全国高考数学一卷总体分析 22页

‎2019年全国高考数学一卷总体分析 与2019年高考备考建议 株洲县第五中学 阳志长 ‎ ‎2019年湖南高考数学使用新课标高考全国数学一卷.与往年相比，2019年高考全国一卷数学试题，试卷结构保持不变，考查内容基本一致，体现了高考的稳定性与延续性；注重基础知识，体现数学思想，考查数学运算、应用、创新等能力.突出对数学抽象、逻辑推理、数据分析等核心素养的重视和“回归教材”，以及文理合卷等特点.2019年高考湖南省阅卷结果：文科数学平均分55分，比2019年湖南省文科数学平均分67.96分下降12.96分；理科数学79.9，比去年78.82升了1.08分,这是预料中的事情.今结合2019年高考试题、在权衡2019年上期所做《2019－2019年全国高考数学试卷（I）总体综合分析》（以下简称《分析报告》）报告得失的基础上，我们试图为大家提供备考2019年数学高考的方略，供一线数学教师参考.‎ 一、考点分布 ‎2019年全国高考数学一卷考点分布 一级 二级主题 内容 文科 理科 题号 分值 题号 分值 集合 集合之间的 关系与运算 子、交、并、补 ‎1‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎5‎ 函 数 函数的概念 定义域、值域 ‎8‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎5‎ 函数的性质 单调性 ‎8‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎5‎ 奇偶性 ‎9‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎5‎ 周期性 ‎6‎ ‎5‎ ‎12‎ ‎5‎ 图象与图象变换 ‎6‎ ‎5‎ ‎12‎ ‎5‎ 函数与方程 函数的零点 ‎21‎ ‎6‎ ‎12+21‎ ‎5+12‎ 基本初等函数 指、对、幂函数 ‎8+9+21‎ ‎5+5+12‎ ‎7+8+21‎ ‎5+5+12‎ 导数 导数的应用 ‎7+12+21‎ ‎5+5+12‎ ‎7+21‎ ‎5+12‎ 三角变换 三角公式 ‎12‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎12‎ 三 角 ‎+14‎ ‎+5‎ ‎7‎ 三角函数图 象与性质 正弦、余弦函数图象与性质 ‎6‎ ‎5‎ ‎12‎ ‎5‎ 解三角形 正、余弦定理 ‎4‎ ‎5‎ ‎17‎ ‎12‎ 向量 向量表示与运算 坐标表示、模、运算 ‎13‎ ‎5‎ ‎13‎ ‎5‎ 立体 几何 空间的几何体 正投影与三视图 ‎7+18‎ ‎5+12‎ ‎6‎ ‎5‎ 空间点、线、面关系 位置关系与角 ‎11+18‎ ‎5+12‎ ‎11+18‎ ‎5+12‎ 数 列 等差数列 通项、前项和 ‎17‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎5‎ 等比数列 通项、前项和 ‎17‎ ‎6‎ ‎15‎ ‎5‎ 解 析 几 何 直线 直线与圆的位置关系 ‎15‎ ‎5‎ 圆 直线与圆的位置关系 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ ‎12‎ 圆锥曲线 椭圆的定义与性质、直线与椭圆的关系 ‎5‎ ‎5‎ ‎20‎ ‎12‎ 双曲线的标准 方程与性质 ‎5‎ ‎5‎ 定义、直线与抛物线的位置关系 ‎20‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎5‎ 不等式 不等式的解法 绝对值不等式 ‎24‎ ‎10‎ ‎24‎ ‎10‎ 不等式的应用 线性规划 ‎16‎ ‎5‎ ‎16‎ ‎5‎ 复数 复数的代数形式 复数运算、模 ‎2‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎5‎ 排列组合 二项式定理 应用 ‎14‎ ‎5‎ 概率统计 概率 古典概型 ‎3‎ ‎5‎ 几何概型 ‎4‎ ‎5‎ 统计 分布、数字特征 与期望等 ‎19‎ ‎12‎ ‎19‎ ‎12‎ 算法 框图 框图 ‎10‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎5‎ 选修4－1‎ 几何证明选讲 与圆有关的角、线 ‎22‎ ‎10‎ ‎22‎ ‎10‎ 选修4－4‎ 坐标系与参数方程 直线与圆的极坐标、参数方程 ‎23‎ ‎10‎ ‎23‎ ‎10‎ 选修4－5‎ 不等式选讲 绝对值不等式的解法、几何意义 ‎24‎ ‎10‎ ‎24‎ ‎10‎ 说明：1.