浙江省高考数学理科试题精校word含答案 10页

‎2013年浙江省高考数学（理科）试题校对版（word版）（含答案）‎ 数学（理科）试题 选择题部分（共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知是虚数单位，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设集合，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知，为正实数，则 ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．已知函数，，，则“是 奇函数”是“”的 ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有．则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知为自然对数的底数，设函数，则 ‎ A．当时，在处取到极小值 B．当时，在处取到极大值 C．当时，在处取到极小值 D．当时，在处取到极大值 ‎9．如图，，是椭圆与双曲线的公共焦 点，，分别是，在第二、四象限的公共点．若四边形 为矩形，则的离心率是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在空间中，过点作平面的垂线，垂直为，记．设，是两个不同的平面，对空间任意一点，，，恒有，则 ‎ A．平面与平面垂直 B．平面与平面所成的（锐）二面角为 ‎ C．平面与平面平行 D．平面与平面所成的（锐）二面角为 非选择题部分（共100分）‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。‎ ‎11．设二项式的展开式中常数项为，则 ．‎ ‎12．若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积等 于 ．‎ ‎13．设，其中实数，满足，若的最大值 为，则实数 ．‎ ‎14．将六个字母排成一排，且均在的同侧，则不同的排法共有 ‎ 种（用数字作答）．‎ ‎15．设为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，点为线段的中点．若，则直线的斜率等于 ．‎ ‎16．在中，，是的中点．若，则 ．‎ ‎17．设为单位向量，非零向量，，．若的夹角为，则的最大值等于 ．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎18．（本题满分14分）在公差为的等差数列中，已知，且，，成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求，；‎ ‎（Ⅱ）若，求．‎ ‎19．（本题满分14分）设袋子中装有个红球，个黄球，个篮球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分．‎ ‎（Ⅰ）当时，从该袋子中任任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的分布列；‎ ‎（Ⅱ）从该袋中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量为取出此球所得分数．若，，求．‎ ‎20．（本题满分15分）如图，在四面体中，平面，‎ ‎，，．是的中点，是的中 点，点在线段上，且．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）若二面角的大小为，求的大小．‎ ‎21．（本题满分15分）如图，点是椭圆（）的一个顶点，‎ 的长轴是圆的直径．，是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于，两点，交椭圆于另一点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）求面积取最大值时直线的方程．‎ ‎22．（本题满分14分）已知，函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求的最大值．‎ 数学（理科）试题参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。‎ ‎1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．D 8．C 9．D 10．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。‎ ‎11．-10 12．24 13．2 14．480 15．1 16． 17．2‎ 三、解答题：本大题共5小题，共72分。‎ ‎18．本题主要考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。‎ ‎（Ⅰ）由题意得 ‎ ‎ 即 ‎ ‎ 故 或 ‎ 所以 或 ‎（Ⅱ）设数列的前项和为．因为，由（Ⅰ）得，．则 ‎ 当时，．‎ ‎ 当时，．‎ ‎ 综上所述，‎ ‎ ‎ ‎19．本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、数学方差等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分14分。‎ ‎（Ⅰ）由题意得取2，3，4，5，6．‎ 故，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 所以的分布列为 ‎ ‎ ‎（Ⅱ）由题意知的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以 ‎ ，‎ ‎ ．‎ 解得 ，，故 ‎ ‎ ‎20．本题主要考查空间点、线、面位置关系、二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。‎ 方法一：‎ ‎（Ⅰ）取中点，在线段上取点，使得，连结，，‎ ‎ 因为，所以，且．‎ ‎ 因为，分别为，的中点，所以是的中位线，‎ 所以，且．‎ 又点是的中点，所以，且．‎ 从而，且．‎ 所以四边形为平行四边形，故 又平面，平面，所以平面．‎ ‎（Ⅱ）作于点，作于点，连结 ‎ 因为平面，平面，所以，‎ ‎ 又，，故平面，‎ 又平面，所以．‎ ‎ 又，，故平面，所以，．‎ ‎ 所以为二面角的平面角，即．‎ ‎ 设．‎ ‎ 在中，，‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎ 在中，．‎ ‎ 在中，．‎ ‎ 所以．‎ ‎ 从而，即．‎ 方法二：‎ ‎（Ⅰ）如图，取中点，以为原点，，‎ 所在射线为，轴的正半轴，建立空间直角坐标系．‎ ‎ 由题意知，，．‎ ‎ 设点的坐标为，因为，所以．‎ ‎ 因为是的中点，故．又是的中点，故．‎ ‎ 所以．‎ ‎ 又平面的一个法向量为，故．‎ ‎ 又平面，所以平面．‎ ‎（Ⅱ）设为平面的一个法向量．‎ 由，知，‎ 取，得．‎ 又平面的一个法向量为，于是 ‎ ，‎ 即． （1）‎ 又，所以，故，‎ 即． （2）‎ 联立（1），（2），解得（舍去）或．‎ 所以．‎ 又是锐角，所以．‎ ‎21．本题主要考查椭圆的几何性质，直线与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。‎ ‎（Ⅰ）由题意得 ‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设，，．由题意知直线的斜率存在，不妨设为，则直线的方程为．‎ ‎ 又圆，故点到直线的距离，‎ ‎ 所以．‎ ‎ 又，故直线的方程为．‎ ‎ 由消去，整理得，‎ ‎ 故．‎ ‎ 所以．‎ ‎ 设的面积为，则，‎ ‎ 所以，‎ 当且仅当时取等号．‎ 所以直线的方程为．‎ ‎22．本题主要考查导数的几何意义、导数应用等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等分析问题和解决问题的能力。‎ ‎（Ⅰ）由题意，故 ‎ 又，所以所求的切线方程为．‎ ‎（Ⅱ）由于．故 ‎ (i)当时，有，此时在上单调递减，故 ‎ ．‎ ‎ (ii)当时，有，此时在上单调递增，故 ‎ ．‎ ‎ (iii)当时，设，，则 ‎ ，．‎ ‎ 列表如下：‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ‎ 由于，，‎ ‎ 故，．‎ ‎ 从而，‎ ‎ 所以．‎ ‎ （1）当时，．‎ ‎ 又，‎ ‎ 故．‎ ‎ （2）当时，，且．‎ ‎ 又，‎ ‎ 所以①当时，．故 ‎ ．‎ ‎②当时，．故 ‎ ．‎ ‎ 综上所述，‎