数学高考数学试题精编155创新题目 11页

第十五章 新增内容和创新题目 五、创新题目 ‎【考题分类】‎ ‎（一）选择题（共5 题）‎ ‎1.（福建卷理10）对于具有相同定义域的函数和，若存在函数（为常数），对任给的正数，存在相应的，使得当且时，总有则称直线为曲线与的“分渐近线”。给出定义域均为D=的四组函数如下：‎ ‎①，；②，；‎ ‎③，；④，。‎ 其中，曲线与存在“分渐近线”的是 A．①④ B．②③ C．②④ D．③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】要透过现象看本质，存在分渐近线的充要条件是时，。对于，当时便不符合，所以不存在；对于，肯定存在分渐近线，因为当时，；对于，，设且，所以当时越来愈大，从而会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；当时，，因此存在分渐近线。故，存在分渐近线的是选C ‎【命题意图】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是时，进行做答，是一道好题，思维灵活。‎ ‎2.（广东卷文10）在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和如下 那么d ‎ A．a B．b C．c D．d 解：由上表可知：,故，选A。‎ ‎3.（湖北卷理10文10）记实数，，……中的最大数为max，最小数为min。已知ABC的三边长位a,b,c（），定义它的亲倾斜度为 则“=‎1”‎是“ABC为等边三角形”的 A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若△ABC为等边三角形时，即a=b=c，则则l=1；若△ABC为等腰三角形，如a=2,b=2,c=3时，‎ 则，此时l=1仍成立但△ABC不为等边三角形,所以A正确.‎ ‎4.（山东卷理12文12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=（m，u），b=（p，q），另a⊙b=mq-np，下面的说法错误的是 ‎（A）若a与b共线，则a⊙b=0‎ ‎（B）a⊙b=b⊙a ‎（C）对任意的λ∈R，有（λa）⊙b=λ（a⊙b）‎ ‎（D）（a⊙b）2+（a·b）2=|a|2 |b|2‎ ‎【答案】B ‎【解析】若与共线，则有，故A正确；因为，而 ‎，所以有，故选项B错误，故选B。‎ ‎【命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力。‎ ‎5.（浙江卷理10）设函数的集合，‎ 平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是 ‎（A）4 （B）6 （C）8 （D）10‎ 解析：当a=0,b=0;a=0,b=1;a=,b=0; a=,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意，故答案选B，本题主要考察了函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点，对数学素养有较高要求，体现了对能力的考察，属中档题 ‎（二）填空题（共5题）‎ ‎1.（福建卷文15）对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包涵Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）： 其中为凸集的是 （写出所有凸集相应图形的序号）.‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】根据题意，在①④中任取两点，连接起来，如下图，不符合题意。‎ ‎2.（湖南卷理15）若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是．已知对任意的，，则 ， ．‎ ‎【答案】2，‎ ‎【解析】因为，而，所以m=1,2,所以2.‎ 所以＝1, ＝4，＝9，＝16，‎ 猜想 ‎【命题意图】本题以数列为背景，通过新定义考察学生的自学能力、创新能力、探究能力，属难题。‎ ‎3.（湖南卷文15）若规定E=的子集为E的第k个子集，其中k= ，则（1）是E的第____个子集；（2）E的第211个子集是_______‎ ‎【答案】（1）是E的第___5_个子集；‎ ‎（2）E的第211个子集是_______‎ ‎4.（四川卷理16）设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题：‎ ‎①集合S＝{a＋bi|为整数，为虚数单位}为封闭集；‎ ‎②若S为封闭集，则一定有；‎ ‎③封闭集一定是无限集；‎ ‎④若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.‎ 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）‎ 解析：直接验证可知①正确.‎ 当S为封闭集时，因为x－y∈S，取x＝y，得0∈S，②正确 对于集合S＝{0}，显然满足素有条件，但S是有限集,③错误 取S＝{0}，T＝{0,1}，满足,但由于0－1＝－1ÏT，故T不是封闭集，④错误 答案：①②‎ ‎5.（四川卷文16）设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题：w_w w. k#s5_u.c o*m ‎①集合S＝{a＋b |为整数}为封闭集；‎ ‎②若S为封闭集，则一定有；‎ ‎③封闭集一定是无限集；‎ ‎④若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.‎ 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）‎ 解析：直接验证可知①正确.‎ 当S为封闭集时，因为x－y∈S，取x＝y，得0∈S，②正确 对于集合S＝{0}，显然满足素有条件，但S是有限集,③错误 取S＝{0}，T＝{0,1}，满足,但由于0－1＝－1ÏT，故T不是封闭集，④错误 答案：①②w_w w. k#s5_u.c o*m ‎（三）解答题（共6题）‎ ‎1.