未考的考点没有列出，其他考点和课标要求大家可以参考《分析报告》；2.所列考点是按照所考的主要知识点分类、有交汇，分值不能严格区分时、是按照大题分值标注的.‎ 二、考查分析 ‎（一）常考知识点 在《分析报告》中，我们列出常考知识点：集合运算、复数的代数计算、函数基本性质（单调性、奇偶性、周期性等）、导数及其运用、三角函数（恒等变换、图像及性质、解三角形）、平面向量的计算、数列（等差、等比的相关知识）、线性规划、二项式定理（理）、程序框图、概率（古典概型）、统计的基本知识、立体几何（空间点、线、面的位置关系）、圆锥曲线（定义、性质）等.从上面列表可以看出，2019年高考全国一卷基本上覆盖了高中数学的所有重要的知识点，预测是准确的.‎ ‎2019年高考数学全国一卷命题的基本思路仍然是：以选择题、填空题“小题”的形式覆盖知识点，引导高中数学教师落实《课程标准》的基本要求，做好“保底”工作；以解答题“大题”的形式着重考查综合素养，提高区分度、强化选拔功能；文理同题（同宗题或姊妹题）略有增加，为高考数学文理合卷进一步创造条件.‎ ‎（二）板块分析 ‎1.三角函数 该知识点在整个试卷中理科占有17分、文科占有20分，文科以四道小题、理科以一道小题一道大题的形式呈现.题目之间互补，形成纵向“问题链”，主要考查三角恒等变换、三角函数图象与性质、解三角形，估计2019年不会有大的变化.‎ ‎2.数列 该知识点在整个试卷中理科占有10分、文科占有12分，理科以两道小题，文科以一道大题的形式呈现.以特殊数列（等差数列、等比数列）为载体，考查求解数列的通项公式、前项和，在解答题中靠前，属于容易题，在小题中靠后，属于较难题.与三角“嵌套”，理科在解答题中考查三角、文科在解答题中考查数列.考查风格与2019年相同，估计2019年也不会有大的变化.‎ ‎3.概率统计 该知识点在整个试卷中文理都占有17分的分值，试题以一大一小的形式呈现.文科小题考查古典概型，大题以实际问题为背景，考查函数解析式、频率、数字特征等知识；理科小题考查几何概型，大题与文科同宗同源，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等知识.文理均重统计，考查风格与2019年基本相同，估计2019年会有些变化，具体见后面专项分析.‎ ‎4.立体几何 该知识点在整个试卷中文理科都占有22分的分值，试题以一大两小的形式呈现.小题考查三视图、空间线、面关系.大题分两小题设问，文科第1问证明线段相等，第2问求体积；理科第1问证明面面垂直，第二问求二面角的余弦值.理科考查风格与2019年相同，文科考查风格与2019年有点不同，大题“正投影”难住了较多考生，2019年备考还要关注折叠问题.‎ ‎5.解析几何 该知识点在整个试卷中文理都占有22分的分值，试题以一大两小的形式呈现.小题考查圆、圆锥曲线定义、标准方程、简单几何性质.大题分两小题设问，文科第1问考查坐标法，求线段的比值；第2问为存在性问题、考查直线与抛物线的位置关系.理科第1问为定值问题，求轨迹方程；第2问考查直线与圆锥曲线的位置关系，与函数、不等式交汇在一起，属于较难题.考查风格与2019年相同，估计2019年不会有大的变化.‎ ‎6. 函数与导数 该知识点在整个试卷中理科占有22分，试题以一大两小的形式呈现；文科占有27分，试题以一大三小的形式呈现.与导数相关的知识，小题中有一题也有涉及（理科第7题、文科第9题和12题）.大题分两小题设问，文科第1问考查定义域、单调性；第2问考查函数零点的相关知识；理科题考查函数零点的相关知识；文理科都与不等式等知识交汇在一起，考查分类讨论、综合运用知识的能力，属于难题.文理科此题属于姊妹题，考查风格与2019年相同，估计2019年不会有大的变化.‎ 三、热点透视 ‎（一）三角问题 三角为数学的主干知识之一，一般情况下应该得满分.纵观近5年全国卷，不确定因素较多、难度较大、综合性较强，超出考生的想象.‎ 例1 （2019高考全国卷1文科第14题）已知是第四象限角，且，则 ‎ .‎ 分析1：由，为求的值，可从题目条件出发，求出、的值.‎ 解法1：因为，所以，且 .又因为是第四象限角，所以，且－‎ ‎，故，结果填.‎ 本题考查三角函数的定义、符号和同角公式、和差角公式等知识，以及化归与转化、平方与开方等思想方法.考生的思维障碍是不知由的值可以求出的值；错点是的符号.其实，、、“知一求二”；由单位圆和三角函数线容易判断或的符号.单位圆是三角函数的“原点”，“能力立意”的基本点是回归“原点”，按照数学家当初建构数学概念那样广开思路，备考时需要重建、理解三角公式体系：利用单位圆定义三角函数的坐标表示（数）和几何表示（形）；由它的坐标表示可以概括得到符号规律、特殊角的三角函数值；由它的几何表示可以简单推出同角公式；由单位圆的对称性和它的坐标表示可以直接得到诱导公式；由向量的数量积和它的坐标表示可以简单推导和差角公式、二倍角公式的“母公式”.