• 1.41 MB
  • 2021-05-13 发布

高考文科数学圆锥曲线专题测试及答案

  • 19页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
圆锥曲线专题测试题 一、填空题(共14小题,每题5分,计70分)‎ ‎1. 称焦距与短轴长相等的椭圆为“黄金椭圆”,则黄金椭圆的离心率为 .‎ ‎2.中心在原点,焦点在坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为,其离心率是 ‎3.已知双曲线的焦点为、,点在双曲线上且轴,则到直线的距离为 ____________ ‎ ‎4.抛物线的焦点坐标为 ____________ ‎ ‎5. 已知△ABC的顶点B、C在椭圆上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是 ____________ ‎ ‎6. 椭圆的焦点、,为椭圆上的一点,已知,则△的面积为 ____________ ‎ ‎7.已知抛物线,一定点A(3,1),F是抛物线的焦点,点P是抛物线上一点, ‎ ‎|AP|+|PF|的最小值____________。‎ ‎8.正四棱锥的侧棱长和底面边长都是1,则侧棱和底面所成的角为____________。‎ ‎9.以下同个关于圆锥曲线的命题中①设A、B为两个定点,k为非零常数,,则动点P的轨迹为双曲线;②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB,O为坐标原点,若则动点P的轨迹为椭圆;③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;④双曲线有相同的焦点.其中真命题的序号为 ____________。(写出所有真命题的序号)‎ ‎10.方程表示椭圆的充要条件是 . ‎ ‎11.在区间[1,5]和[2,4]分别各取一个数,记为m和n,则方程表示焦点在x轴上的椭圆的概率是 . ‎ ‎12.嫦娥一号奔月前第一次变轨后运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆,测得近地点A距离地面,远地点B距离地面,地球半径为,关于这个椭圆有以下四种说法:①焦距长为;②短半轴长为;③离心率;其中正确的序号为______ __.‎ ‎13.以椭圆内的点为中点的弦所在直线方程为 . ‎ ‎14.设分别是双曲线的左、右焦点.若点在双曲线上,且,则 . ‎ 二、解答题(6大题共90分,要求有必要的文字说明和步骤)‎ ‎15.点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于轴上方,.求点P的坐标;‎ ‎. ‎ ‎16. (1) 已知椭圆C的焦点F1(-,0)和F2(,0),长轴长6,设直线交椭圆C于A、B两点,求线段AB的中点坐标。‎ ‎(2) 已知双曲线与椭圆共焦点,它们的离心率之和为,求双曲线方程.‎ ‎17.已知抛物线C: y=-x2+6, 点P(2, 4)、A、B在抛物线上, 且直线PA、PB的倾斜角互补.‎ ‎(Ⅰ)证明:直线AB的斜率为定值;‎ ‎(Ⅱ)当直线AB在y轴上的截距为正数时, 求△PAB面积的最大值及此时直线AB的方程.‎ ‎18.双曲线 (a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥c.求双曲线的离心率e的取值范围 ‎19.已知抛物线的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于轴,垂足为B,OB的中点为M.。‎ ‎(1)求抛物线方程;‎ ‎(2)过M作,垂足为N,求点N的坐标;‎ ‎(3)以M为圆心,MB为半径作圆M,当是轴上一动点时,讨论直线AK与圆M的位置关系.‎ ‎20.椭圆C: 的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且 ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心,交椭圆C于A、B两点,且A、B关于点M对称,求直线的方程.‎ 高三数学圆锥曲线测试答案 ‎1. 2. 或 3. 4. 5. 4 ‎ ‎ 6. 9 7. 4 8. 9.③④ 10. 11. ‎ ‎12.① ② ③ 13. 14. ‎ ‎15. 解:由已知可得点A(-6,0),F(4,0)‎ 设点P的坐标是,由已知得 由于 ‎16解:由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c=,a=3,从而b=1,所以其标准方程是: ‎ ‎.联立方程组,消去y得, .‎ 设A(),B(),AB线段中点为M()那么: ,‎ 所以 也就是说线段AB中点坐标为 ‎(2)解:由于椭圆焦点为F(0,4),离心率为e=,所以双曲线的焦点为F(0,4),离心率为2,‎ 从而c=4,a=2,b=2.‎ 所以求双曲线方程为: .‎ ‎(17) (Ⅰ)证: 易知点P在抛物线C上, 设PA的斜率为k, 则直线PA的方程是y-4=k(x-2).