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- 2021-05-13 发布
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2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第2章《基本初等函数、导数及其应用》（第12课时）（新人教A版）
一、选择题
1．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( )
A．0≤a<1 B．00或a<－4
解析：选C.∵f′(x)＝2x＋2＋，f(x)在(0,1)上单调，
∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,1)上恒成立，
即2x2＋2x＋a≥0或2x2＋2x＋a≤0在(0,1)上恒成立，
所以a≥－(2x2＋2x)或a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立．
记g(x)＝－(2x2＋2x)，00；当x∈(20,30)时，V′<0，
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝.即包装盒的高与底面边长的比值为.
一、选择题
1．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R＝R(x)＝，则总利润最大时，每年生产的产品是( )
A．100 B．150
C．200 D．300
解析：选D.由题意得，总成本函数为
C＝C(x)＝20000＋100x，
所以总利润函数为P＝P(x)＝R(x)－C(x)
＝，
而P′(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，P最大．
2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1，给出以下结论：
①f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]；
②f(x)的极值点有且仅有一个；
③f(x)的最大值与最小值之和等于0.
其中正确的结论有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选C.∵f(0)＝0，∴c＝0，
∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
∴，即.
解得a＝0，b＝－4，
∴f(x)＝x3－4x，∴f′(x)＝3x2－4.
令f′(x)＝0，得x＝±∈[－2,2]，
∴极值点有两个．
∵f(x)为奇函数，∴f(x)max＋f(x)min＝0.
∴①③正确，故选C.
二、填空题
3．(2013·嘉兴质检)不等式ln(1＋x)－x2≤M恒成立，则M的最小值是________．
解析：设f(x)＝ln(1＋x)－x2，
则f′(x)＝[ln(1＋x)－x2]′
＝－x＝，
∵函数f(x)的定义域需满足1＋x＞0，即x∈(－1，＋∞)．
令f′(x)＝0得x＝1，
当x＞1时，f′(x)＜0，当－1＜x＜1时，f′(x)＞0，
∴函数f(x)在x＝1处取得最大值f(1)＝ln2－.
∴要使ln(1＋x)－x2≤M恒成立，
∴M≥ln2－，即M的最小值为ln2－.
答案：ln2－
4．将边长为1 m的正三角形薄铁片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝，则s的最小值是________．
解析：设剪成的小正三角形的边长为x，则梯形的周长为3－x，梯形的面积为·(x＋1)··(1－x)，所以s＝＝·(0＜x＜1)．
由s(x)＝·，得
s′(x)＝·
＝·.
令s′(x)＝0，且0＜x＜1，解得x＝.
当x∈时，s′(x)＜0；当x∈时，s′(x)＞0.
故当x＝时，s取最小值.
答案：
三、解答题
5．(2013·大同调研)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(a、b为常数，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的表达式；
(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值、最小值．
解：(1)∵f′(x)＝3ax2＋2x＋b，
∴g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.
∵g(x)为奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，
∴，解得：.
∴f(x)的解析式为f(x)＝－x3＋x2.
(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，∴g′(x)＝－x2＋2.
令g′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝，
∴当x∈(－∞，－)，(，＋∞)时，g(x)单调递减，
当x∈(－，)时，g(x)单调递增，
又g(1)＝，g()＝，g(2)＝，
∴g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()＝，最小值为g(2)＝.
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