抓住了单位圆，就等于抓住了三角公式的“命门”：公式记不清时，可以利用单位圆简单推出；符号拿不准时，可以利用单位圆作出判断；特别是由单位圆推导公式的思路和方法，是解决相关问题的思想武器.‎ 分析2 ：由，为求的值，可从题目条件出发，求出的值.‎ 解法2：因为 ，所以.又因为，所以，且 .故 ‎＝＝，结果填.‎ 这种解法明显优于第一种，更能体现命题者的意图.课本在章头指出：“三角变换包括变换的对象，变换的目标，以及变换的依据和方法等要素”.另解盯住角，从未知与已知关系中寻求突破，用已知角表示未知角、从中寻求三角变换的依据和方法，获得题目的更优解法.“角”是自变量，是三角变换的根本所在，因此三角变换思维起点是角：盯住未知与已知角的关系（互余、互补、和、差、倍、分），以及角的取值范围；三角变换的基本思想是转化与化归思想；三角变换的基本策略是：找“差异”，立足“化异为同”、消除差异找方法，正用、逆用、变用、联用以至活用公式.备考时，要结合具体题目的解答过程，回归课本，把握三角变换的特点和本质，实行方法创新，以“不变”驭“变”.‎ 例2 （2019高考全国卷1理科第12题）已知函数（ ， ），为的零点，为图象的对称轴，且在 单调，则的最大值为 A.11 B. 9 C. 7 D. 5‎ 分析：为求的最大值，可从题目条件出发，得到关于、的方程和不等式，再从特殊值、一个周期内的图象特征出发筛选答案.‎ 解法1：因为、，所以.由得 ‎.由得，且为奇数.‎ 当即时，取，这时，由得，.因为，所以在区间上是单调递减函数、在区间上是单调递增函数，不合题意.同理，7、5不合题意，只有符合题意.‎ 当即时，验算知、9、7不合题意，只有符合题意.‎ 综上所述，的最大值为9，结果选.‎ 解法2：由题意知： 则，其中.‎ 在单调，.‎ 接下来用排除法 若，此时，在递增，在递减，不满足在单调；‎ 若，此时，满足在单调递减，故选B．‎ 本题考查正弦函数图象和零点、对称性、单调性等性质，以及数形结合、函数与方程、化归与转化等思想方法.考生的思维障碍不是列方程组、求和的表述式，而是处理整数、，以及验算在上的单调性.其实，确定的取值后，取的值验算时，为了减少字母运算带来的不便，可以考查函数在一个周期内的单调增区间或减区间，按照周期进行拓展、作出判断；作为一个选择题，本题只需对取、9和对取三种情况作出判断就可以作出选择.无论是正弦型函数，还是余弦型、正切型函数，无论是奇偶性、单调性、对称性，还是求最值、解方程、不等式，都可以按照三角函数曲线、从一个周期出发按照周期进行拓展.课本是按照从一个周期出发进行拓展的思路探讨三角函数图象的，但是在后续例题列式、求解中带入了“”，备考时，要进行两种解题方式的比照，把握其共性，明确从三角函数图象出发、从一个周期出发思考解决问题的道理，化解难点，达到必要的复习深度.‎ 理科第17题考查三角形的内角和、周长、面积和正弦定理、余弦定理、诱导公式等知识，以及配方、函数与方程、化归与转化等思想方法.属于中低档题，思路不是问题，影响考生得分主要是表述规范和隐含条件运用等问题.其实，在三角形中常隐含了“内角和为”、“两边之和大于第三边”、“大边对大角”等条件，解三角形时要特别注意发掘这些隐含条件，建构相应的“条件反射”.备考时，建议还要关注向量与三角的结合问题，以及建构三角函数模型解决“测量”、“潮汐”等问题.不管是哪一类问题，最终往往归结为“化一”、求三角函数在给定区间的最值问题，而隐含在其中的条件“给定区间”，测量着备考高度.‎ 模拟训练 ‎1.已知点是以轴正半轴为始边的角的终边上一点，且，则 A. B. C. D. ‎ ‎2. 要得到函数的图象，只需将函数的图象 A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 ‎3.在中，已知，，，则_____.‎ ‎4. 设当时，函数取得最大值，则______.‎ ‎5.如图，平面四边形中，，，‎ ‎，，.求 ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）四边形的面积.‎ ‎（二）数学思想 数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，能够迁移并广泛用于相关学科和社会生活.因此，对数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度.考查时要从学科整体意义和思想价值立意，要有明确的目的，加强针对性，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度.‎ ‎1. 