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- 2021-05-13 发布
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2016年普通高等学校招生全国统一考试
数 学(理)(北京卷)
第Ⅰ部分(选择题 共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
(1)已知集合,,则( )
(A) (B) (C) (D)
(2)若,满足则的最大值为( )
(A)0 (B)3 (C)4 (D)5
(3)执行如图所示的程序框图,若输入的值为,
则输出的值为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
(4)设a,b是向量.则“”是“”的( )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(5)已知,且,则( )
(A) (B) (C) (D)
(6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
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(7)将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点.若位于函数的图象上,则( )
(A),的最小值为 (B),的最小值为
(C),的最小值为 (D),的最小值为
(8)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒,每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( )
(A)乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 (B)乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
(C)乙盒中红球不多于丙盒中红球 (D)乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
第Ⅱ部分(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
(9)设,若复数在复平面内对应的点位于实轴上,则 .
(10)在的展开式中,的系数为 .(用数字作答)
(11)在极坐标系中,直线与圆交于两点,则 .
(12)已知为等差数列,为其前项和.若,,则 .
(13)双曲线的渐近线为正方形的边,所在的直线,点为该双曲线的焦点.若正方形的边长为,则 .
(14)设函数
① 若,则的最大值为 ;
② 若无最大值,则实数的取值范围是 .
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三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
(15)(本小题13分)
在中,.
(Ⅰ)求的大小;
(Ⅱ)求的最大值.
(16)(本小题 13分)
A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时):
A组
6
6.5
7
7.5
8
B组
6
7
8
9
10
11
12
C组
3
4.5
6
7.5
9
10.5
12
13.5
(Ⅰ)试估计C班的学生人数;
(Ⅱ)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙, 假设所有学生的锻炼时间相互独立, 求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;
(Ⅲ)再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为,表格中数据的平均数记为,试判断和的大小.(结论不要求证明)
(17)(本小题14分)
如图,在四棱锥中,平面平面,,,,,,.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)在棱上是否存在点,使得平面?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
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(18)(本小题13分)
设函数,曲线在点处的切线方程为.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求的单调区间.
(19)(本小题14分)
已知椭圆的离心率为,,,,的面积为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设是椭圆上一点,直线与轴交于点,直线与轴交于点N.
求证:为定值.
(20)(本小题13分)
设数列.如果对小于的每个正整数都有,则称是数列的一个“时刻”.记是数列的所有“时刻”组成的集合.
(Ⅰ)对数列,写出的所有元素;
(Ⅱ)证明:若数列中存在使得,则;
(Ⅲ)证明:若数列满足,则的元素个数不小于.
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2016年北京高考数学(理科)答案与解析
1. C
【解析】集合,集合,所以.
2. C
【解析】可行域如图阴影部分,目标函数平移到虚线处取得最大值,对应的点为,最大值为.
3. B
【解析】开始,;第一次循环,;第二次循环,,第三次循环,条件判断为“是”跳出,此时.
4. D
【解析】若成立,则以,为边组成平行四边形,那么该平行四边形为菱形,,表示的是该菱形的对角线,而菱形的对角线不一定相等,所以不一定成立,从而不是充分条件;反之,成立,则以,为边组成平行四边形,则该平行四边形为矩形,矩形的邻边不一定相等,所以不一定成立,从而不是必要条件.
5. C
【解析】 .考查的是反比例函数在单调递减,所以即所以错; .考查的是三角函数在单调性,不是单调的,所以不一定有,错;.考查的是指数函数在单调递减,所以有即所以对;考查的是对数函数的性质,,当时,不一定有,所以错.
6.A
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【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥,则通过侧视图得高,底面积,所以体积.
7.A
【解析】点在函数上,所以,然后
向左平移个单位,即,所以,所以的最小值为.
8.B
【解析】取两个球往盒子中放有种情况:
①红+红,则乙盒中红球数加个;
②黑+黑,则丙盒中黑球数加个;
③红+黑(红球放入甲盒中),则乙盒中黑球数加个;
④黑+红(黑球放入甲盒中),则丙盒中红球数加个.
因为红球和黑球个数一样,所以①和②的情况一样多,③和④的情况完全随机.
③和④对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响.
①和②出现的次数是一样的,所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样.
综上,选B.
9.
【解析】
∵其对应点在实轴上
∴,
10.
【解析】由二项式定理得含的项为
11.
【解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算,
直线的直角坐标方程为
∵,∴
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圆的直角坐标方程为
圆心在直线上,因此为圆的直径,
12.
【解析】∵∴
∵,∴
∴
13. 2
【解析】不妨令为双曲线的右焦点,在第一象限,则双曲线图象如图
∵为正方形,∴,
∵直线是渐近线,方程为,∴
又∵∴
14.,.
【解析】由,得,如下图,是的两个函数在没有限制条件
时的图象.
⑴ ;
⑵ 当时,有最大值;
当时,在时无最大值,且.
所以,.
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15.
【解析】⑴ ∵
∴
∴
∴
⑵∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴最大值为1
上式最大值为1
16.
【解析】⑴,C班学生40人
⑵在A班中取到每个人的概率相同均为
设班中取到第个人事件为
C班中取到第个人事件为
班中取到的概率为
所求事件为
则
⑶
三组平均数分别为总均值
但中多加的三个数据平均值为,比小,
故拉低了平均值
17.
【解析】⑴∵面面
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面面
∵,面
∴面
∵面
∴
又
∴面
⑵取中点为,连结,
∵
∴
∵
∴
以为原点,如图建系
易知,,,,
则,,,
设为面的法向量,令
,则与面夹角有
⑶假设存在点使得面
设,
由(2)知,,,,
有
∴
∵面,为的法向量
∴
即
∴
∴综上,存在点,即当时,点即为所求.
18.
【解析】 (I)
∴
∵曲线在点处的切线方程为
∴,
即①
②
由①②解得:,
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(II)由(I)可知:,
令,
∴
极小值
∴的最小值是
∴的最小值为
即对恒成立
∴在上单调递增,无减区间.
19.
【解析】⑴由已知,,又,
解得
∴椭圆的方程为.
⑵方法一:
设椭圆上一点,则.
直线:,令,得.
∴
直线:,令,得.
∴
将代入上式得
故为定值.
方法二:
设椭圆 上一点,
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直线PA:,令,得.
∴
直线:,令,得.
∴
故为定值.
20.
【解析】⑴
⑵ 因为存在,设数列中第一个大于的项为,则,
其中,所以,.
⑶ 设数列的所有“时刻”为,
对于第一个“时刻”,有,,则
.
对于第二个“时刻”,有().
则.
类似的,…,.
于是,.
对于,若,则;
若,则,否则由⑵,知中存在“时刻”,与只有个“时刻”矛盾.
从而,,证毕.
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