‎ 代入y=-x2+6并整理得x2+2kx-4(k+1)=0此时方程应有根xA及2, ‎ 由韦达定理得:‎ ‎2xA=-4(k+1) , ∴xA=-2(k+1). ∴yA=k(xA-2)+4.=-k2-4k+4. ∴A(-2(k+1), -k2-4k+4).‎ 由于PA与PB的倾斜角互补, 故PB的斜率为-k. ‎ ‎ 同理可得B(-2(-k+1), -k2+4k+4)‎ ‎∴kAB=2. ‎ ‎(Ⅱ) ∵AB的方程为y=2x+b, b>0.代入方程y=-x2+6消去y得x2+2x+b-6=0.‎ ‎|AB|=2. ‎ ‎∴S=|AB|d=·2‎ ‎. ‎ 此时方程为y=2x+.‎ ‎(18) 解:直线l的方程为bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且a>1,‎ 得到点(1,0)到直线l的距离d1 =.‎ 同理得到点(-1,0)到直线l的距离d2 =.‎ s= d1 +d2==.‎ 由s≥c,得≥c,即5a≥2c2.‎ 于是得5≥2e2.即4e2-25e+25≤0.‎ 解不等式,得≤e2≤5.由于e>1>0,‎ 所以e的取值范围是 ‎(19) 解:(1)抛物线 ‎∴抛物线方程为y2= 4x.‎ ‎(2)∵点A的坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2),‎ 又∵F(1,0), ∴‎ 则FA的方程为y=(x-1),MN的方程为 解方程组 ‎(3)由题意得,圆M的圆心是点(0,2),半径为2.‎ 当m=4时,直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离,‎ 当m≠4时,直线AK的方程为 即为 圆心M(0,2)到直线AK的距离,令 时,直线AK与圆M相离;‎ ‎ 当m=1时,直线AK与圆M相切;‎ ‎ 当时,直线AK与圆M相交.‎ ‎20解法一:‎ ‎(Ⅰ)因为点P在椭圆C上,所以,a=3.‎ 在Rt△PF1F2中,故椭圆的半焦距c=,‎ 从而b2=a2-c2=4,‎ ‎ 所以椭圆C的方程为=1.‎ ‎(Ⅱ)设A,B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).‎ ‎ 已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为(-2,1).‎ ‎ 从而可设直线l的方程为 ‎ y=k(x+2)+1,‎ ‎ 代入椭圆C的方程得 ‎ (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.‎ ‎ 因为A,B关于点M对称.‎ ‎ 所以 ‎ 解得,‎ ‎ 所以直线l的方程为 ‎ 即8x-9y+25=0. (经检验,所求直线方程符合题意)‎ 解法二:(Ⅰ)同解法一.‎ ‎(Ⅱ)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为(-2,1).‎ ‎ 设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意x1x2且 ‎ ① ②‎ 由①-②得 ③‎ 因为A、B关于点M对称,‎ 所以x1+ x2=-4, y1+ y2=2,‎ 代入③得=,‎ 即直线l的斜率为,‎ 所以直线l的方程为y-1=(x+2),‎ 即8x-9y+25=0.‎ ‎(经检验,所求直线方程符合题意.)‎ ‎2015高考数学圆锥曲线练习 一、选择题 ‎1、等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于两点,;则的实轴长为( )‎ ‎ ‎ ‎2、已知双曲线:的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2,则抛物线的方程为 ‎ (A)  (B)   (C)  (D)‎ ‎3、椭圆的中心在原点,焦距为,一条准线为,则该椭圆的方程为 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D)‎ ‎ 4、已知、为双曲线的左、右焦点,点在上,,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎ 5、已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为,则( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎6、方程中的,且互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( )‎ A、28条 B、32条 C、36条 D、48条 ‎ 7、对于常数、,“”是“方程的曲线是椭圆”的( )‎ A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 ‎8、椭圆的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎9、已知双曲线C :-=1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C的方程为 A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1[‎ ‎10、已知双曲线-=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于 A B C D ‎ 二 、填空题 ‎1、椭圆为定值,且的的左焦点为,直线与椭圆相交于点、,的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是______。