数形结合的思想方法 ‎（1）具体特征 从“形”入手，直观助思；从“数”突破，验证直觉.‎ ‎（2）考题解析 例3 （2019高考全国卷1文理科第11题）平面过正方体的顶点A，‎ ‎,，，则m，n所成角的正弦值为 A. B. C. D.‎ 解法1：如图所示：因为平面，设平面平面，则.‎ 又因为平面平面，‎ 平面平面，所以，故.‎ 同理，.‎ 故、的所成角的大小与、所成角的大小相等，即的大小．‎ 而，因此，即．‎ 解法2：如图，在正方体ABCD－的下方补两个相同的正方体.因为，，可得平面ARF平面.由题设可知AR、AF分别为、.故、所成的角即为、所成的角，其角度为.故、所成的角的正弦值为.‎ 本题考查线线、线面、面面关系，两异面直线所成角等知识，以及数形结合、化归与转化等思想方法.考生的思维障碍在于根据题意作出图形助思.显然，解2的图形更有利于考生思考、解决问题.求空间角包括求两条异面直线所成角、线面角和面面角，求解的基本路径是：“找（作）——说——求”.“找”是关键，没有现成的就需要“作”，作线线角重点是“平移直线”；作线面角重点是“线面垂直”；作面面角重点也是“线面垂直”.‎ ‎（3）基本类型与学生问题 按照题目问题状态，可以分为“题给图形”和“自构图形”两种基本类型.学生的主要问题是：一是没有想到数形结合；二是构图马虎，不能达到“助思”效果；三是构图不够“常态”，产生误导.‎ ‎（4）方法分析 数形结合是高中数学的核心思想方法之一.从“形”入手、用数形结合的思想方法，是解答选择、填空题的重要策略；而由“数”联想到“形”，是一种创造、创新，对学生本身是一个“坎”.建议高三复习时选用恰当的问题进行数形结合的思想立意；同时，结合距离、斜率等数式的几何意义，创造机会让学生思“形”，增长数形结合、由“数”思“形”的见识，激活学生的创新思维.‎ ‎（5）模拟训练 ① 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积为 ( ) ‎ A.72 B. 48 ‎ C. D. ‎ ② 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，则二面角A－BC－D的正切值为.‎ ③函数的最小值为 .‎ ④已知函数是定义域为的偶函数. 当时， ， 若关于的方程（）,有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 转化与化归的思想方法 ‎（1）具体特征 归是归宿、目标，转化是为了达到目标所调用的一切手段和方法.‎ ‎（2）考题解析 例4 （2019年文科12题）若函数在上单调递增，则的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ 解法1：＝在上恒成立.令 ‎，则，只需的最小值不小于0即可.因为抛物线开口向下，对称轴为，当时，最小值为，解得；同理可得.综上，的取值范围是.‎ 解法2：同解法1，因为抛物线开口向下，所以，解得，故选C.‎ 触发点：①为求的取值范围，需要将条件化归为不等式、转化为不等式恒成立问题；②为求函数的导数，需要将转化为、运用积的导数法则求导；③可将问题转化为求函数的最小值；④为求函数的最小值，运用两种手段：分类讨论、各个击破；“同时限制”、转化为解不等式组.先有化归方向，再有化归方法.‎ ‎（3）基本类型与学生问题 为了将生疏问题化归为熟悉问题，常用转化方法有数形转化法，数列中有并项公式法求和、裂项相消法求和、错位相减法求和，恒成立、能成立有更替主元法、分离参变法，转化为求函数的最值等等.学生的主要问题是：一是缺少积累，以致常规的转化方法能够达到什么目标不够清晰；二是审题意识不强，不能预测到目标、找不到方向，转化方法失灵.‎ ‎（4）方法分析 转化与化归也是高中数学的核心思想方法之一.归根结底，数学解题就是转化与化归，由题目的初始状态向目标状态转化.转化与化归的思想方法是解答“小题”的利器，特别是一些较难的“小题”，常常转化为利用图形直观去考察，即转化与化归思想方法常与其他数学思想方法结合运用.建议高三复习时，加强预测、估算方面的训练.‎ ‎（5）模拟训练 ①已知函数，则 A . B. C. D. ‎ ②已知各项均为正数的等比数列中，，则数列的前项和为 ‎(A)　 (B)　　 (C) 　 (D)‎ ③若向量的夹角为，且，则向量与向量的夹角为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ④由不等式组确定的平面区域为，由不等式组确定的平面区域为，在内随机的取一点，则点落在区域内的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 函数与方程的思想方法： ‎ ‎（1）具体特征 ‎ 函数思想集中体现在变量思想、对应与依存关系、运动与变化观点、数形结合观点，函数是特殊的方程；方程不一定是函数，但是大多数方程问题可以转化为函数问题、利用其图象直观求解.