ,
(Ⅱ) , 当()时,f(x)单增,
即() ∵,
∴ 在上的单调递增区间为.
2.已知向量,(1)若求的值;(2)设,求的取值范围.
=
(Ⅱ)
所以
4.已知向量,,函数,.(Ⅰ)求函数的最小正周期;(Ⅱ)在中,分别是角的对边,且,,,且,求的值.
解:(Ⅰ)
∴函数的最小周期
(Ⅱ)
是三角形内角 ∴, ∴ 即:
∴ 即: 将可得: 解之得:∴∴
【考点预测】 2010高考预测
预计向量基本概念、向量基本运算等基础问题,通常为选择题或填空题出现;而用向量与三角函数、解三角形等综合的问题,通常为解答题,难度以中档题为主。
复习建议
1、平面向量部分的复习应该注重向量的工具作用,紧紧围绕数形结合思想,扬长避短,解决问题;
2、平面向量与三角函数的交汇是近年来的考查热点,一般服出现在解答题的前三大题里,在复习中,应加强这种类型试题的训练。
【母题特供】每个专题5道最典型试题
母题一: 金题引路:
已知:向量(1)若点能构成三角形,求出实数应满足的条件;(2)若为直角三角形,且为直角,求实数的值。
解:(1)要使点能构成三角形,只要三点不共线。
由有:
所以只要即
(2)因为为直角三角形,且为直角
符合题意。
母题二: 金题引路:
已知向量(Ⅰ)当时,求函数的值域;(Ⅱ)若的值.
解:(Ⅰ)由
∵∴的值域为[-1,2]
(Ⅱ)∵∴∴
∴
母题三: 金题引路:
设函数,其中向量, (1)求函数的最小正周期
(Ⅰ)求函数f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)求函数f(x)的最大值及取得最大值时的x的取值集合.
解:(Ⅰ)f(x)=×= (2cosx+1,cos2x-sinx+1)×(cosx,-1)=2cos2x+cosx-cos2x+sinx-1 =cosx+sinx =sin(x+)
令2kp+£x+£2kp+,kÎZ 解得:2kp+£x£2kp+所以,函数f(x)的单调递减区间[2kp+,2kp+],kÎZ
(Ⅱ)函数f(x)的最大值是,此时x+=2kp+,即x=2kp+
∴函数f(x)取得最大值时,x的取值集合为{x|x=2kp+,kÎZ}
母题五、金题引路:
如图4,已知点和单位圆上半部分上的动点.
图4
⑴若,求向量;
⑵求的最大值.