（北京卷理20）已知集合对于，，定义A与B的差为A与B之间的距离为 ‎（Ⅰ）证明：，且;‎ ‎（Ⅱ）证明：三个数中至少有一个是偶数 ‎(Ⅲ) 设P，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P).‎ ‎ 证明：（P）≤.‎ 证明：（I）设，，‎ ‎ 因为，，所以, www.@ks@5u.com ‎ 从而 ‎ 又 由题意知，，.‎ 当时，;‎ ‎ 当时，‎ 所以 ‎(II)设，，‎ ‎ ，，.‎ ‎ 记，由（I）可知 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以中1的个数为，的1的个数为。‎ ‎ 设是使成立的的个数，则 ‎ 由此可知，三个数不可能都是奇数，‎ ‎ 即,,三个数中至少有一个是偶数。‎ ‎（III）,其中表示中所有两个元素间距离的总和，www.@ks@5u.com 设种所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0则=‎ 由于所以 从而 ‎2. （北京卷文20）已知集合对于，，定义A与B的差为 A与B之间的距离为 ‎（Ⅰ）当n=5时，设，求，；‎ ‎（Ⅱ）证明：，且;‎ ‎(Ⅲ) 证明：三个数中至少有一个是偶数 ‎（Ⅰ）解：=（1,0,1,0,1）‎ 设是使成立的的个数。则 ‎3.（广东卷理21））设A(),B()是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离ρ(A,B)为ρ(A,B)=+.对于平面上给定的不同的两点A(),B()‎ 若点C（x, y）是平面上的点，试证明ρ+ρρ;‎ 在平面上是否存在点C(x, y),同时满足①ρ+ρ= ρ； ②ρ= ρ；若存在，请求所给出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明。‎ 解析：设A(),B()是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离p(A,B)为.‎ 当且仅当时等号成立，即三点共线时等号成立.‎ ‎（2）当点C(x, y) 同时满足①P+P= P，②P= P时，点是线段的中点. ，即存在点满足条件。‎ ‎4.（江苏卷23）已知△ABC的三边长为有理数 ‎（1）求证cosA是有理数 ‎（2）对任意正整数n，求证cosnA也是有理数 ‎[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。‎ ‎（方法一）（1）证明：设三边长分别为，，∵是有理数，‎ 是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，‎ ‎∴必为有理数，∴cosA是有理数。‎ ‎（2）①当时，显然cosA是有理数；‎ 当时，∵，因为cosA是有理数， ∴也是有理数；‎ ‎②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。‎ 当时，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得：‎ ‎∵cosA，，均是有理数，∴是有理数，‎ ‎∴是有理数。 即当时，结论成立。‎ 综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。‎ ‎（方法二）证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知 是有理数。‎ ‎（2）用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。‎ ‎①当时，由（1）知是有理数，从而有也是有理数。‎ ‎②假设当时，和都是有理数。‎ 当时，由，‎ ‎，‎ 及①和归纳假设，知和都是有理数。‎ 即当时，结论成立。‎ 综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。‎ ‎5.（上海卷理22）若实数、、满足，则称比远离.‎ ‎（1）若比1远离0，求的取值范围；‎ ‎（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比远离；‎ ‎（3）已知函数的定义域.任取，等于和中远离0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.‎ 解析：(1) ； (2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，， 因为， 所以，即a3+b3比a2b+ab2远离； (3) ， 性质：‎1°f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，‎2°f(x)是周期函数，最小正周期，‎ ‎ 3°函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kÎZ， 4°函数f(x)的值域为．‎ ‎6.（上海卷文22）若实数、、满足，则称比接近.‎ ‎（1）若比3接近0，求的取值范围；‎ ‎（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比接近；‎ ‎（3）已知函数的定义域.任取，等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.‎ 解析：(1) xÎ(-2,2)； (2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，， 因为， 所以，即a2b+ab2比a3+b3接近； (3) ,kÎZ， f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T=p，函数f(x)的最小值为0， 函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kÎZ．‎