‎ ‎（2）考题解析 例5 （2019理科21题）已知函数有两个零点.（I）求的取值范围；（II）设是的两个零点，证明：.‎ 解析：（Ⅰ）当时，，所以不是函数零点.‎ 当时，由得.设，则.‎ 当时，；当时，.故函数在上单调递增、在上单调递减.在同一坐标系中画出函数、的图象可知，当时两函数图象必有两个交点，故所求的取值范围为.‎ ‎（Ⅱ）设，则，且.当时，，.故函数在上单调递增.又，所以当时，，即当时，.‎ 设，由（I）知函数的极值点为1，则有.又，所以.因为.又，由（I）知函数的单调递减区间为，所以，即.‎ 触发点：第（I）中，在函数与方程思想的导引下，“一分为二”、将一个函数分解为两个函数，在同一坐标系中画出函数、的图象，通过函数图象直观助思，将图形关系转化为数量关系，得到的取值范围为.第（II）中，由、与所要证明结果结构相似，构造函数，按照函数单调性的定义，沟通函数值大小与自变量大小的关系， 实现“方程（不等式）——函数——图象——方程（不等式）”的相互转化.‎ ‎（3）基本类型与学生问题 学生在学习指、对、幂函数的图象和性质的过程中，利用函数的单调性比较相关函数值的大小，使学生第一次接触到构造函数；在学习“函数与方程”时，为了解决函数零点的相关问题，常需要将一个复杂函数的零点问题，通过方程转化为两个较简单函数图象交点的问题，或将两个函数交点的问题，通过方程转化为一个函数的零点问题；在解答恒成立、能成立、最值等问题时，常需要将问题转化为求函数的最值，函数思想、运用构造函数的方法将问题转化为考查函数的最值就成为常态的方法.学生的主要问题：一是缺少函数思想、看不到问题的本质；二是不能把“方程——函数——不等式”联系起来，缺少解决相关问题的经验积累；三是转化的方向感不强，有时甚至将问题复杂化.‎ ‎（4）方法分析 函数与方程的思想方法也是高中数学的核心思想方法之一.既常态又习以为常，建议高三复习时，结合具体问题，从易到难，开展小专题研究，对学生进行函数与方程的思想立意，并且与数形结合、化归与转化等数学思想融会，提高学生运用函数与方程思想的水平.至于其他的思想方法，教师可以根据学生的需求、进行合理提升.‎ ‎（5）模拟训练 ①若函数的导函数在区间（1，2）上有零点，则在下列区间上单调递增的是 A. B. C. D. ‎ ②定义一种新运算：a⊗b=，已知函数f（x）=（1+）⊗，若函数g（x）=f（x）﹣k恰有两个零点，则k的取值范围为（ ）‎ A．（1，2] B．（1，2） C．（0，2） D．（0，1）‎ ③已知函数，其中为自然对数的底数，若存在实数，使成立，则实数的值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ④已知函数，方程有四个不同的实数根，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎（三）应用意识与应用能力 ‎1. 考查情况 ‎2019年高考数学全国一卷很明显带有注重实际运用的特征.文理的第16题线性规划，以生产利润为模型，考查线性规划；文理的第19题，以成本控制为模型，考查概率统计（分布列）和决策问题；理科的第4题，以乘车上班为模型，考查几何概型.从2019年的全国新课标一卷来看，在数学的应用问题上，试题体现的应用意识大幅增强，除概率统计问题这个常见的实际问题外，在若干个小题中，也都能见到它实际应用的这种意识，在很多的问题中多有体现，考查考生的应用意识，这一点也充分地体现了新课程的理念.另外，对于概率统计的应用问题，全国新课标一卷着重考核统计方面的知识，有注重考查学生“用数据说话”的倾向，这与我们已经进入大数据时代有关.‎ ‎2.考题解析 例6（2019高考全国卷1理科第19题）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得柱状图（如图）.‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.‎ ‎（I）求的分布列； ‎ ‎（II）若要求，确定的最小值；‎ ‎（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？‎ 解析：（I）每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11，记事件为第一台机器3年内换掉个零件，记事件为第二台机器3年内换掉个零件，由题知，.‎ 设2台机器共需更换的易损零件数为，则的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22，且，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.