‎ ‎ 2、已知双曲线x2 y2 =1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________.‎ ‎3、在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为,则的值为 ▲ . ‎ ‎4、设为直线与双曲线 左支的交点,是左焦点,垂直于轴,则双曲线的离心率 ‎ ‎5、过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点,若,则=______。‎ ‎6、已知双曲线与双曲线有相同的渐近线,且的右焦点为,则 ‎ 三、解答题 ‎1、(本小题满分14分)‎ 已知椭圆(a>b>0),点P(,)在椭圆上。‎ ‎(I)求椭圆的离心率。‎ ‎(II)设A为椭圆的右顶点,O为坐标原点,若Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线的斜率的值。‎ ‎2、如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,.已知和都在椭圆上,其中为椭圆的离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设是椭圆上位于轴上方的两点,且直线与直线平行,与交于点P.‎ ‎(i)若,求直线的斜率;‎ ‎(ii)求证:是定值.‎ ‎3、在平面直角坐标系中,已知椭圆:()的左焦点为,且点在上.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设直线同时与椭圆和抛物线:相切,求直线的方程.‎ ‎4、已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点为A (2,0),离心率为, 直线y=k(x-1)与椭圆C交与不同的两点M,N ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程 ‎(Ⅱ)当△AMN的面积为时,求k的值 ‎ ‎5、如图,椭圆的离心率为,直线和 所围成的矩形ABCD的面积为8.‎ ‎ ‎ ‎(Ⅰ)求椭圆M的标准方程;‎ ‎(Ⅱ) 设直线与椭圆M有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值.‎ ‎6、如图,等边三角形OAB的边长为,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上。‎ (1) 求抛物线E的方程;‎ (2) 设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相较于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。‎ ‎7、在平面直角坐标系中,已知双曲线 ‎(1)设是的左焦点,是右支上一点,若,求点的坐标;‎ ‎(2)过的左焦点作的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积;‎ ‎(3)设斜率为()的直线交于、两点,若与圆相切,求证:⊥‎ ‎8、设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.‎ ‎(I)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;‎ ‎(II)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.‎ ‎2015高考数学圆锥曲线练习答案 一、选择题 ‎1、【答案】C【解析】由题设知抛物线的准线为:,设等轴双曲线方程为:,将代入等轴双曲线方程解得=,∵=,∴=‎ ‎,解得=2,‎ ‎∴的实轴长为4,故选C.‎ ‎2、D 解析:由双曲线离心率为2且双曲线中a,b,c的关系可知,此题应注意C2的焦点在y轴上,即(0,p/2)到直线的距离为2,可知p=8或数形结合,利用直角三角形求解。‎ ‎3、C解析】因为,由一条准线方程为可得该椭圆的焦点在轴上县,所以。故选答案C ‎4、C【解析】解:由题意可知,,设,则,故,,利用余弦定理可得。‎ ‎5、B[解析]设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为(),准线方程为x=,‎ ‎6、B[解析]方程变形得,若表示抛物线,则 所以,分b=-2,1,2,3四种情况:‎ ‎(1)若b=-2, ; (2)若b=2, ‎ 以上两种情况下有4条重复,故共有9+5=14条;‎ 同理 若b=1,共有9条; 若b=3时,共有9条.