所以的分布列为 ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎（II）因为，，由知的最小值为19.‎ ‎（III）购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用.‎ 当时，费用的期望为；‎ 当时，费用的期望为.‎ 综上所述，应选用比较恰当.‎ 本试题为“概率统计”类型，属于中档试题，考查频率、概率、分布列、数学期望等基础知识，以及统计思想的应用和数据处理、分析等方面的能力.本试题背景公平，叙述简明易懂；情境新颖，不落俗套，由文字语言和“柱状图”共同提供数据和信息，考查应用意识和解决实际问题的能力.本试题分小题设问，前问的数据既是解答本问的依据，又是解答后问的依据；密切结合教材，既在情理之中，又有意料之外，考查数学的重点内容，以及基本的数学思想方法.本试题问题所涉及的数学知识和方法有一定的深度和广度.对于随机变量的每个取值，事件可以分解为独立事件的“积事件”，以及互斥事件的“和事件”，考生的错误在于缺少“基本事件”意识，概率计算公式列错，考查考生提取有价值数据的意识，以及化繁为简的解题策略；对于费用的期望，考生的错误在于按照思维惯性、列出费用的分布列后按照通常求期望的方法求解，考查考生挖掘数据价值、按照数学期望的本质含义求解的创新意识和能力.本试题立意深刻，突出数学在解决实际问题时的价值取向和应用价值.试题中以“现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图”诱导考生的数据思维，向他们传递面对实际问题时的基本做法、基本态度和基本观点，进行“数学育人”；试题中“以频率代替概率”、“以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据” 导引考生的价值取向，引导他们按照数据处理的结果展开分析，用“数学的方式”，用数据说话、作出统计推断、进行科学决策.‎ ‎3.考纲解读 应用意识体现在：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.象前面的题目一样，核心在“建模”、“说明”上.‎ 应用能力不但强调“建模”、“说明”，而且强调“解模”： 如湖南2019年理科第20题“L路径”问题，建立的函数模型含有多个绝对值，对考生分类整合、解模能力要求相当高，令绝大多数考生望而止步 . ‎ ‎4.备考建议：‎ ‎（1）顺应心理诉求，建构数据相关知识.近年来，随着互联网、云计算、手持及移动技术等现代信息技术的飞速发展及应用，人类进入大数据时代.数学高考按照 “数学考试的内容和形式都应当有利于中学数学课程改革”的命题思路，2019年高考数学全国新课标试卷加大了“数据分析”的考查力度.上述试题，300多个字符，另加“柱状图”，要求考生能够从给定的大量信息材料中提取有用、有价值的数据，运算求解，分类整合，分析概括一些结论，并能将其应用于解决问题或做出新的判断.“数据分析”是我国高中数学课程标准在修订中提出的六大核心素养（数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析）之一，它包括“数据获取、数据分析、知识建构”三个维度.“数据”不仅指数字，而且指事实或观察的结果，是信息的表现形式和载体，可以是符号、文字、数字、语音、图像、视频等；数据和信息是不可分离的，数据是信息的表达，信息是数据的内涵.“大数据”是从信息量考虑的，具有规模大 (大量：Volume)、类型多 (多样：Variety)、速度快 (高速：Velocity)、价值密度低 (价值：Value)的“4V”特征.‎ 尽管新授课关注不够，但在高考复习中，教师还是应该顺应大数据时代学生的心理诉求，关注象上述试题那样“背景新颖、信息量大”的试题或模考题，让学生有机会经历“从大量数据中抽取对研究问题有用的信息”的全过程，建构数据的相关知识.‎ ‎（2）搭建互动平台，培养数据分析能力.数据分析能力集中体现在会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并做出判断等方面.其中收集、存储数据是基础，抽取、整理数据是保障，分析、运用数据是目标.解答上述试题，考生需要从“柱状图”中提取数据，得到各“更换易损零件数”的频数和频率；需要进一步从文字语言表述中提取数据，运用“数学的方式”，计算、整理，挖掘数据在回答各个小问题中的价值；需要分析频率与概率、分布列与期望、样本与总体、变量与等内在联系，结合当前数据处理的结果，做出选择、判断.理解、抽取数据、计算方法、分析方式不同，都直接影响选择和判断，体现出不同层次的数据分析能力和应用水平.针对当前学生“数据分析”方面的差异，在高三复习备考中，教师应当选择适量的、象上述试题那样的、“依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理和分析”的实际问题，先让学生独立思考、建构基本的活动经验，再让更多学生展示陈述、搭建互动平台，以在交互、对话中释放数据能量，构创更多学生的数据分析见识和能力，提高整体水平和“满分”比例.‎ ‎（3）开展变式探究，提高数据创新能力.大数据的意义是由人类日益普及的网络行为所伴生的，蕴涵着数据生产者的真实意图、个人喜好、价值取向等方面的信息，方便相关部门、企业个人等按需获取、存储、分析、运用.高考试题是众多课程、命题专家集体智慧的结晶，凝聚着他们的价值取向、真实意图.解答好上述试题，考生需要“去情境”、透过众多数据、进入命题者的角色，理解好题意；需要“建模型”、组织数据、按照命题者的意图，“用数学的方式”进行数据处理；需要“说行话”、分析数据、释放数据能量，用数据说话、理性地回答好命题者提出的问题.‎ 挖掘数据的新价值是“数据分析”的核心所在，也是创新发明的动力所在.从备考的角度考虑，教师应当组织学生开展试题的变式探究，由“课内”到“课外”，从理（文）科到文（理）科，进行比较研究，揣摩命题者的真实意图、挖掘数据的新价值，开阔数据处理视野，总结“数据分析”规律，以求学生在实战中提高审题质量、更好地进入命题者的“角色”，解亮相关试题.‎ ‎5. 模拟训练 ①从某小学随机抽取200名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取36人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为（ ）．‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ ②设，其正态分布密度曲线如图所示，且，那么向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ）‎ 附：（随机变量服从正态分布，则 A. 6038 B. ‎6587 C. 7028 D. 7539‎ ③某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1：‎ 年份x ‎2019‎ ‎2019‎ ‎2019‎ ‎2019‎ ‎2019‎ 储蓄存款y（千亿元）‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ 为研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，得到下表2：‎ 时间代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ z ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎（Ⅰ）求z关于t的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出y关于x的回归方程；‎ ‎（Ⅲ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？‎ ‎（附：对于线性回归方程，其中）‎ ④某日，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元.距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成 [0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]‎ ‎ 五组，并作出如下频率分布直方图(如图)：‎ ‎（I）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款.现从损失超过6000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，求这两户在同一分组的概率；‎ ‎（II）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95℅以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关?