‎ 综上,共有14+9+9=32种 ‎7、B.【解析】方程的曲线表示椭圆,常数常数的取值为所以,由得不到程的曲线表示椭圆,因而不充分;反过来,根据该曲线表示椭圆,能推出,因而必要.所以答案选择B.‎ ‎8、B ‎【解析】本题着重考查等比中项的性质,以及椭圆的离心率等几何性质,同时考查了函数与方程,转化与化归思想.‎ 利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知:,,.又已知,,成等比数列,故,即,则.故.即椭圆的离心率为.‎ ‎9、A【解析】设双曲线C :-=1的半焦距为,则.‎ 又C 的渐近线为,点P (2,1)在C 的渐近线上,,即.‎ 又,,C的方程为-=1.‎ ‎10、C.解答:根据焦点坐标知,由双曲线的简单几何性质知,所以,因此.故选C.‎ 二 、填空题 ‎1、,[解析]根据椭圆定义知:4a=12, 得a=3 , 又 ‎2、【解析】由双曲线的方程可知 ‎3、【答案】2。【解析】由得。‎ ‎ ∴,即,解得。‎ ‎4、‎ ‎5、【答案】‎ ‎【解析】设及;则点到准线的距离为 得: 又 ‎6、【答案】1,2‎ ‎【解析】双曲线的渐近线为,而的渐近线为,所以有,,又双曲线的右焦点为,所以,又,即,所以。‎ 三、解答题 ‎1、【解析】(Ⅰ) 点在椭圆上 ‎ (Ⅱ) 设;则 ‎ ‎ ‎ 直线的斜率 ‎2、【答案】解:(1)由题设知,,由点在椭圆上,得 ‎,∴。‎ 由点在椭圆上,得 ‎∴椭圆的方程为。‎ ‎(2)由(1)得,,又∵∥,‎ ‎ ∴设、的方程分别为,。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴。①‎ ‎ 同理,。②‎ ‎ (i)由①②得,。解得=2。‎ ‎ ∵注意到,∴。‎ ‎ ∴直线的斜率为。‎ ‎ (ii)证明:∵∥,∴,即。‎ ‎ ∴。‎ ‎ 由点在椭圆上知,,∴。‎ ‎ 同理。。‎ ‎ ∴‎ ‎ 由①②得,,,‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴是定值。‎ ‎【解析】(1)根据椭圆的性质和已知和都在椭圆上列式求解。‎ ‎ (2)根据已知条件,用待定系数法求解。‎ ‎3、【解析】(1)因为椭圆的左焦点为,所以,‎ 点代入椭圆,得,即,‎ 所以,‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)直线的斜率显然存在,设直线的方程为,‎ ‎,消去并整理得,‎ 因为直线与椭圆相切,所以,‎ 整理得 ①‎ ‎,消去并整理得。‎ 因为直线与抛物线相切,所以,‎ 整理得 ②‎ 综合①②,解得或。‎ 所以直线的方程为或。‎ ‎4、‎ 解:(1)由题意得解得.所以椭圆C的方程为.‎ ‎(2)由得.‎ 设点M,N的坐标分别为,,则,,,.‎ 所以|MN|===.‎ 由因为点A(2,0)到直线的距离,‎ 所以△AMN的面积为. 由,解得.‎ ‎5、‎ ‎【答案】(21)(I)……①‎ 矩形ABCD面积为8,即……②‎ 由①②解得:,‎ ‎∴椭圆M的标准方程是.‎ ‎(II),‎ 设,则,‎ 由得.‎ ‎.‎ 当过点时,,当过点时,.‎ ‎①当时,有,‎ ‎,‎ 其中,由此知当,即时,取得最大值.‎ ‎②由对称性,可知若,则当时,取得最大值.‎ ‎③当时,,,‎ 由此知,当时,取得最大值.‎ 综上可知,当和0时,取得最大值.‎ ‎6、‎ 解答:‎ ‎(I)设;则 ‎ ‎ ‎ 得:点关于轴对称(lfxlby)‎ ‎ ‎ ‎ 代入抛物线的方程得:抛物线的方程为 ‎ (II)设;则 ‎ 过点的切线方程为即 ‎ 令 ‎ 设满足:及 ‎ 得:对均成立 ‎ ‎ ‎ 以为直径的圆恒过轴上定点 ‎7、[解](1)双曲线,左焦点.‎ ‎ 设,则, ……2分 ‎ 由M是右支上一点,知,所以,得.‎ ‎ 所以. ……5分 ‎ (2)左顶点,渐近线方程:.‎ ‎ 过A与渐近线平行的直线方程为:,即.‎ ‎ 解方程组,得. ……8分 ‎ 所求平行四边形的面积为. ……10分 ‎ (3)设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切,故,‎ 即 (*).‎ 由,得.‎ ‎ 设P(x1, y1)、Q(x2, y2),则.‎ ‎ ,所以 ‎ ‎ ‎ .‎ ‎ 由(*)知,所以OP⊥OQ. ……16分 ‎8、【解析】设准线于轴的焦点为E,圆F的半径为,‎ 则|FE|=,=,E是BD的中点,‎ ‎(Ⅰ) ∵,∴=,|BD|=,‎ 设A(,),根据抛物线定义得,|FA|=,‎ ‎∵的面积为,∴===,解得 ‎=2,‎ ‎∴F(0,1), FA|=, ∴圆F的方程为:;‎ ‎(Ⅱ) 【解析1】∵,,三点在同一条直线上, ∴是圆的直径,,‎ 由抛物线定义知,∴,∴的斜率为或-,‎ ‎∴直线的方程为:,∴原点到直线的距离=,‎ 设直线的方程为:,代入得,,‎ ‎∵与只有一个公共点, ∴=,∴,‎ ‎∴直线的方程为:,∴原点到直线的距离=,‎ ‎∴坐标原点到,距离的比值为3.‎ ‎【解析2】由对称性设,则 ‎ 点关于点对称得:‎ ‎ 得:,直线 ‎ 切点 ‎ 直线 坐标原点到距离的比值为。‎