‎ 经济损失不超过4000元 经济损失超过4000元 合计 捐款超过500元 ‎30‎ 捐款不超过500元 ‎6‎ 合计 ‎0‎ ‎4000‎ ‎6000‎ ‎8000‎ ‎10000‎ 经济损失/元 ‎0.00003‎ ‎0.00009‎ ‎0.00015‎ ‎0.00020‎ ‎2000‎ P(K2≥k)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 附：临界值表参考公式：‎ ‎ K 2 = ， n = a + b + c + d．‎ ‎（四）创新意识与创新能力 ‎ 1. 考查情况 ‎2019年高考新课标一卷，文理卷同题或“同宗同源”题比2019年更多，高考试卷在朝着文理合卷的方向稳步迈进，这也是一种创新的意识.‎ 另外，概率统计题目，较以往难度更大，考查学生的阅读材料、信息处理能力和应用能力；立体几何的第2问难度增加，文科的证中点和正投影，理科的五面体，平时都不常见，突出对创新意识、创新方法的考查.‎ ‎2. 试题解析 例7 （2019理科21题）已知函数有两个零点.（I）求的取值范围；（II）设是的两个零点，证明：.‎ ‎（Ⅰ）解法2：当时，，所以不是函数零点.‎ 当时，由得.设，则.所以函数的单调递减区间为、.‎ 在同一坐标系中画出函数、的图象可知，当时两函数图象必有两个交点，故所求的取值范围为.‎ ‎（Ⅱ）证法2：由（I）知，可设.记，则，下证当时，.‎ 记，则，所以当时，，即在上单调递增，.所以当时，.则当时，，从而，所以.由（I）知函数在区间上单调递增，所以，即.‎ 按照参考答案给出的解法，第（Ⅰ）题运用分类讨论与整合的思想方法求解，非常繁难，考生很难得分.与解法1匹配，按照“一分为二”、将一个不方便作出图象的函数分解为两个“能够”作出图象的思路，创新方法.当然，还可以给出方法三，由，得到，可以让学生去尝试.对于第（Ⅱ）题，尽管方法2与方法1构造的函数不同，但也是同一种思路下使用的手段不同而已.因此，考生掌握了基本问题解题套路就会有方法上的创新，进而促进观念上的创新.‎ ‎3．考纲解读 创新意识:能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题.创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强，展示能力的区域就越宽泛.“如何对题设条件进行合理转化”就体现在创新意识、创新方法上，这是近几年全国卷的重要命题特点，考查考生优化思维品质的能力.‎ ‎4．备考建议 ‎（1）回归典型题，改造解题方法.在第二轮复习时要重视典型题目的回归分析，要让学生站在新的视角去审视问题、提供解决问题的思想方法，让更多的学生在互动中纠正认知偏差、找到更优的解法.‎ ‎（2）推出不太难但有新意的研究型、探索型、开放型题目，给学生创造更多“现推现想”的机会.‎ ‎（3）站在新的视角探究课本核心概念、定理.意识导向方法.从概念出发、从“本源”出发去思考、探究问题，是创新意识与创新方法的核心.建议第二轮复习时，把控方向，针对核心概念和学生的突出问题展开变式训练，引导学生回归概念、回归课本、回归本源，激活创新意识，成就更多的创新方法.‎ ‎5. 模拟训练 ①已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）若在处与直线相切，求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）在（1）的条件下，求在上的最大值；‎ ‎（Ⅲ）若不等式对所有的，都成立，求a的取值范围．‎ ②设，曲线在点处的切线与直线垂直.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）求证：.‎ ‎（五）关于选做题的问题 ‎1.“二选一”‎ ‎2019年高考数学全国一卷，考生在选修4－4坐标系与参数方程、4－5不等式选讲中两题选做一题.‎ ‎2.选作题主要内容及难度分析 ‎（1）坐标系与参数方程 主要以直线、圆、椭圆的极坐标方程和参数方程为代表，考查判定位置、求相关几何量等问题，属于中偏易题.‎ ‎（2）不等式选讲 主要考查含绝对值不等式的解法，以及与之相关的能成立、恒成立等问题，属于中偏易题.‎ ‎ 3.备考建议 ‎（1）文科：含绝对值的不等式的解法及应用在必修课程中未能得到应有重视，是文科学生的“软肋”，建议在高三复习时予以强化，以增加学生的选择机会.但是又要量力而行，对于大多数学生来说，不宜遍地开花、精选其中一类，做好认真的复习，答题时做好做“亮”就是成功！‎ ‎（2）理科：对于理科学生来说，选修内容题目的难度都不会太大，属于中偏易的试题.所以复习时要根据学生的实际，进行适当的补偿.‎ 总之，2019年高考数学全国一卷体现了课程标准的理念，遵循了考纲和说明，注重创新立意，多层次、多角度考查学生的数学素养和应用能力，命题方式更加灵活新颖，试卷较2019年难度稳中有升，对于2019届复习备考有较强的指引作用.‎